О конструкции кривой, соответствующей подкоду наименьшего веса рационального кода Гоппы Текст научной статьи по специальности «Математика»

www.volsu.ru

DOI: https://doi.oгg/10.15688/j•volsu1.2016.4.5

УДК 512.77 ББК 22.147

О КОНСТРУКЦИИ КРИВОЙ, СООТВЕТСТВУЮЩЕЙ ПОДКОДУ НАИМЕНЬШЕГО ВЕСА РАЦИОНАЛЬНОГО КОДА ГОППЫ

Юлия Сергеевна Касаткина

Старший преподаватель кафедры компьютерной безопасности, Балтийский федеральный университет им. И. Канта yuliya_kasatkina@list.ru

ул. А. Невского, 14, 236041 г. Калининград, Российская Федерация

Анна Сергеевна Касаткина

Преподаватель кафедры экономики и информационных технологий, Западный филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы kasatkina_ana@mail.ru

ул. Артиллерийская, 18, 236016 г. Калининград, Российская Федерация

Аннотация. Исследуется конструкция кривых, ассоциированных с геометрическими кодами Гоппы. Для построения этих кривых используются под-коды малого веса. В работе изложен способ построения кривых, ассоциированных с рациональными кодами Гоппы.

Ключевые слова: геометрический код Гоппы, обобщенный вес кода, 3 подкод наименьшего веса, алгебраическая кривая, способ построения кривой.

сч

и <

га

* Введение

«

Е-СО

я При построении эффективной системы связи, для защиты сообщения от ошибок , используют помехоустойчивое кодирование, поэтому проблема получения новых кодов с ^ хорошими характеристиками представляется актуальной. Конструкция некоторых клас-я сов кодов требует кривые, обладающие достаточным числом рациональных точек. Для к построения таких кривых возможно использовать кодовые слова малого веса. Этим косо довым словам можно поставить в соответствие кривые Артина — Шрайера. Соответ-¡5 ствие, в свою очередь, может быть продолжено до подкодов, на которых достигается @ обобщенный вес Хемминга, и расслоенного произведения кривых Артина — Шрайера.

В работе приводятся некоторые результаты, полученные в процессе построения кривых, в конструкции которых участвуют геометрические коды Гоппы Сь(Р,С) над конечным полем Рр с параметрами [п,к].

1. Весовая иерархия и конструкция подкодов наименьшего веса

Алгебро-геометрический подход к теории кодирования информации начал развиваться в начале 80-х гг. прошлого столетия. Идея построения кодов на точках алгебраических кривых принадлежит Валерию Денисовичу Гоппе. Линейный код Гоппы, связанный с гладкой проективной кривой С над конечным полем, определяется следующим образом. Пусть С — абсолютно неприводимая гладкая проективная кривая над полем Рр. Пусть Рг,...,Рп есть различные ^-рациональные точки на С и дивизор Р = Р\ + ... + Рп. Дивизор С € Ргь(С) такой, что носители С и Р не пересекаются. Линейное пространство

Р(С) = {/ € Рр(С)* |(/)+ С > 0} и {0}

порождает линейное отображение

Еу : Р(С) ^ ррп, (/(Рг),...,/(Рп)).

Образ этого отображения есть линейный [п,к]-код Сь(Р,С) над конечным полем Рр.

Если С — линейный код длины п и размерности к, то носитель подкода Р С С определяют как множество номеров координат, в которых по крайней мере одно кодовое слово имеет ненулевую координату [4]. Обозначим носитель х(^). Тогда

Х(Р) = {г |3ж = (хг, ...,Хп) € Р,Хг = 0}.

Количество элементов в носителе определяет вес подкода Р:

и(Р) = 1Х(Р)1.

г-й обобщенный вес Хемминга кода равен весу, оказавшемуся наименьшим среди весов подкодов кода С, размерности г, то есть

4(С) = тт{ш(Р) 1Р С С, Р = г }, 1 < г < к.

Весовой иерархией кода С называется набор:

К (С) |1 < г < к }.

Известно, что г-й обобщенный вес Хемминга кода Сь(Р,аР^>) может быть вычислен по формуле

йг(СЬ(Р, аР^)) = п — к + г, 1 < г < к.

Но, кроме иерархии весов кода, требуется явная конструкция подкода, на котором достигается обобщенный вес Хемминга. В частности, для геометрических кодов Гоппы вида Сь(Р,аР^) подкоды минимального веса можно построить следующим образом. Пусть Рг — г-мерный подкод ^р-кода С, носитель которого удовлетворяет условию

1х(Рг )| = ¿г (С).

Предположим, что этот подкод порождается элементами Еу(}\),... ,Еу(/г). Выполнение условия для носителя говорит о том, что в базисе кода Иг все кодовые слова имеют точно п — йг различных координат, значения которых равны нулю для всех элементов базиса. Или, формулируя вышесказанное в терминах дивизоров, получим

Ш = А + Вг — аР^, 1 < г < г,

где дивизоры А и Вг такие, что:

0 < А < Р, deg А = п — ¿г> 0,1 < г < г.

Причем, носитель дивизора В^ может состоять из рациональных точек. Построенные таким образом элементы /¿, 1 < г < г представимы в виде:

а

¡'г(х) = Д (х — О,-), Е Рр, 1 < I < Г.

3=1

Дальнейшая конструкция требует представления полученного кода в виде след-

кода.

2. Представление подкода в виде след-кода

Для того чтобы представить подкод наименьшего веса в виде следа некоторого кода, определенного над полем Ррт, потребуется расширить поле констант. Напомним, что алгебраическое расширение Р'/К' поля Р/К называется расширением поля констант, если = РК'.

Рассмотрим поле рациональных функций Рр(х)/Рр. Тогда расширение Ррт (х)/Ррт является расширением поля констант. В поле рациональных функций Рр(х)/Рр существует точно р +1 точка степени один. Выясним поведение рациональных точек при подъеме поля констант.

Лемма. Если Р — рациональная точка поля Рр(х)/Рр, то в расширении Ррт(х)/Ррт существует единственная точка степени один, лежащая над точкой Р.

Доказательство. Пусть Q точка поля Ррт (х)/Ррт, лежащая над точкой Р. Тогда из условия

f (<2\Р) • degР = degQ • т следует, что относительная степень

/(^ \Р) = degЯ • т.

Так как $((^\Р) < т, следовательно degЦ = 1. Таким образом, над точкой Р будут лежать только рациональные точки поля Ррт (х)/Ррт. Известно, что расширение поля констант не разветвлено, то есть индекс ветвления е((^ \Р) = 1, для всех точек Р Е Е Рад и всех точек Ц Е РррШ (х) таких, что Ц \Р. Если — все точки поля

Ррт (х)/Ррт, лежащие над Р, тогда из условия

г

Е \р) • f (^ \р ) = т

г=1

заключаем, что г = 1. Следовательно, над точкой Р будет лежать одна точка поля Ррт(х)/Ррт. Лемма доказана.

Пусть Р'/К' — алгебраическое расширение поля Р/К. Для точки Р Е Р^ конорма определяется следующим образом:

СапР,/Р(Р) = ^ е(Я\Р) • Я, Я1Р

где сумма берется по всем точкам Q, лежащим над точкой Р, а целое число е^ \Р) — индекс ветвления точки над Р.

Для элемента х — а € Рр(х) обозначим (х — ар)$ — дивизор нулей этого элемента. Имеем

(Х °р)о = Ра.

Рассмотрим дивизор нулей этого же элемента в поле Ррт (х) = Р':

(х — а)о = СапР,/Р((х — а)*) = Сапр//р (Ра) = ^ е^ \Р) • <3 = д.

Я1Р

Таким образом, точка Q, лежащая над точкой Ра, является единственным нулем элемента х — а.

Пусть ¡г — элементы поля Рр(х), причем

¡'г(х) = Д (х — а^), Е Рр, 1 < г < г.

3 = 1

Каждому элементу поставим в соответствие элемент В,^(х), определяемый следующим образом:

т— 1

а т—1

Ям*) = (£ (Ьх)рВ )а—1Ьх — Е «у С (Ьх)р )а—2Ьх + в=0 ]=1 6=0 а т—1 а

+ £ ау а* (£ (ЪхГ )а—3Ъх — ••• + (—1)а—2 £ ощ • ... • аг,а_2 £ (ЪхГ Ъх +

з=к «=0

т— 1

31<...<3а-2 а

в=0

+ (—^Е «Ш • .. • Ог3а-1 ЬХ + ( — 1)аО

31<...<3а-1

где Тг(аг) = П О?. Здесь Тг — отображение следа:

3 = 1

Тг : Ррт ^ Рр, т Е Z, т > 1. Элемент Ь Е Рр™ такой, что Тг(Ь) = 1.

Теорема. Пусть Рг — г-мерный подкод Рр-кода С = Ср(Р,аР^), носитель которого удовлетворяет условию \х(Ог)\ = <ЛГ(С). Для любого кодового слова с Е Рг существует элемент К Е Рр™ [х] такой, что

Тгоспл (Я) = с.

Доказательство. Пусть Рг — г-мерный подкод ^р-кода Гоппы С = Сь(Р,аР^). Предположим, что код Иг порождается кодовыми словами с1,...,сг, где Сг = Еу(}'г), 1 < < г < г. Элементы /1,...,/г Е Р(аР^) являются линейно независимыми над Рр. Осуществим выбор базиса кода Иг таким образом, чтобы элементы 1 < г < г допускали представление в виде

а

= П(х — ),

3=1

где а,] Е Рр, 1 < г < г. Каждому элементу ¿\(х) поставим в соответствие Яг Е Рр™ [ж]. Пусть точка Ра Е 8ирр(Соп(Д)), 1 < ^ < п, тогда

Ра Рх—~Уа , "Уа Е Рр.

Для точек Ра Е вирр(Соп(Д)), 1 < в < п выполняется

Тг(Яг(Р3)) = МУа).

Тогда для 1 < г < г получим

Ттсоп(В)(Яг) = ЩЩРг), ..., Пг(Рп)) = (Мл), ..., ¡г(Уп)) = Сг.

г

Пусть с — кодовое слово, тогда с = ^ вгС*, вг Е Рр, следовательно, получим

г=1

г г г

С =^2 вгСг = ^2 вi ТгСоп(Д)(Дг) = ТГсоп(Я)(^ вгЯг).

г=1 г=1 г=1

Теорема доказана.

Таким образом, если Рг — г-мерный подкод ^р-кода С = Сь(Р,аР^), носитель которого удовлетворяет условию

1Х(РГ )| = ¿г (С),

элементы Я1,...ЯГ Е Рр™(х) такие, что ТгСоп(д)(Д^) = Сг, 1 < г < г, где с1,...,сг — базис кода Вг, то, обозначив и = (Я1,... ,ЯГ) — г-мерное векторное пространство над полем Рр, получим

Тгсоп(д) (и) = Вг.

3. Анализ явного вида кривой, соответствующей подкоду наименьшего веса

рационального кода Гоппы

Пусть Рг — г-мерный подкод рационального кода Гоппы С^(Р,аР^), носитель которого удовлетворяет условию

1Х(РГ )| = ¿г (Сь(Р,аР^)).

Элементам базиса с^ этого подкода поставим в соответствие кривые Артина — Шрайера Сп1 с аффинным уравнением

ур - Уг = Щх), 1 < г < г,

здесь элемент Рг(х) Е и соответствует слову сщ. ^р-векторное пространство и С С Ррт (х) и подкод Рг связывает следующее соотношение:

Ттсоп(в)(и) = {Ттсоп(в)(Я) \я Е и } = Рг, где Тг — отображение следа

Тг : Ррт —у Рр.

Для элемента Р Е и обозначим фд(Р) = Рр - Т - Р Е Р[Р]. Пусть Ри -поле разложения всех многочленов фп(Р) над полем Р = Ррт(х). Многочлен фя(Р), соответствующий элементу 0 = Р Е и, либо неприводим над полем Р, либо разлагается в произведение линейных сомножителей. Предположим последнее, то есть существует элемент г Е Р, являющийся корнем фд(Т). Тогда гр - г = Р и, кроме того, уп (г) > 0 для всех точек Рг Е Р^. Вычислим

Тгсоп с (Я) = (Тфр - г)(Рг),..., Тфр - г )(Рп)). Полагая вг = %(Рг) Е Рр™, 1 < I < п, получим:

Тгсоп И (Я) = (Тг(вр - в1),..., Тг(врп - вп)). Тогда ТгСопД(Р) = 0. С другой стороны, 0 = Р Е и, следовательно, существуют

г

элементы а Е Яр такие, что Р = агРг. Вычислим

г=1

ТгСоп(Д)(Д) = Тг(^2 аРг) = ^2 а ТгСоп(0)(Яг) = £ *гСг

=1 =1 =1

где сг - кодовое слово, ассоциированное с элементом Рг Е и. Таким образом, имеем 53 асг = 0, что возможно только в случае равенства нулю всех коэффициентов аг Е Рр.

=1

Но это противоречит выбору элемента 0 = Р Е и, следовательно, многочлен фд(Р) неприводим. Поле Рц является полем разложения сепарабельных многочленов фд(Р) над Р и, следовательно, расширение Рц/Р является расширением Галуа. Рассмотрим элементы у1 ,...,уг Е Ри такие, что

Ур - Уг = ^

тогда Ри = Р(у1,...,уп). Обозначим Са1(Ри/Р) - группа Галуа расширения Ри/Р. Отображение а : Р — Р определим следующим образом:

а(Уг) = Уг + а, а Е Рр, 1 < г < г,

тогда а Е Са1(Ри/Р). Имеем

рг <\Са1(Ри/Р)\ = [Ри : Р] < рг.

Таким образом, [Рц : Р] = рг. Кроме того, для всех а Е Са1(Ри/Р) выполняется ар = Тогда расширение Ри/Р является элементарным абелевым р-расширением [2].

Существует точно промежуточных полей Р С Е С Еи степени [Е : Р] = р, каждое из которых определяется следующим образом:

Е = ЕК = Р (у), у? — у = К ЕИ\{0}.

Таким образом, имеем Еи/Р — элементарное абелево расширение степени рг. Основные параметры этого расширения исследуются в работе [1]. Тогда существует элемент у Е Еи такой, что Еи = Р(у), при этом минимальный многочлен элемента у над полем Р имеет вид

-1

ф(Т) = ТрГ — Т — г, г = ЕЕ а-1Щ.

3 = 1 г=0

Поле Еи — поле рациональных функций кривой Свг, которая соответствует подко-ду Иг. Таким образом, подкоду наименьшего веса соответствует кривая над полем Ррт, задаваемая уравнением

V" — V = £ Е а

3=1 г=0

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Касаткина, Ю. С. Анализ рода кривой, соответствующей подкоду наименьшего веса рационального кода Гоппы / Ю. С. Касаткина, А. С. Касаткина // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2014. — № 4 (23). — C. 6-10.

2. Garcia, A. Elementary Abelian p-Extensions of Algebraic Function Fields / A. Garcia, H. Stichtenoth // Manuscripta math. — 1991. — Vol. 72. — P. 67-79.

3. Stichtenoth, H. Generalized Hemming Weights of Trace Codes / H. Stichtenoth, V. Voss // IEEE Trans. Inform. Theory. — 1994. — Vol. 40. — P. 554-558.

4. Wei, V. K. Generalized Hemming Weights for Linear Codes / V. K. Wei // IEEE Trans. Inform. Theory. — 1991. — Vol. 37. — P. 1412-1418.

REFERENCES

1. Kasatkina Yu.S., Kasatkina A.S. Analiz roda krivoy, sootvetstvuyushchey podkodu naimenshego vesa ratsionalnogo koda Goppy [On the Genus of the Curve Corresponding to the Subcode of Low Weight of a Rational Goppa Code]. Vеstnik Volgogradskogo gosudars^nnogo univеrsitеta. Sеriya 1, Matеmatika. Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics], 2014, no. 4 (23), pp. 6-10.

2. Garcia A., Stichtenoth H. Elementary Abelian P-Extensions of Algebraic Function Fields. Manuscripta math., 1991, vol. 72, pp. 67-79.

3. Stichtenoth H., Voss V. Generalized Hemming Weights of Trace Codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 1994, vol. 40, pp. 554-558.

4. Wei V.K. Generalized Hemming Weights for Linear Codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 1991, vol. 37, pp. 1412-1418.

ON CONSTRUCTION OF THE CURVE CORRESPONDING TO THE SUBCODE OF LOW WEIGHT OF A RATIONAL GOPPA CODE Yuliya Sеrgееvna Kasatkina

Senior Lecturer, Department of Computer Security, Immanuel Kant Baltic Federal University yuliya_kasatkina@list.ru

A. Nevskogo St., 14, 236041 Kaliningrad, Russian Federation

Anna Sеrgееvna Kasatkina

Lecturer, Department of Economics and Information Technology,

RANEPA (west branch)

kasatkina_ana@mail.ru

Artilleriyskaya St., 18, 236016 Kaliningrad, Russian Federation

Abstract. The theory of codes derived from algebraic curves was initiated by the works of V.D. Goppa. Since that time this theory has received an active development. Construction of certain classes of codes is based on the curves with sufficient number of rational points. In this paper we study curves arising from the subcode of low weight of a rational Goppa code.

According to algorithm of construction, first of all, it is necessary to represent subcode of low weight as a trace code. Let CL(D,aP^) be a rational Goppa code over Fp with parameters [n, k] and let Dr denote the r-dimensional subcode of this code such that

lX(Dr )| =dr (CL(D,aPx)).

We need to represent subcode of low weight as follows

Troon(D)( U) = {Trcon(D)( R) IR eU } = Dr,

where U is r-dimensional Fp-vector space and Tr is trace map

Tr : Fpm —y Fp.

Vector space U can be constructed in the following way. Let {c1,..., cr} be a basis of subcode of low weight of a rational Goppa code. Elements R1,...,Rr correspond to elements of basis and can be constructed as

m—1 a m—1

Rfi(x) = (E (bxf )a~lbx - E m E (bx)pS )a~2bx +

s=0 j=1 s=0

a m l

+ E OijOik(E (bx)pS)a-%x -

j=k s=0

a m-1

+ (-1У-2 E ал ■... ■ **._=>£ (bx)pSbx+

jl<...<ja-2 S=0

a

+ (-l)a 1 Oin ■... ■ a ja~i bx + (-1)аа.

jl<...< ja-1

Thus we obtain Rx, ...Rr e Fpm(x) such that TrCon(D)(Ri) = Q, 1 < i < r, where {c',...,cr} is a basis of Dr.

We denote U = {R\,..., Rr}. Then U is r-dimensional Fp-vector space and

Trcon(D)(U) = Dr.

Let Ev be the function field of curve CDr, corresponding to the subcode of low weight Dr. So, the curve over field Fpm corresponds to the subcode of low weight. The equation of this curve is

V - V = £ £ a'-'Bf.

3=' i=0

Key words: geometric Goppa code, generalized Hemming weight of the code, subcode of low weight, algebraic curve, algorithm for constructing a curve.