CC BY
49
г
К вопросу о моделировании финансового рынка
ф
>
Z
и
ш X
ш <
m
Si g
^ СТРЕЛЬНИКОВ Евгений Викторович
Кандидат экономических наук, доцент кафедры финансовых рынков и банковского дела
Уральский государственный экономический университет 620144, РФ, г. Екатеринбург, ул. 8 Марта/Народной Воли, 62/45 Тел.: (343) 221-27-15 E-mail: [email protected]
Ключевые слова
РИСК
ФИНАНСОВЫЕ РИСКИ БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СИМУЛЯЦИИ НЕСТАБИЛЬНОСТЬ ФИНАНСОВОГО РЫНКА
ВВЕДЕНИЕ
В условиях современной экономики проблема построения модели финансового рынка, как и рынка в целом, идентификации различных его форм видится достаточно актуальной и приемлемой для исследования. Целью статьи является исследование подходов к методологическому описанию существующей структурной модели современного финансового рынка. С методологической позиции можно разделить все существующие описательные модели1 на несколько методик описания различных вариантов развития рынка, как с институциональной, так и с функциональной точки зрения [2]. Задачей исследования видится анализ различных моделей и форм идентификации/определения вероятностного поведения институциональных участников рынка.
КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ СТРУКТУРИРОВАНИЯ ФИНАНСОВОГО РЫНКА
В рамках теории структурирования финансового рынка мы можем выделить две основные методологические формы.
Во-первых, методика, базирующаяся на оценке УаР компонентов, что с концептуальной точки зрения представляется относительно простым. Так, вместо оценки распределения потерь по типу ^='[г] Х+1) в данном случае показатель Хм будет неким аналогом точно параметрической модели для предполагаемых исторических симуляций (ЫБ1:опса!-
1 В настоящее время существует множество методических и методологических вариантов описания структуры финансового рынка, в частности,
к таким вариантам следует отнести концепции: совершенного рынка капитала; модели САРМ; арбитража на финансовых рынках; многопериодных предпочтений; финансового рынка в условиях асимметричной информации; стохастического вектора дисконтирования. Все перечисленные концепции можно рассматривать в рамках предложенной концепции моделирования финансового рынка с двух позиций: на основе применения УаР компонентов и на основе броуновского движения. Причем обе эти позиции не исключают применение каких-либо других методологических установок.
simulation method)2, которая с успехом используется для измерения факторов риска с целью получения множества имитированных потерь.
Во-вторых, методы, основанные на геометрическом броуновском движении и подобных процессах.
Рассмотрим метод исторических симуляций более подробно. В этом методе база данных формируется посредством применения некой промежуточной функции, т.е. функции оператора потерь /[f] , к каждому из исторических наблюдений вектора изменений факторов риска для получения множества исторически имитированных потерь. В частности, данные потери в целом по экономике можно описать в следующем виде:
Ls = /[t](Xs), s = t - N + 1.....t, (1)
где Ls - риск изменения состояния экономики; /[t](Xs) - совокупность факторов риска; s - количественные варианты состояния экономики; t - период времени; N - совокупность количественных вариантов изменения экономики.
В данном случае Ls может показывать, что должно произойти с текущим состоянием экономики, если изменения факторов риска в день с индексом s будут происходить вновь. В целом, на основании этого фактора или группы факторов риска делается вывод о распределении потерь, и оценка риска будет производиться с применением исторически имитированных данных о возможных потерях [3].
С другой стороны, если предположить, что процесс изменения факторов риска представляется стационарным с применением факторов риска Fx, то эмпирически факторы риска данных видятся как самостоятельная оценка величины Fx . Следовательно, эмпирические факторы риска данных Lt-N +1 ,..., Lt служат состоятельной оценкой факторов риска оператора потерь /^(X).
2 Использование данного метода предполагает построение возможного исторического развития моделируемого процесса [4. С. 254].
Аннотация
Исследование направлено на изучение методологических проблем построения финансового рынка. Автором классифицированы различные типы моделей, характерных для разных субъектов экономики и разных состояний среды функционирования сегментов финансового рынка. Выделены две группы методов построения финансового рынка: методики, базирующиеся на исследовании VaR компонента, и методики, связанные с построением винеровского процесса. В рамках рассматриваемых моделей выделены две подгруппы: основанные на методологии исторических симуляций и базирующиеся на анализе поведения цен на финансовые активы при моделировании уровня волатильности рынка. Сделан вывод, что дифференциация методологических особенностей построения финансового рынка позволит применять новые методы прогнозирования ситуации на финансовом рынке и его сегментах.
JEL classification
G21, G32, G37
On the Modelling of Financial Markets
■o a
a m a
В современной экономике имеются различные способы для имитации исторических данных. Для оценки общего риска любой системы может с успехом использоваться метод оценки эмпирических квантилей1. В этом случае посредством полученных данных могут быть оценены определенные выборные данные, которые можно представить в виде распределения потерь по каждому рассматриваемому случаю. Если обозначить упорядоченные значения данных по определенной экономической ситуации, то можно получить вариант самовозрастающего уравнения:
¿п,п * ..., * Ч п ' (2)
где ¿п
n,n
вариант исторического раз-
j n - последующий
вития экономики; I вариант исторического развития экономики.
При подобном описании положения в экономике и на финансовых рынках в целом возможной оценкой будет являться величина усредненного риска всей экономической системы ¿щ-,.^ п, обозначающая некое целое число, не превышающее N (1- а). Для ситуации в экономике в целом это предполагает возможность выбора концептуального варианта развития экономики, измерения и прогнозирования риска через модуляцию факторов риска [5. С. 57]. Например, при N = 1 000 и а = 0,99 оценка УаР любого сегмента рынка и экономики в целом будет представляться как некое десятое наибольшее значение.
ОСНОВНЫЕ МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ОПИСАНИЯ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ
Для полного понимания необходимо более подробное методологическое описание оценки УаР рассматриваемым способом, т.е. способом исторических симуляций. Методологически система шагов может быть представлена в виде последовательности.
1 Подобный метод достаточно удобен для
определения эмпирически заданных потерь [6].
1. Выбирается тот исторический горизонт, на котором необходимо проводить все измерения. Предположим, выбирается фиксированный горизонт N, на котором будут отслеживаться исторические значения изменения цен 5 всех активов, входящих в некую выборку. Количество активов при этом должно быть ограничено. В частности, в процессе построения выборки следует придерживаться уравнения изменения цен активов, которое может быть представлено в виде
Д5и=5и - 51Ч, I = 1, п; Г = 1, Я, (3) где Д5(Ч - функция изменения цен финансовых активов; 5(Ч-текущая цена финансового актива; - цена финансового актива в период времени —
2. Имитируется предположительная (гипотетическая) цена на финансовые активы 5* каждого 1-го актива. Впоследствии данная цена усредняется к текущей цене 50; при этом анализируется также прирост цен по рынку / экономике в целом согласно соответствующему ?-му сценарию по формуле
5*и=51,0 + 5и , (4)
где 5*и- предположительная цена 1-го актива в период ^ 510- цена финансового актива в начальный период; 5 п - цена финансового актива в последующий период t.
3. Производится переоценка всей текущей совокупности данных по различным сегментам рынка по историческим имитированным ценам, далее для каждого сценария вычисляется потенциальное изменение ценности и стоимости совокупности значимых показателей по усредненной формуле
Д^=V* - V0 , t = 1Я (5) где Д^ - изменение ценности определенного рыночного сегмента; V* - последующая ценность рыночного сегмента; V, - первоначальная ценность рыночного сегмента; t - временной период; N - количество состояний рыночного сегмента.
^ Yevgeny V. STRELNIKOV
Cand. Sc. (Econ.), Associate Professor of Financial Markets and Banking Dept.
Ural State University of Economics 620144, RF, Yekaterinburg, 8 Marta/Narodnoy Voli St., 62/45 Phone: (343) 221-27-15 E-mail: [email protected]
Keywords
RISK
FINANCIAL RISK BROWNIAN MOTION HISTORICAL SIMULATION FINANCIAL MARKET INSTABILITY
Abstract
The purpose of the paper is to study methodological problems of the modelling of the financial market. The author classifies various types of models that are typical of different economic subjects and diverse states of the functioning environment of the financial market's segments. Two groups of methods for modelling the financial market are distinguished: the first one is based on the study of VaR, and the second one is associated with the construction of the Wiener process. The models under consideration were organized into two subgroups: the ones based on the methodology of historical simulations and those based on the behavioural analysis of financial asset prices when modelling the level of the market volatility. The author concludes that differentiation of methodological peculiarities of the financial market modelling will allow applying new methods for forecasting the situation in the financial market and its segments.
JEL classification
G21, G32, G37
г
5 4. Строится гистограмма общего со-8 стояния различных сегментов рынка !2 и экономики в целом, при этом осуществляется как непосредственно оценка и текущего состояния экономики, так и не-ш кий прогноз1.
3 Для более детального определения значения УаР т.е. для поиска величины уровня потерь, при котором вероятность того. что фактические убытки не превысят данного значения, составляет а, в этом случае необходимо вычислить эмпирическое значение квантиля порядка (1-а), используя полученные данные.
На практике четвертый шаг можно реализовать и другим способом - проведя сортировку по убыванию полученных N измерений по сегментам рынка и по экономике в целом2.
Полученные таким образом ранжированные данные можно ввести в определенную шкалу, например от 1 до N. В соответствии с принятой доверительной вероятностью а можно с успехом определить значение УаР всей системы, т.е. рынка или экономики в целом. В подобном случае определенный УаР будет ничем иным как уровнем максимального убытка в экономике или ее сегменте, данный уровень не должен превышать в аЙ случаях пороговых значений, т.е. УаР будет равен некой абсолютной величине изменения с номером, равным определенной целой части числа аЙ. Например, если в экономике сложится ситуация, когда из N=400 сценариев будет 300 случаев потерь и 100 случаев прироста прибыли, то УаР095 будет представлять собой абсолютное значение двадцатого по величине убытка, иными словами, изменения № 380.
При всех особенностях приведенного метода, у него есть как положительные стороны, так и отрицательные. В частности, к положительным характеристикам следует отнести то, что метод исторических симуляций допускает ненормальность распределения, возможность возникновения затянутых «хвостов» распределений [7]. Всё это в результате снижает оценку риска до одномерной задачи, впоследствии данная ситуация приводит к устранению необходимости оценки волатильности и коррелированности, поскольку эти данные уже отражены в результатах нахождения УаР
1 Следует отметить, что горизонт прогноза по данной методике зависит от точности используемых величин [1].
2 При этом производится измерение полученной величины от наибольшего прироста до самого значимого убытка.
С другой стороны, основной недостаток метода - его полная зависимость от частного множества исторических данных. Так, рассмотренный метод и введенное им предположение о том, что прошлое, заложенное в исторических данных, является достаточно надежным представлением будущего, может не полностью отражать действительное положение дел.
Стоит отметить еще одну особенность. Успешность применения метода связана с возможностью сбора достаточного количества надежных данных. Например, данные за один год соответствуют 250 торговым дням, т.е. мы должны построить 250 сценариев поведения рынка, но использование недостаточной выборки данных может привести к различию теоретических и симулированных ситуаций факторов риска потерь, что в свою очередь может исказить «хвосты» распределений и не покажет нежелательные, но экстремальные события. Как следствие необходимо использовать достаточно большую выборку, чтобы количество экстремальных сценариев в исторической записи обеспечивало информативную оценку «хвостов» распределения потерь.
Другим вариантом методологии построения финансового рынка представляется модель геометрического броуновского движения. Основной постулат данной модели - на эффективных рынках цены на финансовые активы изменяются во времени в соответствии с моделью случайного блуждания [8. С. 312]. Рассматриваемая модель представляет собой стохастический процесс, в котором изменение уровня происходит посредством прибавления случайной переменной £ с нулевым средним значением и постоянной дисперсией. В частности, модель случайного блуждания обладает одним свойством, которое наиболее важно при анализе финансовых временных рядов3. Как уже было отмечено, в соответствии с гипотезой эффективных рынков цены активов отображают всю историческую информацию, касающуюся этого актива, и реакцию на поступающую новую информацию по данному активу.
Предполагается, что цены подчиняются процессу Маркова, являющемуся частным случаем стохастического про-
3 Такая особенность, называемая свойством Маркова, заключается в том, что вся информация, необходимая для определения вероятности будущего значения переменной, содержится в текущем ее состоянии [9. С. 432].
цесса, в котором полное распределение связано только с текущим значением цены. Следовательно, прошлая история в данном процессе не играет никакой роли. Итоговый процесс можно сформулировать тремя основными компонентами, которые описываются ниже4.
1. Процесс Винера (броуновское движение).
В целом данный процесс мы можем описать одним основным уравнением:
Д5=£(ДС)1/2, (6)
где 5 - случайная переменная состояния рассматриваемой системы; £ - нормальное распределение состояния системы; С - период времени.
Так, за малый промежуток времени ДС переменная 5 может измениться на некое значение Д5. Таким образом, если 5 следует процессу Винера, то любое изменение 5 за малый промежуток времени будет определяться на основании уравнения (6).
2. При переходе к пределу приращения дифференциалами данное выражение приобретает следующий вид:
ё5=£(Л)1/2, (7)
где ё5 - дифференциал от изменения состояния экономики.
В рассматриваемом случае £ - нормально распределенная переменная. Если это так, то Д5 - это изменение случайной переменной, которое подчиняется нормальному закону со средним, равным нулю, и дисперсией ДС5. В итоге процесс Винера может с успехом описывать практически любые рыночные переменные, отражающие состояние рынка в целом или отдельных его сегментов.
3. Изменение случайной переменной Д5 пропорционально изменению ДС. Данная пропорция эквивалентна следующему соотношению:
Д5-ОД0, ДС), (8)
где Д5 - доля приращения цены финансового актива; N - количество возможных вариантов изменения цен; ДС- изменение временного периода.
Приращения Д5 могут быть независимы во времени. Независимость переменных во времени - важное свойство процесса Винера, которое означает, что значения Д5 можно охарактеризовать как независимые и одинаково распределенные.
4 Данный процесс носит название «процесс Винера» или «броуновское движение» [10. С. 95].
5 В качестве базиса для расчета изменения случайной переменной можно взять цену какого-либо рыночного актива в определенных временных рамках.
Таблица 1 - Моделирование процесса геометрического броуновского движения при расчете изменения цен по инструменту С^ЯиВ_ТОМ (период расчета 01.01.2016-01.07.2016 г.)
Номер шага i Генерирование нормальной величины N(0; 0,02) Приращение цены AS,. Цена St+(
1 0,009356 0,93 100,93
2 0,023802 2,38 103,31
99 -0,033360 -3,33 88,28
100 0,003065 0,30 88,58
Примечание. Таблица рассчитана автором по данным ЗАО «ММВБ». URL: www.micex.ru/marketdata/ analysis?secid=SU26207RMFS9&boardid=TQOB&trade_engine=stock&market=bonds&linetype=can.
Таблица 2 - Моделирование процесса геометрического броуновского движения при расчете изменения цен по инструменту EURUSD_TOM (период расчета 01.01.2016-01.07.2016 г.)
Номер шага i Генерирование нормальной величины N(0; 0,02) Приращение цены ASi Цена S+
1 0,006439 0,85 1,115
2 0,017534 1,33 1,117
99 0,073471 0,35 1,125
100 -0,00406 -0,47 1,110
Примечание. Таблица рассчитана автором по данным ЗАО «ММВБ». URL: www.micex.ru/marketdata/ analysis?secid=SU26207RMFS9&boardid=TQOB&trade_engine=stock&market=bonds&linetype=can.
В общем и целом применение процесса Винера в представленной форме для описания изменения цен активов не всегда возможно по следующим причинам:
а) рыночные активы характеризуются различными степенями волатиль-ности. В описанном процессе волатиль-ность предполагается одинаковой;
б) рисковые активы имеют положительное ожидаемое среднее значение дохода. В рассмотренном случае среднее значение Д5 приближается к нулю, по этой причине в среднем будущая цена не будет отличаться от настоящей.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕННЫХ МОДЕЛЕЙ
В процессе исследования финансового рынка возникают некоторые проблемы. Однако решить их достаточно несложно. Разные рыночные активы, например ценные бумаги, имеют различную волатильность, по этой причине значение £ для таких активов будет разным, что и отражается в значении их волатиль-ности. Подобная проблема может быть с успехом решена посредством умножения £ на параметр о, который представляет собой годовое среднеквадратичное отклонение величины Д5. При введении
некоторой поправки рассматриваемое уравнение будет иметь следующий вид:
ё5=о£Ш1/2, (9)
где ё5 - дифференциал малого периода изменения цены финансового актива; о -ковариация; £ - нормальное распределение величины 5; t-период времени.
Соответственно, выражение для приращения будет иметь следующий вид:
Д5=о£т1/2, (10)
где Д5 - доля приращения цены финансового актива1.
Выражение (10) дает нам возможность говорить о применении формулы геометрического броуновского движения для описания процессов на финансовых рынках. Для примера рассчитаем сдвиг в цене по инструментам, торгуемым на Московской бирже (табл. 1).
По данным табл. 1 можно сделать несколько выводов: во-первых, курс китайского юаня имеет тенденцию к понижению в отношении российкого рубля; во-вторых, исходя из представленной модели приращение цены на юань может
варьировать от +2,39 до -3,33 условной единицы, что также отражается на уровне генерирования нормальной величины цены валютного актива; в-третьих, результаты применения представленной модели показывают относительно большую вероятность «легкой» девальвации китайского юаня по отношению к российскому рублю.
Для большей наглядности можно привести расчет динамики геометрического броуновского движения по парам евро/доллар США и фунт стерлингов/ рубль.
Рассматривая динамику по инструменту евро/доллар США (табл. 2), можно наблюдать изменения приращения цены и динамику развития генерирования нормальной величины на рынке.
По данным табл. 2 можно сделать вывод, что из 100 средних сделок на срочном рынке по паре евро/доллар США по методике, применяющей броуновское движение, мы видим тренд изменения курса евро по отношению к курсу доллара США. Это выражается в уменьшении приращения цены на 0,47 дол и, что в целом свидетельствует о понижательном тренде евровалюты2.
Достаточно интересная и неоднозначная картина выстраивается по паре фунт стерлингов / рубль (табл. 3).
В данном случае мы видим достаточно высокую волатильность британской валюты по отношению к российскому рублю, по рассматриваемой методике можно констатировать факт резкого «обвала» британской валюты в период с 1 января по 1 июля 2016 г. Рассматриваемая методика позволяет сделать некоторые предположения относительно каких-либо изменений курса различных валют3. В целом снижение стоимости фунта стерлинга по отношению к рублю может составить более 3,67 доли на 100 среднесрочных заключенных сделок. Это может вызвать уменьшение стоимости фунта на 5-7% в 12-месячной перспективе.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В исследовании приведены примеры использования моделей структурирования рынка, позволяющих оценить современное состояние финансового рынка и его сегментов. На основании представ-
■о я
T H
a m Я
1 Доля приращения цены финансового актива не может превышать 10% среднерыночного изменения уровня цен на соответствующем сегменте финансового рынка (фондовый, валютный и т.д.).
2 Такой тренд вполне объясним и с позиции решений Европейского центрального банка, которые поддерживают политику количественных смягчений в денежно-кредитной политике еврозоны.
3 Рассмотренное поведение британского фунта следует отнести к частному случаю на валютном рынке, что связано с реализацией процесса Вгех^.
г
Таблица 3 - Моделирование процесса геометрического броуновского движения при расчете изменения цен по инструменту GBRUB_TOM (период расчета 01.01.2016-01.07.2016 г.)
Номер шага i Генерирование нормальной величины N(0; 0,02) Приращение цены AS,. Цена St+(
1 0,043827 0,75 88,50
2 0,073296 0,36 88,25
99 2,074901 0,123 85,43
100 -6,09732 -3,67 84,63
Примечание. Таблица рассчитана автором по данным ЗАО «ММВБ». URL: www.micex.ru/marketdata/ analysis?secid=SU26207RMFS9&boardid=TQOB&trade_engine=stock&market=bonds&linetype=can.
ленного исследования можно сделать несколько выводов:
во-первых, рассмотренные модели позволяют спрогнозировать возможные варианты развития как рынка в целом, так и отдельных его сегментов;
во-вторых, модель исторически имитированных потерь позволяет вполне приемлемо рассматривать пути развития финансового рынка и отдельных его сегментов, хотя и имеет ряд существенных недостатков;
в-третьих, модель на базе винеров-ского процесса позволяет минимизировать влияние уровня неопределенности при вычислении волатильности финансовых активов;
в-четвертых, рассмотренная методика применения броуновского движения при анализе валютного рынка позволяет на основе выборки из 100 измерений делать достаточно точные выводы и прогнозы по состоянию отдельных инструментов на валютном рынке.
В целом, рассмотренная модель геометрического броуновского движения показывает свою жизнеспособность и применимость при вычислении различных видов и типов рынков1.
1 Представленная модель расчета геометрического броуновского движения цен финансовых активов является развитием исследования А. В. Во-ронцовского.
Источники
1. Боткин О.И., Осипов А.К., Сапожников Н.И., Татаркин А.И. Совершенствование финансовой системы в трансформационной экономике // Системный анализ экономики региона. Ижевск, 2000. Ч. 2. С. 28-36.
2. Голощапов Д.Н. Глобализация финансового рынка и инфляция // Финансы и кредит. 2009. № 5(341). С. 71-74.
3. Дорждеев А.В. Риски долговых обязательств как объект управления // Управление риском. 2008. № 3(47). С. 2-9.
4. Люу Ю.-Д. Методы и алгоритмы финансовой математики: пер. с англ. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.
5. Мантенья Р.Н., Юджин С.Г. Введение в эконофизику: корреляция и сложность в финансах / пер. с англ. В.Я. Габескирия. М.: ЛИБРОКОМ, 2009.
6. Сосненко Л.С., Матвеев Б.А. Сигнал риска и его характеристики // Управление риском. 2009. № 1. С. 2-8.
7. Стрельников Е.В. Экономическое значение риска ликвидности и его влияние на положение хозяйствующего субъекта // Современные проблемы науки и образования. 2012. № 5. URL: www.science-education.ru/105-6832.
8. Чиркова Е.В. Анатомия финансового пузыря. М.: Кейс, 2010.
9. Шапкин А.С., Шапкин В.А. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций. М.: Дашков и К°, 2008.
10. Ширяев В.И. Математика финансов: опционы и риски, вероятности, гарантии и хаос. М.: ЛИБРОКОМ, 2009.
References
1. Botkin O.I., Osipov A.K., Sapozhnikov N.I., Tatarkin A.I. Sovershen-stvovanie finansovoy sistemy v transformatsionnoy ekonomike [Improving the financial system in the transformational economy]. In: Sistemnyy analiz ekonomiki regiona [System analysis of the region's economy]. Izhevsk, 2000. Vol. 2. Pp. 28-36.
2. Goloshchapov D.N. Globalizatsiya finansovogo rynka i inflyatsiya [Globalization of financial markets and inflation]. Finansy i kredit - Finance and Credit, 2009, no. 5(341), pp. 71-74.
3. Dorzhdeev A.V. Riski dolgovykh obyazatel'stv kak ob"ekt upravleni-ya [Risks of debt obligations as an object of management]. Upravlenie riskom - Risk Management, 2008, no. 3(47), pp. 2-9.
4. Lyuu Yu.-D. Financial Engineering and Computation (Russ. ed.: Lyuu Yu.-D. Metody i algoritmy finansovoy matematiki. Moscow, BINOM. Laboratoriya znaniy Publ., 2007).
5. Mantegna R.N., Stanley S.G. Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance (Russ. ed.: Manten'ya R.N., Yudzhin S.G. Vvedenie v ekonofiziku: korrelyatsiya i slozhnost' v finansakh. Moscow, LIBROKOM Publ., 2009).
6. Sosnenko L.S., Matveev B.A. Signal riska i ego kharakteristiki [Signal of risk and its characteristics]. Upravlenie riskom - Risk Management, 2009, no. 1, pp. 2-8.
7. Strel'nikov Ye.V. Ekonomicheskoe znachenie riska likvidnosti i ego vliyanie na polozhenie khozyaystvuyushchego sub»ekta [The economic meaning of liquidity risk and its influence on the status of the economic subject]. Sovremennye problemy nauki i obrazovaniya - Modern Problems of Science and Education, 2012, no. 5. Available at: www.science-educa-tion.ru/105-6832.
8. Chirkova Ye.V. Anatomiya finansovogopuzyrya [Anatomy of a financial bubble]. Moscow, Keys Publ., 2010.
9. Shapkin A.S., Shapkin V.A. Ekonomicheskie i finansovye riski. Otsen-ka, upravlenie, portfel'investitsiy [Economic and financial risks. Evaluation, management, investment portfolio]. Moscow, Dashkov i K° Publ., 2008.
10. Shiryaev V.I. Matematika finansov: optsiony i riski, veroyatnosti, garantii i khaos [Financial mathematics: options and risks, probabilities, guarantees and chaos]. Moscow, LIBROKOM Publ., 2009.
■o я
u>
\
H
в m Я
