Научная статья на тему 'Исследование группы автоморфизмов кода, ассоциированного с оптимальной кривой рода три'

Исследование группы автоморфизмов кода, ассоциированного с оптимальной кривой рода три Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
60
12
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ОПТИМАЛЬНАЯ КРИВАЯ / ДИСКРИМИНАНТ КОНЕЧНОГО ПОЛЯ / АГ-КОД / ГРУППА АВТОМОРФИЗМОВ КОДА / ГРУППА АФТОМОРФИЗМОВ КРИВОЙ / OPTIMAL CURVE / DISCRIMINANT OF FINITE FIELD / AG-CODE / AUTOMORPHISM GROUP OF CODE / AUTOMORPHISM GROUP OF CURVE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Малыгина Екатерина Сергеевна

Установлены условия, при которых группа автоморфизмов оптимальной кривой рода три над конечным полем с дискриминантом из множества {-19, -43, -67, -163} изоморфна группе автоморфизмов АГ-кода, асоциированного с такой кривой.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотр
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Investigation of automorphism group for code associated with optimal curve of genus three

Here, we have proved that under certain conditions, the automorphism group of optimal curve of genus three over finite field with discriminant from { 19, -43, -67, -163} is isomorphic to the automorphism group of AG-code associated with such a curve.

Текст научной работы на тему «Исследование группы автоморфизмов кода, ассоциированного с оптимальной кривой рода три»

УДК 519.17 Б01 10.17223/2226308Х/11/36

ИССЛЕДОВАНИЕ ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ КОДА, АССОЦИИРОВАННОГО С ОПТИМАЛЬНОЙ КРИВОЙ РОДА ТРИ

Е. С. Малыгина

Установлены условия, при которых группа автоморфизмов оптимальной кривой рода три над конечным полем с дискриминантом из множества {-19, -43, -67, -163} изоморфна группе автоморфизмов АГ-кода, асоциированного с такой кривой.

Ключевые слова: оптимальная кривая, дискриминант конечного поля, АГ-код, группа автоморфизмов кода, группа афтоморфизмов кривой.

В последнее время в современной криптографии актуальным направлением развития считается исследование и использование криптосистем на основе кодов. Их преимущество заключается в высокой скорости криптографического преобразования информации, однако существуют трудности в их практическом применении из-за большого объёма ключа. Поскольку известные схемы, построенные на кодах Рида — Соломона, могут быть взломаны с полиномиальной сложностью, перспективным представляется использование алгебро-геометрических кодов (АГ-кодов).

АГ-коды предложены В. Д. Гоппой в 1977 г. В современной теории кодирования они называются геометрическими кодами Гоппы, с их помощью можно доказать существование длинных линейных кодов, являющихся лучшими, нежели коды, достигающие границы Варшамова — Гилберта. Благодаря геометрическим кодам Гоппы получено много новых интересных кодов на специальных кривых с большим числом рациональных точек. В теории кодирования весьма часто представляют интерес коды, имеющие большую группу автоморфизмов. В свое время Х. Штихтенот, внеся коррективы в работы Гоппы, заключил, что автоморфизмы кривой рода 0 индуцируют автоморфизмы ассоциированного с этой кривой кода [1]. Те же рассуждения удалось применить К. Ксингу к некоторым эллиптическим и эрмитовым кривым [2, 3]. Возникает вопрос, чем же так примечательна группа автоморфизмов АГ-кода? Оказывается, знание группы автоморфизмов кода или даже части этой группы даёт информацию о структуре кода и зачастую может быть использовано в алгоритме декодирования.

Пусть С — гладкая неприводимая проективная кривая рода д, определённая над конечным полем Ед.

Определение 1. Если число рациональных точек кривой С/¥д удовлетворяет границе Хассе — Вейля — Серра

#С(¥д) = д +1 ± д[2^,

то кривая называется оптимальной.

Введём понятие дискриминанта конечного поля, поскольку далее будем рассматривать оптимальные кривые над конечными полями с заданными дискриминантами.

Определение 2. Число d(Fg) = d = |_2\/(д)_|2 - 4д называется дискриминантом конечного поля Ед.

Учитывая эквивалентность по Ж.-П. Серру [4] между категорией обычных абе-левых многообразий и категорией Ок-модулей, где к = о(^), применяя далее

116

Прикладная дискретная математика. Приложение

теорему Торелли [5] и рассматривая конечные поля с дискриминантами ) Е Е {-19, -43, -67, -163}, можем использовать таблицу классификации эрмитовых модулей с заданными дискриминантами, откуда следует, что порядок группы автоморфизмов оптимальной кривой рода три над конечным полем с указанными дискриминантами равен 6. Следующая теорема описывает структуру группы Аи^ (С).

Теорема 1 [6]. Пусть С - оптимальная кривая рода три над конечным полем с дискриминантом ) Е {-19, -43, -67, -167}. Тогда

Аи^ (С) = В3,

где В3 —диэдральная группа порядка 6.

Существование оптимальных кривых рода три над рассматриваемыми конечными полями доказано в [7]. Следующая теорема даёт явное описание оптимальных кривых.

Теорема 2 [7]. Оптимальная кривая С рода три над конечным полем с дискриминантом d Е {-19, -43, -67, -163} задаётся следующими уравнениями:

г2 = а0 + а^ж + а2ж2 + в0у, у2 = х3 + аж + Ь,

или

г2 = а0 + а1ж + а2ж2 + (в0 + в1х)у,

у2 = ж3 + аж + Ь,

или

г2 = а0 + а1ж + а2ж2 + а3ж3 + (в0 + в1х)у, у2 = ж3 + аж + Ь,

где а0, а1, а2, в0, в1, а, Ь Е Fq.

Отметим, что в условиях предыдущей теоремы кривая С является двойным накрытием оптимальной эллиптической кривой, заданной уравнением у2 = ж3 + аж + Ь.

Переходя к исследованию группы автоморфизмов кода, ассоциированного с оптимальной кривой, полученной выше, введём ряд обозначений:

— J С РС1) \ Р», где Е Е, а Е Р1 при отображениях / : С ^ Е и Е ^ Р1; отметим, что / — двойное накрытие оптимальной эллиптической кривой Е;

— П = И;

— В = Е Р = Р + Р2 + ... + Рп;

р eJ

— Сс(В, гР») —АГ-код, ассоциированный с дивизорами В и гР» (очевидно, что яирр(В) П 8ирр(гР») = 0);

— Аи1(Сс(В, гР»)) — группа автоморфизмов кода Сс(В, гР»).

Переобозначим группу автоморфизмов кривой в терминах группы автоморфизмов функционального поля этой кривой, ассоциированной с дивизорами В и гР», как Аи^>грте (С^ ).

Согласно [8], любой элемент группы Аи1д,гРто ) индуцирует автоморфизм соответствующего кода Сс(В, гР»). Таким образом, Аи^;ГРто (С/Рд) С Аи1(Сс(В, гР»)). Однако благодаря следующей теореме получаем изоморфизм между соответствующими группами автоморфизмов.

Теорема 3. Пусть — оптимальная кривая рода три, определённая над ко-

нечным полем с дискриминантом из {-19, -43, -67,-163}; элементы ж, у, г Е С)

такие, что (x)^ = kP^, (y)^ = mP^ и (z = IP^, где m> I > k. Пусть D = Y1 P,

p ej

где J С PC1) \ P^. Если n > max{3r, 2(1 + (k — 1)/ц) , 2 (m + (k — 1)/п)}, причём ^ = min{k — 1, Z ■ zz E C(rP^)}, п = min{k — 1, £ : y? E C(rP^)}, то

Aut(Cc(D,rP^)) - AutD>rpTO(C/Fq).

ЛИТЕРАТУРА

1. Stichtenoth H. On automorphisms of geometric Goppa codes //J. Algebra. 1990. V. 130. Iss. 1. P. 113-121.

2. Xing C. Automorphism group of elliptic codes // Communication in Algebra. 1995. No. 23(11). P. 4061-4072.

3. Xing C. On automorphism groups of the Hermitian codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1995. No. 41(6). P. 1629-1635.

4. Lauter K. Geometric methods for improving the upper bounds on the number of rational points on algebraic curves over finite fields. With an appendix by J.-P. Serre // Algebraic Geometry. 2001. No. 10(1). P. 19-36.

5. Milne J. S. Abelian Varieties. 2008. www.jmilne.org/math/

6. Alekseenko E. and Zaytsew A. Explicit equations of optimal curves of genus 3 over certain fields with three parametrs // Contemporary Math. 2015. No. 637. P. 245-256.

7. Alekseenko E., Aleshnikov S., Markin N., and Zaytsew A. Optimal curves over finite fields with discriminant —19 // Finite Fields and Their Applications. 2011. No. 17(4). P. 350-358.

8. Stichtenoth H. Algebraic Function Fields and Codes. Springer, 2009.

УДК 519.7 DOI 10.17223/2226308X/11/37

ПРИМЕНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ АВТОМАТОВ ДЛЯ НЕЧЁТКОГО БИНАРНОГО ПОИСКА

И. В. Панкратов

Рассматривается задача нечёткого поиска булевых векторов в потоке данных. Под нечётким вхождением искомого вектора понимается вхождение вектора, близкого к искомому в смысле расстояния Хемминга. Предлагается метод построения конечного автомата для решения данной задачи по заданному набору искомых шаблонов в виде булевых векторов (возможно, частично определённых) и допустимого отклонения для каждого шаблона. Возможно построение автомата, принимающего на вход отдельные биты данных, и автомата, принимающего сразу группы битов. Приводятся оценки размеров таблиц переходов и выходов автомата. Представлены экспериментальные данные производительности поисковых автоматов, принимающих на вход отдельные биты данных, четвёрки битов и восьмёрки битов, а также производительность классического подхода к задаче нечёткого поиска, основанного на регистре сдвига.

Ключевые слова: поисковые автоматы, нечёткий поиск, бинарный поиск, син-хропосылка, поиск подстроки, КМП-поиск, алгоритм Ахо — Корасик.

1. Задача бинарного поиска в потоке данных и классический подход к ней

Рассматриваемую задачу можно сформулировать так. Имеется двоичная последовательность (поток данных) и набор из n булевых векторов (слов) различной длины, далее называемых шаблонами. Необходимо найти в последовательности вхождения

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.