CC BY
4
УДК 532.526.2
DOI: 10.53815/20726759_2021_13_4_86
В. В. Башкатов1, Г. Н. Дудин1'2
1 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Центральный аэрогидродинамический институт имени профессора Н. Е. Жуковского
Исследование гиперзвукового обтекания теплоизолированной скользящей пластины на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия при переменных условиях на задней кромке
Цель работы - исследование влияния на характеристики течения и распространение возмущений индуцированного давления четвертых членов разложений в окрестности передней кромки для функций течения в пространственном пограничном слое при обтекании скользящей пластины конечной длины на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия при переменных условиях на задней кромке. Установлено, что четвертый член разложения пропорционален второй производной от индуцированного давления по поперечной координате. Сформулированы и решены соответствующие краевые задачи для четырех членов разложения в зависимости от определяющих параметров и показана важность учета четвертого члена разложения при расчете характеристик обтекания при наличии угла скольжения и достаточно большой второй производной давления на задней кромке пластины по ее размаху. Научная новизна работы заключается в том, что краевая задача для четвертых членов разложения была сформулирована и решена впервые.
Ключевые слова: пространственный пограничный слой, скользящая пластина, сильное взаимодействие.
V. V. Bashkatov1, G.N. Dudin1'2
1
2 Central Aerohydrodynamic Institute
Investigation of the hypersonic flow around a thermally
insulated sliding plate in the regime of strong viscous-inviscid interaction under variable conditions at
the trailing edge
The aim of this work is to study the effect of the fourth terms of the expansions in the vicinity of the leading edge on the flow characteristics and the propagation of disturbances of the induced pressure for flow functions in the spatial boundary layer when flowing around a sliding plate of finite length in the regime of strong viscous-inviscid interaction under variable conditions at the trailing edge. It is found that the fourth term of the expansion is proportional to the second derivative of the induced pressure along the transverse coordinate. The corresponding boundary value problems are formulated and solved for the four terms of the expansion depending on the governing parameters, and the importance of taking into account the fourth term of the expansion when calculating the flow characteristics in the presence of a slip angle and a sufficiently large second derivative of the pressure at the trailing edge of the plate with respect to its span is shown. The scientific novelty of the work lies in the fact that the boundary value problem for the fourth terms of the expansion is formulated and solved for the first time.
Key words: spatial boundary layer, sliding plate, strong interaction.
© Башкатов В. В., Дудин Г. Н., 2021
(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2021
1. Введение
При обтекании тел гиперзвуковым потоком часто реализуются случаи, когда невозможно пренебрегать взаимодействием пограничного слоя с внешним невязким течением, так как в этом случае торможение газа вязкостными процессами в пограничном слое приводит к высоким температурам, что ведет за собой в том числе и увеличение толщины пограничного слоя в сравнении с тем, что было бы при том же числе Рейнольдса невозмущенного потока при более низких скоростях. Из-за увеличения толщины пограничного слоя одним из основных типов взаимодействия с полем течения невязкого газа является взаимодействие через давление, то есть изменение «эффективной формы тела» из-за отклонения линий тока вне пограничного слоя, вызванное возрастанием толщины слоя.
При рассмотрении взаимодействия через давление возможно естественное выделение двух асимптотических областей: зоны слабого и зоны сильного взаимодействия.
В области сильного взаимодействия отклонение линий тока из-за вязкого слоя становится большим (при рассмотрении обтекания клина, например, большим половины угла его раствора), градиенты давления и вязких напряжений - одного порядка. В случае обтекания плоской пластины при достаточно больших, но конечных числах Маха область сильного взаимодействия располагается на передней части пластины, область слабого взаимодействия - ниже по течению.
Впервые анализ в области сильного взаимодействия был проведен в [1] для случая клина или плоской пластины при отсутствии теплопередачи. Для течения около полубесконечной пластины на режиме сильного взаимодействия автомодельное решение впервые получено в [2] с использованием формулы «касательного клина». Возможность неединственности решения задачи вблизи передней кромки скользящей пластины была установлена в [3]. Первые результаты исследования обтекания скользящей пластины, когда дополнительное условие на ее задней кромке не является постоянным, а изменяется по размаху, были приведены в [4], где сформулированы и решены краевые задачи для первых двух членов разложения. В [5] была сформулирована и решена краевая задача для третьих членов разложения и впервые установлено, что показатель степени этих членов для всех функций течения на единицу больше, чем предыдущего, а множитель при этих членах разложения пропорционален производной произвольной функции по поперечной координате. В данной работе сформулирована и решена краевая задача для четвертых членов разложения, в которых множитель при этих членах пропорционален второй производной от произвольной функции по поперечной координате. Исследовано влияние определяющих параметров на профили коэффициентов разложений и влияние четвертых членов разложения на функции течения и распространение возмущений. Установлено, что в тех сечениях, где градиент давления по размаху пластины равен нулю, а вторая производная имеет достаточно большое значение, именно четвертые члены разложения могут во многом определять распространение возмущений против потока.
2. Постановка задачи
Рассматривается обтекание бесконечной по размаху теплоизолированной пластины с температурой Тт заданной длины Ь на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия при наличии угла скольжения. Газ совершенный, отношение удельных теплоемко-стей 7 = —, коэффициент вязкости линейно зависит от температуры — = т£—, где с«> = еоп8^, индекс те обозначает параметры невозмущенного потока. Вводится декартова система координат с началом на передней кромке пластины, в пространственном ламинарном пограничном слое компоненты вектора скорости и°,у°,,ш° направлены соответственно вдоль осей х°, у0, . Направление осей следующее: х° - перпендикулярно передней кромке, - вдоль передней кромки. Угол между направлением невозмущенного потока и осью х° -угол скольжения р. На задней кромке пластины при х° = Ь задано распределение донного давления р^ (2°), зависящее от поперечной ко ординаты причем характерный размер об-
ласти изменения давления по поперечной координате порядка L\. Характерные линейные масштабы относятся как N = Для числа Маха предполагается, что для его проекции на нормаль к передней кромке выполняется условие Мга = cos ft ^ 1, то есть передняя кромка остается гиперзвуковой. Рассматривается предельный случай, когда в невозмущенном потоке V^ - скорость, р^ - плотность и Н- энтальпия стремятся к постоянным значениям, при этом число Маха ^ го, параметры: р^ - давление, a- скорость звука и Т^ - температура соответственно стремятся к нулю. Согласно гиперзвуковой теории малых возмущений [6] при Мга ^ 1, безразмерной толщине ламинарного пограничного слоя § ^ 1 в случае выполнения предположения о сильном взаимодействии Мга § ^ 1 индуцированное давление, создаваемое толщиной вытеснения, имеет порядок р0 ~ p^M^ó2, отсюда из уравнения состояния получается оценка для плотности р0 ~ р52. Масштабы поперечного и нормального компонентов скорости при обтекании скользящей пластины соответственно равны w0 ~ Vх sin ,0 и v0 ~ V^5. Исходя из равенства порядков главных инерционных и вязких членов уравнения импульса вдоль оси х0, получается оценка для
S ~ Re0 \ Re0 = ~ число Рейнольдса, р0 — динамический коэффициент вязкости
при температуре торможения, так как в пограничном слое температура порядка температуры торможения. Согласно [7, 8], при нулевом угле скольжения скорость поперечного течения будет определяться только градиентом индуцированного давления по размаху пластины. Для определения индуцированного давления при условии Мга § ^ 1, создаваемого толщиной вытеснения, используется приближенная формула «касательного клина» [6].
В соответствии с оценками для ламинарного пространственного пограничного слоя в гиперзвуковом потоке вводятся безразмерные переменные [6]:
(1)
х = Lx, у = 5Ly, z = L\z, р = р0р, 5е = 5LSe, р = рс5 р,
П ООП ООП п п
р = P^S Vcp*, pd = ptxS V(Xpd*, u =V(X)U, w = V(X)w, v = V*. После этого используется преобразование А. А. Дородницына:
Г , дЛ Д7 дЛ
Л = J pdy, vs = pv* +u— + Nw~,— . (2)
Далее вводится следующее преобразование переменных с учетом особенности поведения функций течения в окрестности передней кромки пластины [4, 5]:
Л = х^Л*, р* =х-1 р(х, z), pd* (z) = p>d(z),
-1 */ ч г з г , Л ( ^ дЛ*\ (3)
р = х 2 р (х, Л , z), Ое* = х40е(х, z), Vs = х 4 I и — xuI .
В силу громоздкости система уравнений ламинарного пространственного пограничного слоя в переменных (1) - (3) не приведена.
3. Разложение в окрестности передней кромки
Для удобства исследования поведения функций течения в окрестности х = 0 в полученной краевой задаче вводятся новые переменные:
л* ПЙ / ^ * I 27 / Л xri ( др пт др\ х = V —1р(х z)v = V ~1р(х z) v + 2p{udX + Nwd~z)
(4)
где 7 - показатель адиабаты. Данная замена делает удобным дальнейшее разложение, так как в уравнениях переноса и неразрывности давление в знаменателе остается только при производной от индуцированного давления. В переменных (1), (2), (3) и (4) краевая задача имеет следующий вид:
ди + ди + ^ дад + и + х /и д'р + др\ ^ дх дг] дг 4 2 \р дх р дг) '
ди ди ди 7 — 1.тт 2 2ч /1 х др\ д2и
хи— + V— + Ихти— = --(Н — и2 — ад2)---+ —т,
\ 2 рдх) д г]2
дх
д
д
27
дад дад дад „т7 —1.тт 2 2.хдр д2ад
хи^Т + У1Г + = —И1— (Н — и2 —и]2+ ,
дх дг] дг 27 р дг дт]2
дН дН дН 1 д2Н 1 — ад2(и2 + V2) хи—--+ и —--+ Их-ш- —
дх дц
7 + 1
дг а дг]2
а
Р =
2
(3Г д5е \ пт д5е . п
-ое + х-—- еов р + 81п р
\4 дх) дг
дг/2 2
(5)
6е = -—1 I (Н — и2 — и)2)й\*, р(х = 1, г)= рЛг), 2ур
т] = 0 : и = ад = V = 0,Н = Н,ш,
т] —У те :и — еов @,ад — в1п/3,Н — 1(0 ^ х ^ 1, \г\ < те),
а а = 1
В [5] показан вид первых трех членов разложений, в виде которых можно искать решения, а также то, что порядок следующего, четвертого, члена, равен а+2. Подстановка разложений из [5] в (5), дополненная четвертым членом порядка а + 2, в общем виде показала, что итоговые разложения будут иметь следующий вид:
/ \ I Ра(%) а йра(г) а+1 , лт2 Л2ра(г) а+2 .
р(х, г) = р° +--—Ха + N-^Ра1Ха+1 + N2 ра2-а^Ха+2 + ...,
р° аг аг2
5(х, г) = 6° + 6а+ 5а1 ха+1 + ^5а2+
р° р° аг р° аг2
и(х, г) = и°(г]) + иа(г]) Р-^ха + иа1(г,)ха+1 + — иМ (^2^ха+2 + (6)
р° р° аг р° аг2
/Л ( Л , ( \Р<ь(г) а . N йр а (г) +1 N2 Л2ра(г) а+2
ь(х, г) = Ь°(Г]) + V а (V)-—Ха +---т^ Уа1(Г])ха+1 +--Уа2(Г]) , 2 Ха+2 + ...,
р° р° аг р° аг2
/л / \ . , лРа(г) а , N йра (г) , л а+1 , N Л2Ра(г) а+2 ,
ад(х, г) = ад°(т]) + ада(г])-—Ха +---^^ада1(г])ха+1 +--ада2(г]) , 2 Ха+2 + ...
р° р° аг р° аг2
Как показано в [5], при поиске вида разложений (6) было установлено, что коэффициен-
а
чи для определения собственного числа и для четвертых членов разложения представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Подстановкой разложений (6) в систему уравнений и граничные условия (5) и сбором членов одного порядка, как ив [5], могут быть получены соответствующие краевые задачи:
Для первых членов - автомодельная часть:
^ + 0.25ио = 0, аг]
аио _7— 2 „^.^ио
2— „о) + ,
^ = -и2 -„2) +
о
а2 „0
Ост] аг]2 '
Ро = 4
/
3 (7 + 1)(7 - 1)
7
еов,0 I (1 -и2 — „О)а7],
(7)
5о = 2
\
3 еов 0 V
7 — 1
3 еов 0 V 7(7 + 1) Уо
(1 — и2 — „0)(1г],
т] = 0 : и0 = „0 = зд = 0, ц — го : и0 — еов 0, „0 — в1п 0.
Решение краевой задачи для вторых членов разложения позволяет определить собственное число а:
о
оо
(и
+ 0.5аио + (0.25 + а)иа = 0,
а
йиа с(и0 7 — 1 ( п п п {л 2 2\\ а2и0
зд—--+ уа —--+ аиоиа = ——(—2иоиа — 2„о„а — 2а(1 — иО — )) + , 2
аг] аг] 47 о о
0(„а с12„0
зд—--+ уа —--+ аио„а = -—г-,
ат] аг] ат]2
2а + 3
-—— (1 —ь^ — ь)0)йг] = (—2иоиа — 2„о„о)(1г}, 4 а + 3 о о о о
5о = \1"2—р1 (У (—2иоиа — 2„о„а)й-г] — 0.5}! (1 — и0 — „0)йг]^ = а 3р_¿о,
6 + 8 а
г] = 0 :иа =„а = V« = 0, т] —У го : иа — 0,„а — 0.
(8)
Данная система при заданных параметрах 7,0 и соответствующих им решений системы (7): ио(гц), ио(гц),„о('ц),ро, 5о, позволяет определить собственное число а, если оно существует, и коэффициенты разложений иа(г]), ьа(г]),„а(г]), 5а. Как показано в [5], решение в окрестности передней кромки не является единственным в силу произвольности параметра ра(г) в разложениях (6).
Краевая задача для третьих членов:
^^ + 0.5(wo + (a + l)paiUo) + (1.25 + a)uai +wa = 0,
duai duo
Vo—--+ vai—--h ( a + 1)UoUai + Woua =
dt] dr¡
f 1 f f \ f 2 2\\ d uQi
= (-2uouai - 2wowai - 2pai(a + 1)(1 - щ - w0)) + 2 ,
dwa1 dw0 , л f - Ь 2 2л , d2wai
V0~dtq~ + Vai-j]- + (a + 1)uowai + wowa =---f (1 - v° - wo) + dr¡2 ,
6[pai cos ß(0.75 + a) - sinß] Öai = cosß(7+ 4a)(3 + 4a) 00 =
= (-2uouai - 2wowai)dr - 0.5pai J (1 - u0 - w^)d]j ,
(9)
1
Pai
5 + 2 a
(7 4 )I0T(-2uouai - 2wowai)dr 6tanß
+ 4a) /o°°(1 -u° -w2)dr + 3 + 4aj
Г = 0 : uai = wai = Vai = 0,
] ^ Ж :uai ^ 0, wai ^ 0.
Полученная система позволяет определить (при условии решения (8) и (7)) коэффициенты разложений uai(r), Vai(r),wai(r), 5ai и pai, причем её вид подтверждает их незави-
(6) в систему уравнений и граничные условия (5) и сбором членов при xa+2 была получена четвертая краевая задача и соответствующие ей соотношения для определения коэффици-
a2 pa2
dVa2 + 0.5(woPai + (a + 2) Pa2uo) + (2.25 + a)ua2 + wai = 0,
dr
ua2 u
Vo—--+ Va2--+ (a + 2)u0ua2 + w0uai =
d
f - 1 2 2 d2 ua2
= (-2u0ua2 - 2w0wa2 - 2pa2(a + 2)(1 - Щ - w^) + d]2 ,
dwa2 . dw0 f - 1 2 2\ , d2wa2
V °~drrj~ + Va2~¡T + (a + 2)uowa2 + wwai =--—Pai(1 -u2 - w2) + d]2 ■■
Öai = \J(^f (-2u0ua2 - 2w0wa2)dr - 0.5pa2 J (1 - u° - w°)d]
= 11 + 4a /0°°(-2u0ua2 - 2w0wa2)dr pai = ТГ^ Г(1 -u2 -w2)dr +
(10)
1
+
7 +2a
6tanß f™(-2uouai - 2w0wai)dr 12 tan2 ß
5 + 2a ¡™(1 -u2 -w2)dr (5 + 2a)(3 + 4a)
r = 0:ua2 = wa2 = Va2 = 0, Г ^ Ж :ua2 ^ 0, wa2 ^ 0.
Полученная система уравнений (10) так же, как и (9), является линейной и неоднородной с нулевыми граничными условиями и позволяет определить коэффициенты разложений иа2(г]), иа2(т1),„а2(г]), 5а2 и ра2. Важно отметить принципиальное отличие сформулированных краевых задач (7) - (10) от соответствующих задач в [8] для случая обтекания пластины при отсутствии угла скольжения, так как там уравнения для определения коэффициентов разложения для поперечной компоненты скорости отделялись от основной системы уравнений. Как показано в [5], при отсутствии угла скольжения в системе (7) уравнение для определения первого члена разложения для поперечной компоненты скорости имеет единственное решение „о(г]) = 0, то есть и его производная равно нулю. Отсюда сразу будет следовать из системы (8), что „а(г]) = 0. При этом условии в системе (9) неоднородным будет являться только уравнение для определения „а\(г]) = 0, все остальные уравнения станут однородными с соответствующими решениями иа\(г]), уа\(г/), 5а\ и ра\. Отсюда видно, что при условии отсутствия скольжения и система (10) будет иметь только тривиальные решения, как и все последующие системы для членов разложения, имеющих порядки 0(ха+3), 0(ха+4),... и так далее, пока а + п < 2а, первое нетривиальное решение будет для системы порядка 0(х2а) [5].
4. Численное решение
В данной работе численные решения были произведены для значения чисел Прандтля а = 1, показателя адиабаты 7 = 1.4 и параметра N =1. Основное внимание в данной работе было уделено исследованию зависимости профилей коэффициентов разложения функций течения, собственного числа а и параметра ра2 от угла скольжения который изменялся от 0° до 80°. Все краевые задачи (7) - (10) решались численно методом прогонки, для вычисления определенных интегралов использовалась формула Симпсона. Шаг по нормали Ат] = 0.01 количество узлов N = 1351, однако при некоторых значениях параметров количество узлов по нормали уменьшалось (например, при небольших значениях угла скольжения), в других же, напротив, было взято большее значение узлов. Значение собственного а
ностью до 10-4. Для вычисления параметров ра\ и ра2 точность совпадения изначально
заданных параметров с посчитанными по соответствующим для них формулам из систем
10-4
Рис. 1. Зависимость собственного числа а • 10 1 (1) и параметра ра2 (2) от угла скольжения 0 при 7 = 1.4 и а = 1
Зависимость собственного числа а и параметра ра2 от угла скольжения 0 приведена на рис. 1. Как видно, с ростом 0 собственное число а резко уменьшается, будучи максимальным при отсутствии угла скольжения, то есть при увеличении угла скольжения интенсивность передачи возмущений против потока растет. Параметр ра2, в свою очередь, увеличивается с ростом 0 и является нулевым при отсутствии угла скольжения.
п 10
7.5 3 2 1
6 5 \ ^¡^ 5 2.5
ТО50.5 0 75
и о иа
Рис. 2. Профили коэффициентов разложения и0(г/) и иа(г/) при углах Р = 30° (1 - и0(г/), 4 -иа(г!)), 50° (2 - иоСп),Ь иа(г!)), 70° (3 - и0(г) 6 - иа(г/)) при 7 = 1.4 и а =1
Рис. 3. Профили коэффициентов разложения иа1 (г/) и иа2(Г}) при углах Р = 30° (1 - иа1 (г/), 4 - иа2(V)), 50° (2 - иа1(г1),5 иа2(V)), 70° (3 -иа1 6 - иа2(ч)) при 7 = 1.4 и а = 1
Профили коэффициентов разложения и0 (ц) и иа (ц) при угл ах р = 30°, 50°, 70° представлены на рис. 2. Заметим, что профиль щ(ц) перестает быть монотонным при больших углах скольжения (кривая 3 на рис. 2), являясь монотонным на менее больших углах (кривые 1 и 2 на рис. 2). У профилей иа (ц) же в свою очередь при увеличении угла скольжения уменьшается максимум по модулю, выход на ноль происходит менее плавно (кривые 4, 5 и 6 на рис. 2 соответственно).
Зависимость коэффициентов разложения иа\(ц) и иа2 от угла скольжения @ приведена на рис. 3. Модуль максимума у профилей с ростом угла скольжения также увеличивается, а выход на ноль при больших /3: 70° в данном случае происходит намного менее плавно, в сравнении, например, с /3 = 30° (кривые 3, 6 и 1, 4 на рис. 3 соответственно).
Рис. 4. Профили коэффициентов разложения Рис. 5. Профили коэффициентов разложения
(г/) и та (г/) при угл ах Р = 30° (1 - w0 (г/), 4 - у]а1 (г/) и и]а2 (г/) при угл ах Р = 30° (1 - wa1 (г/),
(г!)), 50° (2 - ^о(Г1),Ь паШ, 70° (3 - ^оМ, 4 - Ш, 50° (2 - па1 (г)Ь Ша2Ш, 70° (3 -
6 - п)а(^)) при 7 = 1.4 и а = 1 и>а1 (г/), 6 - п)а2(г/)) при 7 = 1.4 и а = 1
Профили коэффициентов разложения 'ш0 и ,ша (г/) при угл ах р = 30°, 50°, 70° представлены на рис. 4. Поведение профиля шо (ц) при увеличении угла скольжения особо не меняется, однако весьма заметны характерные отличия в профилях коэффициента гша (г/) при росте Р: выход на ноль происходит менее плавно, чем при меньших углах, сам профиль более наполнен, выход на максимум модуля происходит при большей координате по нормали и сам максимум модуля увеличился (кривые 4, 5 и 6 на рис. 4 соответственно). На рис. 5 представлены профили коэффициентов разложения тя. /ша2(ц) при углах
Р = 30°, 50°, 70°. При увеличении угла скольжения их поведение характерно не отличается: выход на ноль происходит менее плавно, максимум модуля достигается позже по нормальной координате, однако при росте угла скольжения от 30° до 70° у /ша\(ц) максимум модуля увеличивается более чем в 3 раза (кривые 1 и 3 на рис. 5), а у ша2(г/) практически в 7 раз (кривые 4 и 6 на рис. 5), то есть чем больше порядок коэффициента, тем большее влияние оказывает на него изменение угла скольжения.
а)
б)
Рис. 6. Зависимость ^ на части поверхности пластины 0.6 ^ ж ^ 1 при учете трех (а) и четырех (б) членов, значения определяющих параметров: ¡3 = 30°, 7 = 1.4, а = 1^ = 1, ра(г) = 0.025 еов6 (^2:)
На основании полученных результатов путем задания произвольной функции ра(г) и использования разложений (6) может быть построено возмущенное течение на пластине. В качестве примера рассматривается вид произвольной функции ра(г) = 0.025 ео86(-^,г), аналогично [5]. Задаются следующие значения определяющих параметров: /3 = 30°, 7 = 1.4, а = = 1, тогда разложение для щ (6) будет иметь вид (при учете четырех членов):
йи = и0 (г]) Па(г]) Ра(г) а +1 (1р а(х) иа1(г}) а+г + 1 Па2(у) ^Ра(г) а+2
7 7 I 7 X + 1 X + 70^ . \ /
ау аг/ аг/ ро аг аг/ ро аг/ аг2
При выбранных определяющих параметрах собственное число а = 17.254,ро = 0.743, ра1 = 1.143,ра2 = 0.583. На рис. 6 приведен график (11) на части поверхности пластины 0.6 ^ х ^ 1 при описанных выше определяющих параметрах и заданной выше функции ра(г) при учете трех членов (рис. 6а) и четырех членов (рис. 66). Важно отметить, что учет четвертого члена оказал существенное влияние па продольное трение: модули максимумов и минимумов увеличились, поменялось их распределение.
а) б)
Рис. 7. Зависимость ^ на части поверхности пластины 0.6 ^ ж ^ 1 при учете трех (а) и четырех (б) членов, значения определяющих параметров: ¡3 = 30°, 7 = 1.4, а = 1^ = 1, ра(г) = 0.025 еов6 (^2:)
Далее при тех же определяющих параметрах и функции ра(г) рассматривается поведение поперечного коэффициента трения при учете и без учета четвертого члена разло-
жения. В данном случае четырехчленное разложение коэффициента продольного трения будет иметь следующий вид:
Ош = Ыл) + ада(Г]) Ра(г) та + ^ Фа (г) ада1(у) ^+1 + ± ада2(Г]) <&Уа(г) та+2
йу = &ц + с!г, р0 Х + РО СЬ &ц Х + ро &ц Аг2 Х ' КЩ
На рис. 7 приведен график (12) на части поверхности пластины 0.6 ^ х ^ 1 при опи-
а( )
членов (рис. 7а) и четырех членов (рис. 76). В этом случае учет четвертого члена, как и в предыдущем случае, оказал существенное влияние: увеличились модули максимумов и минимумов, их распределение претерпело кардинальные изменения.
Из рассмотрения коэффициентов продольного и поперечного трения при учете и без учета четвертого члена разложения следует, что при наличии большой второй производной давления на задней кромке пластины по ее размаху при обтекании под углом скольжения учет четвертого члена разложения очень важен, так как он во многом определяет характер обтекания пластины.
5. Заключение
В данной работе было произведено преобразование уравнений пространственного ламинарного пограничного слоя и граничных условий при обтекании бесконечной по размаху скользящей пластины гиперзвуковым потоком на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия путем обезразмеривания (1), преобразования переменных (2) и (3), введения новых переменных (4) и подстановки разложений (6) с последующим выделением четырех краевых задач (7), (8), (9) (аналогично [5]) и (10), и получены следующие результаты:
1) было установлено, что множитель при четвертых членах разложения пропорционален второй производной от произвольной функции по поперечной координате, что показывает, что в тех сечениях, где возмущение давления и его градиент равны нулю или невелики, распространение возмущений определяется в большей степени именно четвертыми членами;
2) показано, что угол скольжения оказывает определяющее значение на профили коэффициентов каждого из четырех членов разложений функций течения (6);
3) продемонстрирована важность учета четвертого члена разложения при расчете обтекания при наличии угла скольжения и достаточно большой второй производной давления на задней кромке пластины по ее размаху.
Литература
1. Shen S.F. An estimate of viscosity effect on the hypersonic flow over an insulated wedge // J. Math. Phvs. 1952. N 31. P. 192-205.
2. Lees L. On the boundary-layer equations in hypersonic flow and their approximate solutions 11 J. Aeronaut. Sci. 1953. N 20. P. 143-145.
3. Козлова, И.Г., Михайлов В.В. О сильном вязком взаимодействии на треугольном и скользящем крыльях // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. № 4. С. 94-99.
4. Дудин Г.Н., Нейланд В.Я. О распространении возмущений на скользящей пластине на режиме сильного взаимодействия // ДАН. 2018. Т. 483, № 1. С. 33-36.
5. Дудин Г.Н., Нейланд В.Я. О влиянии температурного фактора на распространении возмущений при гиперзвуковом обтекании скользящей пластины // Изв. РАН. МЖГ. 2019.' N 5. С. 59-69.
6. Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. Москва : Изд-во иностр. лит., 1962. С. 359-363.
7. Дудин Г.Н., Нейланд В.Я. Об индуцировании трехмерных возмущений в пограничном слое при сильном взаимодействии с гиперзвуковым потоком // Изв. РАН. МЖГ. 2018. № 1. С. 89-96.
8. Дудин Г.Н., Нейланд В.Я. Влияние температуры поверхности пластины на распространение возмущений при гиперзвуковом обтекании // Уч. зап. ЦАГИ. 2018. Т. ХЫХ, № 5. С. 3-16.
References
1. Shen S.F. An estimate of viscosity effect on the hypersonic flow over an insulated wedge. J. Math. Phvs. 1952. N 31. P. 192-205.
2. Lees L. On the boundary-layer equations in hypersonic flow and their approximate solutions. J. Aeronaut. Sci. 1953. N 20. P. 143-145.
3. Kozlova I.G., Michaylov V.V. Strong viscous interaction on triangular and sliding wings. Proceedings of the USSR Academy of Sciences. Fluid Dynamics. 1970. N 4. P. 94-99. (in Russian).
4. Dudin G.N., Neiland V.Y. Propagation of disturbances on a sliding plate in the regime of strong interaction. Reports of the Academy of Sciences. 2018. V. 483, N 1. P. 33-36. (in Russian).
5. Dudin G.N., Neiland V. Y. On the influence of the temperature factor on the propagation of disturbances in a hypersonic flow around a sliding plate. Proceedings of the Academy of Sciences. Fluid Dynamics. 2019. N 5. P. 59-69. (in Russian).
6. Hayes W.D., Probstein R.F. Hypersonic flow theory. N.Y.; L. : Acad. Press, 1959. P. 359363.
7. Dudin G.N., Neiland V.Y. On the induction of three-dimensional perturbations in the boundary layer under strong interaction with a hypersonic flow. Proceedings of the Academy of Sciences. Fluid Dynamics. 2018. N 1. P. 89-96. (in Russian).
8. Dudin G.N., Neiland V.Y. Influence of the plate surface temperature on the propagation of disturbances in hypersonic flow. TsAGI scientific notes. 2018. V. XLIX, N 5. P. 3-16. (in Russian).
Поступим в редакцию 18.10.2021
