Исследование деформаций в подкреплённых пластинах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Исследование деформаций в подкреплённых пластинах

Парахони A.A., к.т.н. доц. Осипов Н.Л. Университет машиностроения 8 (903) 593-90-46, 8 (909) 678-30-63, anrvparavandex.ni

Аннотация. В данной работе представлены численные и аналитические решения задачи о плоском деформировании прямоугольных панелей, подкреплённых рёбрами жёсткости. Проведено параметрическое исследование влияния степени включения рёбер, механических свойств материалов и геометрических размеров пластины на распределение действующих напряжений. Установлены поля напряжений и деформаций в подкреплённой панели по разработанной упрощённой методике. Результаты апробированы сравнением с аналогичными результатами из различных источников.

Ключевые слова: оребрённые панели, напряжения и деформации пластин, численные методы, разностная прогонка, конечные разности

Панели, подкреплённые продольными рёбрами жёсткости, используются как основные несущие элементы в авиационных, судостроительных, автомобильных и строительных конструкциях. При этом доминирующей нагрузкой на эти панели является их растяжение и сдвиг. В данной работе разработана простейшая модель подкрепленной панели, которая адекватно учитывает важнейшие особенности её деформации и позволяет провести параметрическое исследование. Естественно, что использовать полную систему уравнений теории упругости сложно и нецелесообразно. Поэтому в предлагаемой модели подкреплённой панели функции растяжения воспринимаются только рёбрами, а сдвиг - только полотном панели. Поэтому основной задачей является получение зависимости между усилиями в рёбрах Nj и усилиями в полотне панели Sj между рёбрами. Такое разделение достигается рядом гипотез. В дальнейшем воспользуемся обозначениями, принятыми в теории упругости 8 х, 8 у, у ху = у

линейные и сдвиговые деформации; а х, G у, X ху = т нормальные и касательные напряжения; Е, G модули упругости первого и второго рода; и, v перемещения в направлениях х и у соответственно.

На рисунке 1 представлена схема нагружения пластины.

.. У'

t>i

n+l

11

j+1

Ы

bi

t

Рисунок 1. Схема нагружения

Здесь: ] = 1 ^ п +1 - номера рёбер; участок пластины с номером у расположен между у и 7+7 ребром;. Ь],— ширина и толщина пластины на]-ом участке; Р^ — модуль упругости и

площадь поперечного сечения в у'-ом ребре; Р■ — произвольные продольные силы на концах рёбер.

Упомянутые выше гипотезы сводятся к следующему. Принимаем, что пластина не деформируется в поперечном направлении (вдоль оси у). В соответствии с этим:

д\

= 0 (1)

£ у =

ду

В связи с этим предполагаем также, что V = 0, т.е. рёбра при деформации не искривляются. Следующим шагом является предположение о том, что деформации сдвига полотна пластины у не меняются по ширине на промежутке между двумя соседними рёбрами и являются только функциями продольной координаты х, т.е. у = у(х).

Далее предполагается, что модуль упругости первого рода пластины равен нулю. И, наконец, считаем, что рёбра соединены с пластиной по своим центральным линиям.

ёх

И

Рисунок 2. Расчётная схема

Схема силового взаимодействия пластины и рёбер при их совместной деформации представлена на рисунке 2.

На основании принятых гипотез соотношение Коши будет иметь вид:

ди

У( х) = — . (2)

ду

Отсюда следует линейный закон распределения продольных перемещений и по ширине пластины между соседними рёбрами.

Интегрируя формулу (2) при неизменной деформации сдвига в произвольном поперечном сечении нау'-том участке пластины, получим (рисунок 2):

У,(х) =

и}+1 ~ и} Ъ,

Закон Гука для пластины и ребра, с учётом этой формулы, можно записать так: V = о, у = (и,+1 - и..) ; у = 1,2..., п

^ = е у =

йх

(3)

(4)

(5)

где: Б] - погонные касательные усилия на ]-ом участке пластины; К] - продольные усилия в ом ребре; Е] - модуль упругости ]-ого ребра; ^ - модуль сдвига на ]-ом участке пластины; 8Х] - линейная деформация в ]-ом ребре; ух] - угол сдвига на ]-ом участке пластины.

Для вывода ключевых уравнений задачи используем принцип возможных перемещений Лагранжа. Согласно этому принципу вариация полной потенциальной энергии П упругой системы должна быть равна нулю:

8П = 8и-8А = 0, (6)

где: и, А - потенциалы деформации и внешних сил соответственно. Их вариации равны:

я+1

5А = -Е Р] 5и} (0),

г=\

(7)

ъи = |

Я У ]+1 п+\

I | 8у уф +1 М]5в у

У=1 у, У=1

>йх.

Вычисляя интегралы получаем:

У]+1

| 5у£у = Я,8у]Ъ] = Я,(8и,+1 -8и,),

У]

I I

| 5в }<Ь = | 5

I

ё / ч х=1 .

<Ьс = | N: — (5и i)(¿¡с = N <Ьи | -1-5и ¡ёх.

Г о 7 <ЬУ 7} 7 711=0 о Ох 7

(8)

(9)

(10)

о о

Подставляя (9) и (10) в соотношение (8), а затем в (6), получаем:

/

сМ,-

\

п+1

п+\,

+Ьиф+ъ{1)Ъи](/) + Е[Р]-(0)]5му(0) = 0, (11)

(Лх ) 7=1 7=1

0 7 =1V У

где: N¡(0), N¡(7), Ц|(0), Ц|(/) - продольные усилия и перемещения на левом (х=0) и правом (х=/) конце ]-го ребра.

После проведения всех необходимых операций окончательно получаем уравнения равновесия в виде:

<т!

ёх

-+Б! =0

dx

] ~^у-1 •

(12)

я+1

(Ь

- =0

Из внеинтегральных слагаемых уравнения (11) получаем граничные условия:

Р] -(0) = 0; и,(/) = 0; (у = 1,2...п +1), (13)

Уравнение совместности деформаций в усилиях может быть записано следующим образом:

ёх ¿у

N

У+1

N,

V +1^7+1 ^7^7 )

, а=1,2...л).

(14)

После дифференцирования уравнений равновесия и подстановки в них уравнений совместности деформаций (14) получим ключевую систему уравнений в продольных усилиях:

а2N! схъх

л

ёх:

й2 С Л

йх2 ь,

N

]+1

N.

___^

Е 2 Е2 Е^!

=0

-А-1

V ^7+А +1 Е7J

й2 ып+1 в А

ь, -1

7

-1

(Ы'

N

и+1

77 77 77 77

Р' ^) -1^7-1 у N

" =0

=0,

(15)

И \ И+1 И+1 п1 и J

где:./'= 2, 3, ... и

Граничные условия (13), выраженные через эти усилия, можно представить в следующем виде:

<т <

Р, - М, (0) = о,

ёх

I Х=1

= 0, (7 = 1,2...« +1).

(16)

В качестве тестовой задачи для апробации предложенной модели исследована простейшая ячейка панели, подкреплённой двумя рёбрами постоянного сечения (рисунок 3).

120

чГ

■V

МПа

100 80 60 40 20 0

V

V 1

Рисунок 3. Расчётный пример

0 0,5

Рисунок 4

В этом простейшем случае усилия во втором ребре выражаются через усилия в первом алгебраически:

N 2 = рх - N х.

С учётом этого система уравнений (15) сводится к единственному уравнению:

«<™

где:

: X2 =

Ъ

1

+

1

dx2

Л

ЪЕ 2 Ег

(17)

(18)

Р\Р\ Е 2 ^

2;

Это уравнение допускает как аналитическое, так и численное решение, причём последнее целесообразней всего применять в случае панели с рёбрами переменного сечения. Это решение позволяет получить нормальные и касательные усилия, а также напряжения от них. Например, аналитическое решение при Е1=Ег может быть представлено в виде:

N1 = Р1

£! =

Рг

Ъ + Р.

2 У

1+

Е^ сКк(1 -х) ^ сКк\

; N 2 = л

Рг

+р.

2 У

1-

сИк{1 - х) сКк\

Ех+Е,

зКк(1 - х)

(19)

2

сКк\

Напряжения будут выражаться так:

а,

N1

а.

N,

S

т = —. h

(20)

Для получения численного решения был применён метод конечных разностей.

На рисунке 4 представлены найденные функции нормальных напряжений (кривые 1, 2) в рёбрах и касательных напряжений (кривая 3) в пластине. Здесь материалы рёбер и пластины одинаковы, а площади поперечных сечений рёбер равны.

Параметрическое исследование этой элементарной ячейки показывает, что при варьировании геометрических размеров и механических характеристик рёбер и пластины принципиальных различий в характере распределения напряжений нет. Например, на рисунке 5 представлен расчётный случай с различными материалами рёбер, а на рисунке 6 - с различными сечениями.

120 МПа 100

0,2 0,4 Рисунок 5

м

80 60 40 20 0

\1

V

3

0

0,5

Рисунок 6

1

м

го

Рассмотрим один важный случай однородной пластины с двумя рёбрами из одинаково-материала, площадь поперечного сечения которых изменяется по закону

^ = = (осх + Р)2> чт0 соответствует линейному изменению поперечных размеров. В

этом случае возможно аналитическое решение. Запишем дифференциальное уравнение усилий в нагруженном стрингере для этого случая.

с12М „ 1 _ - Р-ц

dx:

■2-V|/

(a .x+P)'

■N =

(ах+р):

или

(а* + Р):

d 2 N dx 2

2 - у • N = - Ру ,

(21)

(22)

где: l|/

G-h E-b

Линейное уравнение (22) с переменными коэффициентами представляет собой уравнение Эйлера. Уравнение такого типа удаётся свести к уравнению с постоянными коэффициентами путём замены независимого переменного: OCX + Р = exp(i) т.е. t = ln(ax + Р)

Учитывая, что (OCX + Р):

d2 N dx:

= or

rd 2N dNл

dt2 dt

d 2N dN „ ^

----2y * N = -РЦ1 *.

dt2 dt

после преобразований получим:

(23)

где: 1|Г

а2

Общее решение уравнения (23) можно записать в виде:

N) = ехр — (С^ехрф?)+С2ехр(-ю?)) + —. ю = ±1 _

у 2 ) 2 2

После обратной замены ? = 1п(ах + Р) получим:

- Р

N (х) = (ох + р)2 (С! (ах + р)ю + С 2(ах + р) "ю) + —.

Касательные усилия Б в пластине найдём, продифференцировав выражение (24) по х:

1 /V1 Л /1 Л Л

(24)

5 (х) = -(ах + р)

1

—ью

2 у

С1(ах+Р)ш+

1

—ю

V 2 У

С 2 (а х+р)~

(25)

Неопределённые константы интегрирования определяются из граничных условий. Например, для случая, изображённого на рисунке 7, граничные условия имеют вид:

„ (О=р,Ш1=о.

ёх

1

%

ь 1

У. 1 1

-------------->---------- "------------

Р1 /-- : ^ 1 X

60 МПа 50

40

30

20

10

0

-10

V.

у

к

0 0 2 0 4 0

Рисунок 7

Рисунок 8

Соответствующее решение задачи представлено на рисунке 8.

Выводы

1. Установлены поля напряжений и деформаций в ребрённой панели по разработанной упрощённой модели. Результаты апробированы сравнением с аналогичными результатами из различных источников.

2. Исследованные в работе особенности напряжённо-деформированного состояния подкреплённых панелей способствует более чёткому представлению о распределении силовых функций между несущими элементами, а количественная оценка - правильному назначению жёсткостных параметров.

3. Полученные данные в результате проведенного расчета панели с пятью рёбрами позволяют обобщить характер распределения напряжения в элементарной ячейке на случай пластины со многими рёбрами.

Литература

1. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. - М.: Машиностроение 1980.

2. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. - М.: Наука 1967.