CC BY
39
ЗАЩИТА ИНФОРМАЦИИ
УДК 512.81, 519.95
Е. С. Алексеенко
АЛГЕБРО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ КОД,
АССОЦИИРОВАННЫЙ С КРИВОЙ РОДА 3 НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ С ДИСКРИМИНАНТОМ -19
Описаны построение AG-кода и процедура декодирования с точки зрения пространств, ассоциированных с дивизорами.
The construction of an AG-code and the process of decoding are described by the Rimann-Roch spaces.
Ключевые слова: алгебро-геометрический код, алгебраическая кривая, пространство Римана-Роха.
Key words: algebraic-geometric code, algebraic curve, code automorphism, Riemann-Roch space.
Идея построения линейных кодов, ассоциированных с алгебраическими кривыми, определенными над конечным полем Fq, была представлена Гоппой. Такие коды обычно
называются алгебро-геометрическими кодами (AG-кодами). Обычно AG-коды с хорошими параметрами ассоциированы с кривыми с большим числом F? — рациональных точек в
соответствии с родом кривых g.
Цель этой статьи — исследовать параметры AG-кода, ассоциированного с некоторым классом максимальных кривых. Число точек таких кривых удовлетворяет границе Хассе — Вейля — Серре.
\z2 = 5 + 45x + 30x2 + 10y,
Рассмотрим максимальную кривую C : < определенную над полем F47,
^y = x + x + 38,
с числом рациональных точек, равным n = C(F?) = 87. Для упрощения дальнейших вычислений данную систему уравнений мы можем свести к следующему уравнению над F47 :
z4 + 37z2 + 4z2x + 34z2x2 + 32 + 21x + 22x2 + 15x3 + 7x4 = 0 . (1)
Перейдем непосредственно к вычислению параметров AG-кода. Пусть CL (D, G) — алгеброгеометрический код, определенный для рациональных дивизоров D и G на несингулярной проективной кривой C над F47 . В качестве дивизора D = P1 +... + P87 рассмотрим дивизор, состоящий из суммы точек нашей кривой, где P1 = (2, 46, 8),..., P87 = (46,6, 35). Если же свести нашу систему к уравнению (1), то достаточно рассмотреть точки P1 = (2, 8),..., P87 = (46, 35) . Отметим, что степени точек равны degPt = 1 для i = 1, ..., 87. В качестве дивизора G, такого, что supp GIsupp D = 0, рассмотрим G = 5O , где G = f_1(ю') =
= I e(O | ж')-O , и f: C ^ E, ж' e E, же P1. Поскольку degO = 2, то deg G = 10, и
O |ю
dim G = deg G +1 - g = 8 (по теореме Римана — Роха).
Пусть L(G) — пространство, ассоциированное с дивизором G. В качестве базиса L(G) рассмотрим {1, x, x2, x3, z, z2, xz2, x2z2 j . Тогда код
CL(D, G) = {(1(P1),..., 1(P87),..., x2z2(P1),..., x2z2(P87) 11,..., x2z2 e L(G)j с f477.
Параметры кода найдем с помощью следующей теоремы.
Теорема. Если степень дивизора G меньше n, то CL (D, G) - [n, k, dj-код, где d > n - deg G -1 и k = dim G > deg G +1 - g -1.
Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2010. Вып. 10. С. 104-107.
Окончательно, учитывая нижнюю границу для минимального ' расстояния, получаем код с параметрами [87, 8, d], где 76 < d < 81. Значение d уточним с помощью следующей теоремы.
Теорема. Пусть CL (D, G) — [n, k, d]-линейный код над полем Fq с проверочной матрицей B, s є N.
Тогда d = s тогда и только тогда, когда любые s - 1 столбцов матрицы B являются линейно независимыми и существуют s линейно зависимых столбцов.
Г fl( Pl) ... fl( Pn )Л
Учитывая, что порождающая матрица A = : :
U (Pl) ... fk(Pn )
где fi — элементы базиса пространства L(G) для i = 1, ..., k, а также решая систему уравнений
B • AT = 0 и учитывая предыдущую теорему, окончательно получаем, что параметр d = 77.
Таким образом, код CL (D, G) является [87, 8, 77]-кодом.
Опишем процедуру декодирования для CL (D, G). Пусть а — вектор, который мы желаем декодировать. Отметим, что расстояние от а до кодового слова CL (D, G) минимально. Также мы найдем функцию локатора ошибок вектора а, которую можно определить, решив систему линейных уравнений. Пусть t — целое, удовлетворяющее условию
0 < t <(d*-1)/2, (2)
где d* — определяющее расстояние кода CL (D, G). Следующая теорема даст нам условия, относительно которых мы найдем пространство функций локатора ошибок.
Теорема. Если есть дивизор G1 на кривой C, удовлетворяющий условиям
supp G11supp D = 0, degG1 <degG-(2g-2)-t, dimG1 >t, (3)
то L(G1) содержит функцию локатора ошибок для вектора а. В частности, f є L(G1) является
і
функцией локатора ошибок тогда и только тогда, когда f = I аі^і , где (Х1,..., Хі) = К,..., аі) —
1=1
нетривиальное решение линейной системы і
I[а, !|Пр] • Хі= 0, для р = 1,..., k, (4)
і=1
где (|1,..., £,i} и {n1,..., nk} — базисы пространств L(G1) и L(G - G1) соответственно.
В нашем случае в качестве дивизора G1, удовлетворяющего условию (3) предыдущей теоремы, следует рассмотреть G1 = 2O . При этом очевидно, что t = 2 удовлетворяет условию (2).
Теперь определим базисы пространств: L(G1), L(G - G1), L(G). Для этого первоначально найдем размерности дивизоров, ассоциированных с этими пространствами. dim G1 = dim 2O = 3 = і, dim(G - G1) = dim 3O = 4 = k.
Имеем: (|1,..., ^} = (1, x, z} — базис L(G1); (n1,..., nk} = (1, x, z, x2} — базис L(G-G1); (|1,..., }
= {1, x, x2, x3, z, z2, xz2, x2z21 — базис L(G).
Система (4) принимает вид
[а, Пр] • x1 + [а, x(Pi) • Пр] • x2 + [а, z(P) • Пр] • x3 = 0, р = 1,..., 4; i = 1,..., 87, или более подробно:
[а, 1] • x1 + [а, x(Pi)] • x2 + [ а, z(P.\)] • x3 = 0,
[а, x(Pi)] • x1 + [ а, x2 (Pi)] • x2 + [ а, xz(Pt)] • x3 = 0,
[а, z(Pi)] • x1 + [а, xz(Pi)] • x2 + [а, z2 (Pt)] • x3 = 0,
[а, x2(Pi)]• x1 + [а, x3(Pi)] • x2 + [а, x2z(Pi)] • x3 = 0.
Окончательно система сводится к следующему виду:
39 • x3 = 0,
13 • x3 = 0,
39 • x1 +13 • x2 + 21 • x3 = 0,
38 • x3 = 0.
Итак, уравнение имеет нетривиальное решение: (x1,44x1,0) в поле F47 . Положив x1 = 1, имеем решение системы (1, 44, 0).
і
Итак, получаем функцию локатора ошибок f = ЕаіЛ,, то есгь f(pi)=1+44 • x(P) для i = 1, •••,
,=1
87. Наконец, решим систему
X С,(Pv)• xv= [а, Z,],
veN( f)
где N(f) = {v | f (Pv) = 0, v = 1,..., 87}. Решением является вектор x =
= (0,..., 0, 46, 46, 1, 1, 0,..., 0), где на i-х местах стоят нули при i ф 31, 32, 33, 34.
Полагая e = x, получаем, что
с = а — e = (34, 7, 41, 0, 9, 1, 1, 31, 1, 1, 34, 0, 1,., 2, 2, 0, 0, 1,., 2, 0) -
кодовое слово, ассоциированное с вектором а (на местах многоточия стоит соответствующее число единиц). Следует также отметить, что с є CQ(D, G) и w(e) < t +1, где CQ(D, G) — код, дуальный к CL (D, G), w(e) — вес вектора ошибок e.
Если же положить G = 41O , то процедуры построения кода и декодирования осуществляются аналогичным образом, за исключением громоздких вычислений и выкладок. Поэтому ограничимся лишь представлением конечного результата, а именно: CL (D, G) является
[87, 80, 5]-кодом Гоппы.
Мы показали процедуру декодирования с точностью до t = 2 ошибок для геометрического кода Гоппы CL (D, G). Следует также отметить, что все вычисления проверены и в системе компьютерной алгебры MAGMA. Таким образом, можно сделать вывод, что AG-коды, основанные на максимальных кривых, определенных в [1] над конечным полем с дискриминантом -19, являются пригодными для кодирования информации.
Список литературы
1. Alekseenko E., Aleshnikov S., Markin N., Zaytsev A. Optimal curves of genus 3 over finite fields with discriminant -19 // arXiv: 0902.1091v1 [math. AG], Feb. 2009.
2. Алексеенко Е. С., Алешников С. И., Зайцев А. И. Общие уравнения оптимальных кривых над конечным полем с дискриминантом -19 / / Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2008. Вып. 10. С. 73 — 79.
3. Stichtenoth H. Algebraic function fields and codes. N.-Y.: Springe-Verlag, 1991.
4. Goppa V. D. Codes on algebraic curves // Dokl. Akad. Nauk. SSSR. 1981. 259. P. 1289 — 1290.
5. Blahut R.E. Decoding of cyclic codes and codes on curves // Handbook of coding theory. V. S. PLess, W. C. Huffman and R. A. Brualdi, eds. Amsterdam: Elsevier, 1998.
6. Feng G.-L., Rao T. R. N. Improved geometric Goppa codes. Part I: Basic Theory // IEEE Trans. Inform. Theory. 1995. Vol. 41. P. 1678—1693.
Об авторе
Екатерина Сергеевна Алексеенко — ассист., РГУ им. И. Канта,
e-mail: ekkat@inbox.ru
Author
Ekaterina Alekseenko — assistant, IKSUR, e-mail: ekkat@inbox.ru
