CC BY
41
Естественные науки Natural Sciences
УДК 539.163.2
А. И. Мурзашев, Е. О. Шадрин A. I. Murzashev, E. O. Shadrin
Марийский государственный университет, г. Йошкар-Ола Mari State University, Yoshkar-Ola
Исследование энергетического спектра нанотрубок хиральностей
(10,10), (11,9), (12,8)
The Research on the Energetic Spectrum of Chirality Nanotubes (10,10), (11,9), (12,8)
В работе исследован энергетический спектр углеродных нанотрубок хиральностей (10,10), (11,9), (12,8) в рамках модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций. Показано, что они независимо от хиральности являются узкощелевыми полупроводниками с щелью порядка 0.1 eV.
We researched the energetic spectrum of carbon chirality nanotubes (10,10), (11,9), (12,8) within the framework of the Hubbard model at statistical fluctuations approximation. The research showed that irrespective of their chirality they are narrow slot semiconductors with 0.1 eV band gap.
Ключевые слова: модель Хаббарда, углеродные нанотрубки, функции Грина. Key words: the Hubbard model, carbon nanotubes, Green's functions.
Углеродные нанотрубки (УНТ) представляют собой протяженные структуры из свернутой в цилиндр графитовой плоскости. УНТ отличаются друг от друга способом сворачивания — хиральностью, определяемой двумя так называемыми хиральными индексами (п,т) [3]. Существует три типа УНТ — это «зиг-заг», определяется как (п,п), «кресло» — (п,0) и хиральные нанотрубки, соответственно, (п,т). Нанотрубки обладают уникальными механическими, электронными свойствами и представляют большой фундаментальный и прикладной интерес.
В графитовой плоскости углерод находится в ,?р2-гибридизированном состоянии. Три гибридные орби-тали образуют остов структуры, а негибридная р-ор-биталь образует я-связь. Электроны, формирующие эту связь, вносят основной вклад в электропроводность системы. В настоящее время считается, если разность хиральных индексов кратна трем, то УНТ проявляют металлическое поведение, в противном случае являются полупроводниками или диэлектриками [1]. Такое понимание основано на результатах расчетов, выполненных Дрессельхаузом и др., основанных на работе Валласе [6; 9; 10]. В этих расчетах электроны считались локализованными на узлах и учитывались их перескоки между ближайшими узлами
и полагалось, что кулоновским отталкиванием электронов можно пренебречь. Однако, согласно [11], ку-лоновское взаимодействие в рассматриваемых системах велико и может достигать 10 еУ. Очевидно, что для адекватного описания системы такое взаимодействие должно быть учтено. На наш взгляд, тот факт, что современные экспериментальные данные не выявляют однозначной зависимости электропроводящих свойств от хиральных индексов [8], как раз и связан с тем, что в работах [6; 9; 10], из результатов которой сделан вывод о критической зависимости свойств электропроводности УНТ от кратности или некратности трем разности хиральных индексов, не учитывалось кулоновское взаимодействие электронов на одном узле. Кулоновское взаимодействие электронов на одном узле последовательно может быть учтено в рамках модели Хаббарда [7]. Ранее [2] нами были получены энергетические спектры УНТ хиральности (5,5) и (10,0) было показано, что эти УНТ являются полупроводниками с энергетической щелью ~1 еУ.
Интерес представляют энергетические спектры тех УНТ, содержание которых в образцах максимально. Согласно работе [5], наиболее распространенными в гетерогенных образцах являются УНТ хиральностей (10,10) — 44 %, (11,9) — 30 % и (12,8) — 20 %.
8
Естественные науки
Именно поэтому для дальнейшего исследования эти УНТ мы выбрали в качестве объекта для дальнейшего исследования. Кроме того, в отличие от [2], мы учли более дальние перескоки электронов между узлами, что в расчетах, приведенных ниже, проявляется в появлении интеграла перескока Б1.
Задачу нахождения энергетического спектра, как и в [2], будем решать в приближении статических флук-туаций. Для решения задачи возьмем фрагмент гексагональной плоскости, представленной на рисунке 1, где выделено два типа формально неэквивалентных узла «а» и «Ь».
Данную систему опишем моделью Хаббарда, которая использовалась в работе [2]. Учитывая перескок электрона на следующий за ближайшим узел (пунктирные стрелки на рисунке 1), модель Хаббарда представим следующим образом:
H = еУ(a+a.+ Ь+Ь. ) + B0 У (b+.a.) +
i,s i,s is ) 0 ^^ ^ is js js js'
+ й У (a+a.+ a +sa.) + U У n¡sn¡-,
I / , v is js js js ' / • i s i s
i, j^is i, j s
здесь e — собственная энергия электрона, Б0 — интеграл перескока между ближайшими узлами a-a, Б1 — интеграл перескока между узлами a-Ь, U — интеграл кулоновского отталкивания на одном узле, Ь = b+sbi s — операторы числа
= а+аг s и ns
г ,s г ,s г ,s г ,s
частиц, а а+а , аа и Ь^а , Ьа — операторы рождения и уничтожения электронов на узлах типа «а» и типа «Ь» со спином а.
Рис. 1 — Разбиение гексагональной плоскости
Уравнения движения для операторов а+- (т) и b— (т) запишем в представлении Гейзенберга с мнимым временем t
da+st)
dt
db+st)
dt
= [H, a+s (t)] =e*s< (t) + Bo£b+s(t) +
+ B £ a +» + U Dnls(t)a+s(t);
j *i
= [ H, b¡s (t)] =*s< (t) + B0 £ a+s (t) +
+ B X b+s(t) + U DistKt).
j *i
Здесь A<- = na - (<-), а < = e + U (<-),
а = {а, b} определяет тип узла.
Следуя [2], с учетом дополнительного перескока получим антикоммутаторные функции Грина, которые определяют энергетический спектр системы (1). Запишем ее для одного узла, так как узлы «а» и «b» энергетически эквивалентны.
n/ /1
- +
г
E 2p n/
E-e-
E-e-BR + B0 • Ek-U
- n/ 2 /2
-Bo • Ek-U
- n/ 2 /2
(1)
E-e-BR - Bo • Ek E-e-BR + Bo • Ek Здесь:
Ek =V P (k )Q(k) =
= ¡1 + 4cos21 — ck, 1 + 4cos
(
s
—ck, 2 "
cos \— cky
(
Rk =2cos
ck -—ck 2 " 2 y
Л
(
+2 cos
T— , 3
—ck,. + — ck„
2 " 2 y
Л
+ 2cos
[Sckx ),
где с — расстояние между соседними узлами.
Применив флуктуационно-диссипационную теорему [4], получаем, что термодинамическое среднее определяется как:
(а1а1а) = 2 [ п/ (е + Б, Я, + БЕ, + и ) +
+п/ (е + Б,Я, - БЕ, + и ) + (2)
+ (1 - п) / (е + Б,Я, + БЕ,) +
+ (1 - п) / (е + Б1Я, - БЕ,)].
Здесь / (х) — функция фермиевского распределения. Из (2) можно получить уравнение для нахождения е:
■=-£
(3)
Данный результат расчетов справедлив для углеродной плоскости, чтобы перейти к УНТ, необходимо наложить граничные условия на кх и ку, которые для различных хиральностей различны. В обобщенном виде оно записывается как:
А. И. Мурзашев, Е. О. Шадрин
9
-0.5
Рис. 2 — Энергетические спектры УНТ хиральности (10,10) a, (11,9) b, (12,8) c
-JbNxkxa + Nykya = 2pq , (4)
где a — постоянная решетки. В частном виде для нанотрубок типа «кресло» выглядит следующим образом:
yfÎNxkxa = 2pq . (5)
Используя граничные условия (4) и (5) и подставив их в (1), можно получить энергетический спектр системы. Параметры для модели следующие: B0 =-1,0eV и U = 7,0eV [2], B, =-0,362eV — определялось из экспериментальных данных [8], значение параметра n = 1/2 соответствует состоянию с наполовину заполненной хаббардовской подзоной. Используя данное значение параметра n, решалось уравнение (3) для нахождения значения e, при приведенных выше параметрах e = -1,8eV. На рисунке 2 представлены энергетические спектры УНТ хиральностей (10,10), (11,9) и (12,8) в близи уровня Ферми в интервале
от -1 до 1 eV.
Таким образом, видно, что в щель в энергетическом спектре наблюдается порядка 0,05 eV, что согласуется с результатом работы по исследованию энергетического спектра [8], и можно сделать вывод, что исследуемые нами УНТ являются узкощелевыми полупроводниками.
—т—-
1. Елецкий А. В. Транспортные свойства углеродных нанотрубок // УФН. 2009. Т. 179(3). С. 225-242.
2. Мурзашев А. И., Шадрин Е. О. Энергетический спектр и оптические свойства бесконечных углеродных нанотрубок в модели Хаббарда // ФТТ. 2012. Т. 54(12). С. 2359-2365.
3. Раков Э. Г. Нанотрубки и фуллерены. М.: Физматкнига, 2006. 374 с.
4. Тябликов С. В. Методы квантовой теории магнетизма. М.: Наука, 1975. 527 с.
5. Electron nano-diffraction study of carbon singlewalled nanotube ropes / J. M. Cowley, P. Nikolaev, A. Thess, R. E. Smalley // Chem. Phys. Lett. 1997. V. 265. P. 379-384.
6. Dresselhaus M. S., Dresselhaus G., Saito R. Physics of Carbon nanotubes // Carbon. 1995. V. 33. P. 883.
7. Hubbard J. Electron Correlations in Narrow Energy Bands // Proc. Roy. Soc. A. 1963. V. 276. P. 238.
8. Energy Gaps in "Metallic" Single-Walled Carbon Nanotubes / M. Ouyang, J.-L. Huang, C. L. Cheung, C. M. Lieber // Science. 2001. V. 292. P. 702.
9. Electronic structure of graphene tubules based on C60 / R. Saito, M. Fujita, G. Dresselhaus, M. S. Dresselhaus // Phys. Rev. B. 1992. V. 46. P. 1804-1811.
10. Wallace P. R. The Band Theory of Graphite // Phys. Rev. 1947. V. 71. P. 622-634.
11. Strength of effective Coulomb interactions in graphene and graphite / T. O. Wehling, E. Sasioglu, C. Friedrich, A. I. Lichtenstein, M. I. Katsnelson, S. Blugel // Phys. Rev. Lett. 2011. V. 106. P. 236805.
1. Еletskiy А. V. Transportnye svoystva uglerodnykh nanotrubok // UFN. 2009. Т. 179(3). S. 225-242.
2. Мurzashev А. I., Shadrin Е. О. "Energeticheskiy spektr i op-ticheskiye svoistva beskonechnykh uglerodnykh nanotrubok v modeli Habbarda // FTT. 2012. Т. 54(12). S. 2359-2365.
3. RakovE. G. Nanotrubki i fullereny. Fizmatkniga, М., 2006. 374 s.
4. Тyablikov S. V. Мetody kvantovoy teorii маgnetizma. Nauka. М., 1975. 527 s.
5. Electron nano-diffraction study of carbon singlewalled nanotube ropes / J. M. Cowley, P. Nikolaev, A. Thess, R. E. Smalley // Chem. Phys. Lett. 1997. V. 265, P. 379-384.
6. Dresselhaus M. S., Dresselhaus G., Saito R. Physics of Carbon nanotubes // Carbon. 1995. V. 33, P. 883.
7. Hubbard J. Electron Correlations in Narrow Energy Bands // Proc. Roy. Soc. A. 1963. V. 276, P. 238.
8. Energy Gaps in "Metallic" Single-Walled Carbon Nanotubes / M. Ouyang, J.-L. Huang, C. L. Cheung, C. M. Lieber // Science. 2001. V. 292 P. 702.
9. Electronic structure of graphene tubules based on C60 // R. Saito, M. Fujita, G. Dresselhaus, M. S. Dresselhaus // Phys. Rev. B. 1992. V. 46, P. 1804-1811.
10. Wallace P. R. The Band Theory of Graphite // Phys. Rev. 1947. V. 71, P. 622-634.
11. Strength of effective Coulomb interactions in graphene and graphite / T. O. Wehling, E. Sasioglu, C. Friedrich, A. I. Lichtenstein, M. I. Katsnelson, S. Blugel // Phys. Rev. Lett. 2011. V. 106, P. 236805.
