Асимптотика решений и сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.928

Е. В. Лютов

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ И СИНГУЛЯРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Получены достаточные условия, при которых все решения уравнения x = f (t, x, x'), xe Rn, f e C2 (, +«>) x Rn x Rn, Rn j имеют асимптотику ви-

x(t) /

да----= c + o(1) , x'(t) = c + o(1) при t ^ +ro , причем при фиксированном to

для любых xo,Ce Rn существует решение x(tj такое, что x(to) = xo и x(tj при t ^ +oo имеет асимптотику указанного вида. Полученные теоремы применены к решению одной задачи теории гравитации.

Введение

В работе [1] рассматривался вопрос существования решений краевой задачи

lim x (t) = A,

!t (1) [ x(to) = xo

при любых xo, Ae Rn для уравнений вида

x = f (t, x, x'), x e Rn, f e C21, +«>) x Rn x Rn, Rn j. (2)

В указанной работе доказано утверждение, что существование таких решений следует из полиномиального асимптотического равновесия [2] уравнения (2). Очевидно, что обратное утверждение неверно. Действительно,

решения уравнения x” = -1 имеют вид x(t: to,xo,xo) = Q(to,xo,xo) +

t2

+(xo + -2)t - ln t, т.е. уравнение не имеет полиномиальной асимптотики первого порядка, однако задача (1) всегда имеет решение.

В настоящей работе найдены более слабые ограничения на правую часть уравнения (2), чем в [1], при выполнении которых задача (1) будет

иметь решения при любых xo, Ae Rn, однако полиномиальная асимптотика первого порядка уравнения (2) в данном случае не гарантируется. В третьей части работы приведен пример применения полученных теорем.

1 Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим уравнение (2). Здесь и везде далее мы предполагаем, что для любых (to, xo, xo), to e [Г, +ra), xo, xo e Rn , решение x(t: to, xo, xo) существует и единственно.

Приведем определение абсолютно равномерной ограниченности решений обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, которое понадобится нам в дальнейшем.

Определение 1. Решения г(г: ^,Zo) дифференциального уравнения

г = Ло(г,z) называются абсолютно равномерно ограниченными для ||го|| < г,

г > Т, если ||х(г: Ї0, Я0)|| < Со(г) для всех Т < г, го < +^ [2].

Теорема 1. Пусть в уравнении (2) функция / (г, х, х ) такая, что

\\/(г, х, х )|| <Л

где

г ,И ,11 х I

V г

, г >Т,

а) ХеС([Т, +~)хЯ2,Я1+), Я1+= [0, +«>), Х(г,а1,а2) <Х(г,^,Р2) при любых а < Рг-, аг-, Рг- е Л{+, I = 1, 2 и любом г > Т ;

б) уравнение — = Хд(г,г), Хд(г,г) = Х(г,г,г) имеет абсолютно равно-

йг

мерно ограниченные решения.

Тогда при любых гд е [Т, +тс) , хд, Х0 е Яп решение х(г) = х(г : гд, Хд, Хд)

х(г) /

уравнения (2) обладает свойством--------= С + о(1), х'(г) = С + о(1) при г ^ +^.

Отметим, что норма ||/(г,х, хг)|| здесь понимается так же, как, например, в условии Липшица, т.е. это есть норма значения функции / в точке г при выборе конкретных функций х(г) и х (г) .

Доказательство. При г > гд > Т и произвольных хд,хд имеем

г

х(г) = х(г : гд,хд,х0) = хд(г - гд) + хд + |(г - 5)/(5,х(я), х'(^))й5 ,

х' (г) = х (г: го, хо, х0) = х0 + | / (5, х(5), х'( 5))йя.

Тогда из свойств функции / имеем

|х(г^ < ||х0| + ||хо ^х°го11 + і |||(г - 5)/ (5, х(5), х(5))|| йу :

л

,

< С +|Л[*М||х', .,)||

го ^ 5

||х'(г)|| <||х0| + |||/(5, х(5), х (5))||йъ < С2 + |Л (х (я)||

о

о

Обозначим

П|х(г)|| ,, ,

у(г) = тах,х (г) >, Со = тах{сі,С2}. Очевидно,

г I г \

11х(г )11

< у(г), |хг(г)|| < у(г). Тогда из условия (а) имеем Л

,,М ,| Л, „

<

<Ло (г, у(г))

< со + |Ло (5,у(5)))5, ||х'(г)|| < со + |Ло (5, у(5)) .

йг

Отсюда у(г) < Со + |Ло (5,у(^)) , и у(г) есть решение уравнения — =

йг

го

= Ло(г, г) с начальными данными (го, Со), т.е. г (г: го, Со) = v(г) = Со + г

+ |Ло (5,у(5)) .

В силу абсолютно равномерной ограниченности решений уравнения г = Ло (г, г) оно имеет полиномиальную асимптотику нулевого порядка, т.е.

у(г) = С + о(1) при г ^ +°°.

(3)

Следовательно, |Ло (5,у(я)) = о(1) при г ^ + го

Из оценки

I/< 5, х( 5), х'( 5) )

Ц / (^ , х(5), х'(5))||йз < | Л( , у( 5) ) = 0(1)

при г ^ +°° следует

| /(5, х(5), х'(5))й5 = 0(1) при г ^ +

(4)

Из (4) вытекает

1

- J 5/(5, х^), х (s))йs = 0(1) при г ^ +

и, следовательно,

Ііт

г ^+<»

х(г)

г

- х (г) I =

г

г

о

г

г

оо

г

о

= Ііт

г^+^

ао

+ Ек + 1 Г (г - 5) / ( 5, х(5), x'(s))йs - ао - [ / (5, х(5), x'(s))йs

г г •> •*

= - Ііт

г^+^

1 15/ (5, х(5), х'( s))йs = о,

т.е.

х(г) г

= х'(г) + 0(1) при г ^ +°°.

(5)

х(г)

Из (3) и (4) следует---= С + о(1), х (г) = С + о(1) при г ^ +°° .

г

Доказательство закончено.

Требование монотонного неубывания функции Х по второй и третьей переменным (условие (а) теоремы 1) можно несколько ослабить, что демонстрируют теоремы 2 и 3.

Теорема 2. Пусть в уравнении (2) функция / (г, х, хг) такая, что

\\/(г, х, х ')|| <Л

г, г ’Их

, г>Т ,

/

где

а) Ч ( <||х'(г)|| при г > Т1 > Т, Т1 — некоторое число;

б) Хе С([Т, +^)хЕ+_,), Я+ = [о, +го) , Х(г,а1,в) <Х(г,а2,в) при любых

в, а1 < а2, а1, а2, ве К+ , и любом г > Т ; йг

в) уравнение — = Хд(г,г), Хд(г,г) = Х(г,г,г) имеет абсолютно равно-

йг

мерно ограниченные решения.

Тогда при любых гд е [Т, +тс) , хд, х0 е Яп решение х(г) = х(г : гд, хд, хд)

х(г) ,

уравнения (2) обладает свойством---------= С + о(1), х'(г) = С + о(1) при г ^ +^.

г

Доказательство. Не ограничивая общности доказательства, считаем Т1 > гд . Действительно, если это не так, то в качестве Т1 можно взять гд, т.е. положить Т1 = го, и условие (а) при этом будет выполняться. При г > Т1 > го и произвольных хд, хд имеем

г

х(г) = х(г : гд,хд,х0) = х0(г - гд) + хд + |(г - 5)/(5,х(5), х'(5))й5 ,

х'(г) = х (г: го,хо,хо) = хо + |/(5,х(5),х'(s))йs.

го

г

о

о

Учитывая условия (а) и (б), а также свойства функции /, имеем следующую оценку:

||х '(г )|| <| |х0|| +

ч

| / ( 5, х( 5), х '(5))й5

|||/(5,х(5),х (я))||й5:

< Со +

|Х(5,^ ( ^ ,||хГ(^)| й5 < Со + |Хо (5,||х (5)||).

Обозначая у(г) = ||хГ(г)|| , имеем неравенство у(г) < Сд + |Хо (5,у(5)) ,

из

которого аналогично предыдущей теореме, используя условие (в), можно по-

лучить соотношение

|Хо (5,у(я)) = о(1) при г ^-+°°. Справедливость ра-

г0

венств (3) и (4) показывается таким же образом, как в теореме 1. Пользуясь полученными равенствами, имеем

Нш х (г) = Иш г г ^+<»

х0 + | /(5, х(5), х'(5))й5 - | /(5, х(5), х'(5))й5

= со + с = С,

т.е. х(-) = С + 0(1), х (г) = С + 0(1) при г ^ +°°. г

Доказательство закончено.

Теорема 3. Пусть в уравнении (2) функция /(г, х, хг) такая, что

||/(г,х,х )||<Х

г,—,11 х

V

г

, г>Т ,

где

а) \х'(г)|| < ^ ^ при г > Т1 > Т, Т1 — некоторое число;

б) ХеС([Т, +<»)хЯ2,Я+), Я+ = [0, +«>), Х(г,а,в1)<Х(г,а,в2) при любых а,в1 < в2, във2, ае Я+, и любом г > Т ;

йг

в) уравнение — = Хд(г,г), Хд(г,г) =Х(г,г,г) имеет абсолютно равно-

йг

мерно ограниченные решения.

Тогда при любых гд е [Т, +тс) , хд,хд е Яп решение х(г) = х(г : гд,хд,х'о)

х(г) /

уравнения (2) обладает свойством---------= С + о(1), х'(г) = С + о(1) при г ^ +^.

г

Доказательство аналогично теореме 2.

Иногда для получения более плотных оценок правой части исследуемого уравнения могут понадобиться менее стеснительные ограничения на

г

д

рост нормы правой части. Так, в теоремах 4-6 норма функции / при г ^ +°° может превышать значение мажорирующей функции Л, но не бо-

лее чем на о

Теорема 4. Пусть в уравнении (2) функция f (t, x, x ) такая, что \\f (t,x,x')|| <ц t,X,x'j, t > T,

где цє C ([T, +^) X Rn X Rn, R), и выполняются следующие условия:

f 1Л

а) ^(t, a, b) = X(t,||a|| ,||b||) + о -I при любых a, b є Rn;

Vt J

б) XєC([T, +<»)XR+,R+), R+= [0, +^), X(t,ocj,a2) <X(t,Pi,P2) при любых а < Pi, аг-, Pi є Rj+, i = 1,2 и любом t > T ;

dz

в) уравнение — = ^o(t,z), Xo(t,z) = X(t,z,z) имеет абсолютно равно-

dt

мерно ограниченные решения.

Тогда при любых to є [T, +тс), xo,x0 є Rn решение x(t) = x(t: to,xo,x0)

x(t) f

уравнения (2) обладает свойством------------= С + о(1), x'(t) = С + о(1) при t ^ +^.

t

Доказательство. Из условия (а) следует, что

x(t) = Х ('t,М IIx\

ц

t,—^-,x (t) I = X

t

(t )ll

+ g (t),

Г1 ^ +^ г

где g(г) = о -I при г ^+<». Следовательно, | g(^)й^ = о(1), |g(5)й5 < С3

г0 г0

при любом г . Тогда, аналогично теореме 1, при г > гд и произвольных хд, х'о

получим оценки

llx(t )||

< С1 +

<

Jц fs,x(s), x'(s)'j ds < ci + Jg(s)ds + JX f sj ( )^||x'(s)||

to s to to ^ s

ci + C3 + J X ( s,M ,|| x (s)|| 1 ds < co + JX f s^Hx^sl ,||x' (s )||Л

ds <

\\x (t)|| < C2 + Jц fs,, x'(s)1 ds < C2 + Jg(s)ds + JX f sj ( ^ ,||x (s)||

to to to

JX(s.M,!x-(„Ц1 ds <co + JXfsM Jx-(s)||

ds <

< c2 + c3 +

Дальнейшая схема доказательства полностью повторяет схему доказательства теоремы 1.

Доказательство закончено.

Аналогичным образом доказываются следующие две теоремы.

Теорема 5. Пусть в уравнении (2) функция /(г, х, х') такая, что

\\/(г,х, х')|| <|і г,X,х ^, г >Т,

где цеС ([Г, +^) х К х К , К) и выполняются следующие условия:

(1 ^

а) ц(г,а,Ь) = Х(г,||а||,|Щ|) + о - I при любых а,Ье Яп;

Vг)

||х(г)|| |, , и

б) ----- < ||х (г)|| при г > Г > Г, Г — некоторое число;

б) ХеС([Г, +<»)хК+2,Я+), Я+ = [0, +^), Х(г,«1,Р)<Х(г,«2,в) при любых в, а1 < а2, «1,«2,ве К+ , и любом г > Г ;

г) уравнение — = Хд(г, г), Хд(г, г) = Х(г, г, г) имеет абсолютно равно-

йг

мерно ограниченные решения.

Тогда при любых гд е [Г, +тс) , хд, х0 е Яп решение х(г) = х(г : гд, хд, х'о )

х(г) /

уравнения (2) обладает свойством-= С + о(1), х'(г) = С + о(1) при г ^ +^.

г

Теорема 6. Пусть в уравнении (2) функция /(г, х, хг) такая, что

\\/(г,х,х')||<ц г,х,х ^, г>Т,

где ц е С ([Г, +^) х Яп х Яп, Я) и выполняются следующие условия:

(1 ^

а) ц(г,а,Ь) = Х(г,||а||,|Щ||) + о - I при любых а,Ье Яп ;

Vг)

и , и ||х(г)||

б) ||х (г)|| < --при г > Г1 > Г, Г1 — некоторое число;

в) ХеС([Г, +~)хК2,К+), К+= [0, +«>), Х(г, а, в1) <Х(г, а,в2) при любых

а, в1 <в2, в1, в2, ае К+ , и любом г > Г; йг

г) уравнение — = Хд(г, г), Хд(г, г) =Х(г, г, г) имеет абсолютно равно-

йг

мерно ограниченные решения.

Тогда при любых гд е [Г, +тс) , хд, х'о е Яп решение х(г) = х(г : гд, хд, х'о )

х(г) /

уравнения (2) обладает свойством-= С + о(1), х'(г) = С + о(1) при г ^ +^.

Перейдем теперь к определению условий существования решений краевой задачи (1) для уравнения (2).

Теорема 7. Пусть выполняются условия какой-либо из теорем 1-6. Тогда при любых хо, А є Яп существует единственное решение краевых задач

і- х(г)

Ііт —- = А,

г ^+<» г х (го) = хо,

(6)

Ііт х (г) = А,

' г ^+^

I х (го) = хо,

для уравнения (2).

Доказательство. Возьмем произвольные хо, А. Тогда

г

х(г) = х(г: го, хо, А) = А(г - го) + хо + |(г - я)/(5, х(я), х'(я)№,

х'(г) = х (г: го,хо, А) = А + |/(я,х(я),х'(5))^5.

(7)

Очевидно, х(го) = хо. Рассмотрим семейство |ю(г)}, ю(г) = х (г:го,хо, А) на множестве [го, +тс), где ю(го) = А, А - фиксированный вектор, при произвольно меняющемся го. Так как

||х'(г)|| < А + |||/(я, х(я), х'(я))|| ёя

<

С + |XI £,^ ( ^ ,||х'(£)|| ёя < С + |Х(,у(я)) = К,

причем К не зависит от го в силу абсолютно равномерной ограниченности, то семейство |ю(г)} равномерно ограничено. Равностепенная непрерывность

г2

этого семейства вытекает из неравенства Цх'^) - х'^))) < |Xо(я,у(яУё. Сле-

г1

довательно, для множества |ю(г)} справедлива теорема Арцела о компактности. Значит, существует последовательность |гП} такая, что при п ^ +°° гП ^+°° и соответствующая функциональная последовательность из |ю(г)} равномерно сходится на каждом компактном множестве к функции Ф' (г), и Ф(г) удовлетворяет уравнению (2).

и

о

г

о

о

Таким образом, фг(г) = x(t: +x, Xq, А), т.е. lim ф'(г) = А. Из условий

t^.+x

теоремы при любом to е [T, +x) существует такое XQ, что x'(t: to, Xq, xQ) = ф'(0. Имеем x(t: tQ, Xq, xQ) = Xq , lim x(t: to, Xq, xQ) = А. Из

t^+x

V x(t : tQ,Xq,xQ)

равенства (5) следует lim ---------- —-—— = А. В силу произвольности выбора

t ^+x t

Xq и А задачи (6) и (7) имеют решение при любых Xq, Ае Rn.

Покажем единственность решения. Пусть, например, задача (7) имеет два решения:

t

x(t: t0,x0,xQ) = xQ(t -10) + x0 + |(t - s) f (s,x(s),X(s))ds ;

t0

t

X(t: t0, x0, XQ) = XQ(t -10) + x0 + |(t - s)f (s, X(s), X'(s))ds ,

t0

причем lim X(t) = А, lim X'(t) = А. Тогда

t^+x t^+x

+x

lim (X(t) - X'(t)) = (XQ - XQ)+ I (t - s)f (s, x(s),X(s))ds -

t^+x J

to

+x

| (t - s) f (s, X( s), X'(s))ds.

Из равенства (4) следует

+x +x

| (t - s)f (s, x(s), X(s))ds = 0, | (t - s) f (s, X(s), X'(s))ds = 0, tQ tQ

и поскольку lim (X(t) - X'(t)) = А - А = 0, то получаем xQ - XQ = 0, т.е.

t^+x

XQ = XQ. Отсюда следует единственность решения краевой задачи (7). Аналогично показывается единственность решения краевой задачи (6). Доказательство закончено.

Следствие 1. Очевидно, что при выполнении условий одной из теорем 1-6 из существования решений краевой задачи (6) при любых Xq, А следует существование решений краевой задачи (7) при любых Xq,А и наоборот, причем при фиксированных Xq, А решения краевых задач (6) и (7) совпадают.

2 Существование решений краевой задачи для одного уравнения теории гравитации

В данном разделе покажем, как можно применить полученные теоремы на примере одного уравнения теории гравитации. Данная задача возникла в

Q

связи с развитием А. А. Логуновым нового подхода к описанию гравитационного взаимодействия в пространстве Минковского [3]. При анализе различных решений данной теории возникает задача определения функциональной зависимости координат риманова пространства-времени от координат пространства Мин-ковского. Зная эту зависимость, можно получить ряд важнейших физических данных о распределении гравитационного поля в пространстве, характере действующих на пробную частицу сил, времени ее падения на силовой центр и т.п.

С математической точки зрения задача об определении функциональной зависимости координат риманова пространства-времени от координат пространства Минковского сводится к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений. В частности в случае статического сферически симметричного гравитационного поля эта система сводится к уравнению

У +

(/ )2 т

2у_.

х у(у - 2т) у

у - 2т

ґ

т 2 у

~2 + ~2

к у х

= 0,

(8)

/

где т - масса сферически симметричного поля, г - его радиус.

Эта задача рассматривалась Е. И. Моисеевым и В. А. Садовничим в работах [4, 5] при краевых условиях

у(0) = а> 2т, у(х) > 2т, х є (0, +х),

(9)

Ими было показано, что краевая задача (8)-(9) имеет единственное решение на полуоси [0, +х) при любых а > 2т, в> 0 в классе функций 0 2

у є С [0, +х) п С (0, +х). Также в работе [5] получено асимптотическое по-

ведение у( х) с точностью до О

2

V х у

Покажем, как можно применить полученные в предыдущей части работы теоремы для решения настоящей задачи. Для удобства запишем уравнение (8) в виде

у =

у - 2т

г

у

т 2 у _2 + _2

у х

Л

/

(у')2 т _ 2у_

у(у - 2т) х

Будем рассматривать уравнение (10) при условиях

хє [X, +х), X > 0, у(х) > 2т, т > 0.

(10)

(11)

Существование решений при условиях (11) доказано в работе [4]. Сделаем замену переменных г(х) = у(х) - 2т . Очевидно, г'(х) = у'(х), г"(х) = у"(х), г(х) > 0 и уравнение (10) перейдет в (12):

г = / (х, г, г'),

(12)

где

/ (х, г, г') =

г + 2т

т

2( г + 2т)

(г + 2т)

(г )2 т

2 г'

г (г + 2т) х

Оценим правую часть уравнения (12):

\/(х, г, г ')| =

гт (г') т 2г 2г'

---------+ ^------------+------------

<

(г + 2т )3 г(г + 2т) х2 х

2

гт

(г + 2т ) Учитывая, что г > 0, имеем

(г' )2 т

г( г + 2т) 1

г / -- г

х

г + 2т

<

и г = г . Тогда

2

\г, Л^т т(г )

\/ (х, г, г)| < — + —^

■ + 2

г

--г

х

Таким образом, \ f (х, г, г)| <Ц

х, , г |, где V х

х, , г I =

т (1 + (г' )2

+ 2

г / — - г

х

В ходе дальнейших рассуждений нам понадобится следующая лемма. Лемма 1. Для любого решения х(г) уравнения (2) выполняется равен-

ство

— - х' (<) = -1

г г

1

(г) = — J sx (я)^ + о(1) при г ^ +°о.

(13)

Доказательство. Так как

г

х(г) = х(г: го,хо,х0) = х0(г - го) + хо + |(г - я) f (я,х(я),х'(з)№,

г0

г

х'(г) = х (г: г0,х0,х0) = х0 + |f (я,х(я),х'(/))ёя,

то

х(г) - х (г) = — + х0 - - х0 + [^ f (я, х(я), х'(я))ёя - [ f (я, х(я), х'(я))ёя.

г г 1 г »

Отсюда

г

х (г) = — 15/ (я, х( я), х( я))ёя + 0(1) при г ^+с г0

Учиты-

вая, что х"^) = f (я, х(я), х'(я)), получаем равенство (13). 72

х

0

0

г

Доказательство закончено.

Применяя равенство (13) к уравнению (12), получим

г( х)

- г'(х) + — | ^- г'(-) | ds + х0

х0

г( -)т

(г (-) )2 т ^

((-) + 2т )3 г(-) ((-) + 2т)

ds = о(1),

то есть

Ііт

х—+х

'г(х)- - г'(х) 1 + Ііт 2 ЇЇ^ - Л-)]+

) х——+х х 1 V - )

х——+х х •* V -

х0

х0

г (-)т

(г'(-) )2 т ^

(г (-) + 2т )3 г(-) (г(-) + 2т)

ds = 0.

Воспользуемся доказанным в работе [5] фактом, что г"(х) > 0 при дос-

таточно больших х. Отсюда следует, что

г (х)

> г_(х) при х > Хі, где Хі

достаточно большое число. Следовательно, в последнем равенстве все три выражения, стоящие под знаком предела, положительны при х > Х^, и, значит, все три предела равны нулю, т.е.

Ііт

х——+х

г( х)

- г'(х) І = 0.

Из выражения (14) следует 2

г

— - г

х

= О

(14)

при х — +х , а значит,

/ \ Ґ 1 1 Л Ґ и Л

1 г _ 1 х, , г = Х г х,— \г'\ , где X г] К

х ^ V х і х ;

<Х( х, а, Р2) при в1 <Р2.

Рассмотрим уравнение

т (1 + \г' |2)

Ы )2 х2

х

. Очевидно, Х( х, а, Р1) <

^ = Х>( х, £),

dх

(15)

т(1 + £2)

где ^0 (х, ^) = Х( х, ^, ^) =-----------———. Для доказательства абсолютно равномерной

^2 х2

ограниченности решений уравнения (15) применим теорему 1.2.2 из работы [6]. Теорема 8. Пусть в уравнении (15) функция ^(х, ^) такая, что

+х

а) I (а) = | ^0(-, а^- <+х при любых а>0;

х

+х

б) Г-^ = +х, где в>0;

в I(а) х Х0(-, а)

в) I---------ds — 1 равномерно по а при х — +х.

і I (а)

X

Тогда все решения уравнения (15) абсолютно равномерно ограничены. Проверим выполнение условий теоремы 8:

+х +х 2 2

Т. . г, ч, гт(1 + а ) т(1 + а )

I(а) = I Л0(-, а)ds = I--------—— ds =------------2—;

а - X а

X X

+х +х 2 +х +х

- d а X с а d а X г , X г d а

= +х ;

г а а_ х га а а_ х г^а х г I

в I (а) т в 1 + а2 т в т в 1 + а2

хХ0(5,а) х[т(1 + а2) Xа2 ^Х , 1 X

I —----_ I--------—------------—а5 _ I — ds _ 1-------»1 равномерно

X 1 (а) X а ^ т(1 + а ) X5 х

по а.

Следовательно, все решения уравнения (15) абсолютно равномерно ограничены.

Таким образом, для уравнения (12) выполняются все условия теоремы 6. И по теореме 7 краевые задачи (6) и (7) для уравнения (12) имеют единственное решение при любых ¿о > 0, А > 0. Возвращаясь к уравнению (10), заключаем, что при любых У0 > 2т , А > 0 краевые задачи (6) и (7) для этого

уравнения имеют единственное решение.

Список литературы

1. Лютов, Е. В. Полиномиальная асимптотика обыкновенных дифференциальных уравнений / Е. В. Лютов // Труды Средневолжского математического общества. -2007. - Т. 9. - № 1. - С. 182-194.

2. Воскресенский, Е. В. Об аттракторах обыкновенных дифференциальных уравнений / Е. В. Воскресенский // Известия вузов. Математика. - 2003. - № 4. -С. 17-26.

3. Логунов, А. А. Пространство Минковского как основа физической теории гравитации / А. А. Логунов, А. А. Власов. - М. : Изд-во Моск. ун-та, 1984. - С. 9.

4. Моисеев, Е. И. О решении одного нелинейного уравнения в теории гравитации на основе пространства Минковского / Е. И. Моисеев, В. А. Садовничий. - М. : Изд-во Моск. ун-та, 1984. - 45 с.

5. Моисеев, Е. И. О краевых задачах для одного нелинейного уравнения теории гравитации / Е. И. Моисеев, В. А. Садовничий. - М. : Изд-во Московского ун-та, 1986. - 85 с.

6. Воскресенский, Е. В. Методы сравнения в нелинейном анализе / Е. В. Воскресенский. - Саранск : Изд-во Саранского филиала Саратовского университета, 1990. - 224 с.