CC BY
97
ВАК 08.00.13 М.И. ШАНДРА
аспирантка кафедры «Математическое моделирование экономических процессов» Финансового Университета
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ ОЦЕНКИ РИСКА В РАМКАХ МЕТОДИКИ VAR
Предпосылкой успешной работы банка является умение качественно оценивать риски по всем направлениям собственной деятельности и управлять ими. Одной из распространённых на сегодняшний день методик оценки рыночного и других видов риска является методика Value-at-Risk (VaR). В работе в качестве меры риска методики VaR используется - RMVaR (Risk Measure) - максимально возможная величина изменения стоимости актива (потерь) с заданной вероятностью на рассматриваемом временном горизонте.
Для формализованного представления данного показателя введём следующие обозначения: An -значение финансового индекса в момент t = n , k -период упреждения, An+k - будущее значение финансового индекса на момент t = n + k, которое накрывается доверительным интервалом
An+ k < An+ k < An+ k
с вероятностью (1 -а), где a - уровень значимости. Запишем доверительный интервал для приращения индекса за период упреждения k
A+ k - An < An+k - An < A++k - An,
или,
A - A- > A - A . > A - A++, +k +k +k
Левая граница данного интервала - максимальное изменение индекса за период упреждения -и принимается в качестве показателя
КМУЛ = Ап - А-+к. (1)
Для вычисления показателя (1) необходимо найти прогноз финансового индекса и его интервальную оценку.
В основе большинства прогнозных моделей лежит представление финансового индекса А1 в момент t = 0,1,2,... дискретного времени в виде
где
At = A0 • e
Нt = h0 + h +... + ht, 0 при i = 0
h =
ln —— при i > 0
(2)
(3)
(4)
- «логарифмическая прибыль» в момент i > 0. С учётом равенства
A k = A0 • eHn+k = A0 • eHn • eAH = A • eAH ,
гг+lc О О rt J
где
AH = £ ht
(5)
- линейный функционал «логарифмической прибыли» за период упреждения, прогноз Ап+к определяется по правилу
^ 4+к = А • еАЙ = Ап • ехр (А/}, (6)
где АН - прогноз величины (5). Используя предпосылку о нормальном законе распределения членов последовательности (к.)
к. е N(т, с) , можно построить интервальный прогноз значения индекса Ап+к. Для этого составляется дробь
t = ■
AH-AH
о о
е е
имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы V = п - 1. Задавшись доверитель-
1-1
e
ной вероятностью в =1 - а, по таблицам распределения Стьюдента определяется двусторонняя -
квантиль t , такая, что
кр
P
АН-АН
< t
= ß,
где О е - оценка среднего квадратического отклонения ошибки прогноза АН . Это значит, что интервал
Га/-1 ■ О ,
АН +1 ■ о
кре
накрывает величину АН с заданной вероятностью в, т.е. является доверительным интервалом. С учётом того, что функция у = Ап • еш является монотонно возрастающей функцией аргумента АН, интервал
[ Ап+к , А ппк ] ,
где
= A ■ exp {АН -1 ■ о Ц
n+k n г кр e J I
A++k = A ■ exp {а/ +1 ■ 0
n+k n i кр e j I
(7)
= (hP V.^ hn)' ,
(1.2)
величинами с параметрами (1.1). Эти параметры, как правило, неизвестны. Требуется при данных предположениях построить прогноз индекса А{ на некоторый будущий момент ^ = п п к . Прогноз Аппк за период упреждения к, принимая во внимание (2)-(5), строится по правилу
Оппк = Ап • еА = Ап • ехр (А/}, ^ (1.3)
где АН - прогноз величины (5). Оценка АН определяется по известным значениям (1.3) в классе линейных процедур
=g '■h=£ g,h,.
(1.4)
представляет собой доверительный интервал финансового индекса Аппк, так как
Р (<пк < Аппк < Ап+пк }=в .
Таким образом, показатель (1), с учётом (2)-(7), определяется по формуле
РМ¥аК = Ап С1" ехр (А/ - ^ • ° е}) , (8)
Для построения интервального прогноза финансового индекса могут быть использованы различные базовые модели. В данной работе сравниваются результаты оценивания, полученные с использованием: выборочных значений числовых характеристик «логарифмической доходности» инструмента за период исследования (СД) [1], модели экономического броуновского движения (ЭБД) [2], модели рандомизированной коллокации (РК) [3].
1. Модель экономического броуновского движения
В данном разделе обсуждается простейшая модель прогнозирования значений финансовых индексов в рамках теории П. Самуэльсона экономического броуновского движения (ЭБД) с дискретным временем [2]. Значения (2) финансового индекса (ФИ) удовлетворяют модели ЭБД, если члены последовательности (к.). величин (4), независимы, нормально распределены и обладают едиными количественными характеристиками
Е (к) = т, Уаг (к) =с2 , (1.1)
Пусть А1 удовлетворяет модели ЭБД, и имеются значения А1, ^ = 0,1,...,п :
А0, А1,..., Ап .
Следовательно, известны и значения «логарифмической прибыли»
Выбор коэффициентов g' = (g1,g2,...,gn) подчиняется двум стандартным требованиям оптимальности: E (АН -АН) = 0. (1.5)
о e2 = E (e2) = E (АН -АН )2 ^ min (1.6)
Требования (1.5)-(1.6), рассмотренные совместно, образуют классическую задачу математического программирования с ограничениями. Её решение методом неопределённых множителей Лагранжа приводит к следующим искомым значениям коэффициентов
k
go =0; g1 = g 2 =... = gn =-. (17)
С учётом (1.7) формула (1.4) принимает вид
1
АН = k — £ h = k ■
т,
(1.8)
где
1
т
= -Х к
п ,=1
- оценка параметра
т = Е (к ) (1.9)
«логарифмической прибыли». Итак, в рамках модели ЭБД с неизвестным значением параметра (1.9) наилучшая линейная оценка приращения
АН = Н . - Н
п+к п
броуновского движения с дискретным временем Н1 определяется по правилу (1.8). Точность этой оценки характеризуется дисперсией
к2
с^ = Е (АН-АН)2 = с2 • к па2--. (1.10)
п
Так как параметр с2 распределения «логарифмической прибыли», по предположению, неизвестен, то в (1.10) используется его оценка
о2 =
1
n -1
■ X (h - )2.
которые, по предположению, являются независимыми нормально распределёнными случайными
По значениям прогноза (1.8) и его точностной характеристики
k 2
2 л 2 7 2
О а/ = ^ ■ k + ^--,
i=1
n
1=1
i=1
n
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ
определим значение показателя ЯМУаЯ. Прогноз А к величины Ап+к с учётом (1.3) и (1.8), равен:
Ап+к = Ап "еХР{к •«} •
Таким образом, показатель (1) в рамках данной модели принимает вид:
в случае применения чистой коллокации,
где
ЯМуая = А - А- .,
УаЯ п п+ к
Ап+к = Ап • ехР{к • т - tкP 'сан} .
где
I АН0 при I < tкр
АН = <! „ кр
[ АН при Щ > Щкр
АН0 = САН , • С"1 • к
АН, к кк
(2.2)
(2.3)
т
I = — • о
с2 =1
• дД/ ' • С- • I) - дробь Стьюдента, в которой
[(к - т • I)' • С^1 (к - т • I)]/(п -1)
ло наблюдений;
I - критическое значение дроби Стьюдента.
Оценка дисперсии ошибок прогнозирования значений финансовых индексов в рамках рандомизированного алгоритма (2.2)-(2.4) определяется по правилу [2]:
с 2 = СЛ_ „- Сл„,- С -1 • С
АН к кк к АН
(2.5)
с2 = к2 •с2 +с?„ -Сд„ . • С..1 • С,
+
7 _ 2 7Т Т 2 7Т
+ я•/• с» • / •я - 2к с» • / •я
ото то
(2.6)
- в случае параметрической коллокации. В формулах (2.5) и (2.6) используются обозначения:
С
- оценка дисперсии значения функциона-
2. Модель рандомизированной коллокации
Алгоритм оценки максимальных потерь с применением рандомизированной коллокации имеет следующую формализацию [3]:
Ап [1 - ехр {аТ - а*}, (2.1)
ла АН:
Сан,АН = АН • АН (Скк (т))= £ £ См (. - ]) ,
.=1
с» = (/' • С- I)-1 - дисперсия оценки т ,
Я = Н = САН ,к • Скк .
3. Показатели эффективности модели
Эффективность модели в рамках методики УаЯ оценивается при помощи ряда показателей, которые строятся на основе бинарной функции потерь [4]:
1, если Ь, > VaR,,
- оценка приращения «логарифмической прибыли» за период упреждения в рамках чистой коллокации;
А/ = т •к + Сан,к • С-1 • (к-I • /и) (2.4)
- оценка приращения «логарифмической прибыли» за период упреждения в рамках параметрической коллокации;
к = (к1, к2,..., кп )Т - заданные значения уровней стационарного ряда значений «логарифмической прибыли», с математическим ожиданием т и автоковариационной функцией См, зависящей только от лага;
СкАН - вектор взаимных ковариаций значений к. , . = 1, ... , п стационарного динамического ряда и значения линейного функционала АН;
ш - оценка математического ожидания стационарного случайного процесса «логарифмической прибыли»;
I - единичный вектор столбец;
ВЬ, =
1 [0, если Ь < VaRl где УаЯ1 - УаЯ инструмента, рассчитанный за 1-ый временной интервал исторических данных, Ь{ = Р-1 - Р - дневной убыток по инструменту на момент I. Данная функция учитывает только факты наличия превышения потерь без учёта величины превышения.
Оценка эффективности модели может быть выполнена при помощи таких показателей, как: средний неиспользованный риск, средний непокрытый риск.
Средний непокрытый риск [4, 5] позволяет оценить степень недооценки риска моделью, что приводит к занижению резервируемого капитала, и вычисляется по формуле:
ГЬ - VaRt, если ВЬ, = 1,
0, если ВЬ, = 0
К =
-1), п - чис-
Среднее значение данной функции К и является средним непокрытым риском.
Средний неиспользуемый риск [4, 5] показывает, насколько в среднем оценка УаЯ превышает реализовавшиеся прибыли/убытки, т.е. характеризует неиспользованный рисковый капитал (завышение резервов). Функция потерь при этом имеет вид:
[VаЯ, -Ьг если ВЬЩ = 0,
°> = I .
[ 0 , если ВЬ{ = 1
4. Результаты вычислений
Применим алгоритмы анализируемых моделей для вычисления показателя ЯМУаЯ для финансового индекса РТС по ежедневным значениям1 за 2009 г. (11.01.2009-31.12.2009) и 2010-2011 гг. (11.01.2010-14.01.2011). Прогнозы выполнены по выборочным данным объёмом 20 наблюдений, уро-
1 Цены закрытия.
Рис. 1. Динамика показателя RMVaR, 2009 г.
Рис. 2. Динамика показателя RMVaR, 2010-2011 гг.
вень доверительной вероятности - у = 1 — а = 0,95, период упреждения к = 1. Число прогнозов: за 2009 г. - 229, и за 2010-2011 гг. - 232.
На рисунке 1 представлены результаты вычислений за 2009 г.: ряд 4 - фактические потери, ряды 1, 2, 3 - значения показателя ЯМуа{ в рамках моделей ЭБД, СД, РК, соответственно.
На рисунке 2 приведены результаты вычислений за 2010-2011 гг.: ряд 4 - фактические потери, ряды 1, 2, 3 - значения показателя ЯМуа{ в рамках моделей ЭБД, СД, РК, соответственно.
Ниже приводятся значения показателей, характеризующих эффективность анализируемых моделей.
2009 г. 2010-2011гг.
Модель F G F G
СД 0,168 55,665 0 63,378
ЭБД 0,148 57,18 0 65,405
РК 0,061 55,565 0,273 45,179
Зарезервированный рисковый капитал не приносит дохода, поэтому желательно, чтобы его значение было как можно меньше. Даже незначительное улучшение критерия О может принести значительную выгоду. Оптимальный результат по данному критерию показывает модель РК.
ЛИТЕРАТУРА
1. Димитриади Г.Г. Концепция Value-at-Risk измерения рыночного риска. - М. : ЛЕНАНД, 2008.
2. Бывшев В.А., Бабешко Л.О. Алгоритм прогнозирования финансовых индексов в рамках стационарной модели Колмогорова-Винера // Монография «Финансовая математика». - М. : ТЕИС, 2001 г. - С. 156-165.
3. Бывшев В.А., Бабешко Л.О., ШандраМ.И. Оценка риска максимальных потерь в рамках рандомизированной коллокации. «Управление риском». - М., 2009 г. - № 4. - С. 44-50.
4. Меньшиков И.С., Шелагин Д.А. Рыночные риски: методы и модели. Научное издание. - М. : Вычислительный центр РАН, 2000.
5. Милосердов А.А., Герасимова Е.Б. Рыночные риски: формализация, моделирование, оценка качества моделей. - Тамбов : ТГТУ, 2004.
