ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИНДУКТИВНЫХ МЕТОДОВ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ПРИ ИЗУЧЕНИИ КОМБИНАТОРНЫХ ПОНЯТИЙ Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИНДУКТИВНЫХ МЕТОДОВ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ПРИ ИЗУЧЕНИИ КОМБИНАТОРНЫХ ПОНЯТИЙ Останов К.1, Ботиров З.Ш.2, Эсанов О.Д.3

1Останов Курбан - доцент, кандидат педагогических наук, кафедра теории вероятностей и прикладной математики, математический факультет, Самаркандский государственный университет имени Шарафа Рашидова;

2Ботиров Зафар Шокирович - преподаватель,

3Эсанов Обид Джалалович - преподаватель, кафедра точных наук, Академический лицей Самаркандского института сервиса и экономики; г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: в данной статье в процессе преподавания математики в школе рассмотрены технологии формирования умений учащихся использовать методы индуктивного доказательства и обучения их некоторым методам решения при изучении понятий комбинаторики и их использование при обучении им в процессе обучения в школе. Приводятся примеры использованных предметов и примеры решения задач. Ключевые слова: бином Ньютона, биномиальные коэффициенты, группировки, математическая индукция, полиномиальная формула.

1. Общие сведения о биноме Ньютона. Со школьного математики известно следующие две формулы сокращенного умножения:

(а + Ь)2 = а2 + 2ab + Ь2 — квадрат суммы; (а + Ь)3 = а3 + 3a2b + 3ab2 + а3 — куб суммы; Можно аналогично вывести следующие две формулы, то есть для 4-й и 5-й суммы : (а + Ъ)4 = (а + Ь)(а + Ъ)3 = (а + b)(a3 + 3а2Ъ + 3аЪ2 + а3) = а4 + 4а3Ъ + 6а2Ь2 + 4аЪ3 + Ъ4

(а + Ъ)5 = (а + Ъ)(а + Ъ)4 = а5 + 5а4Ъ + 10а3Ь2 + 10а2Ь3 + Sab4 + Ъ5 Таким образом биквадрат суммы (т.е. четвертый степень бинома)

(а + Ь)4 = а4 + 4а3Ъ + 6а2Ъ2 + 4аЪ3 + Ъ4 и пятую степень этой суммы

Нетрудно заметить, что полиномиальные коэффициенты в правых частях формул упомянутой суммы квадрата, куба, биквадрата и пятой степени представляют собой числа С™ (п = 2,3,4,5) в соответствующих рядах треугольника Паскаля.

Теорема 1. Для всех действительных чисел а и Ъ натуральных чисел п справедлива формула

(а + Ь)п = ап + С1ап-1Ь + С^ап-2Ъ2 + - + С£-1аЬп-1 + Ьп Доказательство. Используем метод математической индукции. Основание: при п = 1формула верна: (а + Ь)1 = а + Ъ. Индуктивный переход: пусть доказываемая формула верна для п = к, т.е. (a+b)A(k (а + b)k =ак + C1ak-1b + С^ак-2Ь2 + - + С%-1 abk-1 + Ьк. Докажем, что формула верна и при п = к + 1. Действительно, Используя формулу Сп+11 = С™ + С™+1 получаем следующее:

(а + b)k+1 = (а + Ъ)(а + Ъ)к = (а + b)(ak + Clak-1b + С2ак-2Ъ2 + -+ С%-1а bk-1 + Ьк) = ak+1 + Clakb + С2 ак-1Ь2 + - + СЩа bk + C0akb + С£ак-1 Ь2+.. +с£-1аЬк + bk+1 = ak+1 + (С0 + ф akb + (С1 + С2)ак-1Ь2 + -+ (ф1 + фаЬк + bk+1 = ak+1 + C^+1akb + С%+1 ak-1b2 + - + с£+1а bk + bk+1

С™ также называют биномиальными коэффициентами. В этом случае определение дается в зависимости от положения этих коэффициентов в формуле бинома Ньютона, число С™ является [ коэффициентом выражения ап-тЬтв в разложении (а + b)n = Y*m=o С™ап-т Ьт

Теорема 2. Для всех действительных чисел а и Ъ натуральных чисел п справедлива формула

(а — ЬГ=^ (—1)тС™ап-т

Доказательство. Если заменим Ь на (-Ь) в биномиальной формуле Ньютона, получим искомую формулу. Свойства биномиальных коэффициентов напрямую связаны с комбинациями в комбинаторике и, естественно, также представляют свойства треугольника Паскаля.

ст+1 п-т

Свойство 1. Верно равенство = ^^ (т = 0,1,2, ...,п— 1) Действительно,

п

т=о

Сп+1 (т + 1)!(п — т — 1)! т!(п — т)!

С™ п! (т + 1)!(п — т — 1)!

т! (п — т)!

т! (п — т — 1)! (п — т) п — т

т! (т + 1)(п — т — 1)! т + 1' Свойство 2. Для произвольного натурального числа п сумма всех биномиальных коэффициентов СЩ (т = 0п) равна 2п, т.е. С0 + С1 + С2 + - + СЩ-1 + СЩ = 2п

Это равенство формируется путем принятия а=Ъ=1 в биномиальной формуле Ньютона. Свойство 3. Сумма нечетных биномиальных коэффициентов равна сумме четных биномиальных коэффициентов.

Действительно, в биномиальной формуле Ньютона при а=1 уа Ъ=-1 получим равенство

0 Сп~Сп + Сп Сп + "' + ( -О Сп

Из этого равенства следует, что утверждение в свойстве истинно. На основе свойств 2 и 3 получим следующее свойство.

Свойство 4. Для наибольшего нечетного числа т, не превышающего п справедлива равенство

С1 + С3 + -+СП? = 2п-1, для наибольшего нечетного числа т, не превышающего п справедлива равенство

/-•0 | п2 I пш _ пп-1

Сп + Сп + "' + Сп 2

Свойство 5. Для нечетного числа п верны соотношения

п—1 п—1 ^ п—1 ^ п—1 ^ ^

С0 < С1 < " < С~ = С~+ С~+ > С~+ > " > Сп и для четного числа п верны соотношения

п п п+1

С0 < С1 < " < С2 С2 > С2+ > ■■■ > Сп

Пятое свойство биномиальных коэффициентов является подтверждением указанного выше свойства

треугольника Паскаля, согласно которому биномиальные коэффициенты сначала растут от

(п)

С0 = 1 до С„ , а затем уменьшаются до СЩ =1 , и когда п нечетно, два средних члена ряда биномиальных коэффициентов равны, а когда п четно, средний член является наибольшим и единственным.

Имеют место следующие свойства 6-8. Свойство 6. СЩ + СЩ+1 + - + СЩ+к =С£1+1 Свойство 7. (С0)2 + (С1)2 + - + (СЦ)2=С2ПГ1 Свойство 8. С0СЩ + С1СШ-1 + -+ СкСШ=Ск+™ Последнее равенство называется уравнением Коши.

3. Группировки (без повторов). Пусть задан набор {а1, а2, а3,..., ап}. Из элементов этого множества с п элементами формируем подмножества с т элементами таким образом, чтобы они отличались друг от друга не расположением элементов, а только со своим составом. Каждое из таких подмножеств с т элементами называется группировкой т элементов из п элементов. СЩ— количество т группировок из п элементов.

Количество группировок иногда обозначаются в виде (т) уоЫ

О

. Из определения группировки

следует, что 1<т<п, и если позиции элементов в группировке каким-либо образом измениться, она (как группировка) не меняется. Напоминаем, что в рассматриваемой здесь группировке элементы не повторяются. Поэтому такую группировку можно также назвать неповторяющейся группировкой.

Чтобы найти формулу расчета числа СЩ, рассуждаем следующим образом. Очевидно, что если позиции элементов в каждой из т групп из п элементов поменяны местами настолько, насколько это возможно, то в результате получится все т расположений из п элементов. Здесь группировки СЩ из т элементов в каждой группе Рт=т!, состоящей из т элементов из п элементов! Ввиду того, что перестановки можно делать, по правилу умножения справедливо равенство {РшСШ = АЩШ Так, справедлива формула

Аш п(п — 1) ... (п — т + 1)

СШ =

п Рт 1^2•.•т

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 3. Верна формула, число группировок т из п элементов равно:

п(п — 1) ... (п — т + 1)

СШ= 1^2 •...•т

Если в качестве определения принять СЩ = 1, то приведенная выше формула для числа т группировок из п элементов справедлива и при т=0: С0 = = 1 Естественно, можно сформировать только одну

п

группировку, содержащую все элементы: СЩ = = 1 для подсчета количества группировок, также можете использовать такие формулы, как

п! п(п — 1) ... (п — т + 1)

рш _ _ рш _ _ 4_

п т! (п — т)! ' п 1^2^.(п — т)

Повторяющиеся группировки. Мы рассматриваем объединения (кортежи), в которых каждый элемент входит в объединение любое количество раз и т взято из разных п элементов, причем порядок элементов не учитывается. Такие комбинации называются группировками (сокращенно, повторяющимися группировками), в которых участвуют т повторяющихся элементов из п разных элементов. Из определения группировок, включающих т повторяющихся элементов из п элементов, видно, что разные комбинации отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Обозначим количество повторяющихся группировок из п элементов из т как СЩ.

Теорема 3. Число повторяющихся группировок от п элементов до т равно СЩХгп-1, т.е. СЩ =СЩХгп-1.

Пример 1. Сколько пар чисел можно составить, бросив два кубика в форме куба, на каждой стороне которого написаны числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6?

Всего при броске кубика есть 21 возможность:

<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,2>, <2,3 , <2,4>, <2,5>, <2,6>, <3,3>, <3,4>, <3,5>,<3,6>,<4,4>,<4,5>,<4,6>,<5,5>,<5,6>,<6,6>.

Эти пары образуют повторяющиеся группы двух из шести элементов. Согласно теореме 3 их количество равно = С£+2-1 = С7 =21.

4. Полиномиальная формула. Обобщаем понятие бинома Ньютона посредством повторяющихся комбинаций, т. е. рассматриваем задачу нахождения разложения выражения 1(а1 + а2 + —+ ат)п.

Теорема 4. Для произвольных действительных чисел а1,а2аЩи натуральных п справедлива формула

(а1 + а2 + - + аЩ)п = 1 Сп^щ,... 'пЩ^^а^2 .аЩ^

+ -----+пт=п

Сп(п1' п2) = = Сп будет.

суммирование в правой части этой формулы производится для всех целых неотрицательных чисел п1, п2,...' пЩ, удовлетворяющих условию п1+ п2 + —+ пЩ = п

Последнее доказанное равенство называется полиномиальной формулой или обобщенной биномиальной формулой Ньютона. Числа Сп(п1, п2,..., пЩ)называются кратными коэффициентами.

Биномиальный коэффициент С^является частным случаем полиномиального коэффициента Сп(п1,п2, ..,пт)когда т=2. Действительно, если в уравнении п1+п2=п взять п1= к, то п2=п-п1=п-к и

п!

п1!п2! к!(п-к)!

Пример 2. Найдите разложение выражения (а+Ь+с)3. Прежде всего, разделим число 3, то есть запишем 3 как сумму целых неотрицательных чисел со всеми возможными возможностями:

3=3+0+0, 3= 2+1+0, 3=2+0+1, 3=1+2+0, 3=1+1+1, 3=1+2+0, 3= 0+3+0, 3=0+2+1, 3=0+1+2, 3=0+0+3.

Итак, согласно полиномиальной формуле,

(а+Ъ+с)3 = Сз(3,0,0)а3+ Сз(2,1,0)а2Ъ + Сз(2,0,1)а2с + Сз(1,2,0)аЪ2 +Сз(1,1,1)аЪс + Сз(1,0,2)ас2 +Сз(0,3,0)Ъ3 + Сз (0,2,1)Ъ2с + Сз(0,1,2)Ъс2+ Сз(0,0,3)с3.

Используя формулу Сп(п1,п2, .,пк) =-—-создаём следующее равенство:

п1!п2! ...Пк!

(а+Ъ+с)3=а3+3а2Ъ+3а2с+3аЪ2+6аЪс+3ас2+Ъ3+3Ъ2с+3Ъс2+с3.

При написании условий полиномиального распределения следует учитывать, что если Щ'Щ,...'пщ(Щ + щ + - + ПЩ=П)

числа ' к2' .••' (к1 + к2 + "* + к-Щ

= п )могут быть образованы перестановками чисел, тогда коэффициенты членов а^а^2 и а^а^ ... ат™ взаимно равны. Следовательно, нахождение одного

из представлений п в виде п = п1 + п2 + —+ пЩ, удовлетворяющего некоторому условию, например, п1 > п2 > — > пЩ (или п1 <п2 < — < пЩ)), удовлетворяет условию, и соответствующее ему в выражении а^а^2... аЩ^необходимо заменить всеми возможными способами показатели степени. Например, полиномиальные коэффициенты членов а2Ъ, а2с, аЪ2, ас2, Ъ2с уа Ъс2 в примере 3 равны друг другу. Исходя из приведенного выше условия, существует 3 способа разделить число 3 на сумму целых неотрицательных чисел: 3=3+0+0, 3=2+1+0, 3=1+1+1. Следовательно, в разложении выражения (а+Ь+с)3 мы имеем 3 разных коэффициента: Сз(3,0,0)=1, Сз(2,1,0)=3 уа Сз(1,1,1)=6.

Итак (а+Ъ+с)3=а3+Ъ3+с3+3(а2Ъ+а2с+аЪ2+ас2+Ъ2с+Ъс2)+6аЪс.

Некоторые свойства полиномиальных коэффициентов, то есть чисел Сп(п1'п2'...'пЩ)можно легко доказать с помощью формулы полинома. Например,

Сп(п1'п2' ...'пт)тп п1 + п2+-----+пт=п

здесь суммирование производится для всех целых неотрицательных чисел п1,п2,.,п„ удовлетворяющих условию п1 + п2 + —+ пт = п, и учитывается порядок слагаемых. Действительно, если в формуле полинома взять а1 = а2 = = ат = 1, мы сформируем искомое равенство.

Список литературы

1. Винберг Э.Б. Удивительные свойства биномиальных коэффициентов. // Мат. просвещение. Третья серия. Вып. 12. 2008

2. Чубариков В.Н. Арифметика. Алгоритм. Сложность рассчитана. М.: Выш. Шк., 2000.

3. Дынкин Е.Б., Успенский В.А. Математическая дискуссия. 2-е изд. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2004.

4. Фукс Д.Б., ФуксМ.Б. Арифметические биномиальные коэффициенты // Квант. 1970. № 6. С. 17-25.