Дискретизация излучающей поверхности параболической антенны в Matlab Текст научной статьи по специальности «Физика»

12. Марков А.С., Цирлов В.Л. Основы криптографии: подготовка к CISSP // Вопросы кибербезопас-ности. 2 015. № 1(9).

13. Жуков А.Е. Легковесная криптография. Часть 1. // Вопросы кибербезопасности. 2015. № 1(9).

14. Жуков А.Е. Легковесная криптография. Часть 2. // Вопросы кибербезопасности. 2015. № 2(10).

15. Михеев М.Ю., Семочкина И.Ю., Новиков А.В., Свистунов Б.Л., Юрков Н.К. Технические средства криптографической защиты // Труды Международного симпозиума «Надежность и качество». 2010. Т.2. С. 270-277.

УДК 621.391.677 : 519.711.3 Якимов А.Н.

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, С.-Петербург, Россия

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ИЗЛУЧАЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ АНТЕННЫ В MATLAB

Введение

Решение задачи об излучении антенны со сложной пространственной конфигурацией не может быть получено строгими аналитическими методами. Однако с учетом того, что электромагнитное поле, формируемое антенной в заданной точке, в соответствии с теорией является суперпозицией полей, создаваемых токами различных элементов излучающей поверхности, появляется возможность ее дискретизации [1]. Излучающая поверхность зеркальной параболической антенны (рис. 1) находится в дальней зоне электромагнитной волны, формируемой облучателем, поэтому на ограниченном участке этой поверхности ток I(х,у,2) , являющийся функцией координат х , у и 2 декартовой системы, можно принять неизменным по амплитуде, что облегчает решение задачи [2, 3].

лежащие излучающей поверхности, при кусочно-линейной аппроксимации остаются неизменными, а криволинейные отрезки, соединяющие их, заменяются отрезками прямых. В результате, гладкая излучающая поверхность заменяется многогранной поверхностью аппроксимации, с плоскими прямоугольными или квадратными гранями (в зависимость от шага дискретизации), а при дополнительном разбиении и многогранной поверхностью с плоскими треугольными гранями.

Непрерывная излучающая поверхность зеркала антенны с параболическим профилем описывается функцией:

z

x2 + У " 4 f

(1)

где х , у , 2 - координаты текущих точек излучающей поверхности в правой прямоугольной декартовой системе координат; ;[ - фокусное расстояние.

Одномерное сечение поверхности зеркала с параболическим профилем в случае у=0 (главное сечение) опишется одномерной функцией 2( х) в плоскости О2Х :

4 f

(2)

Рисунок 1 - Зеркало параболической антенны

Качество дискретизации излучающей поверхности в значительной мере зависит от формы элементов дискретизации, причем наилучшие результаты получаются, когда форма этих элементов не слишком отличается от идеальных равносторонних треугольников и квадратов, ввиду опасности вырождения решения. При этом наилучшие результаты получаются, когда дискретизация излучающей поверхности осуществляется с равномерным шагом не более длины волны. Для криволинейных излучающих поверхностей, характерных для параболических антенн, дискретизация превращается в проблему, т.к. заданный шаг дискретизации по х и у , дает неравномерное деление поверхности в силу нелинейности описывающей ее функции [4, 5].

В связи с этим актуальным оказывается разработка новых подходов к дискретизации криволинейных излучающих поверхностей их реализации в существующих пакетах прикладных программ.

Основная часть

Предлагаемая двумерная аппроксимация излучающей поверхности сводится к одномерной кусочно-линейной аппроксимации функций, образующих эту излучающую поверхность. При этом совокупность одномерных сечений поверхности во взаимно перпендикулярных плоскостях, параллельных плоскостям О2х и О2у правой декартовой системы координат, образует криволинейную сетку с узлами х1 к , у к , 21 к в точках пересечения одномерных сечений. Узлы криволинейной сетки, принад-

В векторной интерпретации эта кривая представляет собой годограф векторной функции г скалярных аргументов х , и 2 . Учитывая, что параболическое зеркало относится к осесиммет-ричным излучателям, целесообразно при использовании МА^АВ осуществлять равномерное разбиение относительно центра параболы, совмещенного с центром декартовой системы координат (рис. 2) [5].

Рисунок 2 - Параболический профиль зеркала антенны в главном сечении

Интервал равномерного разбиения функции при этом определяется как разность Аг радиусов-векторов узловых точек при равномерной дискретизации этой кривой

Аг = Гк - Гк_! , (3)

где к= 1, 2, ... , К ;К - максимальный порядковый номер индекса радиуса - вектора узловой точки сечения параболоида в полупространстве О2х с положительной координатой х . При этом

x

индекс к -1 = 0 соответствует координатам х = 0 , г = 0 .

Примем шаг дискретизации равным АЬ , тогда

AL = |Дг| = yj( хк - хк- )2 +(zk - zk- )2 ,

(4)

где хк

хк , хк-1 , гк , гк-1

динаты узловых точек излучающей поверхности.

Задав координату начальной узловой точки Хк-1 = х0 = 0 , будем с малым интервалом Ах увеличивать текущую координату х , что приведет к плавному приращению радиуса-вектора г . Эта процедура позволяет с заданной точностью, определяемой интервалом Ах приращения х , добиться близости разности векторов г—г

Zk

Zk-

индексированные коор-

■k-1

к заданному

интервалу АL разбиения годографа векторной функции сечения параболической поверхности и текущего значения аргумента х к значению коор-

динаты

следующей узловой точки дискретиза-

ции, определяемой радиусом-Записав функционал вида

ектором rk

f (х) =

^ -yj( х - хк-1 )2 +( z - zk-1 )2

(5)

мы можем, определив его минимум, найти коорди-

нату

и по формулам (1) и (2) определить со-

ответствующую координату zk .

Приняв полученную узловую точку в качестве исходной и, используя формулы (2), (5), можно определить следующую узловую точку и т. д. Последний интервал при таком разбиении может оказаться меньше заданного, тогда в качестве узловой выбирается точка х , соответствующая крайней точке (границе) апертуры зеркала.

Программная реализация в MATLAB [6] алгоритма формирования узловых точек кривой сечения излучающей поверхности зеркала антенны в виде параболоида вращения имеет следующий вид. %Исходные данные

x1=0; M=10000; ld=0.03; FD=0.35; D=2.0; f1=FD*D; L0=0.06*D; XL=0.5*D.

Здесь задаются следующие исходные данные: начальная точка анализа кривой сечения поверхности параболоида по х (x1=0); число точек анализа (M=10000); длина электромагнитной волны 1= 0,03 м (ld=0.03); отношение f / D (FD=0.35) фокусного расстояния f к диаметру апертуры зеркала D , где D =2 м (D=2.0), f = f1=FD*D; шаг дискретизации ДL = 0,06 D (L0=0.06*D); половина размера апертуры в главном сечении вдоль оси х (XL=0.5*D).

%Шаг и предел переменной X dx=XL/M; xm=XL-eps.

Здесь dx=XL/M - шаг анализа поверхности в плоскости Ozx ; xm=XL-eps -координаты крайней точки поверхности вдоль оси х ; eps= 2, 2204e-016 - бесконечно малая величина, исключающая особые точки при расчете.

Цикл формирования матрицы координат узлов элементов излучающей поверхности по координате х запускается с k = 2 , т.е. второй узловой точки дискретизации, так как координаты узла, совпадающего с вершиной параболы, известны и соответствуют началу декартовой системы координат. Эти параметры могут быть добавлены в матрицу отдельно.

Разбиение кривой сечения излучающей поверхности на заданные интервалы определяют следующие процедуры.

%Разбиение кривой сечения излучающей поверхности на заданные интервалы while x1<=xm x=x1:dx:XL;

while x<=XL

z1=Parab1(x1,f1);

z2=Parab1(x,f1);

dl=Rline2(x,x1,z1,z2,L0);

x1=Argmin1(x,dl);

xv(m)=x1;

break

end k=k+1; end

Здесь while x1<=xm задает возможные значения координаты х начальной точки анализа; процедура x=x1:dx:XL формирует массив текущих значений координаты х с заданным шагом; while x<=XL задает возможные значения координаты х текущей точки анализа.

Подпрограмма Parab1 реализует формулу (2) и имеет вид:

function z=Parab1(x,f) z = (x.A2)/(4*f).

При этом процедуры z1=Parab1(x1,f1) и z2=Parab1(x,f1) определяют координаты z , соответствующие координатам начальной и текущей точки анализа.

Подпрограмма Rline2 реализует формулу (5) и имеет вид:

function dl=Rline2(x,x1,z1,z2,L0) dl = abs(L0-sqrt((x-x1).A2+(z2-z1).A2)). Здесь dl - массив значений ошибки приближения к узлу, соответствующий массиву текущих значений координаты х .

Для получения координаты х соответствующей узловой точки элемента излучающей поверхности с номером k , которая для следующего элемента является начальной точкой расчета, используется процедура x1=Argmin1(x,z). Подпрограмма Argmin1 имеет следующий вид:

function x1=Argmin1(x,dl) [i,k]=min(dl); x1=x(k).

Здесь функция min(dl) возвращает минимальный элемент массива dl. При записи в форме [i,k]=min(dl) кроме минимального элемента массива возвращаются и его индексы. Операция x1=x(k) позволяет по индексу k выбрать минимальный элемент из массива.

Для объединения координат узловых точек кривой сечения в вектор-строку используем процедуру

xv(k)=x1,

которая добавляет в матрицу новые элементы на каждом шаге цикла while x1<=xm с увеличением k на единицу (k=k+1).

По полученному вектору-строке координат х узловых точек параболы, в силу ее симметрии, можно легко получить вектор-строку координат х , определяющих все сечение параболоида X = ^k] = (х1, х2,..., хп) , где п = 2K +1 . Эта операция

может быть осуществлена путем симметричного отражения относительно нуля всех элементов вектора-строки, исключая ноль, с противоположным знаком и их присоединения слева к исходному вектору с присоединенным нулем.

Соответствующий вектор-строка координат z узловых точек Z = [ zk ] = (z1, z2,..., zn) может быть получен по формуле (2), При этом максимальный порядковый номер индекса элемента вектора-строки п = 2K +1 . Таким образом, формируется множество векторов векторного пространства, описывающее сечение параболической антенны.

Если принять х=0 и для одномерной функции сечения параболической поверхности в плоскости Oyz

4 f

(6)

провести дискретизацию с тем же интервалом АL и по методике, приведенной выше, то, учитывая взаимную ортогональность осей у и х , получим вектор-столбец У = {у} порядка т с координатами узловых точек параболического сечения по оси у . Здесь т = 21 +1 , где I - максимальный порядковый номер индекса радиуса- вектора узло-

х

k

ные же элементы матрицы Z, превышающие г

вой точки сечения параболы в полупространстве Oyz с положительной координатой y .

Задавая значения элементов вектора-столбца Y в качестве y = const, по формулам (2) и (5) можно получить m векторов-строк сечений параболоида в плоскости Ozx , равномерно распределенных по параболическому сечению в плоскости Oyz . По аналогии, задавая значения элементов вектора-строки X в качестве х= const, по формулам (5) и (6) можно получить п векторов-столбцов сечений параболоида в плоскости Oyz , равномерно распределенных по параболическому сечению в плоскости Ozx .

Соединение матриц-строк в матрицу-столбец, а матриц-столбцов в матрицу-строку формирует прямоугольные матрицы размером mхп :

соответствующие элементы матриц X и У считаются избыточными и приравниваются нулю.

Так, например, параболоид вращения с плоской апертурой, ограниченной окружностью, имеет квадратную матрицу, у которой часть периферийных элементов равна нулю (рис. 3).

X = [ % ] =

X,

X,

. Z=[ % ]=

. Y = [yik ] =

Y,

(7)

Таким образом, формируются матрицы координат узловых точек излучающей поверхности в прямоугольной декартовой системе координат.

Сформированная матрица может иметь избыточные элементы, которые определяются границей излучающей поверхности, окаймляющей апертуру зеркала. У плоской апертуры эта граница находится в плоскости параллельной Оху и имеет

координату

равную максимальному уровню

главного сечения параболоида плоскости Огх .

Для выделения границы параболической поверхности все элементы матрицы Z, минимально превышающие , приравниваются и для них определяются соответствующие координаты х и у , являющиеся элементами матриц X и У . Осталь-

Рисунок 3 - Результат дискретизации излучающей поверхности антенны в МА^АВ

При этом для большей точности аппроксимации излучающей поверхности вблизи ее границ, при преобразовании квадратных конечных элементов в треугольные целесообразно стремиться ориентировать вновь образуемые ребра треугольников параллельно внешней границе апертуры.

Заключение

Результаты дискретизации излучающей поверхности зеркальной параболической антенны в среде Ма^АВ показали перспективность использования предложенного подхода при равномерном разбиении криволинейной излучающей поверхности и конечно-элементном моделировании излучения зеркальных антенн.

ЛИТЕРАТУРА

1. Семенов А.А. Теория электромагнитных волн/ А.А. Семенов. - М.: Изд-во МГУ, 1968. - 320 с.

2. Якимов, А.Н. Дискретное представление - основа моделирования антенн сложной конфигурации/

A.Н. Якимов, Э.В. Лапшин, Н.К. Юрков // Известия Самарского научного центра РАН. - т. 16. - № 4(2). -2014. - С. 454-458.

3. Якимов А.Н. Проблемы моделирования излучения антенн с учетом влияния возмущающих воздействий/ А.Н. Якимов. - Надежность и качество - 2013: труды Международного симпозиума: в 2 т./ под ред. Н.К. Юркова. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2013. - т. 1 - С. 86-89.

4. Сабоннадьер Ж.К. Метод конечных элементов и САПР/ Ж.К. Сабоннадьер, Ж.Л. Кулон; пер. с фр. - М.: Мир, 1989. - 190 с.

5. Якимов А.Н. Исследование геометрической модели параболической антенны. - Надежность и качество - 2012: труды Международного симпозиума: в 1 т./ под ред. Н.К. Юркова. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2012. - т. 1 - С. 242-244.

6. D. Shishulin, N. Yurkov, A. Yakimov Modeling the Radiation of a Mirror Antenna taking Vibration Déformations into Account. Measurement Techniques. -2014. -Vol. 56, № 11, February. -P. 1280-1284

7. Дьяконов В.П. MatLAB 5.3.1 с пакетами расширений/ В.П.Дьяконов, И.В.Абраменкова,

B.В.Круглов; под ред. В.П. Дьяконова. - М.: Нолидж, 2001. - 880 с.

и

z

z

g

УДК 656.25

Безродный Б.Ф., Майоров С.А.

Московский государственный университет путей сообщения, Москва, Россия

ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБОК СЕЛЕКЦИИ ИМПОРТОЗАМЕЩАЮЩИХ ЭЛЕКТРОННЫХ КОМПОНЕНТОВ

Возникает проблема обеспечения требуемой высокой надежности ответственной электронной аппаратуры, используемой на критически важных объектах, при проведении мероприятий по импор-тозамещению применяемых в ней электронных компонентов, включая различные микроэлектронные изделия. В силу меньшей стабильности технологического процесса изготовления их качество, надежность и, соответственно, значения параметров имеют больший, по сравнению с импортными аналогами, разброс. Поэтому на практике оказывается необходимым проведение предварительной селекции образцов этих компонентов (изделий) с целью выбора наиболее приемлемых для изготовления конкретного типа электронной аппаратуры, то есть для проведения ее «селективной сборки». Такую процедуру предлагается проводить с помо-

щью статистического распознавания, считая из-за большого числа влияющих факторов распределения нормальными [1].

В этом случае для проведения контроля состояния образцов электронного компонента следует использовать вектор из р параметров, принимаемых для простоты некоррелированными, а вследствие допущения нормального распределения и независимыми. При этом решающее правило будет иметь вид [1]:

£ [¡¡Г £ (хц - )2-¡т £ Ь - % )2 + «1п ¡¡А* 0 . (1)

]=1[сг0 ]•=1 ¡1 ]•=1 ¡1 ] \

При выполнении неравенства контрольная выборка из п замеров вектора контролируемых параметров признается соответствующей классу то есть удовлетворяющих требованиям конкретного