Влияние температуры поверхности на обтекание пластины в режиме слабого гиперзвукового взаимодействия Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XI

19 8 0

М 1

УДК 532.556.533

ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ ПОВЕРХНОСТИ НА ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНЫ В РЕЖИМЕ СЛАБОГО ГИПЕРЗВУКОВОГО

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Д. О, Лыжин

Рассмотрено обтекание пластины в режиме слабого гиперзвуко-вого взаимодействия. При использовании интегральных уравнений двумерного пограничного слоя получены разложения функций течения в ряд по параметру гиперзвукового вязкого взаимодействия с точностью до членов второго порядка малости. В разложениях учтено влияние конечности чисел Маха внешнего потока и температуры поверхности пластины.

В настоящее время большое значение приобретают теоретические исследования гиперзвукового обтекания холодных тел при больших числах Рейнольдса. Это связано прежде всего с необходимостью пересчета результатов трубных экспериментов на натурные условия, так как величина безразмерного параметра

/ \

полной энтальпии = \-г——1 в трубных испытаниях значительно выше

\ “0 е /да

соответствующего значения в полете. Здесь Л0—полная энтальпия, а индексами е и т отмечены значения переменных на внешней границе пограничного слоя

и на поверхности тела соответственно. Теоретические и экспериментальные

исследования (например, [1—7]) показали существенное отличие в поведении

таких характеристик как давление, тепловой поток и т. д. для случаев гипер-

звукового обтекания холодных и адиабатических поверхностей.

Во многих методах расчета пограничного слоя, таких, например, как интегральные методы Лиза — Ривза, Клайнберга, Джорджефа ([8], [3—4]) в качестве верхних по потоку граничных условий используются асимптотические разложения параметров течения для режима слабого гиперзвукового взаимодействия пограничного слоя на пластине. Метод получения таких разложений достаточно хорошо разработан для случая М00> 1 (например, [9]), где М — число М, а индексом „со“ здесь и в дальнейшем отмечены значения переменных в невозмущенном потоке.

В работе [10] предложен метод получения разложений для теплоизолированной пластины, учитывающий конечность чисел М внешнего потока. Полученные асимптотические разложения были использованы в работах [3], [11].

В настоящей статье метод [10] обобщается на случай нетеплоизолированной пластины. Полученные разложения функций течения в ряд по параметру гиперзвукового вязкого взаимодействия X = М^, С/(/?ех)1 2, в коэффициенты которого входит параметр полной энтальпии поверхности 5И„ могут быть использованы при расчете гиперзвукового обтекания холодных тел; С—константа в законе линейной зависимости вязкости от температуры, Иел.— число Рейнольдса, посчитанное по условиям внешнего невозмущенного потока и по расстоянию х, отсчитываемому вдоль поверхности пластины от ее носка.

НО

Можно записать следующие интегральные соотношения для двумерного ламинарного сжимаемого пограничного слоя на неадиабатической стенке (см. [4]). Уравнение неразрывности

й 1п а;

йх

+ 1 +

1 + те дЕ \ с1Н1 1 + те

' дН I I йх

+

дЕ йЬ

пи

дЬ йх

+ /

(11п М,

их

те (1 + Ям) Вг Уравнение сохранения количества движения

(П

й 1п 8 ; г!И, ,/|п М

ИI —з—-1 + £111 + (2 Н1 + 1 + Е 5„) Д1П И«. = /СР. ал: дл: ал:

(2)

Уравнение сохранения момента количества движения

й 1п 8* их

+ (3 / + 2 Г* 5да) ^ 1п М* йН1 йх

К Я.

(3)

Уравнение энергии

г* л 1п 5/ дТ* (1Н; ^дТ* йЬ ^ г* й 1п Ме _ КО. йх ' дН1 йх дЬ йх йх Ргк,

(4)

где приняты следующие обозначения:

Ь = — (Б,— параметр профиля полной энтальпии;

1 Г 5

Е*=~р тг— й У; Р=Н1 +

тР

ГПп

(1 + Е НI =

6.

1 г г/

6.. - ие

/ = (2 -|-

Т + 1 ’пе

Зт-

М;-1

=пГТ^Г ^ + "ТЗГГ + —ТТЛ-----г

1 1 ' ,пе) I 1 те ( \ те)

1 г и

II2

1--2-]^К; К = Г?СМ^1 Меъ:Яео*; т М>;

т- 1

у

--»;[£(£)],.„-‘и"* *=2г*]'

<5 / у

1?е 8г = 8^^ — число Рейнольдса; Рт — число Прандтля;

1 о

и _5_

ие

йУ—а (Н1) Т (НI, Ь)\ и, V—составляющие скорости;

и, V — составляющие скорости в преобразовании Стюартсона — Иллингворта' X, V—координаты в преобразовании Стюартсона — Иллингворта;

-1

1

(-

«, и.

йа -

(г))£//[/е=0,99

III

ч

+ (7-1)

1 + те (У) и/и.

'I — отношение удельных теплоемкостей;

=0,99

ЛУ— преобразованная толщина пограничного слоя;

1 — ~ ) ЛУ — преобразованная толщина вытеснения пограничного слоя;

ие!

о

г) — переменная подобия Коэна — Решотко; — местный угол наклона линии тока на границе пограничного слоя; V — кинематический коэффициент вязкости.

Все интегральные величины предполагаются зависящими от формпараметра Н[ и параметра профиля полной энтальпии Ь. Функциональный вид и коэффициенты этих зависимостей взяты из работы [5]. Местный угол наклона потока на границе пограничного слоя Ье предполагается связанным с числом Ше соотношением Прандтля—Майера:

Не = агЩ (ке/ие) = V (М^) — ^ (Ме),

(5)

где

V (М) = ]/1——1 arctg 1 ■' 1 (М2 — 1) — аг^ |/^М2 — 1

\ У 1 г У I 1

+

Эта модель внешнего невязкого течения широко применяется в методах расчета пограничного слоя [3 — 6], [8], [10—11] для тел различных конфигураций. При этом за исключением области взаимодействия скачков уплотнения с пограничным слоем, внешнее невязкое течение считается изоэнтропическим, в соотношении Прандтля—Майера в качестве исходных условий берутся условия за скачком уплотнения, образующимся на передней кромке тела. Таким образом, в рассматриваемом случае обтекания плоской пластины при нулевом угле атаки используются условия в невозмущенном потоке. Эта модель строго верна только при малых значениях угла т. е. в области очень слабого взаимодействия, однако приближенно, ради удобства, используется всюду.

Предполагается, что разложения в ряд по у (т- е- 110 х~) имеют следующий вид:

М_

= 1 + щ х + т2 у.2 + щ х31п х + • • •;

Н'1 — ^ I в х + ^2 х2 + • ■ ■; ь* -= Во (^оо-^С'/^оо)172 [1 + 517. — 2е2 х21п х + 5з х2 +...];

Ь = Ьв ~г Ь1 X "Ь ^2 X2 "Ь • • • >

(6)

(7)

(8)

(9)

где индексом В отмечены значения переменных, соответствующие решению Блазиуса для пограничного слоя на плоской пластине.

В работе [10] было показано, что член х2'п X в разложении величины б] является необходимым для получения членов второго порядка малости. Учтя, что

~Ч'3 И ^

—г^ = —-^—2^——, подставим разложения (6) —(9) в уравнения сохранения

Х 2М^

(1)—(4). Приравнивая члены с одинаковыми степенями у, получим следующие соотношения для коэффициентов при членах ряда;

Во = (2Яв//У;в)12= (2/?в//в),/2;

‘1В>

^в— 7’вавРвРгИ1,/// 1В;

(1 + ^со)

11Й)1

га

"ш +

Ев

т

т.

Р

А] -- т1

в

3Т — 1

1

в

г В

/и.

Н

1В

(10)

(П)

(12)

(13)

Л„ /Зт — 1 тос 25ю7,я \

ъ,-ы, = -£н,-щ (^ггт-^тг-----------(|4>

/ З7 — 1 а' \

«,_6В^1+___Т„1+ (,5)

я, - «а I т°° 1 . (Мог-Д)^й__________, ...

1 ! тсо + 1 2 (М* - 1) О + тоо) 11 + тх (Н1В+ •)+5»^в(1+я*00)]

2г.., — I -1-'и П*^-1- — - з- _А_ - £г- 2Ев \

РВ 111В ) \ Т “ ! тоа + 1 ^ ";В /

пи =

— [В] Л, +2(1 + /7В 5^,) о1 от,] + 35] ^1

111 \ I /5 иьг / ±11 11 I I г, —г— “

Н1В \ Н1В Т — 1 Л/гсо + 1 РВ

+ ^,£в \ ^ А| _ _3Т - 1 |та- [(47 — 2)/(т — 1)]от|] ту

Чв > 2 (Т — 1) (1+^)а

+ - -р^-ЛГ+ (17)

2 рв 1жв

!в ^ ) , , ( 3Т - 1 "Ч-

* N

2 Ел — .—_ -(- —р А“ + - - ■ ■■ — 5 - Щ =

■ V *в Кв ) ‘ \ Т - 1 ^ -Г 1 'в }

Ч(4+^)Й'ЧМЧ6+^Н+

+(34--^ т1г -^-+ -2Уд-1 т1А1-

V ^В Т ~ 1 тсо "I- 1 ^В !в ]

3-, _ I {/И^ — [(4Т — 2)/(тг — 1 )]/я^} /и? 25и, Т*в

■А,/н,. (18)

2(7-1) О+*<*)* ^ 1В

о , | - ТВ \ . /37-1 т* \ ( тв 1 ,

2ез + ( — - | Лз + ( _\ 1 —"Г ~ 1 I 'п2 - I “£5- - ТГ I = Я?101 4

■в

+

-4- ( Т'в'Ч + Т*ВЬ,) (о, + т.) + (Г* к, + ‘ г"*Л? + ' Г* й? \

^в )

1 ^ ,2 “в Г 2 «в . . 37-

А 1 +----------А Г — -------т----- Ь, А, — ■ -------1— --------;—г х

В \ “в / аВ^В ** — 1 т~' + 1

Ьх _ <4 ^ 37-1 {Шоо-К4Т-2)/(7-1)1«4}

X I ~Т~ ----А, I т, — ---1------——--------77————ч'о— '----~ *я?> (19)

' ьв ав / 2(7-1) (1+да00)я 1 '

В этих уравнениях штрихи означают дифференцирование по //,, а точки — по В. Уравнения (10), (11) определяют значения Блазиуса а также о0. Уравне-

ния (12) — (15) образуют замкнутую систему для определения коэффициентов ти А], О], Ьх. В уравнения (16) —(19) не входят коэффициенты о2 и т3. Как показано в работе [10], из исследования уравнений в пространстве Ме — Н[—5* можно получить следующие соотношения:

52=—/ГЙ2 + 4е,1п—^---------Ь (20)

2 V ' (7 — О2 )

тл~2е-2Щ- (21)

8— «Ученые записки» № ! 113

Подставляя величины, соответствующие течению Блазиуса в уравнения (12) —(19), получим окончательные выражения для коэффициентов разложений, определяющих слабое взаимодействие с учетом членов второго порядка малости:

Н1В = 0,3960; о0= 1Л32;

Ьв = 0,5076 Р%;

(1 + т^) 1,396 + —-— + 0,7987

V тоо

тоо

V м^- 1

л, = _ т, (0,2124 + 0,1077);

0,4 Й! — «1 | 3^~~ 1-----------—--------_ 2 - 1,2443

_ 1 «оо + 1

Ьх = 0,5076 Рг [ 5, + ■3 Г-—------------^2------- „ц + 6,8047 к, ] ;

'1 ~ 1 '«оо + 1 /

(22)

[ (23)

Л ,и~ . 1

2 ^ 1 1 - «с* 2 (Мда — 1)

1,9602 (М^— 1)

(1 +/иос)[1 + 1,396тх + 5^,0,7987(1 + тх)]

Л2 = 1,4914 (— 3,0505 + 5^, 1,5452) (т2 + гП1 + 12,4658Л2 + 0,4748 ^ о,

/ Зт — 1 т \

-И 3,9495 + 7,1797 1

7 — 1 тоо + 1

2,0206 ] т1 /г! + 1,8807^! т,

е2 = 4,6526/г2 + (4,0252 + 6^2,0169) (/и2-|- т1 ^1) ~

Зт - 1 т.

т2

+ 1,2626/гг Ьх + ( 2,5252 — 6,7799

/тг

'00

2(7-0 "*оо+1 3-1 - 1 {«со— [(4Т - 2)/(т - 1)]«4}

2(7-1) «„+1 - + ^ 13,7245 | /722 /г! —

4(7-1)

Ь0 = 0,4356

(1 + /ПапУ

2£2 + 5,8492Л2

+ 1,6510 1,7137 Ь\ГП\.

— ( ^7

т

со

V

1 т.. ч- 1

— Пт

Зт-1 {'«оо — Г(4т — 2)/(Т — 1)1 "4} ,

2(7-1) (1 -Ь т оУ- т2 + /к1В14-

(т1 + 5^ (12,6539/г, — 4,265960 + 89,5057 к\ - 70,3689 6^ + 1,3263 ъ\

37 - 1 '«со

7-1 + 1

(6,8047 — 1,9701 тх

(24)

Используя формулы (22) — (24), с помощью изоэнтропических соотношений легко получить выражения для статического давления, толщины вытеснения и коэффициента поверхностного трения. В частности, для статического давления получается следующее выражение:

= 1 + Р\ X + Рг X.2 + Рз У.3 1п /.,

здесь

(т-02 -

7. =-----:---Ъ

(25)

где

Р2

т.

7- 1

т

Р\ = —

27

т

00

т 1,

[(4-г — 2)/(Т — 1)]

т

Рз =

2т

т

7-1 т„ + 1

тъ.

— 2 т<

(26)

Рис.

1Л

0,5

1 со А/оо=< д

«Я/-*

л

Д£

% д данные Нендолла. при. 5^0 результаты расчетов

1,0

1.5

2,0

Р/Р..

2,0

15

Рис. 2 10

[ «Я* * о

Яо=з^/ / 4 ' 6> '10

0,5

10

2,0

9—«Ученые записки» № 1

115

На рис. 1 представлены распределения статического давления, соответствующие формуле (25) при М ^ = 5,8 и *( = 1,4 для различных величин параметра температуры поверхности пластины 5^,, а также данные Кендолла для теплоизолированной пластины при = 5,8 [7].

Полученные результаты при *9^ = 0 хорошо согласуются с данными Кендолла. Кривые расчетных распределений давления для различных величин демонстрируют степень влияния охлаждения поверхности пластины на величину самоиндуцированного давления.

Влияние величины числа набегающего потока на распределение самоиндуцированного давления вдоль пластины показано на рис. 2, где представлены кривые распределения статического давления на теплоизолированной пластине = 0) при различных значениях чисел Мм.

ЛИТЕРАТУРА

I. С гое с о L. Considerations of the shock-boundary layer interaction. Proc. of the conf. of highspeed aeronautics, 1955.

2. H e й л а н д В. Я. Особенности отрыва пограничного слоя на охлаждаемом теле и его взаимодействие с гиперзвуковым потоком. .Изв. АН СССР, МЖГ*, 1973, № 6.

3. Klineberg I. М., Lees L. Theory of laminar viscous-inviscid interactions in supersonic flow, „AIAA J.“, vol. 7, N 12, 1969.

4. Georg eff M. P. Momentum integral method for viscous-intera-

tion with arbitrary wall cooling. „AIAA J.“, vol. 12, N 10, 1974.

5. Ikawa H. A Re-entry hypersonic control effectiveness methodo-

logy as applied to the Space-Shuttle orbiter. AIAA Paper, 24—26, Los Angeles, 1977.

6. Lewis I. E., Kubota Т., Lees L. Experimental investigation of supersonic laminar two-dimensional boundary layger separation in a compression corner with and without cooling. „AIAA J.“, vol. 6, N 1,

1968.

7. Kendall I. M. An experimental investigation of leading edge shock-wave boundary-layer interaction at Mach 5.8. „J. Aeronaut. Sci“, 24, 1957.

8. Lees L., Reeves B. L. Supersonic separated and reattaching laminar flows: I General theory and application to adiabatic boundary layer shock-wave interactions. „AIAA J.*, vol. 2, N 11, 1964.

9. Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд. иностр. лит., 1962.

10. Kubota Т., Ко D. R. S. A second-order weak interaction expansion for moderately hypersonic flow past a flat plate. „AIAA J.“, vol. 5, N 10, 1967.

II. Ко D. R. S., Kubota T. Supersonic laminar boundary layer along a two-dimensional adiabatic curved ramp. „AIAA J.“, vol. 7. N 2,

1969.

Рукопись поступила 18/ VIII 1978 г.