Геометрическая модель зеркала параболической антенны Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.391.677: 519.711.3 Ширшов М.В., Якимов А.Н.

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗЕРКАЛА ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ АНТЕННЫ

Построение геометрической модели, заменяющую излучающую поверхность зеркала параболической антенны многогранником, оказывается необходимым для исследования характеристик ее излучения методом математического моделирования. Отличие этого многогранника от параболоида приводит к возникновению фазовых сдвигов полей, создаваемых отдельными гранями модели излучающей поверхности антенны, создающих результирующее поле излучение антенны путем суперпозиции полей отдельных граней с учетом их амплитуд и фаз, что, в свою очередь, приводит к искажению характеристик излучения антенны. [1, 2] .

При построении геометрической модели излучающей поверхности параболической антенны перспективным оказывается использование метода триангуляции Делоне, обеспечивающего деление этой поверхности на равносторонние плоские треугольные конечные элементы [3, 4].

Алгоритм построения геометрической модели параболической антенны состоит из трёх основных шагов: разбиение параболической поверхности на кольцевые зоны; триангуляция кольцевых зон; объединение элементов дискретизации кольцевых зон в единую модель.

Рассмотрим алгоритм построения геометрической модели зеркальной параболической антенны (рис.1), излучающая поверхность которой описывается формулой [3]:

х2 + у2 : 4f

(1)

где А у,z

пространственные координаты

а

f - фокусное расстояние. В результате построения

геометрической модели излучающая поверхность разбивается на равносторонние или близкие к равносторонним треугольники. В силу криволинейности параболического профиля, эта равносторонность достигается лишь внутри кольцевых зон, определяемых равномерным шагом разбиения параболического профиля в одном из его главных сечений.

Так как в плоскости xOz сечение параболоида описывается уравнением:

х2

4-f

(2)

то после подстановки (2) в (1) получаем:

DL = |Дг|

V

(Xk Xk-l) +

( 2

14-f

2 С Xk-1

4 f) ■

Используем полученное значение Xk в плоскости координат xOy как радиус окружности при построении многогранника [б] :

х = xk - cos (a) , у = xk - sin (a),

где a угол относительно оси Ox, определения координат узловых точек

360°

a =

4 - 2k .

(4)

(3)

образованный вращением граней многогранника:

прямой

вокруг

оси

Oz

необходимый для

В результате получаем массив координат узловых точек, определяющих геометрию параболоида и составляющих основу сетки с узловыми точками, размещенными на его поверхности (рис. 1).

Рис. 1. Результат дискретизации излучающей поверхности антенны в декартовой систем координат

Таким образом, предложенный алгоритм, позволяет произвести дискретизацию излучающей поверхности параболической антенны, получить совокупности узловых точек, образующих конечные элементы этой поверхности в виде равносторонних треугольников и, соответственно, координаты этих точек. Этих данных оказывается достаточно для проведения расчета как полей, формируемых конечными эле-

ментами излучающей поверхности антенны, так и найти их суперпозицию с учетом пространственной ориентации этих элементов и векторного характера электромагнитного поля.

Оценим точность построения геометрической модели в рамках теории геометрической оптики по отклонению треугольных граней от и параболоида в их центроидах по ходу парциального луча излучения зеркальной параболической антенны. Центроид M , являющийся центром излучающего элемента дискретизации антенны, определим по пересечению медиан АА' и ВВ' (рис. 2) [5].

Рис. 2. К определению центроида

Точки A' и B' определяются полусуммами координат вершин треугольника ABC :

ХЛ =

xB'

XC + XB

2

XC + XA

Ул = Ув =

Ус + УВ 2

Ус + Ул

zb' :

ZC + ZB

2

ZC + ZA

2 2 2

Координаты центроида M определим путем совместного решения уравнений, описывающих прямые AA' и BB , исходя из координат точек A , A и B , B .

x - ХЛ _yM - yA _ ZM - ZA

Ул - Ул

A

ХМ ХВ _yM yB _ ZM ZB

XB' XB yB' yB ZB' ZB В результате решения системы уравнений, получим координаты Ум , Хм

Ум = (ХВ - Хл) • (Ул- - Ул ) • (ув' - Ув ) + Ул • (хЛ - xa ) • (ув' - Ув ) -M (xa' - хл) • (Ув' - Ув) - (хв' - хв) • (Ул - Ул )

Ув •(хв' хв)•(Ул-Ул)

M :

(ХЛ- - ХЛ) • (Ув' - Ув) - (хв' - хв) •(Ул' - Ул ) . = (Ум - Ул ) •(хл' - хл )

( Ул - Ул )

+х

_ = (хм - ХЛ) • (ZA' - ZA) + _

(ХЛ' - ХЛ )

Погрешность модели определяется разностью хода парциального луча при отражении от дискретного элемента модели и параболического зеркала. Так как отраженные лучи направлены параллельно оси Oz [6], то погрешность определяется суммой отрезков MS и ES (рис. 3).

za' =

Х -Х

Л

Л

A

Z

точки

м

м

Рис. 3. Определение разности хода парциального луча

Точка S на поверхности параболического зеркала является результатом ходящей через точки F и M , с сечением параболоида в плоскости xOz . гут быть определены из системы уравнений:

xS - xF _ ys - Ур _ zS - zF .

xM xF yM yF

z _-x-

MF

4 ■ z

F

пересечения прямой, проКоординаты этой точки мо-

где xp , Ур , zp координаты точки F (фокусное расстояния) .

В результате решения системы уравнений, получаем точку S отражения парциального луча от по-

верхности параболического зеркала антенны с координатами x<

S

ys

z

S :

xs _

1 zM - F

4 ■ F

лм 4 ■ F

+

2

x

M

2

xS xS

yS _ yM ; zS = . „ .

xM 4 ■F

Так как парциальный луч отражается от параболического зеркала параллельно оси Oz , то координаты точки E (см. рис. 3) можно определить следующим образом. Точка E лежит на одной плоскости с точкой S параллельной плоскости Oz , а так же лежит на одной плоскости с точкой М параллельной плоскости xOy , следовательно, координаты точки E являются проекциями точек E , M и составляют :

xE _ xS ; yE _ yS и ZE _ ZM .

Дополнительный фазовый набег электромагнитной волны Dp в центроидах элементов дискретизации определяется суммой отрезков MS и SE:

Dp _ DpMS + DpSE ,

где DpSE , DpSE - отрезки прямых описывающие дополнительный фазовый набег.

DpMS _ V(xM xS У + (yM yS У + (zM zS У ;

DpSE _ .

Из теории антенн [б] фазовая ошибка не должна превышать Dpmax _ 1/16 .

Расчёты погрешности были произведены для зеркальной параболической антенны с диаметром 1 м, фокусным расстоянием 0,3125 м и электромагнитной волны длиной 3 см.

Результаты расчета дополнительного фазового набега электромагнитной волны Dp в центроидах элементов дискретизации при заданных условиях представлены на рис. 4.

Здесь R _ -yjxjm + y'm - расстояние от оси Oz до центроидов элементов дискретизации в плоскости

xOy.

На рис. 4 кривые 1, 2, 3 и 4 показывают зависимость дополнительного фазового набега Dp в центроидах элементов дискретизации в от расстояния R при шаге дискретизации DL , равном 0,51 , 1 , 1,51 и 21 соответственно.

Для заданной длины волны 1=3 см максимально допустимая фазовая ошибка Dpпах _1/16 » 0,0019 м. Из приведенных зависимостей (см. рис.4) данному требованию не удовлетворяет лишь кривая 4, соответствующая шагу дискретизации DL = 21 .

■ "

/ 1 1 \ 4 У \

1 1 , 1 " . / 3 \ N

і; і; h- 2 / ^ _ ____

» і — — — — — - - - з Л \

У -

0,05 0,1 0,1 5 0,2 0,26 0,3 0,36 0,4 0,45 R, М

Рис. 4. Зависимость дополнительного фазового набега Dp в центроидах элементов дискретизации в от расстояния R

Таким образом, с учетом важности минимизации затрат вычислительных ресурсов, приемлемым шагом дискретизации можно считать DL = 1,51 . Это менее жесткое требование к шагу дискретизации, чем при растровом методе [2].

Предложенный алгоритм построения геометрической модели излучающей поверхности зеркальной параболической антенны, основанный на методе триангуляции Делоне, выполняет требование к максимально допустимой фазовой ошибке при минимальных вычислительных затратах. Это позволяет использовать модель не только при расчете характеристик излучения зеркальной параболической антенны, но и для оценки влияния внешних воздействий на конструкцию антенны конечно-элементным методом [7, 8].

ЛИТЕРАТУРА

1. Драбкин, А.Л. Антенно-фидерные устройства/ А.Л. Драбкин, В.Л. Зузенко, А.Г. Кислов. - М.: Сов. радио, 1974. - 536с.

2. Якимов А. Н. Проектирование микроволновых антенн с учетом внешних воздействий: монография / А. Н. Якимов. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. - 260 с.3. Скворцов, А.В. Триангуляция Делоне и её применение/ А.В. Скворцов. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. - 128 с.

4. Балуков, О.Н. Построение геометрической модели антенны с использованием триангуляции Делоне/ О.Н. Балуков, А.Н. Якимов. - Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки, 2009. - № 1. - С. 109-117.

5. Понарин, Я. П. Элементарная геометрия/ Я. П. Понарин - В 2 т. - Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. - М.: МЦНМО, 2004. - 312 с.

6. Вуд, П. Анализ и проектирование зеркальных антенн/ П. Вуд; пер. с англ. - М.: Радио и

связь, 1984. - 208 с.

7. Горбалысов, М.С. Моделирование влияния тепловых воздействий на характеристики излучения зеркальной антенны / М.С. Горбалысов // Надежность и качество - 2013: труды Международного симпозиума: в 2 т./ под ред. Н.К. Юркова. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2013. - т. 1 - С. 92-95.

8. Шишулин, Д.Н. Исследование влияния вибраций на параболическую антенну в ANSYS / Д.Н. Шишулин // Надежность и качество - 2013: труды Международного симпозиума: в 2 т./ под ред. Н.К. Юркова. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2013. - т. 1 - С. 231-232.