CC BY
7
УДК 681.5
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-12-167-175
ИССЛЕДОВАНИЕ МОДАЛЬНОГО СПОСОБА ПОСТРОЕНИЯ SIMULINK-МОДЕЛЕЙ ПИД-РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
М.В.Баканов, А.В. Данеев, В.Н. Сизых
В статье на основе принципа динамической компенсации обоснована методика конструирования модальных ПИД-регуляторов. Для динамических объектов второго порядка в программной среде Matlab/Simulink проведено тестирование классического ПИД-контроллера с идеальным и реальным дифференцирующими звеньями. На примере объекта четвертого порядка проведен сравнительный анализ результатов моделирования по предлагаемой методике и по одной из модификаций метода Циглера-Николса.
Ключевые слова: модальное управление, ПИД-регулятор, Simulink-модель, динамические системы первого порядка, динамические системы второго порядка, транспортное запаздывание.
В работах [1-4] был разработан и развит модальный метод проектирования ПИД-регуляторов для динамических систем второго и более высокого порядков. Суть модального способа ПИД-регулирования сводится к выбору параметров регулятора таким образом, чтобы его нули и полюса соответствовали полюсам аппроксимируемого полиномами первой или второй степени многомерного объекта. Доказано, что в этом случае обеспечивается наилучшее качество переходных процессов замкнутой регулятором системы.
В статье ставится задача описания и тестирования, предложенного в [1-4] модального метода проектирования для аппроксимированных систем первого и второго порядков, объектов первого порядка с запаздыванием.
1. Методика моделирования ПИД-регуляторов для динамических объектов первого порядка и систем с запаздыванием. Системы первого порядка и системы, которые могут быть аппроксимированы уравнениями первого порядка, главным образом характеризуются постоянной времени Т передаточной функции(1)
w (s) = —^ (1)
Ts +1. к>
Коэффициенты ПИД-регулятора, определяемые по постоянным времени для различных систем первого порядка Kp, KI, KD и постоянные времени согласно описанной в [1] методике предлагается опре-
делять по формулам: т = KP = T = 1 T = = T = 1, в которых дифференциальная составляющая Kd и
Kn T
Kj T Kp т
интегральная составляющая К корректируются, как показали исследования [1], с поправочными коэф-фициентамиа=[0Л, 3] и е=[0.1, 2] соответственно (табл. 1), Ж-коэффициент коррекции постоянной времени фильтра высоких частот.
Предлагаемые формулы для расчетов коэффициентов ПИД-регуляторов
Таблица 1
Объект Параметры ПИД-регулятора
Kp Kt Kd T 1 D Ti N
T T aT sT 1 1 2...20
Пределы ограничений T aT a= 0.1...3 sT s= 0.1...2 s s= 0.1...2 1 a a= 0.1...3
Большое число промышленных объектов (например, бортовая инерциальная навигационная система самолета [5]) может быть приближенно смоделировано системами первого порядка с запаздыванием (РОРГО-моделями [5]). РОР^Т-модели являются комбинацией моделей систем первого порядка со звеном постоянного транспортного запаздывания. Их передаточная функция задается формулой (2)
к
W (s) =
Ts +1
-e
(2)
и представляется ^-образной кривой на рис.1. Она характеризуется двумя константами: временем задержки (постоянной транспортного запаздывания) Ь и постоянной времени Т объекта первого порядка.
Для расчета коэффициентов ПИД-регуляторов в этом случае предлагается использовать формулы, приведенные в табл. 2.
Для проверки предложенного метода проектирования ПИД-регуляторов, создадим Simulink-модель, изображенную на рис. 2, с четырьмя различными аппроксимированными системами, три из которых являются системами первого порядка, а четвертая - описывает процесс первого порядка с транспортным запаздыванием.
Таблица 2
Предлагаемые формулы для расчетов коэффициентов ПИД-регуляторов
_для систем первого порядка с запаздыванием_
Объект Параметры ПИД-регулятора
Kp KD T 1 D T N
T T aT sT 1 1 2...20
Пределы ограничений T aT a= 0.1...3 sT s = 0.1...2 s s = 0.1...2 1 a a= 0.1...3
Рис. 2. БШиИнк-модель для тестирования предложенного способа ПИД-регулирования
2. Результаты моделирования в среде МаШЬ/ Simulinlí. При тестировании в среде МайаЬ предложенного метода проектирования ПИД-регуляторов [1] для систем первого порядка и объекта первого порядка с запаздыванием, необходимо применить формулы, приведенные в табл. 2, в виде функции, обозначаемой «РГО_теШой». Значения законов ПИД-регулирования, вычисленные по предложенным формулам, а также величины коэффициентов настройки Ко и Кг, ускоряющие реакцию системы и снижающие перерегулирование, приведены в табл.3.
Таблица 3
Вычисленные значения коэффициентов ПИД-регуляторов_
Параметры ПИД
№ T K L KP Kj KD TD Ti jV
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
2 1 1 0.3 1 0.3 0.3 0.3 3.333 2
При подстановке вычисленных коэффициентов ПИД в Simulink-модель для наблюдения реакции конкретной системы необходимо производить действия с переключателями ManualSwitch. При этом для каждой системы результаты реакции отображаются при помощи блока Scope в виде графиков, изображенных на рис. 3 и 4.
На рис. 3 изображена реакция системы 1 (sys1) при следующем положении переключателей: ManualSwitch - вверх, ManualSwitch2 - вверх, а положение ManualSwitch1 произвольно; и значениях коэффициентов, вычисленных в табл. 3 в первом случае. Таким образом, наблюдается воздействие обыга-ного ПИД-регулятора на систему 1 (sys1) по методу Николса - Циглера [1].
На рис. 4 изображена реакция системы 1 (sys1) при следующем положении переключателей: ManualSwitch - вниз, ManualSwitch1 - вверх, ManualSwitch2 - вверх; и значениях коэффициентов, вычисленных в табл. 3 в первом случае. Таким образом, наблюдается воздействие встроенного ПИД-контроллера Simulink на систему 1 (sys1).
Рис. 4. Воздействие встроенного ПИД-регулятора на систему 1 ($у$1)
На рис. 5 изображена реакция системы 1 (sys1) при следующем положении переключателей: ManualSwitch - вниз, ManualSwitch1 - вниз, ManualSwitch2 - вверх; и значениях коэффициентов, вычисленных в табл. 3 в первом случае. Таким образом, наблюдается воздействие ПИД-регулятора, смодели-
Рис. 5. Воздействие регулятора, смоделированного с учетом фильтра высоких частот
ПИД-регулятора на систему 1 (sys1)
На рис. 6 изображена реакция системы 2 (sys2) при следующем положении переключателей: ManualSwitch - вверх, ManualSwitch2 - вверх, а положение остальных переключателей - произвольно; и значениях коэффициентов, вычисленных в табл. 3 во втором случае. Таким образом, наблюдается воздействие обычного ПИД-регулятора на систему 2 (sys2).
На рис. 7 изображена реакция системы 2 (sys2) при следующем положении переключателей: ManualSwitch - вверх, ManualSwitch2 - вниз, ManualSwitch3 - вверх, а положение остальных переключателей - произвольно; и значениях коэффициентов, вычисленных в табл. 3 во втором случае. Таким образом, наблюдается воздействие встроенного ПИД-регулятора на систему 2 (sys2).
На рис. 8 изображена реакция системы 2 (sys2) при следующем положении переключателей: ManualSwitch - вниз, ManualSwitch1 - вниз, ManualSwitch2 - вниз, ManualSwitch3 - вверх, а положение остальных переключателей - произвольно; и значениях коэффициентов, вычисленных в табл. 3 во втором случае. Таким образом, наблюдается воздействие ПИД-регулятора, смоделированного с учетом фильтра высоких частот, на систему 2 (sys2).
3. Результаты тестирования систем второго порядка. Для проверки достоверности предлагаемого способа ПИД регулирования была разработана Simulink-модель (рис. 9) с тремя различными, не имеющими нулей системами второго порядка.
Формулы для расчета параметров ПИД-регулятора сведены в табл. 4.
Тестирование проводилось для двух случаев.
В первом случае определялись допустимые пределы ограничений на коэффициент сглаживания е в интегральной составляющей закона ПИД регулирования.
Вычисленные по формулам табл. 4 значения коэффициентов обычного ПИД-регулятора представлены в табл. 5.
Результаты моделирования по настройке интегральной составляющей идеального ПИД-регулятора при ступенчатом входном воздействии Хзад = 10 * 1(0 представлены на рис. 10 - 12.
Анализ результатов моделирования показывает, что при управлении редуцированными объектами второго порядка с увеличением коэффициента сглаживания е значительно уменьшается время регулирования, а величина перерегулирования равна нулю. Однако при е> 2 переходный процесс становится колебательным (рис. 12).
Во втором случае на интервале времени 10 секунд сравнивались реакции системы sys(1) на единичный ступенчатый сигнал с предварительно настроенными обычным ПИД-регулятором, ПИД-регулятором с фильтром высоких частот при различных постоянных времени высокочастотного фильтра.
Рис. 8. Воздействие регулятора, смоделированного с учетом фильтра высоких частот
ПИД-регулятора на систему 2 ^у82)
Таблица 4
Формулы^ для расчетов коэффициентов ПИД-регуляторов и пределы ограничений_
Объект Параметры ПИД-регуляторов
к„ К, кп Тп т, N
1 2? 1 2Ы, 1 2Ы, 2£ 2 + 20
Пределы ограничений 1 шп 8 = 0,1^2 1 а = 0,58 + 1,5 а 2%шп Л £0)п
52+65+5 5у«2
5ит<^ Е1&тепЬ1
ТтпАг Реп Са'п5 ОимИи*!
в
О
ип^ (ееЬЬаос
Рис.9. Схема тестирования ПИД-регулятора в среде МайаЪ/81ти1тк
Параметры ПИД-регулятора для^ тестируемых систем второго порядка
Таблица 5
Система
Параметры объекта
Параметры ПИД-регулятора
Параметр
к,
Система (1)
0.5
1
1
Система (1) с измененным значением
0.6300
1
Система (2)
1.3416
2.2361
0.8333
0.1667
Система (2) с измененным значением
1.6667
0.1667
Система (3)
0.2500
4
1
Система (2) с измененным значением
8
Как показывают результаты моделирования, при т=0,05...0,1 с. ПИД-регулятор с фильтром высоких частот позволяет получить экспоненциальную переходную характеристику системы sys(1) без коррекции интегральной составляющей идеального закона регулирования (рис. 15), но в тоже время искажает переходную функцию (рис. 16) с настроенным значением коэффициента К1 обычного ПИД-регулятора. Поэтому между выбором коэффициента сглаживания е и константы N существует определенный компромисс (рис. 16). Из рисунка видно, что для системы sys(1) с ПИД-регулятором, имеющим
высокочастотный фильтр с постоянной времени т=0,2 с. (Ы = 5), и с обычным ПИД-регулятором с коэффициентом сглаживания интегральной составляющей е = 0,63 переходные процессы практически совпадают.
ГШДреакши ПИД реакция
sys(l) sys(1)с Ki*0.63
Рис. 10. Реакция системы sys(1) до и после настройки интегральной составляющей Е1 обычного
регулятора
ПИД реакция sys(2)
ПИД реакция sys (2) с Ki+2
10 20 ЗО
Время (сек)
5 Ю 15
Время (сек)
Рис. 11. Реакция системы sys(2) до и после настройки интегральной составляющей Е
обычного регулятора
ПИД реакция sys (2)
ПИД реакция sys (l)cKi*4
20 40 60 Время (сек)
10 20 Время (сек)
Рис. 12. Реакция системы sys(3) до и после настройки интегральной составляющей
Е обычного регулятора
С уменьшением постоянной времени т=~ высокочастотного фильтра от 0,1 секунды (Ы = 10) до 0,05 секунды (Ы = 20) переходные процессы в замкнутой регулятором системе sys (1) становятся более затянутыми, время регулирования заметно увеличивается (рис. 16 б)).
а б
Рис. 15. Переходная функция системы sys(1): а) с обычным ПИД-регулятором без настройки интегральной составляющей Kiрегулятора, б) с ПИД-регулятором без настройки интегральной составляющей Ki и с высокочастотным фильтром (Td= 1 c., N = 10).
Далее проводилось тестирование предложенной методики проектирования ПИД-регуляторов для объекта четвертого порядка
С (5) =-^-. (3)
(5+1) ($+2) ($+3) ($+4)
Динамическая система с ПФ (3) методом корневого годографа аппроксимируется системой второго порядка
С(5) = 10/12 _ 0 8333 _ 0,4166 (4)
^ ^ (5+1X5+2) (5+1)(5+2) 0,552 + 1,55+1
с двумя доминирующими полюсами:/»! = -1, р2= - 2. Из выражения (4) вычисляются параметры недемпфированных колебаний свободного движения редуцированного объекта: шп = —2 = 1,4142, ^ = 1,0607 и
1
по формулам табл. 4 при £ = 1, а = 1 определяются параметры ПИД-регулятора: КР = 1, Кв =■
0,3333 , к, == — = 0,6667.
а б
Рис. 16. Переходная функция системы sys(1): а) с обычным ПИД-регулятором с настройкой интегральной составляющей К регулятора (г = 0,63), б) с ПИД-регулятором с настройкой интегральной составляющей К (г = 0,63) и с высокочастотным фильтром
(То= 1 с., N = 10)
—i—
/
7...........
Z_ — — — — — — — У
а б
Рис. 17. Переходная функция системы sys(1): а - с обычным ПИД-регулятором с настройкой интегральной составляющей К регулятора (г = 0,63); б - с ПИД-регулятором с настройкой интегральной составляющей К (г = 0,63) и с высокочастотным фильтром
(То= 1 с., N = 5)
С другой стороны, по методу Циглера-Николса [6] параметры ПИД-регулятора определяются через реакцию системы на единичный ступенчатый сигнал по ПФ (3) исходного объекта четвертого порядка (нижний график на рис. 18). Из рисунка видно, что переходные функции для выходных сигналов исходного и редуцированного объектов достигают одного и того же установившегося значения 0,4166 и имеют одинаковое значение времени регулирования порядка 6 с.
Методика определения параметров ПИД-регулятора через одну из модификаций метода Циглера-Николса сводится к следующему:
1) В точке перегиба кривой переходной характеристики исходной системы строится касательная и определяются значение времени т как точка пересечения касательной с осью абсциссы, взятая по модулю координата, а как точка пересечения касательной с осью ординат, а также постоянная времени T как точка пересечения касательной с параллельной прямой, определяющей установившееся значение выходного сигнала. В нашем случае эти параметры равны: т = 0,1616 с., а = 0,0952, T = 0,7071 с.
2) Из условия подобия треугольников, определяемых этими параметрами, находится пропор-
г т
циональная составляющая ПИД-регулятора КР = - Выделяется целая часть полученного числа int (-),
которая принимается равной отношению —. В нашем случае имеем:
Td
int (£)= int(4,3756) = 4,т, =4Td.
3) Вычисляются постоянные времени TD = -КР, Tj, дифференциальная и интегральная составляющие ПИД-регулятора: KD =KPTD,KI = ^г. В нашем случае эти параметры равны: KD = 2.8224,KI = 4.8864. '
F* е акции
Исходная система четвертого порядка Аппроксилшрованная система второго порядка
Рис. 18. Переходные функции свободного движения исходной и аппроксимированной динамических систем
Результаты моделирования при определении реакции исходной системы четвертого порядка на ступенчатый входной сигнал Хзад = 10* 1(t) с контроллерами, сконструированными по методу Циглера-Николса и по модальному способу ПИД-регулирования, представлены на рис. 19. Сравнительный анализ результатов моделирования показывает, что определение параметров ПИД-регулятора по предложенному способу даже без их предварительной настройки позволяет осуществлять управление динамическим объектом высокого порядка без перегулирования.
~ " " ш Метод Циглерй-Нньтэлса -Предлйжешшй метол
Рис. 19. Переходные функции управляемого движения динамического объекта четвертого порядка
Заключение. В работе получены следующие основные результаты:
1. Разработана простая и эффективная методика конструирования классических ПИД-регуляторов, основанная на экспериментальном определении параметров редуцированных линейных моделей свободного движения объекта с одним входом и с одним выходом. Данный тип регуляторов является основным в АСУ ТП.
2. Представлены результаты исследований на основе разработанной методики проектирования ПИД-регуляторов, основанной на знании параметров свободного движения объектов. Предложенная модель была протестирована на различных динамических системах, включая системы первого, второго и четвертого порядков, а также объектов первого порядка с запаздыванием. Приведены результаты численного моделирования: зависимости реакций систем на ступенчатый входной сигнал.
Анализ результатов тестирования показывает, что важным компромиссом моделирования является компромисс между средней быстротой сглаживания выходного сигнала и приемлемым перерегулированием. Это позволяет получить требуемые показатели качества переходных процессов: апериодичность выходного сигнала и минимальное время регулирования, а также определить величину критического транспортного запаздывания, при котором объект управления становится неустойчивым.
Список литературы
1. Сизых В.Н., Лайков М.И., Палатов Д. А. Модальный способ определения параметров ПИД-регулятора редуцированной модели линейного объекта // Информационные системы контроля и управления в промышленности и на транспорте. Иркутск: Изд-во ИрГУПС, 2015. Вып. 26. С. 5-18.
174
2. Сизых В.Н., Баканов М.В. Модальное управление мобильным роботом при дифференциальном отклонении колесной пары // Информационные технологии и математическое моделирование в управлении сложными системами. 2019.№1 (2). С. 62-71.
3. Баканов М.В., Данеев А.В., Сизых В.Н. Исследование модального способа построения Simulink-моделей ПИД-регуляторов для динамических систем первого порядка с транспортным запаздыванием // Известия Самарского научного центра Российской Академии наук. Т. 24, № 2, 2022. С. 90-96.
4. Ульянов А.Д. Формирование системы автоматического диагностирования промышленных объектов // Мехатроника, автоматизация и управление на транспорте. Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции. 2022. С. 54-58.
5. Булгаков В.В., Кулабухов В.С. Сравнительный анализ формализованных методов синтеза регулятора следящей системы // Приборы. 2013. № 1 (151). С. 39-44.
6. Ziegler J.G., Nichols N.B. Optimum setting for automatic controllers // Trans. ASME. 1942. Vol. 64. P. 759-768.
7. Farhan A.S. New efficient model-based PID design method // European Scientific Journal Edition. 2013. Vol. 9.No. 15. P. 181-190.
Баканов Максим Витальевич, аспирант, maximbakanov@mail. ru, Россия, Иркутск, Иркутский государственный университет путей сообщения,
Данеев Алексей Васильевич, д-р техн. наук, профессор, daneev@mail.ru, Россия, Иркутск, Иркутский государственный университет путей сообщения,
Сизых Виктор Николаевич, д-р техн. наук, профессор, sizvkh_vn@mail.ru, Россия, Иркутск, Иркутский государственный университет путей сообщения
STUDY OF A MODAL METHOD FOR CONSTRUCTING SIMULINK MODELS OF PID CONTROLLERS FOR
DYNAMIC SYSTEMS
M.V. Bakanov, A.V. Daneev, V.N. Sizykh
In the article, based on the principle of dynamic compensation, the method of designing modal PID controllers is substantiated. For second-order dynamic objects in the Matlab/Simulink software environment, a classical PID controller with ideal and real differentiating links was tested. Using the example of a fourth-order object, a comparative analysis of modeling results using the proposed methodology and one of the modifications of the Ziegler-Nichols method is carried out.
Key words: modal control, PID controller, high-pass filter, reduced dynamic object model.
Bakanov Maxim Vitalievich, postgraduate, maximbakanov@mail.ru, Russia, Irkutsk, Irkutsk State University of Railway Transport,
Alexey Vasilyevich Daneev, doctor of technical sciences, professor, daneev@mail.ru, Russia, Irkutsk, Irkutsk State University of Railway Transport,
Sizykh Viktor Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, sizykh _vn@mail.ru, Russia, Irkutsk, Irkutsk State University of Railway Transport
УДК 62-82
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-12-175-179
ПРОГРАММА ДЛЯ РАСЧЁТА ПОТЕРЬ ДАВЛЕНИЯ В ГИДРОЛИНИЯХ ГИДРОПРИВОДА
Г.Г. Бурый
В статье приведена актуальность автоматизации расчета параметров гидропривода. Приведена программа для расчета потерь давления в гидролиниях написанная на языке Microsoft Visual Basic. Приведены исходные данные которые заносятся в программу. Далее приведены обозначения и расшифровка расчетных параметров. Изложена суть проведения расчета.
Ключевые слова: гидропривод, гидролинии, программа, давление, расчёт.
Подбор элементов гидропривода дорожной и строительной техники очень трудоёмкий процесс. При многократной необходимости расчета параметров гидропривода крайне необходимо автоматизировать данный процесс. При подборе необходимо учитывать множество параметров. Неверно подобранный агрегат гидропривода может привести к невозможности создания требуемой силы привода или приведет к удорожанию и росту металлоемкости машины. В данной работе приведена программа для
175
