Исследование индекса ПФТС фондового рынка Украины Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

1НФОРМАЦ1ЙНЕ ТА МАТЕМАТИЧНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ЕКОНОМ1ЧНИХ ПРОЦЕС1В.

INFORMATION AND MATHEMATICAL SUPPORT OF ECONOMIC PROCESSES

УДК 330.42

ДОСЛ1ДЖЕННЯ 1НДЕКСУ ПФТС ФОНДОВОГО РИНКУ УКРАШИ

В.М. Авдрieнко, к.е.н., доцент О.Г. Спиваков, магютр Одеський нацюналъний полтехшчний ушверситет, Одеса, Украта

Андргенко В.М., Стваков О.Г. Досллдження тдексу ПФТС фондового ринку Укра'ши.

Робота присвячена анал1зу i прогнозуванню найважливппого макроеконом1чного показника Украши - шдексу фондового ринку ПФТС. Застосований шдхщ до щентифжацп динамки шдексу з погляду присутносп в шнаслщювобурень, викликаних деякою зовшшньою шоковою д1ею.

Ключов1 слова: часовий ряд, стохастичний тренд, нейромережевий анал1з.

Андриенко В.М., Спиваков О.Г. Исследование индекса ПФТС фондового рынка Украины.

Работа посвящена анализу и прогнозированию важнейшего макроекономического показателя Украины - индекса фондового рынка ПФТС. Применён подход к идентификации динамики индекса с точки зрения наличия в нём последствий возмущения, вызванных некоторым внешним шоковым воздействием.

Ключовг слова: временной ряд, стахостический тренд, нейросетевой анализ.

Andrienko V.M., Spivakov O.G. Investigation index PFTS of fund market of Ukraine.

Work is devoted an analysis and prognostication of major macroeconomic index of Ukraine - to the index of fund market of PFTS. Approach is applied to authentication of dynamics of index from point of duration of being in her consequences of indignations, caused some external shock influence.

Keywords: temporal row, stochastic trend, analysis of neuron network.

Стан фондового ринку грае важливу роль для стабшьного розвитку економжи. Крах фондового ринку, тобто сильне падшня (шок) курсово! вартосл щнних паперiв за короткий промiжок часу, може викликати спад i депресдо в економщ. Ухвалюючи ртення про швестицп, фшансовий менеджер постшно ощнюе поведшку в майбутньому, як окремих фшансових активiв, так i ринку в щлому. Учасниковi ринку потрiбно хоч би приблизно представляти картину майбутнего. Саме тому на перший план висуваеться завдання ощнки стану i тенденци розвитку ситуацш на фондовому ринку. З щею метою вся поточна i минула фшансова шформащя ретельно аналiзуеться за допомогою методiв фшансового аналiзу. Це дае розумшня минулого i поточного стану ринку. Проте яким би детальним не було це розумшня, прогнози, складеш тшьки на такого роду аналiзi, не можуть служити надшною основою для ухвалення ртень про iнвестування. В зв'язку з цим, побудова математичних моделей, що дозволяють краще зрозумiти структуру i поведiнку ринку як единого щлого, так i його складових, довгий час привертали i продовжують привертати увагу дослщниюв i практикiв. Проблема моделювання динамiки цiн ринкових активiв i 1х прогнозування е достатньо складною, i 11 не можна назвати в даний час виртеною.

1ндекс укратсъкого фондового ринку ПФТС. Основними шдикаторами фондового ринку е шдекси, що розраховуються на пiдставi котирувань певно! групи цiнних паперiв. Залежно вiд того, якi компоненти мютить iндекс, вiн може вщображати поведiнку певно! групи акцiй або всього фондового ринку. 1ндекс Укра!нського фондового ринку ПФТС (перша фондова торгова

система) визнаний мiжнародною фiнансовою корпорацieю (МФК) як единий вдекс, використовуваний щею органiзацiею при монiторингу внутрiшнього стану укранського фондового ринку. 1ндекс визначае середнш рiвень найбiльш лiквiдних укранських акцiй, якi мають найбiльшу ринкову капiталiзацiю. 1нформацш про стан шдексу ПФТС публiкуе на своему сайп «Перша фондова торгова система», яка е електронною бiржею цiнних паперiв Украши i пiдтримуе роботу нацюнально! електронно! системи торгiвлi цiнними паперами в режимi «online».

Математико-статистичш методы

моделювання тимчасових рядiв. Бшьшсть математико-статистичних методiв мають справу з моделями, в яких спостереження передбачаються незалежними i однаково розподiленими. При цьому основна увага придiляеться проблемам щентифжацп моделей, вiдбору ендогенних i екзогенних показнишв, але майже не звертаеться уваги на формальний аналiз структури початкових статистичних рядiв. Залежнiсть мiж спостереженнями найчастiше розглядаеться як перешкода в ефективному застосуваннi цих методiв. Проте рiзноманiтнi данi в економщг соцюлогп, фiнансах, комерцп i шших сферах людсько! дiяльностi поступають у форм1 тимчасових рядiв, в яких спостереження взаемно залежнi, i характер ще! залежностi якраз i представляе головний iнтерес для дослiдника. Часовим рядом називаеться сукупшсть спостережень економiчного показника в рiзнi моменти часу. Зазвичай часовий ряд розглядають як вибiрку з послiдовностi випадкових величин Х^ де t приймае цшочисельш значения вiд 1 до

T. Сукупшсть випадкових величин {Xt, t e [1, T]}

називають дискретним випадковим процесом або стохастичним процесом. Принциповi вщмшносл тимчасового ряду вiд послiдовностi спостережень, утворюючих випадкову вибiрку, полягають в наступному:

— на вiдмiиу вщ елементiв випадково! вибiрки

члени тимчасового ряду не е незалежними;

— члени тимчасового ряду не обов'язково е

однаково розподшеними.

Це означае, що властивосп i правила статистичного аналiзу випадково! вибiрки не можна поширювати на тимчасовi ряди. З шшого боку, взаемозалежиiсть членiв тимчасового ряду створюе свою специфiчну базу для побудови прогнозних значень аналiзованого показника по спостереженням.

У 1938 рощ Вольд довiв наступний фундаментальний результат [1]. Чисто недетермшований стацiонарний в широкому сена

[2] випадковий процес Xt може бути

представлений в наступному виглядг

Xt - Xt = ^Ут^-Т' т=0

де Xt - математичне очiкування цього процесу, а - бiлий шум з кшцевими математичним

очiкуванням i дисперсieю. Тобто всякий стацiонарний в широкому сена випадковий процес представляеться у виглядi лшшно1 комбшацп бших шумiв. При цьому повинна

виконуватися умова 2 . Оск1льки

реал1зацп бiлого шуму не спостережуванi, вагов1 коефiцiенти визначенi з точнiстю до множника.

Без втрати спiльностi можна вважати, що Уо = 1.

Чим бшьше ваговий коефщент у тим бiльше вплив випадкового обурень в момент t -т на даний момент t. Виявилось, що у багатьох випадках досить розглядати не загальне представления Вольда, а його окремi випадки, коли число доданк1в к1нцеве. Такими окремими випадками е популярнi в економетрищ авторегресiйнi моделiAR(p), МА(ф, АКМЛ(р,ф.

Економiчнi показники, зокрема показники фондових ринк1в, не завжди поводяться стацiонарним чином. З макроекономiки вщома 1х сезонна i циклгчна поведшка, крiм того, вони можуть мати тренд. Часто щ види компонент присутш у рядi одночасного.

Аналогично часовий ряд можна виразити рiвнянням вигляду:

X (t )= f (t) + 5 (t ) + ^) тренд (довготривала тенденцiя)

де fit)

розвитку;

S {t) - сезонна (перюдична) компоненту;

s{t) - випадковий компонент.

Функщя f {t) визначае загальну тенденцiю розвитку явища, що вивчаеться.

Для рядiв iз стохастичним трендом характерний необмежена спектральна щiльнiсть на низьких частотах поволi убуваюча автокореляцшна функцiя. Так1 ряди називають «тимчасовi ряди з довготривалою кореляцiйною залежшстю (time series with long memory)». У роботах заруб1жних учених, в першу чергу, C.W. Granger, J.R. Hosking, P.M. Robinson, R. Beran [4], був запропонований новий клас моделей ARFIMA(p,d,q), що допускае можливють нецiлого параметра d i що отримав назву авторегресiйний дрiб, - штегрований процес ковзаючого середнього. Характеристики таких тимчасових рядiв володшть важливими

властивостями, наприклад Xt е стацюнарним i оборотним при d e (-1/2,1/2). При цьому Xt можна представити у виглядi [5]:

Ф(B)(1 - B) d Xt = ©(B)st, де B = Xt-1 / Xt - оператор зрушення назад

ф(в) = i - Z фВ; ©(B) = i + Z eB - пом-

j=1 J j=1 J

номи, передбачаеться, що все корiння рiвнянь Ф^) = 0, ©(z) = 0 по модулю бшьше одинищ

d d(d-1) 2 ю j (1- в )а =1-dB+——- в 2 -...= s v B ,

2 j=0 j

к - 1 - d Г( j - d)

V, = П -=---—, j = 0,1,2,...,

J 0<к < j к Г( j + 1)Г(-d)

2

де St - гаусiвський бiлий шум WN(0, с );

Г( x) - гамма-функцiя, яка визначаеться

формулою

Г( x) = ^

x 1 t j t e dt, x > 0,

0

1

x Г(1 + x), x < 0, x Ф -1,-2,

У окремому випадку, при р, q = 0 1 d е (-1/ 2,1 / 2) процес мае вигляд:

-d х Xt = (1- 5) ^ = ,

де .

г(. + l)г(d)'

Оцiнку параметра d можна отримати з рiвностi d = Н - 0.5 де Н - показник Херста [6].

Значення 0.5 < Н < 1 мае на увазi персистентний часовий ряд, а такий ряд характеризуеться ефектами довготривало! пам'ятг Теоретично це означае - що ввдбуваеться сьогоднi, впливае на майбутне. Така довготривала пам'ять мае мюце незалежно вiд масштабу часу: ва щоденнi змiни спiввiдносяться зi вама майбутнiми щоденними змiнами, всi щотижневi змiни спiввiдносяться зi всiма майбутшми щотижневими змiнами. Персистентний часовий ряд е найпоширешшим типом, що зустрiчаеться в природi. Вiн також е найпоширешшим i в економiцi, i на фондових ринках. Такий ряд називають дробовий броунiвський рух або узагальнений броунiвський рух.

Значення 0 < Н < 0.5 означае

антшерсистентшсть. Антiперсистентная система проходить меншу вiдстань, нiж випадкова система. Щоб система пройшла меншу вiдстаиь, вона повинна мшятися частiше, нiж iмовiрнiсний процес.

Значення Н=0.5 вiдповiдае звичайному бiлому гаусiовському шуму

\et, t > 0 : еt ~ iid N(¡и, ст)} випадковому

блуканню броушвсько! частинки, тобто процесу повнiстю позбавленому пам'ятi.

Для обчислення показника Н вiдомий британський гидролог Х.Е. Херст запропонував метод нормованого розмаху (,К/5-анал1з). Крiм того, на основi R/S-аналiзу обчислюеться R/S-статистика для перевiрки статистично! гшотези про наявнiсть довгостроково! залежиостi. Розглянемо послщовшсть крок1в

обчислювального процесу за методом Херста [ ]:

1) Хай Pi О'=1,2,...,Щ - ряд котирувань деякого щнного паперу (у загальному випадку -

часовий ряд). Утворюемо

послвдовнють

hi = ln

P

v p-1;

даного ряду

(i=1,2,... ,N-1)

логарифм прибутковосп.

2) Разоб'ем на l сумiжних посл1довностей aba2, ...,al однаково! довжини n l * n = N -1. Позначимо hik елементи к-ой послвдовносп к = 1,2,...l.

3) Для кожно! послiдовностi ак обчислимо:

— середне значення hk i стандартне ввдхилення Sk И елементiв ввдповщно по

формулах

Sk = J n %-h)2;

■ накопиченi

суми

- 1 n

hk = - Z hk

n i=1 lk

Zi = Z (hrk -hk) r=1

i = 1,2,.., n ; ■ розмах накопичених

Rk = max Zi - min z^, i = 1,2,.., n

сум

4) Для розбиття на шдпослщовносл довжини n обчислюемо нормований розмах

i 1 Rk

накопичених сум R / S = - 2 -.

lk=1 sk

Далi проводять нове розбиття на шдпослвдовносл бшьшо! довжини i кроки 1-4 повторюють до

n = (м -1)/ 2 . Вщзначимо, що невелик! значення n проводять нестаб!лъш оцшки при невеликих об'емах виб!рки, тому рекомендуеться використовувати значення n > 10. Таким чином, буде набуто декшька значень R/S для р!зних n. Розмах R/S е ввдстанню, на яку перемщаеться система за час T = n. Херст виявив загальну форму р!вняння

R/S = cnH , С1)

де c - константа. Значення R/S змшюе масштаб у м!ру збшьшення приросту часу n зпдно значенню статечно! функцп, р!вному nH тобто д!апазон зб!льшуеться зпдно ступеню. Це називаеться масштабуванням !з статечною залежшстю, що е

характерною межею фракт^в. Логарифмуючи рiвнiсть (1), отримаемо рiвняння прямо! (2) в координатах (1п(л/ Х )[1п п ]):

(2)

lnRs ) = ln с + H ln n

Л/Х'-ан^з е простим процесом, але вiн вимагае обробки велико! кiлькостi даних. Завдяки розвитку комп'ютерних технологiй створенi програми, за допомогою яких обчислюють коефiцiент Херста. Одна з них Fractan 4.4, яка розповсюджуеться безкоштовно.

Анализ i моделювання тдексу ПФТС. Дослiдження значень шдексу ПФТС по роках з 2000 по 2010 (дат сайту www.pfts.ua) показали, що в цих рядах присутня стохастична складова. Про це сввдчать оцiнки спектрально! щ1льност1 1 кореляцiйно! Функц1!: перiодограма ! корелограма (Рис. 2 i 3). Аналопчний результат отриманий по даним за вс1 роки даного перюду. Таким чином, для моделювання ! прогнозування потр16но використовувати дробноiнтегровану модель.

\ь

H=tgb

Рис. 1. Интепретащя показателя Херста.

Рис. 2. Корелограма значень вдексу ПФТС за 2010 р.

Рис. 3. Перюдограмма значень вдексу ПФТС за 2010р.

Моделювання в пакет Fractan потрiбне бiльше трьох тисяч емшричних даних. В даний час,

завдяки простоя практичного застосування, особливо! популярносп для аналiзу i

прогнозування тимчасових рядiв набувають додатки - нейроiмiтатори, що використовують для аналiзу i прогнозу нейронш мереж р!зно! арх1тектури. Наприклад, вшьно розповсюдженш NeuroPro, NeuroPro.25 i NeuroShell. Пакети мютять програму, надбудову Excel, яка дае можливють застосовувати нейронш мереж1 з робочих лиспв Excel. Проте, застосування нейро!мггатор!в для виршення практичних завдань е «скорше мистецтвом, чим наукою» [8], оскшьки виб!р

760 -750 -740 -730 -720 -710 -700 -690 --

численних параметр!в, яш потр!бш для моделювання, здшснюеться тшьки на основ! особистого практичного досвщу розробника. Проте, на практиц для моделювання вщдають перевагу використанню саме нейро!мггаторам.

На рис. 3 показан! результата моделювання i прогнозування на 20 дшв за допомогою нейро!мггатора NeuroPro 0.25. Чорним кольором позначен! фактичш дан!, арим - прогнозш

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Рис. 3. Результат нейромоделювання

З малюнка видно, що модель повшстю вщображае тенденцiю даних, при цьому середньоквадратична помилка и = 6.39 . Таким чином, можна вважати модель адекватною, а прогноз шлком задовiльним.

Природно, встае проблема виявлення «довго! пам'яп», тобто для перевiрки статистично! гiпотези про довгострокову (long-range) залежшсть. Для виявлення long-range залежност Б. Мандельброт запропонував використовувати Л/^-статистику (rescaled range), розроблену Х. Херстом (1951). Це завдання вирiшуеться наступнiм шляхом:

Нехай гшотеза H0 - мае мiсце короткострокова залежнiсть, при альтернативнiй Hi - довгострокова залежнiсть [7]. Хай е спостереження XhX2,...,Xn. Позначимо арифметичне середне через — 1 n

Xn = — Z Xj . Визначимо статистику n i=1

Qn = —

max

l<k <n

У (X, - Xn) - min У (X, - Xn)

l<k<n

j=1

j=1

2 1 n — 2

— = -У (X,- - Xn)2 + j =1 J

де

n j =

2 q

+ ~Уш: (q)l У (Xi - Xn )(Xi-, - Xn) n j=1 J vi= j+1 J ,

дисперсй' —n вщображае не тшьки суму квадрапв вшхилень, але ! зважеш автоковар!аци до деякого лага q. Ваги w - (q) забезпечують додатшсть — .

Проте дуже велик! (в пор!внянш з n) значення q приводять до того, що властивосп оцшок в сшнченних виб!рках ютотно вщр!знятимуться вш 1х асимптотично! поведшки. Але брати дуже маленьш значення q теж не можна, осшльки автоковар!ацп за лагом q можуть виявитись значними ! 1х слш було б включити в зважену суму. Д. Ендрюс запропонував для вибору q правило, засноване на властивостях початкових даних [9]. В якосл q беруть шлу частину числа

.2/3

kn =' 2

1/3 /

2р

V

1 -р

2

J

де р е оцшкою коефщента автокореляцп першого порядку Xt.

Асимптотичний розподш статистики

Vn (q ) = + Qn

ЫП

збтаеться

до

розпод!лу

випадково! величини - розмаху броушвського моста на одиничному штервал! [7]. Нижче наведена таблиця критичних значень Vn(q).

ш : (q) = 1---—, q < n

J q +1

По суп статистика Qn e нормований розмах

R/S накопичених сум, тому часто цю статистику називають R/S тестом або R/S статистикою . Слш зазначити, що у вшмшносп вiд R/S, оцiнка

Таблиця 2.7 Критичш значення статистики Vn (q)

0,5% (0,721; 2,098)

2,5% (0,089; 1,862)

5% (0,861; 1,747)

10% (0,927;1,620)

Таблиця 2.7 мютить iнтервали, при попаданш в як1 статистики Vn нульова rinoTe3a про коротко-строкову залежшсть приймаеться.

Для кiлькостi спостережень n = 252 iндексу ПФТС отримаш нaступнi значення: р = 0,97,

kn = 72.51, q=72, ст = 2.58, Qn = 49.6992,

Vn = 3.1307. Значення статистики Vn не

потрапляе m в один критичний iнтервaл. Отже, ппотеза вiдхиляеться, тобто немае тдстав

вважати, що досл1джуваний ряд володiе короткостроковою залежнiстю. Таким чином, индекс ПФТС мае довгострокову пам'ять. Коефщент Херста H = 0.7694 , що вказуе на персютентш властивосп iндексу.

Наявнiсть стохастичного тренда i персисиентно! властивостi свiдчить про шерцшшсть фондового ринку, що дае можливють пiд iншим кутом поглянути на роботу фшансових ринкiв i методолопю оцiнки ризик1в.

Список лiтератури:

1. Wold H. A Study in the Analysis of Stationary Time Series. / H. Wold // Сб.научн.трудов. Stockholm: Almqvist and Wiksel, 1938.

2. Канторович Г.Г. Анализ временных рядов / Г.Г. Канторович // Экономический журнал ВШЭ. - 2002. - №2. - С. 252-273.

3. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление / Дж. Бокс, Г. Дженкинс. - М.:Мир, 1974. - 197 с.

4. Granger C.W.J. Some Properties of Time Series Data and Their Use in Econometric Model Specification / C.W.J. Granger // Journal of Econometrics. - 1981. - Vol.16, №1. - P3. 121-130.

5. Леоненко М.М. Теоретико-ймовiрнiснi та статистичш методи в економетрищ та фшансовш математищ / М.М. Леоненко, Ю.С. Мшура, В.М. Пархоменко, М.Й. Ядренко - К.: 1нформтехшка, 1995. - 380 с.

6. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рисков / Э. Петерс. - М. :2004. - 304 с.

7. Lo A.W. Long Term Memory in Stock Market Prices / A.W. Lo // Econometrica. - 1991. - №59. - PP.1279-1313.

8. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс, 2-е изд., испр./ Хайкин С. Пер. с англ. - М.: ООО "И.Д. Вильямс", 2006. - 1104 с./ Под ред. д.т.н. Н.Н. Куссуль.

9. Andrews D. Non-Strong Mixing Autoregressive Process/Journal of Probability.-1984.-№21.-P.-930-934.

Надано до редакци 20.11.2011

Андаенко Валентина Михайлiвна / Valentina M. Andrienko

andrienko. v@gmail. com

Стваков Олег Геннадшович / Oleg G. Spivakov

o. spivakov@gmail. com

Посилання на статтю /Reference a Journal Article:

Досмдження тдексу ПФТС фондового ринку Украгни. [Електронний ресурс] / В.М. ÄHÖpieHKO, О.Г. Стваков // EKOHOMiKa: реали часу. Науковий журнал. — 2011. — № 1 (1). — С. 143-148. — Режим доступу до журн.: http://economics.opu.ua/files/archive/2011/n1.html