CC BY
30
УДК 538.915
DOI 10.21685/2072-3040-2018-2-11
А. В. Захаров, Г. И. Миронов
ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОННОЙ СТРУКТУРЫ ОДНОСЛОЙНЫХ НАНОТРУБОК ТИПА «ЗИГЗАГ»
Аннотация.
Актуальность и цели. Целью настоящей работы является исследование плотности электронного состояния при постепенном увеличении длины нано-трубки. Для этого выберем атом углерода в центре нанотрубки небольшого размера, вычислим энергетический спектр электрона, находящегося на этом узле нанотрубки, плотность электронного состояния в произвольных единицах. Затем будем постепенно увеличивать число атомов нанотрубки симметрично относительно выбранного узла нанотрубки и проследим, как будут изменяться при этом энергетический спектр и плотность электронного состояния.
Материалы и методы. От реальной нанотрубки для возможности математического описания в рамках квантовой теории поля перейдем к модели нанотрубки, воспользовавшись тем, что при .^-гибридизации в случае нанотрубки основную роль будут играть пи-электроны. При этом волновые функции пи-электронов соседних атомов углерода в нанотрубках будут перекрываться, поэтому пи-электроны могут перескакивать от одного узла нанотрубки на соседний узел. Если на этом соседнем узле уже был электрон с ориентацией спина электрона в сторону, противоположную проекции спина перескочившего пи-электрона, возникает необходимость учета кулоновского отталкивания этих двух электронов с разными проекциями спинов на одном узле. Для решения такого рода задач используется модель Хаббарда.
Результаты. Рассчитана антикоммутаторная функция Грина, построен и проанализирован энергетический спектр одностенной углеродной нанотрубки с 36 атомами до нанотрубки, содержащей 468 атомов. Показано, как изменяется ширина «запрещенной» зоны с увеличением количества атомов углерода в нанотрубке. Также показано, как изменяется ширина верхней и нижней хаб-бардовских подзон с увеличением числа атомов в нанотрубке. Рассчитана плотность электронного состояния для конечной и бесконечной нанотрубок хиральности (9,0).
Выводы. Анализ плотностей электронного состояния показал, что бесконечная нанотрубка в рамках ^-представления имеет такие же параметры, что и конечная, состоящая из 468 атомов, для выбранного атома в центре нанотруб-ки. Можно сделать вывод, что атом в центре нанотрубки в случае 468 атомов и больше будет испытывать такое же воздействие со стороны соседей, что и атом углерода в случае нанотрубки бесконечного размера.
Ключевые слова: нанотрубка, хиральность, фурье-образ функции Грина, спектр элементарных возбуждений, электронная плотность.
A. V. Zakharov, G. I. Mironov
A STUDY OF THE ELECTRONIC STRUCTURE OF SINGLE-WALLED ZIGZAG NANOTUBES
© 2018 Захаров А. В., Миронов Г. И. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.
Abstract.
Background. The purpose of this paper is to investigate the density of an electron state with a gradual increase in the length of a nanotube. To do this, we select a carbon atom in the center of a small-sized nanotube, calculate the energy spectrum of the electron located on this nanotube node, and the electron density in arbitrary units. Then we will gradually increase symmetrically relative to the chosen atom of the nanotube and trace how the energy spectrum and density of the electronic state will change in this case.
Materials and methods. From a real nanotube to the possibility of a mathematical description within the framework of quantum field theory, let us pass to the nanotube model by using the fact that sp2 hybridization in the case of a nanotube will be dominated by pi-electrons. In this case, the wave functions of neighboring carbon atoms in nanotubes overlap, so the pi-electrons can jump from one nanotube node to the neighboring node. If, on this neighboring site, there was already an electron with the spin orientation of the electron in the direction opposite to the projection of the spin of the jumped p-electron, it becomes necessary to take into account the Coulomb repulsion of these two electrons with different spin projections at one site. To solve such problems, the Hubbard model is used.
Results. The anticommutator Green's function was calculated, the energy spectrum from a nanotube with 36 atoms to a nanotube containing 468 atoms was constructed and analyzed. It is shown how the width of the "forbidden" zone varies with the increase in the number of carbon atoms in the nanotube. It also shows how the width of the upper and lower Hubbard subbands varies with the number of atoms in the nanotube. The density of the electron state for finite and infinite nanotubes of chirality is calculated (9,0).
Conclusions. Analysis of electron state densities has shown that an infinite nano-tube within the k-representation has the same parameters as the final one, consisting of 468 atoms for an atom in the center of the nanotube. It can be concluded that the atom in the center of the nanotube in the case of 468 atoms and more will experience the same effect from neighboring atoms as the atom carbon for a nanotube of infinite size.
Key words: nanotube, chirality, Fourier transform of the Green's function, spectrum of elementary excitations, electron density.
Введение
Углеродные нанотрубки были обнаружены Ииджимой [1] в 1991 г. как побочный продукт синтеза фуллерена [2]. Исследования показали, что нанотрубки обладают уникальными электронными свойствами, даже более значимыми для практического применения [3, 4] по сравнению с фуллеренами. В последние время, углеродные нанотрубки, являются одной из главных знаменитостей в мире материаловедения. Приставка «нано-» переводится с греческого как «карлик» и означает одну миллиардную часть чего-либо. Соответственно можно сделать вывод, что слово нанотрубка в переводе означает карликовая трубка. Фактически же нанотрубки - это своеобразная полая цилиндрическая структура, состоящая из правильных шестиугольников, в вершинах которых находятся атомы углерода.
1. Описание модели
Описать структуру углеродных нанотрубок можно с использованием понятия хиральных индексов (n, m) [5]. Они характеризуют структуру нанотрубки и задают в углеродной плоскости хиральный вектор 0. Для зигзагооб-
разной нанотрубки хиральный угол 0 = 0°, а индексы хиральности есть (n, 0), в нашем случае (9,0). Нанотрубка, представленная на рис. 1, обладает полупроводниковыми свойствами с шириной «запрещенной» зоны порядка 0,101-1,876 эВ [6]:
T = 9+ 0»2 - вектор трансляции.
Рис. 1. Графеновая плоскость, состоящая из гексагонов, в вершинах которых находятся атомы углерода; äj и »2 -единичные вектора плоской гексагональной решетки
2. Использованные методы 2.1. Модель Хаббарда
Для теоретического анализа такого рода углеродной структуры воспользуемся моделью Хаббарда [7]. По методике, разработанной в [8], исследована углеродная нанотрубка типа «зигзаг» хиральности (9,0) в приближении статических флуктуаций в рамках модели Хаббарда. Изначально для большей наглядности рассмотрим гамильтониан данной наносистемы, состоящей из 36 атомов [5, 9] (рис. 2):
36
H = £S((I +ni,l)+ S Bff'\"i,,° 1 ,о i=1 ■ ■
a о a, 0+ai0 а.
36
i, j, о
+ US %niX (1)
i=1
Рис. 2. Один слой нанотрубки, состоящей из 36 узлов
Первое слагаемое описывает состояние пи-электрона в атоме углерода, где £ - собственная энергия пи-электрона. Второе слагаемое описывает пе-
рескоки пи-электронов от одного узла нанотрубки на соседний узел; Bf у -
интеграл перескока, а+а, аг- а - операторы рождения и уничтожения электрона на узле I и с проекцией спина а. Третье слагаемое описывает кулонов-ское взаимодействие двух п -электронов с разными направлениями проекции
спинов, оказавшихся на одном узле нанотрубки; « а = а+аа^ а - оператор
числа п -электронов на узле 1 (1 е 1,36). Если проекция спина о принимает значения | (вверх), это означает, что проекция спина электрона равна +1/2. Если а =|, то проекция спина электрона равна -1/2.
3. Решение
Воспользовавшись представлением Гейзенберга для операторов рождения частиц, можем получить уравнения движения для наноструктуры, состоящей из 36 атомов, следующего вида:
а+т (т) = е а+т (т) + Ва+Т (т) + Ва+ т (т) + и «14а+Т (т), ^ а+ Т (т) = еа+ т (т) + Ва+Т (т) + Ва+Т (т) + В а+1 т (т) + и«2,4а+ т(т), (2)
^ а+6 ^ (т) = е а+6 т (т) + Ва+ т (т) + Ва+ т (т) + и «36,4 а+ т (т).
Соответственно, чтобы проанализировать более подробно физические свойства наноструктуры, мы будем ее рассматривать относительно атома, например, под номером 18. Мы хотим понять, что будет с этим атомом в нанотрубке при симметричном увеличении числа атомов снизу и сверху, т.е. по мере роста нанотрубки.
С учетом вышесказанного уравнение движения для выбранного атома в нанотрубке, состоящей из 36 узлов, будет иметь следующий вид:
а1+8 Т (т) = еа1+8 Т (т) + Ва+Т(т) + Ва+ т (т) + Ва+ т (т) + ий18,4а+8 т (т). (3)
В дифференциальном уравнении (3) появился оператор более высокого порядка по сравнению с операторами рождения пи-электронов, это оператор
п^^а^т(т), где % = и - мнимое время ( - мнимая единица, t - время).
В приближении статических флуктуаций уравнение типа (3) решается следующим образом: оператор числа частиц 4 представим в виде
«18,4 =( «18,4)+ ^8,4, (4)
где («14^ =... = ^«184) = .. = («364) - среднее значение оператора числа пи-электронов [10] и А/?18 4 - оператор флуктуации числа частиц на узле 18 нанотрубки.
Перепишем (3) с учетом (4) в следующем виде [11, 12]: d_
d% ж
"aV (Т) = \£ + U(/î18,^)ai+8,T (Т) +
+B (a+t (т) + a+71 (т) + a+91 (т)) + U A n18^a+ t (т). (5)
Введем оператор «типа представления взаимодействия». В таком случае оператор a+g ^ (т) в представлении Гейзенберга можно записать в виде
[13-15]:
a1+8,t (т) = eHo ^ (т) е"Я°т, (6)
где Hq - гамильтониан, включающий первое и второе слагаемые в (1) с учетом перенормировки собственной энергии:
+ . (7)
Если продифференцировать оператор a+8 t (т) с учетом (6), получим d a1+8,t(т) = ( + (т) + +B (a+t (т) + a+7,t (т) + a+9,t (т)) + eH т ^e^ %
(8)
Сравнивая (8) с уравнением (5), можно сделать вывод: a18
ai+8T(т) +
18,1 = U Л n^ (T)a+8Î (т), (9)
d т где
Л (т) = е-Й0 тЛ n^ (т)еН т,
a+8Î (т) = e'110 (т)еН т. (10)
В рамках приближения статических флуктуаций считается, что оператор флуктуации числа электронов на первом узле нанотрубки Л n^^ (т) является статическим Лn^ ^(т) = Лn^ ^(0), следовательно:
d a1+8,T (т) = иЛn18,^ (0) a1+8,T (т). (11)
Запишем теперь уравнение движения для оператора Л й^^ (0) a+8^ (т), появившегося в правой части равенства (11):
«18,4 (0) aV CO = UA (0) ^ (X).
(12)
„2 л2 л
Рассмотрим оператор А «^4 (0), поскольку "184= «18 4 ; с учетом (4)
получим
d_
d т
АП18,4(0) ¿?1+8,т(т) = U(ni8,^(1 -(«18,4))(Т) +
I1 - 2(П18,4)))8,4(0)a+8/T(Т). (13)
+U (
Таким образом, мы получили систему дифференциальных уравнений
(11) и (13):
d_ d т d_ d т
a+81 (т) = UА «18,4 (0) 3+8? (т),
А««18,4(0) 3+8,Т(Т) = ^/518,^(1-(П18,4))(Т) + (14)
+ U (1 - 2( n1S,l)))l (0)3+8,Т (Т).
Решив систему дифференциальных уравнений (14), с учетом (6) получим следующее выражение в представлении Гейзенберга:
3+8 Г (Т) = И
G1a+ ? (т) + G2 Аи18,4 (т) о1+8 ? (т)
(15)
где
G1 =
1 ( Ut -U т ^
e 2 + e 2
2
V /
- 2( «.«и»)
( ut -uT ^
e 2 + e 2
G 2 =
( Ul U ^
e 2 + e 2
здесь появились новые операторы, которые обозначим следующим образом:
Н0Т+/Г\\ - Н0т
a18t (Т) = en0 aT8t (0) e
Ай"+8Т (т) = eH/0TAn1+8t (0) e-7/01.
(16)
Уравнение движения для вновь введенных операторов будет иметь вид Т а1+8,Т (Т) =(е + ^«18,4» (т) + В (Кт (т) + а1+7,Т (т) + а1+9,Т (т)). (17)
Аналогичным образом, как показано в (17), записав оставшуюся систему уравнений движения (2) и подставив в (15), мы получим фурье-образ антикоммутаторной функции Грина относительно выбранного атома в следующем виде:
a18,t, W/iz 2я
(
2
S
a=1
0,01535517791 0,01535517791
-+-^-:-+
E +1В + ^Sb-£„ E -1B -^yßß-
2 2 a 2 2
0,004963530272 0,004963530272 0,01915977260
E + 1,108781372B-£a E - 1,108781372B-£a E + 2,111612967B -£a
0,01915977260 0,03491947836 0,03491947836
E - 2,111612967B-£a E - 1,444759340B-£a E + 1,444759340B-£a
0,01725743924 0,01725743924 0,04020037765 +---+---+---+
e-+-£a E+2ß-\Л7в-£a E+2ß-2-Вв-£a
0,04020037765 0,01052033854 0,01052033854 +—--+---+—--+
E- 1;В + -£a E + 2ß + -£a E-2ß-2-JÏ7B -£a
0,05059202525 0,05059202525
E + 0,1087813722B - £a E - 0,1087813722B - £a
0,03639578296 0,03639578296 +---+---+
E -1,111612967В - £a E +1,111612967В - £a
0,02063607720 0,02063607720 +---+ -
E + 2,444759339B - £a E - 2,444759339B -£c
Л
(18)
где
£a= |£2=e+U. (19)
Полюса функции Грина (18) определяют энергетический спектр нанотрубки. Верхняя хаббардовская подзона будет состоять из 20 выражений, находящихся в знаменателе антикоммутаторной функции Грина со значением параметра энергии электрона: £a = £ + U , где £ = -3,5eV, U = 7eV.
Соответственно нижняя хаббардовская подзона будет формироваться следующими 20 уровнями энергии с значением параметра энергии электрона: £a = £, где £ = -3,5 eV.
Числитель в антикоммутаторной функции Грина свидетельствует о вероятности нахождения электрона на том или ином уровне энергии. Сумма всех вероятностей нахождения электрона на всех уровнях энергии равняется 1 - вероятности достоверного события.
4. Результаты
4.1. Энергетический спектр
Для построения энергетического спектра необходимо задать значения собственной энергии электрона, интеграла перескока электрона с узла на соседний узел и кулоновского потенциала, возьмем их равными е=-3,5вУ, В = -1вУ, и = 7вУ (рис. 3).
Рис. 3. Энергетический спектр наноструктуры с 36 атомами (слева) и 468 атомами (справа) при значениях параметров е= - 3,5 вУ, В = -1вУ, и = 7 вУ
Из анализа энергетических спектров (рис. 3) можно сделать вывод, что с увеличением количества узлов в структуре одностенной углеродной нано-трубки ширина зоны запрещенных энергий уменьшается, если в нанотрубке с 36 атомами ширина «запрещенной» зоны А = 1,876 эВ, то для структуры с 468 атомами нанотрубка имеет ширину «запрещенной» зоны А = 1,01 эВ (рис. 4).
Соответственно при уменьшении ширины «запрещенной» зоны происходит увеличение ширин верхней и нижней хаббардовской подзон. При этом улучшаются проводящие свойства нанотрубки, нанотрубка хиральности (9,0) является полупроводником с узкой шириной «запрещенной» зоны [9, 16].
Рис. 4. График зависимости ширины «запрещенной» зоны между верхней и нижней хаббардовской подзонами при увеличении числа атомов в структуре нанотрубки
Из вида графика, представленного на рис. 5, следует, что ширина верхней хаббардовской подзоны увеличивается при росте нанотрубки, а энергия при увеличении узлов в структуре стремится к некому постоянному значению верхней подзоны и нижней соответственно. Аналогичная картина наблюдается и на рис. 4, где ширина «запрещенной» зоны тоже стремится к определенному постоянному значению энергии.
Рис. 5. График зависимости ширины верхней и нижней хаббардовских подзон с увеличением числа атомов в структуре
4.2. Плотность электронного состояния
Для нанотрубки хиральности (9,0) получены плотности электронного состояния (рис. 6), для нанотрубок, содержащих конечное число атомов от 36 атомов до 468 атомов углерода, и нанотрубки бесконечной длины.
д) е)
Рис. 6. Плотность электронного состояния в произвольных единицах как функция энергии для 36, 54, 90, 126, 198, 270, 378, 450, и 468 атомов в нанотрубке хиральности (9,0) и бесконечного количества атомов при значениях параметров модели Хаббарда е=-3,5гУ, В = -\гУ, и = 7 гУ : а - 36 атомов; б - 54 атома; в - 90 атомов; г - 126 атомов; д - 198 атомов; е - 234 атома; ж - 378 атомов; и - 450 атомов; к - 468 атомов; л - бесконечное количество атомов в структуре
к) л)
Рис. 6. Окончание
С увеличением количества узлов от центрального атома графики постепенно сглаживаются. Если сравнить графики для плотностей электронных состояний при переходе от 450 атомов к 468 атомам, в системе плотность электронного состояния практически не изменяется, это, очевидно, свидетельствует о том, что на поведение центрального атома периферийные атомы перестают оказывать какое-либо действие. Центральный атом нанотрубки ведет себя как атом углерода в нанотрубке бесконечной длины.
Заключение
Графики плотностей электронного состояния для центрального атома в нанотрубке с 468 атомами и бесконечной нанотрубки имеют одинаковый вид, положения сингулярностей Ван Хова с большой степенью точности совпадают. Таким образом, мы определили длину нанотрубки, когда центральный атом характеризуется теми же физико-химическими свойствами, что и произвольный атом бесконечной нанотрубки. Поэтому при исследовании электронных свойств углеродных нанотрубок можно использовать и узельное и волновое представления, эти исследования будут органично дополнять друг друга.
Библиографический список
1. Iijima, S. Helical microtubules of graphitic carbon / S. Iijima // Nature (London). -1991. - Vol. 354. - P. 56.
2. Kroto, H. W. Сб0 Buckminsterfullerene. / H. W. Kroto, A. W. Allafand, and S. P. Balm // Chem. Rev. - 1991. - Vol. 91. - P. 2113.
3. Iijima, S. Pentagons, heptagons and negative curvature in graphite microtubule growth / S. Iijima, T. Ichihashi, Y. Ando. // Nature (London). - 1992. - Vol. 356. -P. 776.
4. Iijima, S. Growth model for carbon NT / S. Iijima, P. M. Ajayan, T. Ichihashi // Phis. Rev. Lett. - 1992. - Vol. 69, № 21. - P. 3100.
5. Захаров, А. В. Исследование углеродной зигзагообразной нанотрубки хираль-ности (9,0) / А. В. Захаров // Студенческая наука и XXI век. - 2017. - № 14. -С. 41-43.
6. Сысоев, И. В. Электронная структура одностенных углеродных нанотрубок типа зигзаг / И. В. Сысоев, Н. С. Пересланцева, О. И. Дубровский // Конденсированные среды и межфазные границы. - 2014. - Т. 163, № 3. - С. 318-322.
7. Hubbard, J. Electron correlations in narrow energy bands / J. Hubbard // Proc. Roy. Soc. A. - 1963. - Vol. 276. - P. 238.
8. Mironov, G. I. Nanosystems in the Static-Function Approximation Hubbard Model / G. I. Mironov // Physics of the Solid State. - 2006. - Vol. 48, № 7. - P. 1299-1306.
9. Захаров, А. В. Теоретическое исследование электронной структуры углеродных нанотрубок типа зигзаг по мере роста нанотрубок / А. В. Захаров, Г. И. Миронов // Физика и ее преподавание в школе. XV Емельяновские чтения : материалы науч.-практ. конф. - Йошкар-Ола, 2017. - С. 74-80.
10. Хомский, Д. И. Электронные корреляции в узких зонах (модель Хаббарда) / Д. И. Хомский // Физика металлов и металловедение. - 1970, - Т. 29, № 1. -С. 31-57.
11. Миронов, Г. И. Вычисление функций Грина для наноструктур в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций / Г. И. Миронов // Физика металлов и металловедение. - 2006. - Т. 102, № 6. - С. 611-620.
12. Mironov, G. I. Susceptibility in the Hubbard model in the static - fluctuation approximation / G. I. Mironov // J. Superconductivity and Novel Magnetism. - 2007. -Vol. 20. - P. 135.
13. Миронов, Г . И . Исследование одночастичной функции Грина в бипартитной модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций / Г. И. Миронов // Физика низких температур. - 2005. - Т. 31, № 12. - С. 1388-1394.
14. Миронов, Г. И. Фуллерен С24 в модели Хаббарда / Г. И. Миронов, Э. Д. Изергин // Физика низких температур. - 2007. - Т. 33, № 12. - С. 1365-1370.
15. Миронов, Г . И . Теоретическое исследование структурных элементов одно-стенной золотой нанотрубки хиральности (5,3) в модели Хаббарда / Г. И. Миронов, Е. Р Филиппова // Физика низких температур. - 2011. - Т. 37, № 6. -С. 644-650.
16. Захаров, А. В. Теоретическое исследование электронной структуры углеродных нанотрубок типа зигзаг (9,0) в Модели Хаббрда в приближении статических флуктуаций / А. В. Захаров, Г. И. Миронов // Молодой исследователь от идеи к проекту. - Йошкар-Ола, 2017. - С. 11-16.
References
1. Iijima S. Nature (London). 1991, vol. 354, p. 56.
2. Kroto H. W., Allafand A. W., Balm S. P. Chem. Rev. 1991, vol. 91, p. 2113.
3. Iijima S., Ichihashi T., Ando Y. Nature (London). 1992, vol. 356, p. 776.
4. Iijima S., Ajayan P. M., Ichihashi T. Phis. Rev. Lett. 1992, vol. 69, no. 21, p. 3100.
5. Zakharov A. V. Studencheskaya nauka i XXI vek [Student science and the XXI century]. 2017, no. 14, pp. 41-43.
6. Sysoev I. V., Pereslantseva N. S., Dubrovskiy O. I. Kondensirovannye sredy i mezh-faznye granitsy [Condensed media and interphase boundaries]. 2014, vol. 163, no. 3, pp. 318-322.
7. Hubbard J. Proc. Roy. Soc. A. 1963, vol. 276, p. 238.
8. Mironov G. I. Physics of the Solid State. 2006, vol. 48, no. 7, pp. 1299-1306.
9. Zakharov A. V., Mironov G. I. Fizika i ee prepodavanie v shkole. XV Emel'yanovskie chteniya: materialy nauch.-prakt. konf. [Physics and its teaching at school. XV Emel-yanovskie readings: proceedings of a scientific and practical conference]. Yoshkar-Ola, 2017, pp. 74-80.
10. Khomskiy D. I. Fizika metallov i metallovedenie [Physics of metals and physical metallurgy]. 1970, vol. 29, no. 1, pp. 31-57.
11. Mironov G. I. Fizika metallov i metallovedenie [metallovedenie [Physics of metals and physical metallurgy]. 2006, vol. 102, no. 6, pp. 611-620.
12. Mironov G. I. J. Superconductivity and Novel Magnetism. 2007, vol. 20, p. 135.
13. Mironov G. I. Fizika nizkikh temperatur [Low temperature physics]. 2005, vol. 31, no. 12, pp. 1388-1394.
14. Mironov G. I., Izergin E. D. Fizika nizkikh temperatur [Low temperature physics]. 2007, vol. 33, no. 12, pp. 1365-1370.
15. Mironov G. I., Filippova E. R. Fizika nizkikh temperatur [Low temperature physics]. 2011, vol. 37, no. 6, pp. 644-650.
16. Zakharov A. V., Mironov G. I. Molodoy issledovatel' ot idei k proektu [Young researchers: from ideas to projects]. Yoshkar-Ola, 2017, pp. 11-16.
Захаров Александр Викторович эксперт-физик по контролю за источниками ионизирующих и неионизирующих излучений, Республиканский онкологический диспансер (Россия, Республика Марий Эл, г. Йошкар-Ола, ул. Осипенко, 22)
E-mail: zahar93n@mail.ru
Zakharov Aleksandr Viktorovich Physicist-expert in control over sources of ionizing and nonionizing radiation, Republican Oncological Clinic (22 Osipenko street, Yoshkar-Ola, the Republic of Mari El, Russia)
Миронов Геннадий Иванович
доктор физико-математических наук, профессор, кафедра физики и материаловедения, Марийский государственный университет (Россия, Республика Марий Эл, г. Йошкар-Ола, пл. Ленина, 1)
E-mail: mirgi@marsu.ru
Mironov Gennadiy Ivanovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of physics and materials science, Mari State University (1 Lenina square, Yoshkar-Ola, the Republic of Mari El, Russia)
УДК 538.915 Захаров, А. В.
Изучение электронной структуры однослойных нанотрубок типа «зигзаг» / А. В. Захаров, Г. И. Миронов// Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 2 (46). -С. 106-118. БОТ 10.21685/2072-3040-2018-2-11.
