Исследование геометрической модели параболической антенны Текст научной статьи по специальности «Физика»

Якимов А.Н.

Пензенский государственный университет

ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИПАРАБОЛИЧЕСКОЙ АНТЕННЫ

При проектировании микроволновой параболической антенны методом конечных элементов (КЭ) одной и основных проблем является синтез геометрической модели ее излучающей поверхности с приемлемой степенью точности. Качество дискретизации излучающей поверхности в значительной мере зависит от формы элементов дискретизации, причем наилучшие результаты получаются, когда форма этих элементов не слишком отличается от идеальных равносторонних треугольников, квадратов, кубов и т.д., ввиду опасности вырождения решения [1].

При использовании для построения геометрической модели метода построчно-растровом сканирования двумерная аппроксимация излучающей поверхности сводится к одномерной кусочно-линейной аппроксимации функций, образующих эту излучающую поверхность. При этом совокупность одномерных сечений этой поверхности во взаимно перпендикулярных плоскостях, параллельных плоскостям Ozx и Oyz правой декартовой системы координат, образует криволинейную сетку с узлами в точках пересечения одномерных сечений. Узлы криволинейной сетки, принадлежащие излучающей поверхности, при кусочно-линейной аппроксимации остаются неизменными, а криволинейные отрезки, соединяющие их, заменяются отрезками прямых. В результате, гладкая излучающая поверхность заменяется многогранной поверхностью аппроксимации, с плоскими прямоугольными или квадратными гранями (в зависимость от шага дискретизации), а при дополнительном разбиении и многогранной поверхностью с плоскими треугольными гранями (рисунок 1) .

Пусть имеется точное математическое описание излучающей поверхности антенны выпуклой функцией z — (X2 + y2) / 4f , где z , x , y - координаты точек этой поверхности в правой прямоугольной декартовой системе координат; f - фокусное расстояние параболоида.

Рисунок 1 - Конечные элементы излучающей поверхности

На рисунок 1 использованы следующие обозначения: Xt k , у k , zt k — индексированные координаты текущего узла излучающей поверхности в правой декартовой системе координат Oxyz ; Г - радиусвектор текущего узла излучающей поверхности; zt +1 k , zt k +1 , zt +1 k +1 - координаты z узловых точек ко-

нечного элемента, содержащего текущую точку zt k

мы

ции

Для излучающей поверхности параболоида, вершина которого совмещена с началом декартовой систе-координат Oxyz , ограничение снизу на множестве M совпадает с наименьшим значением его функ, т. е. x y) — min z(x y) — 0 . Ограничением сверху является верхняя граница

x ,yeM

x , yeM

z * — sup z(x,y)'

x , yeM

определяемая глубиной параболоида z .

При многогранной аппроксимации излучающей поверхности параболоида точность модели в значительной мере определяется шагами дискретизации, определяемыми количеством точек дискретизации поверхности m и n вдоль осей координат Oy и Ox соответственно и формой граней многогранника. При этом кромка излучающей поверхности зеркала, являющаяся ее верхней границей, описывается выражением z * — lim z( xmn, ymn) , где { xmn },{ Ушп }є M - максимизирующие последовательности для z( x, y) на M m, n®¥

. Конечные значения m и n порождают погрешности аппроксимации гладкой части излучающей поверхности и кромки зеркала.

Для выделения границы параболической поверхности все элементы матрицы координат узловых точек излучающей поверхностиZ , минимально превышающие zg , приравниваются zg и для них определяются соответствующие координаты x и у , являющиеся элементами матриц X и Y . Остальные же элементы матрицы Z , превышающие zg , и соответствующие элементы матриц X и Y считаются избыточными и

приравниваются нулю.

Таким образом, область решения определяется элементами матриц Z , X и Y , отличными от нуля, а также точкой поверхности зеркала, совмещенной с началом системы координат O , определяемой отдельно. Информация, содержащаяся в матрицах Z , X и Y , достаточна для разбиения (декомпозиции) излучающей поверхности антенны не только на плоские квадратные конечные элементы, но и для разбиения на плоские треугольные конечные элементы. При этом для большей точности аппроксимации излучающей поверхности вблизи ее границ, при преобразовании квадратных конечных элементов в треугольные целесообразно стремиться ориентировать вновь образуемые ребра треугольников параллельно внешней границе апертуры.

После синтеза геометрической модели фиксируем ее и любое отклонение считаем деформацией, причем в силу того, что размер раскрыва изменяется пренебрежимо мало, а основное влияние на характе-

ристики антенны оказывают фазовые искажения, используем принцип эквивалентности отклонений. При этом деформации отдельных участков поверхности, формирующие компоненты общего поля с опережением или отставанием по фазе относительно исходных действуют эквивалентно и можно свести все результирующие деформации излучающей поверхности антенны к деформациям, удлиняющим путь волны от облучателя до точки наблюдения.

Точность синтеза геометрической модели излучающей поверхности антенны по максимальному отклонению многогранной модели от гладкой расчетной поверхности параболоида можно оценить во взаимно перпендикулярных сечениях следующим образом [1].

Отклонения многогранного профиля геометрической модели зеркала от расчетной поверхности хорошо иллюстрируется рисунок2.

Рисунок 2. К оценке отклонений профиля антенны

Здесь Ozx - плоскость горизонтального сечения параболоида в декартовой системе фокусное расстояние параболического профиля антенны; F - точка фокуса параболы; полярные углы, отсчитываемые от отрицательного направления оси z; р = FA , р2 = расстояния от фокуса до точек сечения гладкого профиля зеркала; j - единичный вектор, совпадающий с р ; AB = L0 - линейный шаг дискретизации; n - нормаль к отрезку AB в его центре D в

координат; ^ f

Vi , V 2 , Vi2

FB , р12 = FC

плоскости сечения Ozx; BE

ответствии с принятыми обозначениями (см. рисунок 3), отклонение Др

отрезок, расположенный вдоль нормали к оси, совпадающей с j . В со-

геометрической модели в направлении наблюдения из фокуса F поверхности зеркала опишется выражением Дрx = Pi2 _ р2 cos(Dy) + (L0 /2)sina , (1)

где р i2 = f/cos2(yi2/2); р 2 =4 xB + yB + (f - zB )2 ; Xb , Ув , Zb - координаты точки B ; yn = y 2-Dy '' y2 = 2arccosyf /р2); Dy = arcsin[L0cosa/(2р2)] ; a = arccos( n , -r12) - угол между нормалью n и отрицательным направлением j . Так как погрешность модели в направлении р необходимо оценивать с учетом погрешности плоскости Ozy , то для параболоида вращения получим результирующую погрешность

Др = >І2Дрх . (2)

Результаты расчета диаграммы направленности (ДН) параболической антенны в горизонтальной плоскости при облучении отражателя диаметром 1 м с фокусным расстоянием 0,35 м волной рупорного излучателя с вертикальной поляризацией длиной 0,03 м и уровне поля на краю зеркала -10 дБ относительно максимума приведены на рисунок 3 ( кривая 1).Расчет проведен путем суперпозиции полей, формируемых отдельными фрагментами антенны, представляемой её геометрической моделью, полученной с равномерным шагом дискретизации излучающей поверхности, равным длине волны [1].

Рисунок 3 - Диаграммы направленности антенны

Как видно из рисунок 3 (кривая 1) , ширина ДН,

полученной

помощью рассмотренной моде-

ли , оказывается шире, чем у ДН (рисунок 3, кривая 2), рассчитанной для той же антенны с использованием ламбда-функций (погрешность расчета 1-2% [2]), что обусловлено возникающими фазовыми ошибками модели.

Уменьшить эти ошибки можно перемещениемэлементаЛВдискретизации излучающей поверхности антенны в направлении излучающей поверхности (рисунок 4).

как

Рисунок4 -Иллюстрация коррекции геометрической модели

На рисунок 4 показано возможное перемещение в сечении Ozx антенны элемента дискретизации AB с центральной точкойЯк излучающей поверхности в положение А'Б' с центром в точке С.

Расчет по формулам (1) и (2) позволил сформировать матрицу, элементами которой являются погрешности модели для каждого из его элементов. С учетом рассчитанной матрицы погрешностей для различных перемещений излучающих площадок геометрической модели в направлении излучающей поверхности антенны были получены следующие результаты (рисунок 5).

ЛФ)

0,708

0,707

0,706

1,030 1,031 1,032 1,033 1,034 Ф, град

Рисунок 5 - Изменение ширины ДН антенны в результате коррекциигеометрической модели

Здесь приведены фрагменты ДН антенны в интервале углов, близких к углам, соответствующим уровню 0,707 от максимума по полю, что соответствует половине ширины диаграммы направленности.

Таким образом, значение половиныширина ДН исходной модели 1,03480 (рисунок 5, кривая 1) по мере уменьшения на Az координат z центральных точек её элементов также уменьшается, при этом максимальная коррекция Azmax требуется на краях зеркала. При Azmax = 0,226 мм половина ширина ДН уменьшается до 1,03340 (рисунок 5, кривая 2), а при Azmax = 0,452 мм - уменьшается до 1,03120 (рисунок 5, кривая 3) .

Полученные результаты подтверждают возможности повышения точности синтеза геометрической модели параболической антенны и эффективности её использования при проектировании зеркальных антенн.

ЛИТЕРАТУРА

1. Якимов А.Н. Проектирование микроволновых антенн с учетом внешних воздействий: монография / А.Н. Якимов. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. - 260 с.

2. Драбкин А.Л. Антенно-фидерные устройства/ А.Л. Драбкин, В.Л. Зузенко, А.Г. Кислов. - М.: Сов. радио, 1974. - 536 с.