Исследование моделей широкополосного базового шума с гауссовским распределением для реализации имитаторов цифровых сигналов Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 621.391.8; 519.876.5

Исследование моделей широкополосного базового шума с гауссовским распределением для реализации имитаторов цифровых сигналов

Миронов С.Н.

Получены спектрально-корреляционные характеристики последовательностей шума с гауссовским распределением, формируемого различными алгоритмами. Алгоритмы могут быть реализованы на основе микропроцессоров и использованы в имитаторах цифровых сигналов.

Ключевые слова: последовательность шума, спектрально-корреляционные характеристики шума, имитатор цифровых сигналов.

Вводная часть

Качественные характеристики работы радиотехнических систем (РТС) являются основным показателем их конкурентоспособности. Для получения качественных характеристик, снижения затрат на проведение испытаний РТС применяются имитаторы сигналов [1-3]. Работа имитаторов цифровых сигналов основана на алгоритмах формирования входных воздействий для РТС.

Одной из ключевых составляющих обеспечения достоверности результатов исследований РТС с помощью имитаторов является построение на основе некоторого критерия адекватных моделей широкополосного базового шума. Широкополосность базового шума позволяет упростить дальнейшую имитацию входных воздействий с заданными статистическими характеристиками.

Для получения адекватных моделей широкополосного базового шума необходимо обеспечить соответствие экспериментальных характеристик шума априорно известным теоретическим характеристикам. Поэтому актуальной задачей является определение алгоритма, позволяющего формировать широкополосный базовый шум с теоретическими или близкими к ним характеристиками.

Целью работы является исследование спектрально-корреляционных характеристик последовательностей базового псевдослучайного шума для определения алгоритмов формирования, обеспечивающих характеристики последовательностей шума, близкие к белому шуму с гауссовским стандартным распределением.

Рассмотренные ниже модели шума, подлежащие исследованию, могут быть реализованы на современном 32- или 64-разрядном сигнальном процессоре с представлением данных в формате плавающей запятой.

В среде Borland C++Builder 5 разработана программа статистического анализа псевдослучайных процессов. На цифровой вычислительной машине (ЦВМ) в разработанной программе проведено моделирование псевдослучайных процессов с гауссовской ПРВ для объема выборки шума N = 2000 и числа реализаций NE = 1000 , что соответствует 3% точности измерений. Проверка гипотез о распределениях шума проводилась по критерию согласия хХ для числа степеней свободы k = 515 и уровня значимости а = 0,01, что соответствует пороговому значению критерия %1а = 571,12. Проверка гипотез о некорре-

лируемости отсчетов шума проводилась на основе критерия о корреляционных связях [4] для доверительной вероятности p = 0,99 и объема выборки шума N = 2000 . Из указанного критерия получено пороговое значение уровня боковых лепестков (УБЛ) нормированной автокорреляционной функции (АКФ) шума, равное минус 23,2 дБ (4,8 -10-3 раз), меньше которого принимается гипотеза о белом шуме.

1 Модель шума на основе алгоритма обратной функции

Отсчеты базового шума вычисляются по алгоритму [4]

^Л-Ф^1 -Ро <Ро (п)< 0,5,

Ф-1[р°(п)],0,5 <Р°(п)< 1. и

где Ф-1(х) - аппроксимация функции обрат-

1 *

ной ф(х)=ТП*

exp

( — ^

v 2/

dz; Po (n) -

от-

счеты шума с равномерным распределением в интервале (°,1); п = 0, N -1; N - объем выборки шума.

В алгоритме (1) рассматриваются возможные виды аппроксимации обратной функции Ф-1(х) [4] с ошибками || < 3 -10-3

или ||< 4,5 -10-4.

Для последовательности (1) при аппроксимации с ошибкой || < 3 -10-3 получен полигон

относительных частот с точностью до масштабного делителя, равного приращению амплитуды 0,01, который показан на рис. 1 тонкой сплошной линией. Толстой сплошной линией на рис. 1 представлена теоретическая ПРВ.

0,5-

0,3 0,2 0,1 0,0

-г ~ ' -'- -1- -1- -'- ' л

-3-2-10123 Рис.1. Распределение псевдослучайных чисел

Из рис. 1 следует, что значения отсчетов шума лежат в приближенном интервале \%(п)< 2,3, тогда как область определения

гауссовской зависимости ограничена областью анализируемых амплитуд. Значение

критерия х составило 4479,71. При величине порога х'к-а= 571,12 отвергается гипотеза о гауссовском распределении псевдослучайных чисел, вычисленных по алгоритму (1) с ошибкой аппроксимации | < 3 -10-3.

Выборочные среднее и дисперсия процесса с ПРВ, показанной на рис. 1, составили

« 0,00067, « 0,80447, что соответствует максимальным абсолютным погрешностям 0,00067; 0,19553 и плохо согласуется с теоретическими характеристиками т^ = 0,

П = 1.

Максимальный УБЛ АКФ приблизительно равен минус 25,05 дБ или 3,1 -10-3 раз. Полученный уровень меньше порога минус 23,2 дБ, поэтому принимается гипотеза о некоррелированности отсчетов шума в после-довательности (1).

Немного лучшие результаты по сравнению с предыдущим случаем достигнуты при аппроксимации обратной функции с ошибкой ||< 4,5 -10-4 в базовом шуме (1). Полигон относительных частот с точностью до масштабного делителя, равного приращению амплитуды 0,01, показан на рис. 2 тонкой сплошной линией и толстой сплошной линией представлена теоретическая ПРВ. *>(£)

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

г * — -'- -'- -'- -'- Vi

-3-2-10123 Рис.2. Распределение псевдослучайных чисел

Согласно рис. 2, амплитуда шума принимает значения из интервала |^(п)< 2,5. Величина х2 составила 1580,54, поэтому не принимается гипотеза о гауссовском распределении псевдослучайных чисел (1) с ошибкой аппроксимации ||< 4,5 -10-4. Выборочные среднее и дисперсия составили т^ « 0,00063 , П)^ « 0,8747 , что соответству-

ет максимальным абсолютным погрешностям 0,00063; 0,1253 и недостаточно хорошо согласуется с теоретическими характеристиками тЛ _ 0, Д4 = 1.

Значение максимального УБЛ нормированной АКФ приблизительно составляет минус 24,62 дБ или 3,5 -10-3 раз, поэтому гипотеза о белом шуме принимается.

2 Модель шума на основе алгоритма преобразования пары независимых равномерно распределенных чисел

Пара процессов базового шума может быть получена в виде квадратур комплексного шума

^ (п)_ Яе((п)))_ (п)_ 1ш((п))

г

(2)

2^2с1п(/С1 (п)) С08( р 2 (п^ 2^;;1п(р1 (п)) зт((р2 (п)) где Ке(-), 1п(-) - действительная и мнимая

D

части соответственно; с,, а\ - дисперсии

действительной и мнимой составляющих шума соответственно; р1 (п), р2(п) - независимые последовательности псевдослучайных чисел с равномерным распределением в диапазоне (0,1).

При этом дисперсия комплексного базового шума (2) определяется через дисперсии его квадратур из соотношения

2 (3)

Алгоритм (2) чувствителен к корреляции величин р1 (п),

Р 2 (п) [4].

При моделировании псевдослучайных процессов (2) задавались дисперсии сС _ с2 _ 1. Результаты исследования алгоритма (2) показывают, что величина рассогласования экспериментальных данных с теоретической ПРВ для косинусной составляющей равна 56,27, для синусной - 54,95, поэтому принимаются гипотезы о гауссов-ском распределении псевдослучайных чисел

(2). Выборочные среднее и дисперсия косинусной составляющей равны ттС « 0,00071,

Д « 0,99918, что соответствует максимальным абсолютным погрешностям 0,00071; 0,00082, для синусной - тп5 «-0,00041,

Д « 1,00083 и соответствующие абсолютные погрешности равны 0,00041; 0,00083. Полученные погрешности близки к нулю, поэтому можно считать, что выборочные средние и дисперсии с высокой точностью согласуются с характеристиками стандартного гауссов-ского распределения.

Максимальный УБЛ нормированной АКФ для косинусной компоненты приблизительно составляет минус 24,64 дБ или 3,4 -10-3 раз, для синусной компоненты - минус 24,99 дБ (3,2 -10-3 раз). Спектральные плотности мощности нецентрированных компонент (2) квазиравномерны.

Вычисленные УБЛ нормированных АКФ шума, меньшие величины минус 23,2 дБ, а также квазиравномерность энергетических спектров шума подтверждают, что принимаются гипотезы о белом шуме.

Поскольку компоненты псевдослучайного процесса (2) можно считать гауссовскими, то для них некоррелируемость означает независимость. При этом получен максимальный УБЛ взаимной корреляционной функции (ВКФ) квадратур шума (2), который ориентировочно составляет минус 25,07 дБ (3,1 -10-3 раз), что меньше порога критерия о корреляционных связях [4], поэтому принимается гипотеза о независимости компонент комплексного шума (2).

При исследованиях цифровых блоков РТС распределение шума на выходе приемника можно считать гауссовским. Поэтому алгоритм формирования величин с гауссовским распределением, кроме генерации базового шума, можно использовать для получения аддитивной широкополосной помехи.

Датчик, реализуемый на микропроцессоре, формирует дискретный шум. При задан-

ном отношении сигнал/шум амплитуда шума не превышает нескольких уровней квантования. Шаг квантования задается в виде 8Е, = 6ос/22 , где г - разрядность шума.

Вследствие квантования по уровню гистограммы дискретного шума с увеличением разрядности приближаются к теоретической зависимости. Выборочные моменты и УБЛ АКФ квантованного по уровню шума в зависимости от разрядности его представления сведены в таблицу 1.

Таблица 1.

Из таблицы 1 следует, что выборочные средние согласуются с теоретическим значением, а выборочные дисперсии шума с увеличением разрядности стремятся к теоретической величине. Корреляционные связи дискретных последовательностей (2) не зависят от разрядности и на основе критерия о корреляционных связях [4] принимаются гипотезы о белом шуме.

3 Модель шума на основе алгоритма преобразования тройки независимых равномерно распределенных чисел

Пара псевдослучайных процессов базового шума может быть получена путем упрощения алгоритма (2), что также позволяет упростить реализацию алгоритма, поскольку исключает тригонометрические функции, значения которых необходимо вычислять или хранить в памяти. При этом модель базового шума имеет вид [4]

[,() , ( ( ) Р 2 (П )-Р3 (п ) (п) = > 1п(1 (П)) 2 ( )+ 2 ( ) '

V Р 2 (п)+Р3(п) ...

1 (4)

! ( ) ± / 1 ( ( )) Р 2 (П)-Р3(п) ^2 (П ) = ± ~ 1П(Р1 (п)) 2 ( )+ 2 ( ) • V Р 2 (п) + Р3 (п)

где р{ (п ) - независимые последовательности

псевдослучайных чисел с равномерной ПРВ

на интервале (0,1), I = 1,3; знаки «+», «-» -

равновероятны; величины р2 (п ), р3 (п )

удовлетворяют неравенству

(2р2(п)-1)2 +(2Р3(п )-1)2 < 1. (5)

Полигоны относительных частот с точностью до масштабного делителя, равного приращению амплитуды 0,01, показаны на рис. 3. Тонкой сплошной линией представлен масштабированный полигон для псевдослучайного процесса ^ (п ), штриховой линией -для процесса (п), толстой сплошной представлено теоретическое распределение.

Рис.3. Распределения псевдослучайных чисел

В соответствии с рис. 3, масштабированные полигоны псевдослучайных чисел ^ (п) и (п) значительно расходятся с гауссов-ской зависимостью. Величина х2 для последовательности ¿¡1 (п ) составила 61869,92, для (п ) - 179113,9. В связи с этим гипотезы о гауссовском распределении псевдослучайных чисел (4) отвергаются. Выборочные средние и дисперсии, соответствующие последовательности ^ (п), равны тх « 0,00017 ,

z А тах(УБЛ r )

разы дБ

1 -0,0007 2,2985 0,00356 -24,49

2 0,00073 1,1875 0,00359 -24,46

3 -0,0014 1,0469 0,00289 -25,39

4 -0,00003 1,0131 0,00307 -25,14

1) значения коэффициентов соответствуют

нормированной АКФ.

Д »0,3751, - для (и)

составляют

т2 « 0,00003, Д2 « 0,15617. При этом абсолютные погрешности выборочных среднего и дисперсии для процесса ^ (п) равны 0,00017; 0,6249, соответственно, для процесса (п) составляют 0,00003; 0,84383. Полученные погрешности являются значительными, поэтому выборочные характеристики процессов (4) плохо согласуются с теоретическими характеристиками тй _ 0, Д _ 1.

Однако максимальный УБЛ нормированной АКФ для процесса ^ (п) приблизительно

равен минус 23,45 дБ (4,5 -10—3 раз), а для процесса ¿;2 (п) составляет минус 24,9 дБ

(3,2 -10—3 раз). Полученный УБЛ АКФ шума меньше порогового уровня минус 23,2 дБ, следовательно, принимается гипотеза о соответствии последовательностей (4) белому шуму.

4 Модель шума на основе алгоритма суммирования независимых равномерно распределенных чисел

Модель шума основана на центральной предельной теореме и записывается в виде [4]

12(

V

fW=J IА (и)-2

\

(6)

где V - количество независимых псевдослучайных величин в суммарном ряде; р{ (п) -

независимые последовательности псевдослучайных чисел с равномерным распределением на интервале (0,1), \ _ 1, V .

Границы диапазона изменения (т1п, ^тах )

псевдослучайных процессов (6) с распределениями, удовлетворяющими условию нормировки, в зависимости от количества компонент V в суммарном ряде вычисляются по формуле

= 2л/з7Атш -V3V, Unax = 2^/3VAmax " V^,

(7)

где рт1п, ртах - нижняя и верхняя границы диапазона изменения независимых псевдослучайных чисел с равномерным распределением из суммарного ряда.

Результаты исследования последовательностей шума (6) показывают, что алгоритм суммирования позволяет формировать псевдослучайный процесс с гауссовским распределением при количестве компонент в суммарном ряде V > 4 . С увеличением количества компонент в суммарном ряде (эксперимент проводился до 12 компонент включительно) абсолютные погрешности для выборочных средних находятся в диапазоне от

0.0001 до 0,0014, а для выборочных дисперсий принадлежат интервалу от 0 до 0,0021. Полученные погрешности являются незначительными. В связи с этим можно сделать вывод о том, что выборочные средние и дисперсии соответствуют математическому ожиданию и дисперсии стандартного гаус-совского распределения.

Максимальный УБЛ нормированных АКФ процессов (6) колеблется в диапазоне от минус 25,42 до 24,26 дБ, что соответствует принятиям гипотез о белом шуме.

Рассмотренные выше модели широкополосных псевдослучайных процессов могут также применяться в качестве аддитивных широкополосных помех РТС.

Выводы

1. Модель базового шума на основе алгоритма обратной функции с ошибками аппрокси-

"3 —4

мации менее 3 -10 или 4,5 -10 не обеспечивает характеристики стандартного гаус-совского распределения и требует более точной аппроксимации обратной функции, что влечет за собой увеличение количества вычислительных операций.

2. Распределение модели базового шума на основе алгоритма преобразования тройки независимых равномерно распределенных чисел имеет значительное отклонение от га-уссовской ПРВ.

3. Для формирования псевдослучайных чисел с гауссовским стандартным распределением можно использовать алгоритм преобразования пары равномерно распределенных псевдослучайных чисел или алгоритм суммирования независимых псевдослучайных чисел с количеством компонент в суммарном ряде V > 4 .

Литература

1. Галкин, А.П. Моделирование каналов систем связи/ А.П. Галкин, А.Н.Лапин, А.Г. Самойлов. - М.: Связь, 1979. - 96 с.

Поступила 20 ноября 2011 г.

2. Кловский, Д.Д. Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений / Д.Д. Кловский, В.Я. Конто-рович, С.М. Широков // Под ред. Д.Д. Кловского. -М.: Радио и связь, 1984. - 248 с.

3. Миронов С.Н. Структура имитатора цифровых сигналов // Методы и устройства передачи и обработки информации. - Вып. 8.- М.: Радиотехника, 2007. - С. 82-85.

4. Полляк Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. -М.: Сов. радио, 1971. - 400 с.

Spectral-correlations feature of the noise sequences with gaussian distributions, formed different algorithm are received. These algorithms can be realized on the base of microprocessors and are used in digital signals simulators.

Key words: the noise sequence, spectral-correlations feature of the noise, the digital signals simulator.

Миронов Сергей Николаевич - кандидат технических наук, доцент кафедры радиотехники Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирского государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых». E-mail: RTC@mivlgu.ru.