Исследование механизма взаимодействия ударных волн с перемычками Текст научной статьи по специальности «Математика»

© В.А. Горбатов, И.М. Васенин,

В.Г. Игишев, 2002

УДК 69.035.4:622.831.32

В.А. Горбатов И.М. Васенин, В.Г. Игишев

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УДАРНЫХ ВОЛН С ПЕРЕМЫЧКАМИ

М.

. атематическая постановка задачи взаимодеиствия ударной волны с перемычкой рассматривается в области, схематически показанной на рис. 1.

На этом рисунке индексом «1» обозначены границы выработанного прост ранства, индексом «2» - наружняя граница взрывоустойчивой перемычки, индек сом «3» - входная граница области, через которую поступает ударная волна 4.

В указанной области решаются двухмерные уравнения газовой динамики. Математическое описание состояния газа осуществляется с помощью функций, определяющих распределение вектора скорости и = их, % а также плотности р и давления р. Кроме того, нас будет интересовать внутренняя энергия единицы массы среды е. Поэтому уравнение состояния будем предполагать заданным в форме

е = е{ p, р)

Например, в случае идеального газа будем использовать уравнение

1 р

£ =----

к -1 р

где к- показатель адиабаты для газа.

В основе газодинамического расчета лежат законы сохранения, записанные в интегральной форме.

Закон сохранения массы газа в произвольном замкнутом объеме О имеет вид д

— | рдО=-\р(и,и(1) д О 2

Здесь слева записано изменение количества газа в объеме О, а справа - количество газа, протекающего через границы 2 указанного объема.

Закон сохранения импульса, заключенного в объеме О, записывается в виде:

д

дt

(2)

О

Е

где П - тензор второго ранга, называемый тензором плотности потока импульса. Поток импульса через единицу площади поверхности с нормалью п задается вектором

рп+(и,п) ри

где (и, п) - скалярное произведение векторов и и п.

Закон сохранения энергии, заключенной в объеме О, записывается так:

( РЄ+Р

ді о

и

2

и

= - [ ри(ел------------)ий£ -1 римЕ2

2 2 2

(3)

Слева в (3) написано изменение полной энергии в объеме О. Первый интеграл справа - полная энергия, переносимая газом через поверхность 2. Второй интеграл представляет работу, производимую силами давления над газом, заключенном внутри поверхности 2. Выписанные уравнения допускают возникновение и существование разрывов двух видов: ударных волн и тангенциальных разрывов. Функции, удовлетворяющие интегральным законам сохранения (1), (2), (3) содержащие разрывы, называются обобщенными решениями уравнений газовой динамики.

Обобщенные решения, кроме уравнений сохранения массы, импульса и энергии должны удовлетворять также начальным и граничным условиям задачи. В качестве начальных условий в рассматриваемых задачах задавалось состояние газа в области, показанной на рис. 1. Это состояние содержало ударную волну 4. Перед ударной волной в начальный момент времени задавались параметры покоящейся атмосферы. За ударной волной заданной интенсивности, под которой принимается отношение давления р1 за ударной волной к давлению р2 перед ней, в начальный момент параметры газа находят с помощью соотношений на ударной волне.

Скорость газа их за ударной волной находиться по формуле

р2---1

1~2 р,

иX =

(4)

=аі

k-l+(k+1)

Р2 Рі

2

2

где аі,- скорость звука перед ударной волной.

Плотность за ударной волной рассчитывается по уравнению Гюгонио

(k-1)+(k+1)p (5)

p=____________________p±_

p1 (k+1)+(k-1)p p1

Внутренняя энергия газа вычисляется с помощью уравнения состояния

1 p

е=----—

k-1 p

Граничные условия задаются на границах области. На стенках выработанного пространства и на границе взрывоустойчивой перемычки задаются условия непротекания

( u,n )=0 (6)

где n - единичная нормаль к указанным границам. На границе З в зависимости от направления нормальной скорости могут задаваться различные граничные условия. В нашей задаче задавались параметры потока, совпадающие с начальными условиями за ударной волной. Такой способ справедлив до тех пор, пока отраженная ударная волна не достигнет границы З.

В основе решения поставленной газодинамической задачи лежит метод С.К. Годунова [і]. Область решения, показанная на рис. і, разделяется на конечное число малых областей, именуемых ячейками сетки. Одна такая сетка показана на рис. 2. Границами ячеек сетки служат отрезки координатных линий ук = const и отрезки хорд дуг Xj = х (у) , где Xj = х (у) - уравнение кривой, описывающей границу взрывоустойчивой перемычки, J - число разбиений области решения по оси х, j - номер j - той дуги. Внутри каждой ячейки сетки

функции p, ux, uy, p заменяются некоторыми усредненными величинами. Совокупность этих значений во всех ячейках сетки называется состоянием решения задачи в момент времени to. Дискретизация во времени достигается тем, что мы переходим от состояния задач Б момент времени t = t0 к состоянию в момент времени t = t0 +r. После этого расчет повторяется до тех пор, пока не будет получена картина течения на представляющем интерес отрезке времени.

На рис. З показаны результаты расчетов взаимодействия ударной волны с косой преградой, расположенной под углом 60° к выработанному пространству при числе итераций і500 и времени 0,0і с. Видно, что

после достижения ударной волной стенки вначале возникает косой скачек. При достижении ударной волной конца преграды во внутреннем угле вследствие кумуляции потока происходит резкое повышение давления от і70 000 Па за ударной волной до 46З 000 Па. После отражения ударной волны от внутреннего

скоростью и почти постоянным давлением. Это давление со временем уменьшается, стремясь к давлению 318 000 Па, которое возникает при отражении ударной волны от плоской стенки, перпендикулярной потоку. Эти результаты качественно совпадают с картиной течения, возникающей при столкновении ударной волны с параболической преградой, и преградой, направленной по углом 45° к стенке канала. Отличие в последнем случае заключается в более высоком пике давления во внутреннем угле, который достигает 641 000 Па. Подобные картины течения будут иметь место так же при отражении ударной волны от осесимметричного наружного и внутреннего углов (рис. 4), для которых рассмотренная область вследствие симметрии является половинной области симметричного течения.

Таким образом, выполненные расчеты позволили сделать следующие выводы.

1. Наиболее оптимальной формой взрывоустойчивой перемычки с точки зрения усилий, возникающих при набегании на нее ударной волны, является плоская перемычка, поставленная перпендикулярно потоку. Такая перемычка не должна содержать внутренних углов (в том числе в окрестности стенки выработанного пространства), в которых возникает резкое повышение давления из-за кумуляции потока.

2. При использовании перемычек других форм, могущих оказаться оптимальными с точки зрения прочности, усилия на эти перемычки необходимо рассчитывать газодинамическими методами, так как реальное повышение давления может во много раз превышать давление за отраженной ударной волной от плоской стенки.

-------------------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Годунов С.К., Забродин А.В., ИвановМ.Я., и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. - М.: Наука, 1976.- 400 с.

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ

Горбатов В.А. — Центральный штаб ВГСЧ. Васенин И.М., Игишев В.Г. - Рос НИИГД.