CC BY
453
Финансовый рынок
УДК 336.763
исследование характеристик моделей арифметического и геометрического броуновского движения
при прогнозировании цен
на финансовые активы
В.В. РОССОХИН, кандидат экономических наук, доцент кафедры финансового менеджмента Е-mail: vrossohin@hse.ru; holdmaer@inbox.ru Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (Нижний Новгород)
В статье отмечается, что в связи с развитием экономики и кризисными явлениями на отдельных предприятиях и в сферах не снижается актуальность прогноза деятельности и контроля за рисками. В финансовом секторе экономики подобные задачи имеют двойное значение: развитие бизнеса по управлению клиентским портфелем ценных бумаг и анализ деятельности компании-участника финансового рынка. Рассмотрены основные модели, используемые для прогнозирования ценовой динамики активов: геометрического и арифметического броуновского движения. Исследованы особенности каждой из моделей с позиции прикладного применения; проведен сравнительный анализ данных, полученных в результате моделирования цен. Выявлены достоинства и недостатки каждой из моделей, оценен потенциал полученных результатов.
Ключевые слова: инвестиционная деятельность, геометрическое броуновское движение, арифметическое броуновское движение, риск, показатель VаR, моделирование ценовой динамики
В настоящее время для решения задач по оценке рисков при проведении операций на фондовом рынке используется модель геометрического бро-
уновского движения. Следует отметить, что для анализа потенциала изменения ценовой динамики применяется та же модель.
Идея о хаотичности движения цен на финансовые активы была выдвинута и обоснована Л. Ба-шелье в 1900 г. в его магистерской диссертации. Предпосылками для этой работы послужили наблюдения за изменениями цен и доходностью акций и производных инструментов [6]. Уже тогда Башелье доказал, что средняя доходность инвестирования стремится к нулю, а ее дисперсия пропорциональна ^ , где t — дискретное время или количество последовательных наблюдений через равные промежутки времени:
^ = ^ . (1) По мнению ученого, цены меняют свои значения в моменты времени А, 2Д, 3Д,..., kA таким образом, что
= + ЕД + Е2Д + Езд+--- + ЕкД , (2)
где Е.д — независимые одинаковым образом распределенные случайные величины, принимающие значения с вероятностью 1/2;
— цена актива в момент начала наблюдений.
Таким образом, математическое ожидание и дисперсия величины Skд принимают значения ЯЩ = ^ и = о(М) соответственно.
Дальнейшие преобразования приводят формулы (1) и (2) к следующему виду:
^ = ^ +aWt, где St — цена актива в момент ¿;
S0 — цена актива в момент 0 (в точке начала наблюдений);
о — стандартное отклонение цены актива; Ж — стандартное броуновское движение или винеровский процесс, т.е. процесс с независимыми, нормально распределенными приращениями и непрерывными траекториями. Потенциал данной работы оказался достаточно велик, поскольку сама идея возникла еще до непосредственно математической модели. Первые модели, описывающие хаотические процессы, аналогичные броуновскому движению, встречаются в работах А. Эйнштейна [4]. Броуновское движение как процесс был представлен в работах Н. Винера [10], где утверждалось, что
Ж = еЛ,
где в — случайная величина со стандартным нормальным распределением в~^(0,1); ? — дискретное время.
Вместе с тем следует отметить, что если бы процесс изменения цен на акции описывался формулой (3), то акции в долгосрочной перспективе постоянно находились бы в боковом тренде. Однако тренды на рынках акций и производных финансовых инструментов имеют ярко выраженную восходящую или нисходящую динамику. Учет вектора тенденции обусловил совершенствование модели до следующего вида:
St = S0 + цД + сЖ(,
(3)
где St — цена актива в момент ¿; ц — дрейф цены;
Д — временной горизонт прогнозирования; о — стандартное отклонение цены актива. Дрейф цены (скорость дрейфа или коэффициент сноса) определяется как средняя величина изменения переменной за единицу времени [2]. Согласно этому определению можно определить дрейф по формуле[12]:
Сама идея о случайном блуждании цен нашла отражение во многих работах. Обращает на себя в первую очередь доклад М. Кендалла Королевскому статистическому обществу в 1952 г. [7]. Там он обосновывает неупорядоченность (стохастичность) поведения цен на финансовые инструменты.
Следующий шаг в эволюции методов анализа поведения цен на финансовые активы заключался в обосновании предположения, что не сами цены, а их логарифмы подчиняются броуновскому движению. Наиболее яркой работой в этом направлении принято считать исследование П. Самуэльсона (1965 г.). Однако в ней автор обосновывает подобный переход тем, что при использовании формул (3) и (4) существует ненулевая вероятность того, что цена St может быть меньше нуля [9]. В этой же работе вводится и обозначение «геометрическое (экономическое) броуновское движение» (в отличие от упомянутого арифметического или абсолютного). В дальнейшем будут также использоваться понятия «линейная модель» и «экспоненциальная модель».
Однако само предположение о нормальности распределения логарифмической доходности вычисляется по формуле:
У = к«.[
Р (?)
где Р0(0 и Р(? + т) — цены в момент времени t и через произвольный момент времени т. Идея о подверженности изменения цен броуновскому движению встречается еще раньше. К примеру, в исследовании М. Осборна [8].
В данной работе не ставится задача по анализу эволюции модели. Более подробно это можно изучить в трудах или разделах, специально посвященных данной тематике [2, 3]. Конечная модель изменения цены записывается в виде стохастического дифференциального уравнения
+ , (5)
где ц — доходность актива в процентах;
с — стандартное отклонение доходности актива.
Уравнение имеет решение вида
St = Sоe
ц =
St Sо t
(4)
ц-— 11 + сЖ
2 1 , (6) где t — горизонт прогнозирования.
Принято считать, что формула (6) является более реалистичной [3, 11] опять же в силу того, что ценовые значения не могут принимать отрицательные значения.
2500 2000 1500 1000 500
0
73>
Л 5Й> на
тЗ"
Анализ литературы, посвященной вопросу перехода от уравнения (3) к уравнению (5) и последующему его решению, оставляет впечатление того, что некоторые элементы последнего специально подгонялись. То есть существовало стохастическое дифференциальное уравнение вида (5), имеющее решение (6), с помощью которого описывались различные процессы и системы в биологии, физике, социальных науках и пр.
Далее возникла необходимость использовать логнормальные свойства доходности, случайный (стохастический) характер блужданий цен и возможность приведения уравнения к требуемому виду. В этом случае, чтобы выделить один общий множитель £ дрейф вместо вычисляемого по формуле (4) представляют как произведение доходности и последнего значения цены. Это произведение имеет денежную размерность, а доходность ц является уже безразмерной величиной, что представляется достаточно корректным для его подстановки в показатель степени. Следует также отметить, что для расчета показателя ц в этом случае используется среднее значение доходности за период.
Аналогичная последовательность рассуждений прослеживается и в решении заменить в уравнении (5) по сравнению с уравнением (3) стандартное отклонение цены на произведение стандартного отклонения доходности (т.е. стандартное отклонение доходности ц) и последнее значение цены £ В связи с этим возникает необходимость четко разделять сущность и размерность показателей дрейфа, поскольку они обозначаются в литературе одной и той же буквой ц и идентифицируются как дрейф. Вместе с тем представляется, что проводить тождественное равенство между понятиями «дрейф» и «доходность» не совсем корректно в принципе. Если и говорить о дрейфе, то следует упоминать исходное произведение доходности на цену.
В дальнейшем будет проведен сравнительный анализ результатов прогнозирования будущей цены с помощью обеих моделей, выраженных с помощью формул (3) и (6). В качестве параметров моделей были взяты следующие величины:
— базовый актив для расчета — индекс ММВБ за период с 22.09.1997 по 25.10.2013, итого — 4 017 значений (рис. 1);
1-1—I-1-1-1-1-г~—I-1-1-1-1-1-1
Рис. 1. Динамика цен закрытия индекса ММВБ за период с 22.09.1997 по 25.10.2013
— данные для расчетов — дневные значения закрытия (последнего значения торгового дня);
— горизонт прогнозирования — 1 день;
— диапазон для расчета ценового дрейфа — 100 значений;
— диапазон для расчета дисперсии цены — 100 значений;
— диапазон для расчета средней доходности — 100 значений;
— диапазон для расчета дисперсии доходности — 100 значений;
— число генерируемых значений случайной величины со стандартным нормальным распределением — 30 000.
Результатом расчетов и основы для дальнейшего анализа являлся набор из 30 000 возможных значений цены закрытия индекса ММВБ следующего торгового дня.
В качестве первого полученного результата следует отметить качественную разницу в разбросе прогнозируемых значений с использованием моделей арифметического и геометрического броуновского движения (рис. 2).
Количественно это можно оценить с помощью дисперсии. Следует отметить, что значения среднего очень близки при том, что дисперсия полученных прогнозных значений с помощью модели геометрического броуновского движения значительно больше. Приводить все 3 917 прогнозов относительно цены следующего биржевого дня с использованием для каждого 30 000 сгенерированных значений случайной величины не представляется целесообразным. Вместе с тем в таблице даны результаты прогнозирования на ценовых уровнях значений, кратных 100, и самое первое из возможных значений. Показатель «последняя цена» есть последнее известное значение цены £
1600 1400 1200 1000 800
600
400
200
■ Геометрическое броуновское движение ■ Арифметическое броуновскоедвижение
Рис. 2. Разброс прогнозируемых значений с использованием моделей арифметического и геометрического броуновского движения
Сравнительные значения параметров результатов прогнозирования с использованием моделей геометрического и арифметического броуновского движения
0
Последняя цена Арифметическое броуновское движение Геометрическое броуновское движение
Max Min Среднее СКО* Max Min Среднее СКО
71,44 79,46 64,93 71,14 1,550 93,05 58,30 71,26 3,557
104,02 115,38 96,55 104,59 2,009 128,79 89,94 4,021 4,021
200,66 218,52 188,77 201,47 3,175 245,44 174,19 201,79 7,385
301,23 318,02 290,58 302,29 2,927 336,47 279,57 302,64 5,983
404,33 418,15 395,59 405,22 2,407 440,49 388,07 409,68 5,539
501,86 522,15 488,77 503,03 3,562 554,61 468,19 503,38 9,099
600,29 621,75 585,29 600,86 3,891 680,32 547,78 601,03 13,899
700,65 720,39 687,24 701,39 3,537 752,12 665,81 701,43 9,123
801,45 840,89 775,39 803,36 6,988 855,77 766,73 803,61 9,421
901,55 954,09 867,46 904,44 9,244 982,72 851,67 905,44 13,828
1 003,17 1 051,78 972,10 1 006,12 8,503 1 109,31 936,52 1 006,89 18,193
1 102,1 1 162,27 1 063,29 1 105,55 10,562 1 319,17 970,54 1 107,02 36,259
1 203,97 1 249,82 1 174,61 1 206,72 8,026 1 411,30 1 074,04 1 207,37 35,186
1 308,14 1 361,97 1 272,35 1 310,61 9,563 1 522,35 1 172,77 1 311,46 36,513
1 406,55 1 459,15 1 373,00 1 409,78 9,192 1 577,55 1 296,42 1 410,05 29,531
1 502,66 1 535,10 1 481,68 1 504,49 5,700 1 631,14 1 416,57 1 504,66 22,645
1 601,76 1 643,28 1 574,97 1 604,14 7,289 1 691,27 1 542,22 1 604,25 15,793
1 700,98 1 759,75 1 661,68 1 703,55 10,464 1 800,30 1 635,29 1 703,90 17,478
1 807,46 1 855,58 1 776,38 1 810,19 8,451 1 919,56 1 733,23 1 810,57 19,727
*Среднеквадратичное отклонение, стандартное отклонение.
Степень разброса значений иллюстрируется с помощью показателя СКО (среднеквадратичного отклонения, стандартного отклонения), а также диапазона значений, выраженного разницей между максимальным и минимальным значениями цены,
полученными в результате моделирования (Max, Min). В этом случае бесспорным является то, что при сравнительной оценке двух моделей предпочтение будет отдаваться той, у которой разброс параметров при одних и тех же исходных данных будет меньше.
Следовательно, если дисперсию охарактеризовать как меру доверия, то к линейной модели Башелье отношение должно быть более предпочтительным.
Из этого напрямую следует вывод о прикладной значимости результатов прогнозируемого параметра или значения: теряется смысл использования результатов прогноза с большим разбросом. Особенно это касается биржевых торгов, где уже разница в 2-3% при использовании производных финансовых инструментов, реализующих торговые стратегии с большим финансовым рычагом, могут привести к невосполнимым потерям.
Далее имеет смысл обратиться к такому методу оценки риска, как показатель VaR (Value at Risk). Он непосредственно определяется следующим образом.
1. VaR — это выраженная в денежных единицах (базовой валюте) оценка величины, которую не превысят ожидаемые в течение данного периода времени потери с заданной вероятностью [5].
2. VaR — это показатель риска, который показывает, какую максимальную сумму денег может потерять портфель инвестора в течение определенного периода времени с заданной доверительной вероятностью [1].
Тем самым VaR являет собой некий прогнозируемый убыток (его величину) с определенной долей вероятности. Исходя из данных определений, VaR можно вычислить как
VaR = P+1 - Pt.
При условии, что
P < P
1 t + т ^ 1 f
где Pt+ф — прогнозное значение цены финансового
инструмента;
т — горизонт прогноза;
Pt — последнее известное значение цены финансового инструмента.
Чаще всего в качестве значений параметра горизонта прогноза берется 1, 5 или 10 дней (чаще всего 1 и 10 дней). Значения доверительных интервалов принимаются 95 и 99%, хотя существуют и промежуточные значения. Значения 10 дней горизонта прогноза и 99% вероятности являются общепринятыми для Базельского комитета по рискам.
В этом случае значение P t является результатом прогнозирования, в том числе и с использованием моделей, описанных формулами (3) и (6). Исходя из определения показателя VaR, значение цены такое, что возможные значения цен превысят его с заданной доверительной вероятностью. Исходя
из свойств нормального распределения, а также из полученных результатов, представленных на рис. 2, следует отметить, что искомое пограничное значение будет разным в случае использования различных моделей. Если же брать одно и то же пограничное значение, то возможные значения превысят его с разной вероятностью.
В этом случае тот, для кого показатель VaR имеет прикладное значение, вынужден будет в разной степени реагировать на ситуацию. К примеру, если показатель VaR является руководством к созданию резервов под предстоящее возможное обесценение актива (активов), то требуемые для этого суммы будут разные. К тому же инвестор может столкнуться со сложностями в изыскании достаточно большой суммы резерва.
Однако следует отметить, что большая часть расчетов с использованием линейной модели производится при помощи некой «промежуточной» формулы:
VaR = ак,_0р, (7)
где с — дисперсия доходности актива;
к — значение квантиля;
1-а '
а — требуемая доверительная вероятность.
При условии нормальности распределения доходности финансового инструмента квантиль являет собой количество стандартных отклонений, «отсекающих» на графике плотности распределения вероятности (1 — а) [1].
Анализ формулы (7) позволяет предположить смешанный вариант использования формулы (3) и замены дрейфа цены, рассчитывающегося по формуле (4), и стандартного отклонения цены на произведение доходности и стандартного отклонения доходности на последнее значение цены.
В этом случае винеровский процесс уже не рассматривается, поскольку хаотичность блуждания и все возможные значения цен не актуальны. Необходимо определить одно пограничное значение цены. Поэтому винеровский процесс заменяется на произведение стандартного отклонения и соответствующего требуемой вероятности квантиля. Поскольку распределение цен и доходностей предполагается нормальное, то квантиль нормального распределения есть просто количество стандартных отклонений.
Чаще всего в подобных расчетах значение дрейфа (математического ожидания доходности) принимается равным нулю. В связи с этим формула VaR и принимает данный вид.
Вместе с тем, если брать за отправную точку построения показателя VaR предпосылку о логнор-мальности распределения, то, исходя из аналогичных рассуждений, получим формулу следующего вида:
VaR = Р (ец-К-аС1 -1), (8)
где ц — средняя доходность за период I.
В целях моделирования и последующей оценки модели формула (7) была модифицирована до следующего вида
VaR = ск1-а . (9)
После этого в работе были проведено моделирование показателя стоимости под риском по формулам (8) и (9) при условии равенства средней доходности нулю в последней модели. Моделирование показывает, что VaR, рассчитанный по линейной модели, в несколько раз ниже, чем аналогичный показатель, определенный с помощью экспоненциальной модели (см. форму).
Расчеты показателя Value at Risk с использованием линейной и экспоненциальной моделей
Стоимость портфеля 300 000 Linear VaR -11,01
Квантиль -1,65
Стандартное отклонение цены, руб. 6,67
Стоимость портфеля 300 000 ExpGnential. VaR -332,49
Квантиль -1,65
Стандартное отклонение доходности, % 1,06%
Полученный результат не противоречит проведенным ранее расчетам и выводам на их основе: при моделировании с помощью линейной модели разброс значений (и показатель стоимости под риском) значительно ниже.
Основной вывод, который следует из проведенных расчетов: модель геометрического броуновского движения дает больший разброс результатов, что отрицательно влияет на точность и качество оценки ситуации и не способствует оптимальному руководству к действию. В этом случае в пользу выбора данной модели говорит только предполагаемая ненулевая вероятность получения отрицательного значения цены в случае использования модели арифметического броуновского движения.
Для проверки данного предположения был проведен анализ динамики исследуемого актива.
Выделены четыре параметра, значения которых влияют на результат.
1. Цена актива.
2. Дрейф.
3. Стандартное отклонение.
4. Значение в ~ #(0,1).
В свою очередь были выделены три случая, в которых параметры принимают экстремальные значения:
1) минимальная цена актива;
2) наибольшее отрицательное значение дрейфа;
3) наибольшее значение стандартного отклонения и одновременно наименьшее значение генерируемого показателя в ~ #(0,1).
Именно поэтому следует отметить причину, по которой брался достаточно узкий диапазон в 100 значений для расчета дрейфа в целях моделирования и оценки разброса прогнозируемых цен. Это условие впоследствии обеспечивает отрицательные значения дрейфа в случае негативной динамики актива. Если судить по общей динамике актива (см. рис. 1), то дрейф, вычисленный по всем имеющимся значениям, в любом случае принимает положительное значение. Об этом можно судить по начальной и конечной точкам графика с учетом формулы (5) для расчета дрейфа в линейной модели. Диапазон значений для расчета дрейфа, равный 100, обеспечивает учет падающих трендов.
Для данного анализа было сгенерировано 900 000 значений случайной величины в~#(0,1) и выделено минимальное, равное -9,54. Минимальное значение индекса ММВБ за исследуемый период наблюдалось 05.10.1998. При этом значение дрейфа было равно 0,3881, а стандартное отклонение приняло значение 1,0219. При таких параметрах прогнозируемое следующее значение индекса было равно 8,40.
Следующий случай предусматривал использование данных, когда значение дрейфа принимало наибольшее отрицательное значение. Это было 24.10.2008. Значение индекса — 513, 62 п., значение дрейфа — отрицательное (-13, 3878), стандартное отклонение — 38,045. Значение случайной величины по-прежнему принимается равным -9,54. В этом случае прогнозируемое значение индекса — 137,40 п.
Последний случай — вариант наибольшего значения волатильности (стандартного отклонения) вкупе с произведением на минимальное значение в. Такая ситуация наблюдалась 30.10.2008, когда
значение индекса было 727,39, дрейф — -10,99, а СКО значений индекса — 39,25. В этом случае прогнозируемое значение индекса равнялось 342,06 п.
Наиболее критическим следует признать вариант с наименьшим значением актива, т.е. локальный или глобальный минимум. Вместе с тем моделируемые значения не выходят в область отрицательных значений. При этом опасность подобного, как представляется, достаточно низка. Основанием для этого служит формула вычисления дрейфа (5). Цена актива может снижаться на постоянную в процентном отношении величину, однако стоимостное выражение этого снижения при уменьшении стоимости актива (или значения индекса) будет уменьшаться. Следовательно, темпы роста разницы St - S0 будут уменьшаться, вместе с тем знаменатель X будет расти постоянными темпами.
Преимуществом модели арифметического броуновского движения является вариабельность самой модели, которая может достаточно легко трансформироваться в другую или служить концептуальным основанием. К примеру, если отвергается предположение о нормальности и логнормальности доходности. В этом случае модель геометрического броуновского движения полностью становится неприменимой, требуется создание нового математического аппарата. При использовании арифметического броуновского движения можно заменить последнее слагаемое в формуле (4) исходя из распределения любого вида (рис. 3).
В связи с этим случайная составляющая может иметь любой вид распределения или плотности вероятности (экспоненциальный, треугольный, степенной и пр.). При этом дрейф (если он существует) сохраняется в неизменном виде. Это согласуется с рядом исследований, которые опровергают как нормальность, так и логнормальность распределений доходностей и цен активов на фондовых рынках.
Основываясь на полученных результатах, их анализе и оценке, можно сделать ряд выводов. Очевидно, что теоретические предпосылки перехода от модели арифметического броуновского движения цен биржевых финансовых активов к геометрической недостаточно основательны. Сравнение результатов моделирования с использованием линейного и экспоненциального уравнений свидетельствует
Стоимость актива
Случайная составляющая
Время
Рис. 3. Структура согласно модели арифметического броуновского движения
в пользу первого в части меньшего разброса значений. В прикладном аспекте это может привести к неверной оценке ситуации, особенно касательно рисков и необходимости резервирования капитала под покрытие убытков от них.
Также представляется очень существенной возможная вариабельность модели арифметического броуновского движения в случае, если процессы будут протекать вопреки нормальному закону распределения. Это, в свою очередь, открывает новые возможности для изучения и моделирования динамики цен на финансовые активы.
Список литературы
1. Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг. М.: Научно-техническое общество имени академика С.И. Вавилова. 2007. 404 с.
2. Халл Джон К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты: пер. с англ. М.: И.Д. Вильямс. 2007. 1056 с.
3. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис. 1998. 544 с.
4. Эйнштейн А. О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молеку-лярно-кинетической теорией теплоты. Броуновское движение. М.: ОНТИ. 1936.
5. Энциклопедия финансового риск-менеджмента / под ред. А.А. Лобанова и А.В. Чугунова. М.: Альпина Бизнес Букс. 2009. 932 с.
6. Bachelier L. Théorie de la spéculation. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. URL: http://radio.goldseek.com>afree.php.
7. Kendall M. G., Bradford Hill A. The Analysis of Economic Time-Series-Part I: Prices // Journal of the Royal Statistical Society. 1953. № 116. Pp. 11-34.
8. Osborne M.F. M. Brownian motion in the stock market // Operations Research. 1959. № 7, 2. Pp.145-173.
9. Samuelson P.A. Rational theory of warrant pricing // Industrial Management Review. 1965. № 6. Pp.13-31.
10. Wiener N. Differential Space // Journal of Mathematics and Physics. 1923. № 58. Pp. 131-174.
11. URL: http://synset.com/ru/npocTbie_CTOxac-THHe CKHe_MogenH.
12. URL: http://synset.com/ru/YpaBHeHHa_HTo.
Financial market
RESEARCH OF MODEL CHARACTERISTICS OF ARITHMETIC AND GEOMETRICAL BROWNIAN MOVEMENT WHEN FORECASTING FINANCIAL ASSETS PRICES
Vladimir V. ROSSOKHIN
Abstract
The article points out that in connection with development of the economy and crisis phenomena, which occur at individual enterprises and in the areas, the relevance of forecasting of activity and risk management does not diminish. The author emphasizes that in the financial sector of economy the similar tasks have double value: business development of client portfolio securities management and an analysis of company's activity in the financial market. The article considers the main models, which are used for forecasting of the assets price performance: geometrical and arithmetic Brownian motions. The paper studies the features of each model from a position of applied application; it provides the comparative analysis of the data obtained in the result of the price modeling. The author reveals merits and demerits of each of the models and evaluates the received results potential.
Keywords: investment activity, geometrical Brownian motion, arithmetic Brownian motion, risk, VaR indicator, price dynamics modeling
References
1. Burenin A.N. Upravlenieportfelem tsennykh bu-mag [An investment portfolio management]. Moscow, Scientific and Technical Society named after Academician S.I. Vavilov Publ., 2007, 404 p.
2. Hull C. John Optsiony, f'iuchersy i drugie proizvodnye fmansovye instrumenty [Options, Futures and Other Derivatives]. Moscow, I.D. Vil'iams Publ., 2007, 1056 p.
3. Shiriaev A.N. Osnovy stokhasticheskoi finans-ovoi matematiki [Fundamentals of stochastic financial mathematics]. Moscow, Fazis Publ., 1998, 544 p.
4. Einstein A. O dvizhenii vzveshennykh v pokoi-ashcheisia zhidkosti chastits, trebuemom molekuliarno-kineticheskoi teoriei teploty. Brounovskoe dvizhenie [On the Movement of Small Particles Suspended in a Stationary Liquid Demanded by the Molecular-Kinetic Theory of Heat. Investigations on the Theory of the Brownian Movement]. Moscow, ONTI Publ., 1936.
5. Entsiklopediiafinansovogo risk-menedzhmenta [Encyclopedia of financial risk management]. Moscow, Al'pina Biznes Buks Publ., 2009, 932 p.
6. Bachelier L. Théorie de la spéculation. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Available at: http://radio.goldseek.com>afree.php.
7. Kendall M.G., Bradford Hill A. The Analysis of Economic Time-Series-Part I: Prices. Journal of the Royal Statistical Society, 1953, no. 116, pp. 11-34.
8. Osborne M.F. M. Brownian motion in the stock market. Operations Research, 1959, no. 7, 2, pp.145-173.
9. Samuelson P.A. Rational theory ofwarrant pricing. Industrial Management Review, 1965, no. 6, pp. 13-31.
10. Wiener N. Differential Space. Journal of Mathematics and Physics, 1923, no. 58, pp. 131-174.
Vladimir V. ROSSOKHIN
National Research University "Higher School of Economics", Nizhny Novgorod, Russian Federation vrossohin@hse.ru holdmaer@inbox.ru
