CC BY
32
Где бы тела ни пребывали в вакууме, они находятся в равных условиях. Это однородность. Никакое направление в нем не имеет преимуществ. Это изотропность. Нет нигде места, где бы не было вакуума. Это непрерывность. Нет такого явления, которое указывало бы на изменчивость вакуума. Это стабильность. Нет такого воздействия, которое повлияло бы на его свойства. Это величие. Нет ничего, что не вышло из него. Это неисчерпаемость. Будучи первичной исходной субстанцией, вакуум определяет объективные законы природы. В этом его беспристрастность. Его бесцветность является составным элементом пяти цветов, пресность - основой пяти вкусов, беззвучность - мерой звуков, неощутимость - мерой твердости, безароматность -
мерой запахов. Его точность является основой
всех видов измерений.
Литература
1. Саврухин А.П. Книга о естественных основах нравственности. - М.: МГУЛ, 1991.- 56 с.
2. Древнекитайская философия: Собрание текстов в двух томах. Т.1. - М.: Мысль, 1972. - 363 с.; Т.2. -М.: Мысль, 1973.-384 с.
3. Аристотель. Сочинения в четырех томах. Т.З. -М.: Мысль, 1981. - 613 с.
4. Максвелл Д.К. Трактат об электричестве и магнетизме. В двух томах. Т.2. - М.: Наука, 1989. -436 с.
5. Саврухин А.П. Исследование свойств естественного заряда: Монография. - М.: МГУЛ, 1998. -52 с.
6. Саврухин А.П. О нормировании масс элементарных частиц //Науч. Труды/ МЛТИ. 1978-Вып. 103,- С. 176-179.
7. Уилер Дж.А. Предвидение Эйнштейна. - М.: Мир, 1970.
ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ РЕШЕТОЧНОЙ РЕГУЛЯРИЗОВАННОЙ 80(10) МОДЕЛИ НЕЙТРИНО
Н.В. ЗВЕРЕВ, доцент кафедры физики МГУЛа, к.ф.-м.н.
Одной из важнейших задач квантовой теории поля является построение приемлемых математических моделей фундаментальных частиц. Из этих частиц наибольшую сложность в описании представляет нейтрино. Это вызвано тем, что нейтрино является киральным фермионом, который не удовлетворяет свойствам симметрии относительно пространственного отражения.
Модель нейтрино обычно представляет собой математическое описание его действия 5, которое зависит от поля нейтрино у/(х), где х - четырехмерная координата непрерывного пространства-времени:
X = (X], Х2, Хз, х4).
Предложенные различными авторами непрерывные модели нейтрино 5 = Б[ \у] отличаются непреодолимыми трудностями в их полном исследовании. Эти модели позволяют получить результаты только для небольшого количества характеристик
нейтрино, например для значения дивергенции его тока Ъцд]ц(х)/8хц. Поэтому для непрерывных моделей не может быть проведено необходимое сравнение с экспериментальными данными.
Достаточно полно исследовать модель нейтрино позволяет метод решеточной аппроксимации квантовых полей [1]. Он состоит в замене непрерывного четырехмерного пространства-времени четырехмерной решеткой с дискретными координатами узлов х = ап, где а - шаг решетки, п = Оь п2, «з, п4), пц = 0, ± 1, ± 2, . . . Физические величины определяются только в узлах и ребрах этой решетки. Полученные результаты теории на решетке имеют физический смысл в пределе при а —> 0.
Из нескольких созданных решеточных моделей нейтрино наибольшее внимание уделяется модели Вильсона 80(10). Решеточное действие этой модели имеет вид [1]:
sw = S1 (x)v(x + afi) -
V(x)xCD
2 a
y/T (jc + ajX)--WT(x)
+ h.c к (1)
где у/(х) - поле нейтрино; - матрицы Дирака; Со - матрица зарядового сопряжения в четырехмерном пространстве-времени; и^(х) - решеточное калибровочное поле вида
Щх) = exp (-ig А" (х) Ть),
(2)
где g - константа связи; Аь - калибровочное поле; Ть - генераторы группы SO(IO).
Недостатком этой модели Вильсона для нейтрино является отсутствие у нее необходимой калибровочной инвариантности, т.е. свойства неизменности как действия (1), так и квантово-механических уравнений движения относительно преобразований вида
щ(х) —> со(х)у(х), цГ(х) —> цГ (х) о/х), U(i(x) —> (о(х)и^(х) аХх+а/л), где оХх) - exp (ia(x)Tb).
Для устранения этого недостатка в непрерывном пределе, т.е. при а —> О, Славновым и Фроловым [2] было предложено добавить к действию Svv действие вспомогательных фермионных и бозонных полей Паули-Вилларса Spy- Таким образом, действие решеточной SO(IO) модели Вильсона для нейтрино, уточненной путем регуляризации Паули-Вилларса, имеет вид
S - Sw + Spy,
(3)
где SPV = ]£{ 5г[)/^„,1/ая,пМ,1]+
И—1
+ s[$l,Al,(2n-l)M,0\} (4)
Здесь обозначено:
5[Т, У,М,£ ] =
X ^
+ — У^(х)С0\У£+' [¥г (х + ар.) - (*)]-
2 а ^
-1 МЧ7(х)С0СГ1£1Ч7г (х) + к.с. },
где ЦГ = i для введенных Паули-Вилларсовских фермионных полей Ч* = Щг', Ц? = /Т2 для введенных бозонных полей = т2 - матрица Паули; СиГц соответственно матрица зарядового сопряжения и киральная матрица в пространстве группы 80(10). В выражении (4) М - нефизическая регуляризующая масса, связанная с шагом решетки а следующим образом: М = А/У , ал - А/У, где Я - массовая шкала; N - безразмерный параметр, 0 < 6 < 1/2.
Эта модель является калибровочноинвариантной при а —» 0. Но она не была детально изучена. В данной работе представлены основные результаты аналитического исследования этой решеточной модели нейтрино (3) на бесконечной четырехмерной решетке [3]. Целью этого исследования является нахождение аномалии дивергенции решеточного нейтринного тока в непрерывном пределе а —■»
О и сравнение ее с известным значением в непрерывной теории.
Эта аномалия представляет собой математическое выражение, описывающее превращения фундаментальных частиц за счет слабого взаимодействия и отличное от классического значения вследствие учета квантовых эффектов. Абелев нейтринный ток /Дх) по теореме Нетер имеет вид
Jll(x) = J(x)y,y/,l]+
+£{ j>)k .г, ,i]+ J„ мк Д .о]},
(5)
#1=1
где обозначено:
JM(x)\r,4,e\=
= ^(x^rZ'U" {х)Ч>(х + afi)+ h.c.
Найдем вакуумное среднее этого тока (Ju(x)) в непрерывном пределе а —> 0. Для этого разложим решеточное калибровочное поле (2) в ряд по константе связи g. Затем, на основе выражений (1), (4), (5) вычислим в пространстве энергии-импульса р пропагаторы (функции Грина) G для нейтринного поля у/ и Паули-Вилларсовских полей у/п и а также вершины взаимодействия нейтрино с калибровочным полем V* и др. и вершины
Абелева тока Вц, 5* и др.
Среднее значение нейтринного тока представляет собой сумму интегралов по пространству энергии-импульса от произведений таких величин. При этом значения энергии-импульса р вследствие конечности шага решетки а ограничены сверху величиной 2 7i/a.
Исследуем вклад таких интегралов в пределе а —> 0 в выражение для среднего нейтринного тока. Применяя метод работы [2], разбиваем область интегрирования по энергии-импульсу р на внутреннюю область V,n с ||р|| < Шг и внешнюю область
Vout С ||р|| > XNY, где д < у< 1/2.
Анализ [3] показывает, что в области Уощ вклад калибровочно-неинвариантных слагаемых подавлен при а —» 0 полями Паули-Вилларса как /V“ exp (-N7^) для некоторого а В то же время, в области Vi„ калибровочно-неинвариантные слагаемые имеют порядок N2y'2 и в пределе а —» 0 исчезают.
С учетом этого анализа получаем следующее калибровочно-инвариантное выражение для аномалии дивергенции
среднего по вакууму Абелева тока нейтрино на решетке в пределе а —> 0:
^-(W(x)y у/(х)) =
К
5>М1йртk^w^w). (6)
DZTt
где е уЯр - полностью антисимметричный
тензор с е1234 = 1; Тг - операция взятия
следа в пространстве SO(IO); F^ (х) - напряженность непрерывного калибровочного поля. Полученное решеточное выражение (6) в пределе а —> 0 совпадает с известным непрерывным выражением для аномалии дивергенции нейтринного тока.
Таким образом, аналитически исследована решеточная SO(IO) модель нейтрино с Вильсоновским действием на бесконечной четырехмерной решетке, уточненная путем регуляризации Паули-Вилларса. Получено на такой решетке в непрерывном пределе выражение для аномалии дивергенции вакуумного среднего нейтринного тока, в котором обеспечена необходимая калибровочная инвариантность и которое совпадает с известным непрерывным значением. Поэтому данная решеточная модель нейтрино удовлетворяет необходимым требованиям и ее дальнейшее исследование необходимо продолжить.
Литература
1. Wilson K.G. Confinement of quarks // Physical Review D: 1974 - V.10 - № 8 - P.2445-2459.
2. Frolov S.A., Slavnov A.A. Removing fermion doublers in chiral gauge theories on the lattice // Nuclear Physics B: 1994 - V.411 - P.647-664.
3. Зверев H.B., Славнов A.A. Вычисление абелевой аномалии в киральной 80(10)-модели на решетке // Теоретическая и математическая физика. - 1995. - Т.103. - № 2. - С.192-199.
