Вейвлет-анализ фондовых индексов Украины и Польши в периоды кризиса и релаксации Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Т. Кравець, канд. фiз.-мат. наук, доц. (КНУ iMeHi Тараса Шевченка), А. Ситенко, студ. (КНУ iMeHi Тараса Шевченка)

ВЕЙВЛЕТ - АНАЛ1З ФОНДОВИХ 1НДЕКС1В УКРА1НИ ТА ПОЛЬЩ1 В ПЕР1ОДИ КРИЗИ ТА РЕЛАКСАЦП

Досл/'джено локальн особливостi кризових явищ 2008-2009 рокв на ocHoei пор/'вняльного анал/'зу фондових ндексв УкраУни та Польщк

Ключовi слова: економiчна криза, дискретне та неперервне вейвлет-перетворення, мультифрактальнсть.

Исследованы локальные особенности кризисных явлений 2008-2009 годов на основе сравнительного анализа фондовых индексов Украины и Польши.

Ключевые слова: экономический кризис, дискретное и непрерывное вейвлет-преобразование, мультифракталь-ность.

The article is devoted to the research of local market peculiarities in 2008-2009 based on the comparison analysis of the Ukrainian and Polish stock indexes.

Keywords: economic crisis, the discrete and continuous wavelet transform, the multifractal analysis.

Аналiз фшансових криз 90-х рогав ХХ-го сторiччя свщчить, що динамка розгортання кризових явищ в структурно вщмшних макроекономiчних системах мае певн сптьш риси. Як правило, вони характеризуются ушверсальними мехашзмами виникнення та розгортання системно! нестшкостк

Свппва фшансова криза 2008-го р. проявилася у вересн - жовтн 2008 року у формi рiзкого попршення основних економiчних показниюв у бтьшосл розвине-них кра!н. Основною причиною кризи вважають кредит-ну експансю 2000-х роюв, що стимулювала шфляцю та значно пщвищила цши на сировину, викликала масове вилучення грошей з реального сектору та !х спряму-вання на спекулятивн цiлi.

Передвiсником фiнансовоí кризи 2008-2009 рр. стала тотечна криза в США, першi ознаки яко! з'явилися ще в 2006 р., а на початку 2007 року переросли у кризу високо ризикових тотечних креди^в. У 2008 р. криза набула свппвого характеру та супроводжувалася рiзким зни-женням обсяпв виробництва, споживчого попиту, цiн на сировину та зростанням рiвня безробггтя. Фактично зни-кли межi мiж приватним i державним боргами. Якщо при-ватний сектор зазнае втрат, вщсутнють державно! пщ-тримки може спричинити глибоку рецесю, у протилеж-ному випадку спад все одно вщбудеться, проте за раху-нок втрат держави вщ скорочення податкових ставок та зб^ьшення видаткiв для стимулювання економiки.

Питання про другу хвилю глобально! кризи залиша-еться актуальним, бо ситуацiя у фшансовм частинi свь тово! економiки не ттьки не полiпшуеться, а навпаки, за деякими напрямами продовжуе попршуватися. С пщста-ви вважати, що ц проблеми е наслiдком поверхневост та недостатностi заявлених реформ. При цьому спосте-рiгаеться прагнення виправити пщвалини економiк, що похитнулися, без використання кардинальних заходiв.

Глобальний характер свплво'!' кризи мав певнi лока-льнi особливостi на рiвнi нацюнальних економiк. Досль дження цих особливостей дозволяе оцшити стiйкiсть економiчних систем до екзогенних шогав та здатнють швидкого вiдновлення пiсля виходу з кризи. Вщдзерка-ленням системних проблем економк е поведiнка фондових рингав, яка виражаеться в суттевм нелiнiйностi та нестацiонарностi динамiчних рядiв фондових iндексiв.

Ефективне моделювання таких часових рядiв пе-редбачае застосування сучасних методiв нелiнiйноí динамiки, в тому чи^ й технiку вейвлет-перетворення сигналiв складно! структури. Вейвлетнi функци пред-ставляють собою локалiзованi в час компактнi хвилi, коефiцiенти розвинення за якими збер^ають шформа-^ю про дрейф параметрiв апроксимовано! функци.

Вагомий внесок у теор^ вейвле^в внесли Р. Goupillaud, и МсиМ, I. 0аиЬесМе8, якi започаткували основи неперервного та дискретного вейвлет-

перетворень. Засоби вейвлет-аналiзу при дослiдженнi властивостей фшансових рингав використовували E. Capobianco, V. Fernandez, R. Оепё cay, H. Lee та J. Ramsey. Серед росмських i втизняних вчених за-стосуванням вейвлет-аналiзу до економлчних дослiджень займались Астафьева Н.М., Субботш О.В., Воробйов В.1., Дербенцев В.Д., Сердюк О.А., Соловйов В.М.

Метою дослщження е аналiз фондових ринюв УкраТ-ни та Польщi, заснований на декомпозицп часових ря-дiв фондових iндексiв з метою локалiзацiТ та опису кризових явищ за часом i масштабами.

Методи дослщження: неперервне та дискретне вей-влет-перетворення, фрактальний аналiз та ентропшы методи.

Проведемо порiвняльний аналiз реформування еко-номiк УкраТни та Польщi за перiод 2007-2011 рр. До 2008 року економка УкраТни ще не вийшла на рiвень радянського перюду. ВВП УкраТни в передкризовому 2007 роц склав лише 72,2% вщ рiвня 1990 року. Голо-вними ж наслiдками економiчноТ кризи 2008-2009 рр. для УкраТни стали девальва^я гривы по вщношенню до долара США (на 38%), криза банювськоТ системи, значне скорочення виробництва в буфвельшй, металу-ргiйнiй, хiмiчнiй та машинобудiвельнiй промисловостях.

Пiд час фшансовоТ кризи 2008-2009 рр. польська економка не тiльки не зазнала рецеси, а й продовжу-вала зростати. Звичайно, в умовах глобалiзацiТ та вза-емозалежностi держав зовам уникнути кризи було не-можливо. Злотий також знецiнився майже в два рази по вщношенню до долара, скоротилися обсяги прямих швестицм на 16% в 2009 роцк Однак за цей перюд Польща, яка ще недавно перебувала в статус вiчного боржника, перетворилася на краТну стабiльного еконо-мiчного зростання. Основним чинником, який допом^ Польщi вистояти в кризовий перiод, е солщний фундамент економiки, закладений протягом останнiх 20 рокiв реформ, а саме: швидка й прозора приватиза^я, ви-ключно в попвкових розрахунках; усунення всiх перепон на шляху шоземних iнвестицiй; адаптацiя законодавст-ва до правових норм ¿С та вступ до ¿вросоюзу; зни-ження податкiв, спрощення процедури реестрацп та ведення малого бiзнесу, вщкриття кредитних лiнiй для пiдприемств; тотальний контроль над доходами держс-лужбов^в та членiв сейму, боротьба з коруп^ею [1, 4].

Перелiк основних реформ, що здмснювали УкраТна та Польща, та Тх оцiнку з точки зору створення сприятливого швестицмного шмату, подолання економiчноТ кризи та покращення економiчного розвитку краТни подано в [8, 9].

Для проведення порiвняльного аналiзу та визначення характерних часових та масштабних особливостей часових рядiв доходностей iндексiв фондових рингав УкраТни i Польщi застосовуються методи вейвлет-аналiзу. За до-

помогою вейвлетного перетворенна виконуетьса пеком© Кравець Т., Ситенко А., 2012

позицiя часового ряду у серiю ieрархiчних апроксимацiй та деталей (багаточастотний аналiз), а також розвинення варiацií (енергп) сигналу за частотами.

Неперервне вейвлет-перетворення (НВП) вхщного сигналу f () формально записуеться таким чином [3, 5]:

Г(з,г) = { f (( )¥,,гЦ) Я, (1)

Де ¥¡,(1) - Дочiрнi вейвлети, побудован з материнсь-кого вейвлету ) за допомогою операцм масштабу-

вання та зсуву.

Обернене вейвлет-перетворення, що вщновлюе по-чатковий сигнал f ), мае наступний вигляд:

f (Г) = {{К5, т,¥з,, ) а. (2)

У реальних задачах для обробки часових рядiв часто використовуеться дискретне вейвлет-перетворення (ДВП):

f () = £г(1к ¥ (). (3)

1 ,к

Для зменшення набору вейвлетiв у базис застосо-вуеться низькочастотний фтьтр, який в ДВП зображу-еться фунга^ею масштабування р({). Осктьки вхiдний

сигнал f () може бути виражений за допомогою вейв-летiв аж до масштабу ^вня) } -1, то його можна запи-сати за допомогою функци масштабування р({) аж до масштабу 1:

f (() = £Л(к)р(2- к). (4)

к

Переходячи в цьому рiвняннi до масштабу 1 -1, щоб не втратити рiвень деталiзацií, необхiдно додати вейвлети:

f (*) = ЕЛ-1 (к) р(21 -1 (- к) + £ у-, (к) ¥ (21 -1 (- к). (5)

к к

Якщо продовжити зменшувати масштаб, додаючи вейвлети, то можна одержати розвинення функци у вейвлетн ряди на масштабi 1 у спрощеному вигляди

f (0 = £4 (к) Р к (*)+£!*(!<)¥» (() (6)

к к 1=1

де ^ (к) називаються коефiцiентами апроксимацií, а (к) - коефiцiентами деталiзацií. Перша сума в (6) мютить усередненi (з ваговими функцiями рк ^)) зна-чення функци f () по дiадним iнтервалам [к • 2-1, (к +1)• 2-1 ] , друга - значення флуктуацм на цих Ытервалах.

Для обчислення характеристик вейвлет-ентропи використовуеться метод розбиттям часового ряду на вк на, що не перекриваються [2]. Обираються вiкна дов-

„, М

жини I та утворюються NT iнтервалiв NT = —,

М - довжина ряду. Вейвлет-енерпя на масштабi 1 (1 = 1,...^ ) для часового вкна I розраховуеться за формулою

Е( = £ I Г, (к)|2, I = 1,..,N. (7)

к=((-1)1+1

Загальна енергiя у цьому часовому вiкнi буде рiвна £ 1 (8)

1=-N

Змiна з часом вщносно'1' вейвлет-енергií (р(1) та но-

рмалiзованоí загальноí вейвлет ентропи (Е^Т ) визна-чаеться за формулами:

Е (') Р( 1) =1

е« = -£ р«

1=-N

Хт

(9)

(10)

Нормалiзована загальна вейвлет-ентротя може ви-користовуватись як мiра ступеня регулярностi (хаотич-ностi) часового ряду ^ таким чином, надавати корисну iнформацiю про прихованi динамiчнi процеси, асоцмо-ванi з часовим рядом [2].

Дослщження проводилося на основi аналiзу неста-цiонарних часових рядiв логарифмiчних доходностей iндексiв украíнськоí (их) та польськоí фондових бiрж (WIG20) за перiод з 08/01/2008 по 14/02/2011 (749 вщль ш). Дохiдностi iндексiв розраховувалися за цЫами за-криття, 1х абсолютнi значення використовувалися як мiра волатильностi. Експериментальним шляхом отри-мали, що найкраще фазовi переходи систем проявля-ються при використанн вейвлета ОЬ1 при ДВП, та вей-влета ОЬ7 при НВП.

На рис.1 представлен компоненти сигналiв, вщнов-лених по коефiцiентам апроксимаци за результатами розкладу доходностей украíнськоí та польськоí бiрж з використанням вейвлету ОЬ1 з амома рiвнями деком-позици. Слщ зауважити, що моменти часу входу в кри-зовий стан та виходу з нього дмсно ствпадають для iндексiв Украíнi та Польщу проте далi картина кардинально змЫюеться. В Украíнi перша хвиля кризи стала пом^ною вже на початку лютого 2009 р. та заганчилася в середиш серпня 2009 р. Друга хвиля кризи розпоча-лася на початку вересня 2010 р., коли згщно з заявами урядов^в Украша нiбито остаточно пережила свтову фiнансову кризу, проте продовжуе вщчувати 1Т наслiдки, а саме, зростання рiвня цiн на споживчi товари, високий рiвень заборгованостi економки крайни тощо.

Часовi рамки першо1 хвилi кризи в Польщi ствпадають з даними по Украшу проте вже наприюн^ лютого 2010 р. економка Польщi потрапляе в зону незначно! нестабiльностi, яка почалася пом^но ранiше за другу хвилю кризи в Украшк Це пояснюеться св^овими очiку-ваннями новоí тотечно1 кризи в США (вже не житлових, а офюних та торпвельних примiщень), що сильно впли-нуло на бтьш розвинений та глобалiзований польський iндекс. Слiд вiдмiтити, що вказаы дати носять дещо умовний характер. Така ситуа^я пов'язана з модель-ними обмеженнями, бо в даному дослщженш детекту-вання часових рамок фЫансово1 кризи робиться виклю-чно за фондовими iндексами. Схожють перших хвиль кризи в Укра1ш та Польщi обумовлена екзогенними економiчними факторами, що мають глобальний характер. Подальший розвиток подiй в^зняеться локаль-ними особливостями, в основi яких лежить здатнiсть економiчних систем збер^ати внутрiшню стабiльнiсть.

Рис. 1. Графики TpeHAÎB доходностей iндексiв UX та WIG20, вiдновлених по коеф^щентам апроксимаци

Для nepeBipKM виявлених ефектiв застосовуеться неперервне вейвлет-перетворення. На рис. 2, 3 наведет спектрограми доходностей Ыдекав UX та WIG20 вщповщно (змiни масштабу були обрат з кроком 1 вщ 1 до 32). Чорн лЫп вiдповiдають лiнiям максимумiв енер-

гм, причому ознакою переходу до кризового стану е момент сходження виразних похилих та вертикальних лшш. Як наслщок, легко помiтити прояв фрактальност у дослiджуванiй системi.

, I

¡,1

I >111 li.il

"1—Г

5

-

Scale Df colors from MIN to MAX

2

5

Рис. 2 Спектрограма доходностей iндексу UX за ci4eHb 2008 - першу половину лютого 2011 рр.

Протягом перюду з 1 серпня по 16 вересня 2008 р. спостер^ався потужний сплеск енергп, який супрово-джувався падЫням Ыдексу их, i передував початку економiчноí кризи в Укра1ш (рис. 2). У лютому вщбувся ще один концентрований викид енергп, який вщповщав 8,1% падiнню Ыдексу i досягнення ним рекордно мЫь мального рiвня з початку економiчноí кризи. Надалi мало мюце рiзке зростання iндексу их, що пояснюеться переходом их та ПФТС на новий рiвень функцюнуван-ня за рахунок запуску торгових систем, яга передбача-ють створення ринку заявок з торгами за принципом "поставка проти платежу" i введення Ытернет-трейдингу, що сприяло пщвишенню дтово1 активность Побудована вейвлет-спектрограма добре виявляе по-

дiбний, але сильнше виражений сигнал, що надiйшов в перших числах квп"ня 2010 р. та передував pi3KOMy зро-станню iндексy UX 26.05.2010 на 18,2% пюля майже 43% обвалу ринку, викликаного спекулятивними очку-ваннями друго''' хвилi свiтовоï кризи.

Початком фЫансово''' кризи в Польщi можна вважати ганець вересня 2008 р., адже в той момент спостеркав-ся сильний сплеск енергп (рис. 3), який тривав до 20-х чисел листопада. Проте, слщ зазначити, що вже добре вщомий кризовий трикутних завершився в 20-х числах жовтня того ж року. Друга хвиля кризи в Польщi вщсут-ня. Побудована вейвлет-спектрограма виявляе лише контури вже вщомого нам трикутника.

Scale of colors from MIN to MAX Рис.3. Спектрограма доходностей шдексу WIG20 за ачень 2008 - першу половину лютого 2011 рр.

рення; N - загальна галькють коефiцieнтiв деталiзацiï;

Дослщимо динамку волатильност доходностей im дексiв за допомогою методу вконного перетворення який полягае в розрахунку наступних коефiцiентiв [6]:

h (k)

m _i

1 ^ 1\2 , П

- S h(k+1, k:

ni i

2

- i

2 '

,N,--'- + 1,

j 2

(11)

де fj (к) - згладжен центрованим ковзним середтм квадрати коефiцiентiв деталiзацiï вейвлет-перетво-

nj - розмiр вiкна ковзання на j -му рiвнi масштабування.

Застосування методу вiконного перетворення на вах рiвнях масштабування при ДВП дослщжуваних сигналiв пiдтверджуе зробленi вище висновки про характер i осо-бливост виявлених кризових хвиль на фондових ринках Укра'1'ни i Польщк На рис. 4 представлено динамку вола-тильностi доходностей iндексiв на третьому рiвнi деком-позицп, яка мае двi чiтко визначенi хвилi для UX та лише одну хвилю для WIG20. Аналогiчна картина спостерга-еться i на Ыших рiвнях масштабування.

Рис. 4. Динамiка волатильностi доходностей ¡ндексш на 3-му piBHi масштабування

Розподiл волатильностi доходностей iндексiв по pi-вням декомпозицiï представлено у виглядi дiагpами (рис. 5). Зауважимо, що волатильность польського н дексу WIG20 залишаеться стабiльною на piвнях деталь зацiï, piзко спадаючи лише на останньому piвнi розкла-

ду. Це свщчить про випадковий характер флуктуацм волатильностей цього iндексу. Волатильнiсть Ыдексу UX укpаïнськоï бipжi демонструе пщвищену амплiтуду флуктуацiй на шостому piвнi деталiзацiï, яка вiдповiдае значенню волатильност piвня апроксимацп.

Рис. 5. Розподш волатильностi доходностей залежно вiд рiвня декомпозицм

На рис. 6 представлено динамку ноpмалiзованоï загальноï вейвлет-ентpопiï Ыдекав UX та WIG20, що розрахо-вана вiконним методом (всього 12 вкон) за формулою (11).

Рис. 6. Динамка загально'Г вейвлет-ентропм доходностей iндексiв UX та WIG20

Спостер^аеться бiльш piзке коливання значень ент-pопiï доходностей iндексу UX, поpiвняно з iндексом WIG20. Коливання особливо посилюються напpикiнцi дослiджуваного пеpiоду i це пов'язано з виникненням друго1 хвилi кризи в Укpаïнi та вщносно стабiльною еко-номiчною ситуа^ею в Польщк

Оскiльки ряди доходностей мають ознаки мульти-фpактальностi, то для ix вивчення було застосовано методи фрактального аналiзу, якi спираються на вейв-лет-перетворення часових pядiв [7].

1,1 1

0.9 0,8 0,7 f 0.0 0,5 0.4 0,3 0.2 0,1

щ " 0 М ©

И м

© ©

■ © ® ■

© @

03 П. Я

эих «WIG20

(1,7

H[q)

Рис. 7. Фрактальж спектри доходностей iндeксiв UX та WIG20

На рис. 7 представлено фрактальж спектри доходностей Ыдекав, форма яких дозволяе зробити висновок про те, що обидвi економiчнi системи е мультифракта-льними i характеризуються персистентною поведiнкою. Узагальнений показник Херста для украшського та польського Ыдешв виявився рiвним 0,79 та 0,65 вщпо-вiдно, що свщчить про вищiй ступiнь автокорельовано-стi i трендостiйкостi украшського фондового ринку.

Украша недостатньо iнтегрована до европейського простору на вiдмiну вщ Польщi, яка входить до СС. Окрiм цього Украша е надто полiтично нестабiльною, а и Ыдуст^альна база потребуе значного вiдновлення. 1нвестицп в Украíнi зазвичай реалiзуються за моделлю, що широко застосовуеться в кражах Центрально! Ази, Африки та Латинсько! Америки та передуам спрямова-нi до сировинного сектору або у складальне виробниц-тво, що орiентованi виключно на внутрiшнiй ринок.

Дослщження показали, що фiнансова криза 20082009 рр. не була лише наслщком свiтовоí рецеси. Еко-номiчна система Украши була нестабтьною ще до початку св^ово! кризи. Незважаючи на кiлькiсть заявле-них реформ в Украíнi, Ывестицмний клiмат не полтшу-еться, стшкють до кризових збурень залишаеться низь-кою. Проблема полягае не у вщсутност реформ в принципi, а в тому, що в Укра1ш явно не вистачае сили полiтичноí вол^ щоб провести !х швидко i до кiнця.

Проведений вейвлет-аналiз логарифмiчних доходностей iндексiв их та WIG20 дозволив здiйснити деко-мпозицiю сигналiв за масштабом i часом, виявити фра-ктальнiсть представлених часових рядiв i охарактери-зовати критичн стани фондових ринкiв. Були визначен приблизнi часовi рамки початку та завершення кризових хвиль та встановлено, що на украшському фондовому ринку спостер^алася друга хвиля кризи. Ця хвиля була проявом внутршых локальних проблем та неста-бтьносп нацiональноí економiчноí системи. Вщсутнють

друго! кризово! хвилi на польському ринку було пщтве-рджено також результатами застосування методу оць нювання енергi! та ентропi! рiвнiв декомпозицi! досль джуваних часових рядiв.

Надалi передбачаеться продовжити дослiдження фондових ринюв на основi iнтегрованого застосування вейвлет-перетворення та фрактального аналiзу.

1. В1рченко А. Значення ф1нансово''' пол1тики в умовах глобально!' ф1-нансово-економ1чноТ кризи [Текст] / А. В1рченко // В|сник Ки'вського Нац1онального Ушверситету 1мен1 Тараса Шевченка. Сер1я: Економка. -2011. - Вип. 128. - С. 42-45. 2. Дербенцев В.Д. Синергетичш та еконо-ф1зичн1 методи досл1дження динам1чних та структурних характеристик економ1чних систем [Текст]: [монограф1я] / В.Д. Дербенцев, О.А. Сердюк, В.М. Соловйов, О.Д. Шарапов. - Черкаси: Брама-Укра'на, 2010. -287 с. 3. Дремин И.М. Вейвлеты и их использование [Текст] / И.М. Дре-мин, О.В. Иванов, В.А. Нечитайло // Успехи физических наук. - 2001. -Том 171. - №5. - С. 465-501. 4. Любюна О. Посилення системних ризи-к1в глобально!' ф1нансово'!' системи та трансформац1я регулятор1в моде-л1 у ф1нансовому сектор! [Текст] / О. Любк1на // Вюник Ки'вського Нац1о-нального Ун1верситету 1мен1 Тараса Шевченка. Сер1я: Економка. -2011. - Вип. 127.- С. 9-13. 5. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвле-тов. Вейвлеты в MATLAB [Текст] / Н.К. Смоленцев. - М: ДМК-Пресс, 2005. - 304 с. 6. Субботин А. Волатильность и корреляция фондовых индексов на множественных горизонтах [Текст] / А. Субботин, Е. Буяно-ва. // Управление риском - 2008. - № 47(3). - С. 51-59; № 47(4). - С. 2340. 7. Arneodo A. Thermodynamics of fractal signals based on wavelet analysis: application to fully developed turbulence data and DNA sequences [Текст] / A. Arneodo, B. Audit, E. Bacry and other // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. - 15 May 1998. - Volume 254. - Issues 12. - P. 24-45. 8. Doing Business 2011: Reforming through Difficult Times [Електронний ресурс] // Doing Business: [сайт]. - Режим доступу: http://www.doingbusiness.org/. - Назва з екрана. 9. The World Bank. Doing Business. Measuring Business Regulations [Електронний ресурс] // Doing Business: [сайт]. - Режим доступу: http://www.doingbusiness.org/ reforms/overview. - Назва з екрана.

Надшшла до редколегм 20.12.11