Исследование асимптотики решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на полуоси Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФПЗПКО-МАТЕМАТПЧЕСКПЕ НАУКИ

ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПОЛУОСИ

Наймов А.Н.

Вологодский институт права и экономики, Вологодский государственный университет

THE INVESTIGATION OF THE ASYMPTOTICS OF SOLUTIONS OF SECOND ORDER LINEAR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUA TIONS ON THE HALF-AXIS

Naimov A.N., фVologda Institute of Law and Economics, Vologda State University

АННОТАЦИЯ

В статье исследована асимптотика решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами на правой полуоси. Доказано, что если коэффициент уравнения непрерывен и ограничен на правой полуоси и, кроме того, при больших значениях аргумента отделен от нуля с положительным знаком, то решения рассматриваемого уравнения при больших значениях аргумента экспоненциально возрастают или убывают. В том случае, когда коэффициент уравнения обладает свойством монотонности или близок к монотонной функции, выведена асимптотика решений при больших значениях аргумента. Полученные асимптотики ранее были известны при условиях диф-ференцируемости коэффициента уравнения.

ABSTRACT

In this paper is investigated the asymptotics of solutions of a class of ordinary differential equations of second order with variable coefficients on the right half-axis. It is proved that if the equation coefficient continuous and bounded on the right half-axis and, in addition, for large values of the argument is separated from zero with a positive sign, then solutions of the considered equation for large values of the argument exponential increase or decrease. In the case where the coefficient is monotonic or nearly monotonic, proved the asymptotic formulas for solutions. The obtained asymptotic formulas was previously known under conditions of differentiability of the coefficient of the equation.

Ключевые слова: ограниченность и неограниченность решения, асимптотическая формула.

Keywords: boundedness and unboundedness of solutions, asymptotic formula.

Статья посвящена исследованию асимптотики предположения о дифференцируемости q(x) . решений лшньк обыкновенных дифференци- Этим самым можно охватить более широкий класс альных уравнений вида уравнений вида (1), для решений которых можно

y"—q(x)у = 0 , 0 < X < (1) определить их поведение при x ^ .

где q(x) - непрерывная и положительная на Для уравнения (1) обозначим через M^ (q)

полуоси [0, + ю) функция, удовлетворяющая множество ненулевых ограниченных решений, а

Усл°вию через Mn (q) множество неограниченных реше-

0 < lim q(x) < +x. (2)

п

ний.

Справедливы следующие теоремы. Асимптотика решений уравнений вида (1) при Теорема 1. Пусть выполнено условие (2). То-

x ^ более подробно исследована в книге [1], гда

x^+x

где в большинстве случаев предполагается диффе-ренцируемость функции q(x). Здесь доказывается, что если функция q(x) ограничена и монотонна или близка к монотонной, то асимптотику решений уравнения (1) можно выводить без

а) множества М^ , Мп (д) непустые;

б) для любого ненулевого решения уравнения (1) имеют места неравенства

q < lim^M < smi^ < q2, (3)

I y(x) I x^+x | y(x) |

где qi = lim -\jq(x) , q2 = lim A/q(x) ;

в) если д( х) ^ О при х ^ , где 0 < О < +«, то для любого решения у( х) £ М^ (?)

у (х) / у(х) ^ —О при X ^ , а для любого решения у(х) £ Ми (?) у' (х) / у(х) ^ О при X ^ ;

г) для любого ненулевого решения у(х) уравнения (1) при любом £ £ (0, д^) существуют положительные числа А£, В£ такие, что

А£еН<>2 +£) х <|у(х)|< В£е~(д'—£)х при х > 0, если у(х) еМь (?), (4)

—£) х < | у(х) | < ^ +£)х при х > 0, ел, у<х) £ М (?). (5)

2

Теорема 2. Пусть ?(х) ^ О при х ^

, где 0 < О < , и пусть существует непрерывная функция ?0 (х) такая, что

х +<»

?0(х) = ?0(0) + |при х > 0, где 11 /|)(5) | ^ <+« (6)

0 0

— ^С5)ds <+да. (7)

0

Тогда для любого ненулевого решения у(х) уравнения (1) имеет место следующая асимптотическая формула

х

у(х) = е 0 (С + о(1)) при х ^ , (8)

где С - постоянное, С Ф 0, а равно — 1, 1) если существует непрерывная, монотонная

(а\ 1 и положительная функция д(х), удовлетворяю-

если у (х ) £ муха ( ? ), и равно 1, если

щая условию

у(х) £ Ми (?). В частности имеем:

+»

1?(?) — <+да, (9)

0

х+1

функция ?0(х) = ^^tjc¡(s)ds удовлетворяет условиям (6) и (7);

x

2) если функция ?(х) представима в виде

?(х) = О2 + — + г(х), (10)

х

+<»

где О, у - постоянные, О > 0, ^ | Г (?) | ds < , то для любого ненулевого решения у( х) урав-

0

нения (1) имеет место асимптотическая формула

у(х) = еаОххау(С0 + о(1)) при х ^ +ю, (11)

где Сд - постоянное, С Ф 0 .

Доказательство теоремы 1. Введем следую- 2(0, а) = 1, г'(0, а) = а , где а - вещественное

щие °б°значения: г(х,а) - решение уравнения (1), число, А+={ а: z(x, а), ^(х, а) при

удовлетворяющее начальным условиям

x ^ +да },

Л_ = { a: z(x, а), z'(x, a) ^ —да при

x ^ +да }. Очевидно, A+ о A—=0.

Лемма 1. Множества A+, Л_ непустые, открытые, и Л+ ограничено снизу, а Л— ограничено сверху.

Если а < —1 — тах{ д(x) : 0 < x < 1 }, то

Доказательство. Пусть а > 0. Тогда в силу уравнения (1) и положительности q(x) имеем ^ (X, а) > 0, z(X, а) > 0 при x > 0, отсюда, с учетом условия (2), x, а), ^ (X, а) ^+да при x ^ +да. Следовательно, Л+ непустое и [0, + да) ^Л+.

z'(x, a) = a + J q(s)z(s, a)ds < a + J q(s)ds < a + max{ q(x): 0 < x < 1 } < 0 при 0 < x < 1:

z(1, a) = 1 + J z'(s, a)ds < 1 + a + max{ q(x): 0 < x < 1 } < 0, 0

Из утверждения а) следует, что М(q) = { cz(x,a*): c -вещественное, c ^ 0 }

отсюда, z'(x, а) < 0, z(X, а) < 0 при x > 1 и 7(x,а),^(x,а) да при x ^+да. Значит, множество Л_ непустое и ограничено сверху, а множество Л+ ограничено снизу.

Если а е Л+, то при некотором Xo Z (Xo, а) > 0, z(Xo, а) > 0. В силу непрерывной зависимости решения z(x, а) от параметра а, для всех а из некоторой малой окрестности точки а также имеют место неравенства z'(Xo,а) > 0, z(Xo,> 0, отсюда 7(x,z''(x,а) ^ +да при X ^ +да, следовательно, а е Л+ . Значит, множество Л+ открыто. Аналогичным образом проверяется открытость множества Л_. Лемма 1 доказана.

Из леммы 1, в частности, вытекает, что множество Мп (д) непустое. Заметим, что любое решение у(X) е Мп (д) может обращаться ноль только в одной точке.

Пусть а* = иГ Л+. Тогда а* £ Л+ ^ Л. Действительно, случай а* е Л+ невозможен в силу выбора а* и открытости Л+. Если а* е Л, то, с одной стороны, в силу открытости Л точка а* входит в Л с некоторой своей окрестностью, а с другой стороны, в любой окрестности а* найдется точка из Л+, что противоречит равенству

Л+о Л =0.

Из а* £ Л+ ^Л_ вытекает, что z(x,а*) > 0 , z'(x,а*) < 0 при X > 0 . Следовательно, z(X,а*) е М^(д) и множество М^(д) непустое. Утверждение а) доказано.

Для доказательства утверждения б), не теряя общности, можно считать, что < +да. Зададим

£ е (0, д1) и выберем XI > 0 так, чтобы при

X > XI выполнялись неравенства

д1 — £ <■s[q(x) < д2 + £ .

Пусть у(X) еМ^ (д) . Тогда для v(X) = У (X) / у(X) имеем: у(0) = а* < 0,

у^) < 0 , у'(X) = д^) — V (X) . Покажем, что у^) < —(д1 — £) при X > XI, (12) у^) > —(д2 + £) при X > Xl. (13) Если (12) неверно, то при некотором X2 > X! имеет место неравенство > —(д1 — £), от-

сюда,

? ? ?

V'(X2) = дЫ — V2(X2) > (д — £)2 — V2(X2) > 0

2 2 2 , у^) = д(x) — V (X) > (д — £) —V (X2) > 0

при X > X2. Последнее противоречит отрицательности функции v(X).

Предположим, что (13) неверно. Тогда при некотором X2 > Xl имеем неравенство v(X2) < —(д2 + £), отсюда,

2 2 2 v'(x2) = дЫ—^^(x2) < (д2+£) — v Ш < 0

У^) = д(x) — v2(x) < (д2 + £)2 — V2(X2) = —/ < 0

при X > X2, v(x) < v(X2) — /(X — X2), X > X2,

+x

J Ш ds <J

+x

q(s)

x2

v2(s)

x2

(|v( x2)|+^(s-x2))2

ds <+x

Но, с другой стороны,

0

0

V(s) +1

f^is! ds = f

X v2(s)* X x2 x2

f

ds = lim

11

+ X - X2

•---+- \ -

V v2(s) J v( x2! v( x) j

= +ж.

Пришли к противоречию. Следовательно, (13) Из (12) и (13) вытекает, что при любом

верна s е (0, qi) справедливы неравенства

- (q2 + s) < lim v(x) < lim v(x) < -(q1 - s)

х^+ж x^+ж

Устремляя s к нулю, получим

- q2 < lim ^^ < lim y-(x) < -qi для y(x) е Mb (q) , (14) x—+x y(x) x—+» y(x)

т.е. неравенства (3) верны для y(x) е Mb (q) .

Пусть y(x) eM„ (q) и y(x) Ф 0 при x > xo > xi. Тогда для v(x) = y'(x)/ y(x) при x > xo

2

имеем v(x) > 0 , V (x) = q(x) - V (x) . Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве неравенств (12), (13), можно показать, что qi - s< v(x) < q2 +s при x > xo . Отсюда, для любого s е (0, q1) q1 - s < lim v(x) < lim v(x) < q2 + s, и,

x^+ж x^+ж

устремляя s к нулю, получим

qi < lim y-(x) < lim y(x) < q2 для y(x) еМи (q). (15)

x—+x y(x) x—+» y(x)

Утверждение б) доказано.

Пусть q(x) — a при x —^ +ж. Тогда qi = q2 = a и для y(x) еМь (q) в силу (14) имеем

y'(x)/y(x) —-a при x —+ж, а для y(x) еМи(q) в силу (15) y'(x)/y(x) — a при x —+ж. Утверждение в) верно.

Из (14) следует, что для y(x)

еMb(q) при любом se(0, qi) имеют место неравенства - (q2 + s) < У (x) / y(x) < -(qi - s) при x > xs . Отсюда

У( x)

У( xs)

|y(xs)|e(q2 +s)xse~(q2+s)x < |y(x) < |y(xs)|e(qi-s)x^e~(qi-s)x, x > xs Теперь, полагая

- q + ^)(x - xs) < in

<-(q -s)(.x -xs),x > xs

As= min |y(s)|e(q2 +e)s, Bs = max \y(s)\e(q -e)s,

0<s< x ' 0<s< x.

8

получим (4).

Если y(x) е Ми(q), то при любом s е (0, qi) в силу (15) имеем qi - s < y' (x) / y(x) < q2 + s при x > xs, отсюда

|y(xs)|e-(qi-s)xse(qi-s)x < |y(x)| <|y(xs)|e~(q2 +s)xse(q2 +s)x, x > xs, полагая

As= min |y(s)|e"(qi-s)s, Bs = max |y(s)|e"(q2 +s)s ,

0<s<x' 0<s<x

s

получим (5). Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2. Пусть функция ?0(х) удовлетворяет условиям (6) и (7). Легко проверить, что ?0 (х) ^ О при х ^ +ж. Покажем, что

/(s)

y(s)

+ qo(s)

+tx>

x0

y'(s)

y(s)

- qo(s)

ds < +да, если у(х) £ М^ (?) , (16)

ds < , если у(х) £ Ми (д) и у(х) Ф 0 при х > х0 . (17)

Пусть у(х) £ Ма (д) . Рассмотрим функцию х) = у'(х)/ у(х) + д0(х), х > 0 . Для функции м( х) имеем

М (х) + р(х)м(х) = /(х), х > 0,

где р(х) = м(х) — 2д0(х), /(х) = д(х) — д0 (х) + Гз(х). Заметим, что

р(х) ^ —2о при х ^ ,

так как м(х) ^ 0 при х ^ (согласно тереме 1), и

+»

||/(?)ds < +да ( в силу условий (6) и (7) ). 0

Интегрируя уравнение (18) находим

—| p(r)dr

w(x)=e 0

x J p(r)dr

w(0) + J f (s)e0 ds 0

Л

Так как м(х) ^ 0 и — | р(т)ёт ^ +ю при х ^ , поэтому

(18)

(19)

(20)

x J p(r)dr w(0) + J f (s)e0 ds ^ 0 при x ^ , 0

отсюда,

J p(r)dr w(0) = —J f (s)e0 ds, 0

i

J p(r)dT

w(x) = — J f (s)ex ds,

J | w(x)| dx < J

0

0

J p(r)dr

J I f (s) | ex ds

Л f s Л

s J p(r)dr

dx = J J ex dx

0 0

J V J

If (s) I ds.

Выберем х1 > 0 так, чтобы при ? > х1 выполнялось неравенство р(?) < —О (такое х1 существует в силу (19)). Тогда при ? > х1 имеем:

? х1 ? ? х1

? | p(т)dт х1 | p(т)dт 1 р(т)<Лт ? | p(т)dт х1 | p(т)dт

|ех <Х =|ех <Хех1 +|ех <Х <|ех <Х + —.

0 0 х1 0

' х1 Л

х1 | р(т)<Т | ех <х + — 0

а

Следовательно, J|w(s)|ds

<

а

1 /(?)ds < , т.е. (16) верно.

0

0

s

s

x

s

x

Пусть у(X) еМп (д) и у(X) ^ 0 при X > Xo .. Для функции Щ^) = У — д0(X), X > Xo

У( ^

имеем: X) ^ 0 при X ^+да (согласно теореме 1), X) + р(x)i~(X) = /(X), X > Xo, где р(X) =X) + 2д0(X), р(X) ^ 2а при X ^ +да. Отсюда находим

— | р (т)йт X —| р(т)йт

i~(x) = е X0 Й^) + |/(ь)е ' йь,

Xo

с X Л

+<х

+да — | р(т)йт

||X))йл < | е X0 йл x0)| + | Выберем Xl > Xo так, чтобы р(X) > а при X > Xl. Тогда

X

+да — | р(т)йт +да

x —| р(т)ёт

J|f (s)|e s ds

x0

dx.

f e xi dx < Je~a(x—x)dx = -J J a

x1 x-

J

x1

x —J p(r)dr

J\f(s)\e s ds x1

x1

dx = J x1

—J p(r)dr

J e s dx

f (s)|ds <

< J Je—a(x—s)dx \f (s)|ds = - J|f (s)|ds < .

x1 v s ) a x1

Следовательно, ||Щ(ь)|йь < +да, т.е. (17) верно.

Теперь докажем, что из (16) и (17) следует асимптотическая формула (8). Пусть у(X) е М^ (д) . Для

функции u( x) = у( x)exp

]4q(s)ds

v 0

отсюда, u(x) = u(0)exp

справедливо тождество

u (x) = u( x)( y (x) / y( x) + 4qix)),

Л

J ( y'(s)/ y(s) + 4qs )ds

v 0

. Но, в силу (6) и (7),

J

0

y,(s) +vqw

y(s)

ds < J 0

y'(s)

y(s)

+ q0(s)

ds + J -ЙС*)— q0(s)

ds < .

Следовательно, существует конечный ненулевой предел

lim u(x) = u(0) exp

J

v 0 v

y(s)

ds

J J

= C.

Отсюда вытекает справедливость формулы (8) для у(X) е М^ (д) . В случае у(X) е Мп (д) формула (8) выводится из (17) аналогичным образом.

Пусть выполнено условие (9). Не теряя общности, можно считать, что функция д( X) возрастающая.

x+1_

Для функции д0(X) = ^д/имеем

X

s

0

40(x) = V~(x+1) —VfW ^0' q0(x)=q0(0)+J40,(s)ds

||д0'(?)|ds = д0(?)+<ж < +«, т.к. функция д0(х)

0

x+1

J —4q{x))ds

ограничена и возрастает,

dx < J(yjq(x +1) — у/~(x) )dx = Jq0'(x)dx ,

0 0

| д0( х) — ^ д( х) <х = | 0 0 отсюда,

+»

1 |д0(х) — л/д(х) |<Х < 1 |д0(х) — д/~(х) |<Х + Цд/~(х) — ^д(х) |<Х 0 0 0 Следовательно, функция д0(х) удовлетворяет условиям (6) и (7). Пусть функция д( х) представима в виде (10). Тогда имеем:

,2

<+да.

а + — | = -x

q( x) —

f \2 а + — Л

V

x

г(x) —

—

x

А

+

—

а +

Vx x

4q(x)

с

+

а + —

Vx

: ~(x), где J |~(s)|ds <

JtJq(s)ds = Jl а + — Ids + J~(s)ds = ax + — In x + C1 + o(1) при

x .

~ 2

Если положим д( х) = О + 2у/ х, то выполнено условие (9), и поэтому для любого ненулевого ре-

шения y(x) уравнения (1) верна формула (8):

x

<?\4q(s)ds

x

rJV q(s)ds

у(х) = е 0 (С + о(1)) = е 1 (С2 + о(1)) = е^^ х+С1 +о(1))(С2 + о(1)) =

= е^(Ох+у\а х)(с0 + 0(!)) = е^х^С + о(1)) при х ^ . Теорема 2 доказана.

Литература

1. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - Москва: Мир, 1970. - 720 с.

0

1

x

x

1

1

1