Использование вероятностных метрик при оценке технического состояния электроэнергосистем в условиях эксплуатации Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИК

УДК 621.311

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕТРИК ПРИ ОЦЕНКЕ ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГОСИСТЕМ В УСЛОВИЯХ ЭКСПЛУАТАЦИИ

В.В. ШАРОВ

Казанский государственный энергетический университет

Рассмотрены вопросы использования вероятностных метрик при оценке технического состояния электрооборудования, позволяющей определять скорость сходимости момента отказа в зависимости от закона распределения случайной величины.

В процессе эксплуатации электроэнергосистем происходит изменение их технического состояния из-за большого количества факторов, которые в конечном итоге влияют на надёжность систем [1]. Основанием для применения методов теории вероятностей и математической статистики к изучению реальных явлений является существование реальных событий, обладающих свойством устойчивости частот.

Постановка задачи и математический аппарат для её реализации. Оценка технического состояния электроэнергосистем в условиях эксплуатации может осуществляться путём определения функции распределения №(х) при построении её мажоранты №(х) и миноранты W(х) [2]. Однако это не является единственным способом оценки технического состояния электрооборудования.

Другим способом оценки технического состояния электрооборудования могут служить вероятностные метрики в пространстве функций распределения №(х) при построении границ для возможных значений расстояния между №(х) и некоторой предельной функцией, в основе которой рассматривается экспоненциальная функция распределения. Подход к получению оценок метрического типа в предельных теоремах был сформулирован в [3].

В понятие расстояния между двумя точками положен кластерный анализ, который позволяет использовать расстояние как функцию случайной величины между объектами разнообразной природы - функциями, множествами, мерами и т. п. При этом, если исследовать объект хо и найти все объекты х[, расстояния от которых до хо меньше заданного числа е, то совокупность данных объектов составляет окрестность г объекта хо. Множество объектов, характеризующихся расстоянием й между любой их парой, является метрическим пространством. Расстояние й(х;, у) между двумя объектами х1 и у является, таким образом, функцией, заданной для всевозможных пар х[ и у . Эта функция определяется

© В.В. Шаров

Проблемы энергетики, 2004, № 7-8

вероятностной метрикой, значениями которой являются расстояния данной функции.

При использовании вероятностных метрик необходимо учитывать следующие допущения: 1) расстояние d(xj,у )> 0 при всех xi и у ; 2) если xi = yi, то d(xj,у )= 0 и если d(xj,y )= 0, то xj = у ; 3) для всех точек xj, у и Zj расстояние d (xj, у'ц )< d (xj, Zj)+ d (zj, yj), при котором выполняется неравенство треугольника.

Понятие метрического пространства позволяет использовать его в практике эксплуатации при оценке технического состояния электроэнергосистем. Рассмотрим метрики d, заданные в пространстве функции распределения W(x). Для решения поставленной задачи будем использовать три различных типа метрик d: равномерную % р, среднюю % си % s - метрику порядка s, при этом 1 < s < 2.

Равномерная метрика % р определяется из соотношения

%р[(x), G(x)] = sup|F(x)- G(x) , (1)

в котором F(x) и G(x) являются функциями распределения.

Расстояние между функциями F(x) и G(x) представляет собой модуль максимального уклонения этих функций друг от друга (см. рис. 1). Равномерная метрика используется в математической статистике, которая служит основой для формирования различных статистических критериев. На их основе может осуществляться оценка технического состояния различного электрооборудования в условиях эксплуатации.

F(x), G(x)

Рис. 1. Модуль максимального уклонения между функциями Г(х) и б(х) с использованием равномерной метрики £ р

При рассмотрении функции распределения ¥(х) её окрестность г для равномерной метрики £р представляет собой совокупность всех функций распределения, лежащих в интервале высоты 2г, средней линией которой является функция ¥(х).

Средняя метрика £ с определяется из соотношения

£с[(х) в(х)] = 1|¥(х)- в(х)йх ,

(2)

в котором ¥(х) и в(х) являются функциями распределения.

Значение £ с[¥(х), С(х)] в (2) представляет собой площадь фигуры, заключённой между кривыми ¥(х) и в(х) (см. рис. 1 - заштрихованная часть), а окрестность г функции ¥(х) состоит из таких функций распределения С(х), для которых площадь между кривыми ¥(х) и в(х) меньше г.

Для использования метрики £ я на практике необходимо задавать расстояние между функциями распределения ¥(х) и в(х) соотношением, в котором я находится в пределах 1 < я < 2. Тогда метрика £ я будет определяться формулой следующего вида:

£я[ (х) С(х)] =

| (¥ (и) - С(и))и

1

я—1

йх

я—1

(3)

Необходимо отметить, что метрическое расстояние £ я [¥(х)С(х)] в (3) представляет собой площадь фигуры, заключенной между кривыми

¥ с (х) = | [и) — ¥ (и) йи —то

х

и Сс(х)= [[и) — С(и)] йи ,

(4)

(5)

—то

—то

—то

—то

где 1(и) = 0 при и < 0 и 1(и) = 1 при и > 0.

Таким образом, при решении задачи в частном случае можно считать, что

£я[ (х), в(х)]=£с[¥ с (х^ С с (х)].

Однако при этом ¥с(х) и Ос(х), определяемые соотношениями (4) и (5), вообще говоря, не являются функциями распределения. В частности, при достижении ими значений ¥с(то) и Сс(то) они становятся равны средним от функций распределения ¥(х) и С(х ), соответственно, в случае существования последних. Отсюда следует, что если эти средние будут отличаться друг от друга, то £я[(х) в(х)]= то .

Необходимо отметить, что введённые метрики удовлетворяют перечисленным допущениям, и если у ¥(х) и ^(х) существуют конечные

значения, но различные по величине средние, то £я[¥(х), в(х)]=то. Величина средней метрики £с[(х) G(x)] также может принимать бесконечные значения в случаях, когда у функции F(х) среднее конечно, а у С(х) - бесконечно.

Обозначим Х как случайную величину, имеющую функцию распределения ¥(Х), а Y как функцию распределения С(Р). Кроме того, для наглядности представления некоторых свойств используемых метрик, обозначим

й(Х,Р)= й[¥(Х), о(У)] для всех трёх метрик й = £р, й = £ с и й = £ я.

Пусть X!, X2,...,ХпХ\, и Р1,Р2,...,У„ представляют собой две совокупности независимых случайных величин. Тогда для рассматриваемых метрик й = £р, й = £ с и й = £ я справедливо соотношение

й (х 1 +... + Хп, Р1 + ...Рп ) < й (х 1, Р1)+... + й (хп, Рп ), (6)

которое обладает свойством регулярности.

Пусть имеется постоянная величина а, тогда при определении значений метрик справедливы соотношения

£р(аХ, аР )= £р(Х, Р), (7)

£с(аХ, аР)= |а| £с(Х, Р), (8)

£я(аХ, аР)= |а|я £я(Х, Р). (9)

Исходя из соотношений (7) - (9), получаем обобщённую формулу в виде равенства

й (аХ, аР) = а У й (Х, Р), (10)

при этом метрика й, удовлетворяющая равенству (10), является однородной порядка у > 0. Исходя из этого получаем, что равномерная метрика £ р является однородной порядка 0, средняя метрика £ с является однородной порядка 1 и метрика £ я является однородной порядка я.

С помощью данных вероятностных метрик можно определять сходимость функций распределения ¥(х). При этом последовательность функций распределения {¥п (х)}п^, при которых метрика й сходится при п ^ да к функции

распределения ¥(х), если Иш й[¥п(х) ¥(х)] = 0. При решении задачи, когда

п^то

имеются две различные метрики й\ и й2, то из соотношения Иш й 1 [п(х) ¥(х)] = 0 не обязательно следует, что Иш й2[¥п(х ) ¥ (х )]= 0 , ввиду

п^то п^то

того, что разные метрики имеют разную силу сходимости. Исходя из этого, рассматриваемые три типа вероятностных метрик обладают существенно разной силой сходимости.

Так, если £р[¥п (х), ¥(х)] стремится к 0 при п —— да, то метрики £с[¥и (х) ¥ (х )] и ^5 \¥п (х), ¥ (х)] не стремятся к 0. Таким образом, когда ¥(х) = 0 при х < 0 и ¥(х) = 1 при х > 0, то получаем функцию распределения случайной величины ¥(х), равную нулю с вероятностью 1. Кроме того, когда ¥п(х)= 0 при х < 0 и ¥п(х)= 1 — 1/п при 0 < х < п, то получаем значение ¥п(х)= 1 при х > п . Исходя из этого можно сделать вывод, что функция распределения случайной величины ¥п (х) принимает два значения: 0 с вероятностью 1 — 1/ п и п с вероятностью 1 / п. Тогда £р[¥п (х) ¥(х)]= 1 / п стремится к 0 при п — да, при этом £с[¥п (х \ ¥ (х )] тождественна 1, а £«[¥и (х), ¥(х)] тождественна да. Аналогично, из соотношения £с\¥п (х) ¥(х)], стремящегося к 0 при п — да, не следует, что &[¥п (х \ ¥ (х)] и £5 [¥и (х \ ¥ (х )] стремятся к да. И лишь из соотношения £«[¥и (х) ¥(х)], стремящегося к 0 при п — да, следует, что £с[¥п (х) ¥(х)] стремится к 0, но не следует, что &[¥п (х)>¥ (х)] стремится к 0.

Такие соотношения взаимосвязи между рассмотренными вероятностными метриками дают возможность использовать их в различных задачах, которые учитывают различный тип сходимости. Кроме того, эти соотношения взаимосвязи показывают, что в общем случае невозможно оценить расстояние, выраженное в величинах одной метрики, через расстояние, выраженное в величинах другой метрики. Чтобы сделать это возможным, необходимо рассматривать соотношение между метриками не на всем классе случайных величин, а лишь в отдельном его подклассе.

Метрические оценки распределения момента отказа электрооборудования.

Предположим, что в энергосистеме с резервированием (силовой трансформатор) её отказ наступает в момент, когда нет ни одного неисправного элемента, то есть траектория £; ()= N +1. Тогда цикл, показанный на рис. 2, не имеет отказа.

Рис. 2. Регенерирующий процесс состояния электрооборудования с резервированием в условиях эксплуатации

Отказ возникнет, если на промежутке времени (0, Т;) траектория £х(^) достигнет уровня N +1. При этом не обязательно трактовать отказ на 1-ом цикле как событие, заключающееся в пересечении процессом £;(*) определённого уровня. Можно считать, что отказ наступает, если Т1 > **, где ** - фиксированное значение. Это свидетельствует о том, что отказ наступает, если средства непрерывно заняты обслуживанием соответствующего элемента по времени более чем ** , что недопустимо по технологическим соображениям.

Иначе говоря, в пространстве Г, в котором принимают значения циклы у;, выделяется подмножество А циклов, в которых имеет место отказ, а доля А = Г - А составляет множество циклов, в которых отказы не происходят.

Обозначим q = р(у; е А) вероятность того, что в цикле имеют место отказы при условии, что все у; распределены одинаково и вероятность q не зависит от г; а через В(х) - функцию распределения периода регенерации В(х) = Р(Т; < х). Если в рассмотрении циклов будут иметь место лишь отказы, то распределение их длины будет совпадать с условным распределением величины Т; при условии, что у; е А. Исходя из этого, обозначим это распределение через В°(х), а длины циклов, подчиняющиеся этому распределению, через Т°. Аналогично обозначим Вн (х) и

Гн ••

; и отнесём их к циклам, в которых не имеют место отказы, а моменты величин

Т0 и Тн обозначим т° и при £ > 1 соответственно.

Кроме факта отказа необходимо использовать понятие момента отказа на цикле, которое определяется лишь для циклов, в которых имеют место отказы. За момент отказа на цикле естественно принять сам момент его достижения,

который обозначим через п°.

В общем случае для каждого цикла, на котором имеет место отказ у; е А,

будем считать заданной случайную величину п° < Т;, трактуемую как момент

отказа на цикле, обозначив её как д 5 = Е (п0 при £ >1.

При этом моментом отказа для регенерирующего процесса £;(*) назовем случайную величину т, определяемую для рассматриваемой реализации траектории £;(*) регенерирующего процесса при условии выполнения соотношения {у 1 е Л,..., у у—1 е Л, у у е А}. Тогда случайная величина т на основе формулы полной вероятности будет иметь равенство по распределению, которое определяется из соотношения

т = Т +... + Ту—1 + п0, (11)

где у - представляет собой номер первого цикла, на котором имеет место отказ.

В соотношении (11) величины Т1 и у являются зависимыми. С помощью формулы полной вероятности можно показать, что имеет место следующее равенство по распределению:

тТ = Г1н +... + ТУ— 1 + пн, (12)

где величины Т; не зависят друг от друга и все вместе не зависят как от у так и от 0

П ;.

Поскольку вероятность появления цикла, на котором имеет место отказ, равна q и циклы между собой независимы, то величина у является случайной с геометрическим распределением

Р(у = к)=(1 — ч)—1ч, (13)

где q - вероятность появления отказа на соответствующем цикле.

В выражении (13) величина у представляет собой номер первого цикла, на котором происходит отказ электрооборудования, является случайной величиной, распределенной по геометрическому закону и не зависящей от последовательности {У/}.

Рассмотрим задачу использования вероятностных метрик при оценке распределения момента отказа для случая, когда распределение нормированного момента отказа сходится к экспоненциальному. Обозначим через У

экспоненциально распределенную случайную величину Р(У < х)= 1 — в~х. Пусть У-1, У2,..., Уп - независимые, одинаково распределенные случайные величины, имеющие такую же функцию распределения. При этом принимаем утверждение [3] о том, что случайная нормированная сумма q(Уl +... + Уу—1) распределена по закону

q + (1—ч)—е—х). (14)

Тогда нормированное время отказа будет определяться из соотношения ^н ^н Л

qт

Тн = “н = Ч

т\

ГГ< Н гг\ Н

+...+

Vтн т1 у

+

т1н

(15)

О тн н

где Пу — момент отказа на цикле; 1■ и т■ - длины циклов и их моменты,

подчиняющиеся соответствующему распределению.

Рассмотрим случайную величину, которая определяется соотношением

V = Ч(У1 +... + Уу—1) + чд 1 —. (16)

тн

Используя утверждение (14), найдём функцию распределения величины V, которая определяется соотношением

Р(V < х) = 1 — е~х + ч

—х —т{1 х 1 Ц1Ч

е — е 1

(17)

где ц; -интенсивность восстановления отказов.

Из соотношения (17) следует, что функция распределения случайной величины V стремится к экспоненциальной при ч ^ да. Однако при решении этого вопроса необходимо учитывать тот факт, что вместе с изменением ч при ч ^ да

меняются и все параметры рассматриваемой модели, в первую очередь это т*н и Ц1. При этом правая часть соотношения (17) стремится при всех х к 1 — е~х тогда

ЧД1 тт

и только тогда, когда ---- стремится к да. Исходя из этого можно сделать вывод,

тн

ЧД1

что если характеристики модели меняются так, что ч ^ 0 и-------стремится к 0, то

тн

предельное распределение величины V является экспоненциальным. Однако на практике не всегда стремление к 0 величины ч означает стремление к 0 величины ЧД1

т^н

Поясним этот вывод на примере, когда электрооборудование в своём составе имеет два типа взаимозаменяемых элементов. Элементы первого типа способны безотказно работать случайное время с экспоненциальной функцией

распределения 1 — е—х и, следовательно, среднее время их безотказной работы равно 1. Элементы второго типа работают безотказно также экспоненциально распределенное время, но с параметром у, при котором соответствующая функция

распределения равна 1 — е~^х , а среднее время безотказной работы равно 1 / у.

Модель работы элементов заключается в выборе случайным образом элемента первого типа с вероятностью 1-ч, а элемента второго типа с вероятностью ч. После этого выбранный элемент работает случайное время и затем заменяется на следующий, также выбираемый случайно. Этот процесс многократно повторяется. Будем наблюдать за случайным моментом т, когда первый раз отказывает элемент второго типа. Таким образом, сделанные предположения позволяют решаемую задачу вложить в рассматриваемую модель. При этом за интервалы Т; можно выбрать последовательные длительности безотказной работы элементов, имеющие функцию распределения

4(1 — е—х )+ (1 — 4)1 — е—х ), а средняя длина этих интервалов равна т; = — + (1 — ч).

Величина Тн равна длительности безотказной работы /-го элемента при условии, что это элемент первого типа, для которого Р(пО < х) = 1 — е~Чх , а т*н = 1. Величина пО равна длительности безотказной работы ;-го элемента при условии,

что это элемент второго типа, для которого Р(пО < х) = 1 — е~^х, а ц 1 = —. В этом

1 У

случае = — и при у = q получается, что supP(V < x)-1 + e~ Y I

m— Y

1 - q, то есть

эта величина не стремится к 0 при ч ^ 0. Это связано с тем, что вклад времени безотказной работы элемента второго типа в случайную величину сравним с вкладами всех элементов первого типа. Таким образом, среднее время безотказной

работы всех элементов первого типа равно ТСр(Т[н +... + 1) = ТСр(V — 1) = (1——.

При этом средняя длительность безотказной работы элемента второго типа равна

1. Исходя из этого, можно сделать вывод, что вид распределения величины V во Ч

многом определяется именно видом распределения последнего слагаемого (17), а распределение же первого слагаемого сходится к экспоненциальному. Кроме того, эффективность решения поставленной задачи обеспечивается, в первую очередь, составлением корректной модели и выбором адекватного аппарата её исследования.

Зададим значения т^ <ю и дя <ю при 1 < я < 2 и определим величину вероятностной метрики £ я (тн V). Исходя из одинаковой распределённости величин {Тн} и {Г;}, а также определения свойств регулярности и однородности метрики £ я, её значения определяются из соотношений: ю

£ я (Тн V) <Х ч(1 - ч)к-1 £ я к=1

Ч

( тн +... + Ткн_1Л

т

1

+ Ч

М, “ о+, к-1

ч(У +...+Ук -1)+чг^-^н < X ч5 +1(1 - Ч)

= Ч5 X Ч(1 - ч) к=1

= Ч5-1(1 - Ч)£ я

к -1

т1 к =1

с

(к - 1)£я

'7'»н

Т- .У.

V т1н

4 ' Л5 ( о '

М1 в П1 У

—,У1

+

т 1у

к-1

Х£, >1

/

£ я

Т н Т> у.

н ’ ; т-1 V 1 у

"\ /•

М1

Пк

о+

М1

-, Ук

М1

/ „ N / N 5

н , т1н , + ч5 Д1 V т1н > £ я (Л0,У1 1

1ц1 у

(19)

По оценкам, полученным на основе неравенств (19), можно сделать

т

ср

-< т < да,

следующие выводы. Если считать, что величина

(тн)* ' (тн)4

которая при изменении Ч с учётом момента порядка я величины Т; не превосходит некоторого предела, то из этого следует, что и ЧД5 < т. Поскольку ця >ц1 , то

1 1

неравенство ч---------< Ч^- т стремится к 0 при ч ^ 0 и у случайной величины V

тн

существует предельное распределение, которое является экспоненциальным. Кроме того, неравенства (19) дают оценку скорости сходимости распределений величин тни V. Зная эту оценку, можно оценить и скорость сходимости

распределения величины тн к экспоненциальному. Анализ также показывает, если параметры рассматриваемой модели таковы, что правая часть неравенств (19) меньше числа г, то функция распределения нормированного момента отказа тн лежит в окрестности г функции распределения величины V, вид которой определяется соотношением, задающим метрику £ ж. В неравенствах (19) правая часть состоит из двух слагаемых, первое из которых отвечает за сходимость

ы

(Тн +... + Тн ) \/ \

суммы X 1 = Ч—1-------------------У-1 к распределению ч + (1 - ЧД! - е~Х ), а второе - за

тн

1

,0

^1

сходимость величины X 2 = Ч------- к 0 . Таким образом, первое слагаемое имеет

тн

я 5-1 5 ^

порядок убывания 4 , а второе - 4 . Эти порядки определятся изменением

т^н о

распределений величин и щ в зависимости от 4 и за счёт возрастания их

моментов порядка я.

Необходимо отметить также еще одну важную особенность оценки (19), где в качестве коэффициентов при соответствующих степенях Ч стоят расстояния

Тн По

между функциями распределения величин —— и—— и экспоненциальной

тн т0

функцией распределения.

Предельные соотношения (19) используются в двух целях. Первая -позволяет определять факт сходимости нормированного времени отказа Тн к экспоненциально распределенной случайной величине. Вторая - для упрощения вычислений величин, входящих в оценку. Если не стоит задача доказательства предельной теоремы, а возникает необходимость только оценки отклонения распределения величины тн от распределения величины V, то нет надобности использовать какие-либо предельные соотношения, так как полученные оценки имеют силу во всем диапазоне параметров и являются универсальными. Таким образом, полученная оценка метрического типа (19) не только даёт условия сходимости распределения нормированного времени первого отказа Тн к предельному, но и позволяет уточнять скорость сходимости в зависимости от особенностей исследуемого процесса.

Рассмотрим пример, когда для повышения вероятности безотказной работы наиболее ответственных систем в практике эксплуатации ЭЭС решаются задачи их резервирования с последующим восстановлением отказавших элементов. Такие системы состоят, как правило, из N + 1 элементов, при этом один из которых работает под нагрузкой, а остальные находятся в холодном или ненагруженном резерве. Подобная схема, например, имеет место при работе силовых трансформаторов, где в качестве резервных элементов используются вводы трансформатора. Нагруженный элемент имеет случайное время безотказной работы, не зависящее от наработки системы и распределенное по закону ^(х). Данная система имеет М средств обслуживания и ремонта, каждое из которых способно полностью восстановить работоспособность отказавшего элемента, на что требуется случайное время восстановления с функцией распределения в(х). Это случайное время также не зависит от наработки системы.

Работа системы осуществляется следующим образом. Нагруженный элемент работает положенное ему случайное время, после чего он поступает либо в ремонтный орган, если в этот момент средства ремонта свободны, либо встает в очередь на ожидание ремонта. В этот же момент на место нагруженного элемента становится один из резервных элементов. По окончании ремонта элемент снова перемещается в резерв. Решение этой задачи состоит в определении циклов с номером г > 1. Отсчёт времени начинается с г-го по счёту отказа нагруженного

элемента, когда все остальные элементы исправны и находятся в резерве, и заканчивается в момент г+1-го отказа аналогичного типа. Если обозначить продолжительность г-го цикла через Тг и рассмотреть процесс £;(*), 0 < * < Тг , где £;(*) - число неисправных элементов в момент * на рассматриваемом цикле, то очевидно, что величина Тг зависит от траектории £;(*) и может быть определена как момент первого скачка процесса £;(*) из состояния 0 в состояние 1, совершаемого после начала процесса £;(*) (см. рис. 2). Весь процесс

функционирования электрооборудования £;(*) в условиях эксплуатации на промежутке времени (0, да) реализуется путем присоединения независимых и одинаково распределенных циклов друг к другу.

Теперь предположим, что можно считать функцию распределения ^(х)

экспоненциальной, при этом ^(х) = 1 -е_Хх. В этом случае, благодаря экспоненциальности функции ^(х), можно в процессе £;(*) за точки регенерации £1, £2 и т. д. выбрать последовательные моменты возвращения электрооборудования в полностью исправное состояние (см. рис. 3).

При этом величина Тг состоит из двух слагаемых [6]: первое - представляет

- л — Хх

случайную величину аг, имеющую экспоненциальное распределение 1 — е ,

которая является временем безотказной работы элемента; второе - представляет

случайную величину х, являющуюся отрезком времени, на котором постоянно

ремонтируется как минимум один элемент. Данный отрезок времени начинается в

момент отказа элемента и кончается, когда количество неисправных элементов

достигнет либо числа 0 - и тогда начнётся следующий период регенерации, либо

числа ^+1 - и тогда произойдёт отказ электрооборудования. Функция

распределения случайной величины хг может быть представлена в виде

(1 — д)ф(х)+ #у(х),

где Ф(х) - функция распределения случайной величины хг при условии, что она заканчивается в момент полного восстановления электрооборудования, а Т(х) - при условии, что она заканчивается отказом электрооборудования.

Рис. 3. Последовательные моменты возвращения электрооборудования в полностью исправное состояние

Обозначим случайные величины: ф; - распределённые по закону Ф(х), а у/ - распределённые по закону Т(х). Тогда длительности Г? и п;° можно записать

в форме Г? = а; +ф; и п;° =а; + у; . Обозначим моменты величин ф; и у следующим образом: ф = Еф; и ф х = Еф ?, а у = Еу; и у х = Еу ?, при х > 1.

Тогда = 1/ Х + ф и ці = 1/ Х + у. В этом случае, используя определение и свойство метрики £ х , получаем соотношения вида

Г н

ті

ч і

-, Уі

< X* ф х + (Хф) + Хф( -1) г( —

х — 1

(20)

ПІ, У1

ц 1

(21)

где Г - гамма-функция Эйлера.

При этом, если я = 2, то величина (я — 1) * Г

, входящая сомножителем в

последние слагаемые правых частей неравенств (20) и (21), равняется 1.

Допустим теперь, что восстановление электрооборудования происходит за время, значительно меньшее по сравнению с продолжительностью безотказной

работы. Исходя из этого, величины Xя ф я и Xя у я малы. Тогда малы и Ху и, как следствие, правые части неравенств (20) и (21), оценивающие сомножители в слагаемых правой части оценки (19). При я = 2, когда конечны первые два момента gl и g2 у времени ремонта и, следовательно, также конечны эти моменты у случайных величин ф; и у;. Пусть, кроме того, число ремонтных средств М равно 1 и число резервных элементов также равно 1.

Если рассмотреть предельный случай, при котором X ^ / g1 ^ 0, то q ~ X g1 и, естественно, X gl ^ 0. Аналогично при этом предположении имеем соотношения ф * gl, ф2 * g2 и у * g2 / gl. Подставляя эти выражения в неравенства (19), (20)

и (21), найдём значение £|2^(тн,У)^X2g1 с точностью до величин, имеющих

указанный порядок малости. Кроме того, необходимо отметить, что при получении оценок требовалось выполнение не только соотношения q ^ 0, но и справедливости более сильного предельного равенства lim(Xg2/ gl )= 0, которое

гарантирует определённую равномерность оценок. Эти предельные соотношения используются в двух целях. Во-первых, для выяснения факта сходимости нормированного времени отказа тн электрооборудования к экспоненциально распределённой случайной величине. Во-вторых, для упрощения вычисления величин, входящих в оценку. Если не стоит задача доказательства предельной теоремы, а достаточно лишь оценить отклонение распределения величины тн от распределения величины V, то нет необходимости использовать какие-либо

£

предельные соотношения, так как полученные оценки имеют силу во всём диапазоне параметров.

Таким образом, полученная оценка метрического типа (19) не только даёт условия сходимости распределения нормированного времени первого отказа тн к предельному, но и позволяет уточнять скорость сходимости в зависимости от особенностей исследуемого процесса. Под особенностью исследуемого процесса здесь понимается то обстоятельство, что случайная величина V, сближение с которой по распределению величины тн анализируется путём получения неравенства (19), имеет то же строение, что и нормированное время отказа тн. Чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить выражения (15) для времени тн со следующим за ним выражением для величины V. При этом свойства метрики % я, такие как её регулярность и однородность порядка я, подобраны таким образом, чтобы получить оценку, сходящуюся к 0 при q ^ 0. Если таким же образом использовать среднюю метрику % с как регулярную и однородную порядка 1 или равномерную метрику %р как регулярную и однородную порядка 0, то при решении задачи получается неравенство, аналогичное (19), но при этом правая часть которого не стремится к 0 при q ^ 0. Если в неравенстве (19) определить, например, что я = 1, то получится соотношение для средней метрики % с в виде

Т н ~ 0

% с (т н ,У) < (1 — q)% с—-1-+ q % с Т—^Т. (22)

(ш^, У1) (Цъ ¥1)

В общем случае правая часть неравенства (22) к нулю не стремится и, следовательно, из него предельной теоремы не получить. В частных случаях такие соотношения могут служить для качественных выводов о сходимости. Однако при этом получающиеся оценки не отражают правильного порядка скорости сходимости. Проблема их получения достаточно трудоёмка и, кроме того, разные метрики порождают различные типы сходимости. Поэтому, имея оценку для метрики % я, в общем случае невозможно найти соответствующую оценку в терминах иных метрик. Однако учитывая, что случайная величина V, с которой сближается величина т н, имеет известное распределение, что позволяет сравнить

рассматриваемые метрики %р( тн ,У) и % с( тн ,У) с % я( тн ,У), воспользовавшись соотношением (19). Такой подход позволяет получить оценку, сходящуюся к 0 при q ^ 0. Однако и в этом случае порядок сходимости не будет соответствовать истинному порядку. Для получения адекватных метрических оценок для практики эксплуатации необходимо при решении задачи учитывать конкретную её структуру, и сравнение метрик %р(тн ,У) и % я( тн ,У), а также % с( тн ,У) и % я( тн ,У) проводить не на конечном этапе, а на возможно более ранних этапах, используя значения величин тн и У, а также соотношения между метриками, которые можно найти в требуемых частных случаях [3].

Для компактной записи получаемых соотношений обозначим

6=-^ Е т» .

Ш1 к^

Тогда верны соотношения, являющиеся следствием применения неравенства треугольника к метрикам % с и %р:

п0

% с (Тн, у) < 4% С—Н—+(1 - q)% с (0, у); «, у )

(23)

п0 п0

% р (т н, У) < ?[% р—*----+ (1 - q)% с — --] + (1 - Ч)% р (0, У). (24)

(«Н, У) («Н, У)

В неравенствах (23) и (24) необходимо оценить только последние слагаемые в правых частях, учитывая структуру исследуемой задачи.

В этом случае для метрики % с справедлива оценка

Т н т н

% с (0, У) < 2q% с —н— + 2qS-1% * —, (25)

(«н, у ) «, у )

которая должна применяться, когда «н < да и * > 1. Кроме того, важной

особенностью неравенства (25) является тот факт, что первая часть его

становится малой не только при уменьшении q, но и при сближении функции

т н Т1

распределения величины-------- с экспоненциальной.

«н

При рассмотрении практических задач эксплуатации электрооборудования особую роль играют оценки, относящиеся к равномерной метрике % р. Однако задача оценивания величины % р(0,У) существенно более сложна, чем аналогичная задача для средней метрики % с. Основную проблему при решении задачи с этой метрикой определяет гладкость функции распределения случайной величины

тН

---- или её отсутствие. Если у этой функции распределения существует

«н

плотность, ограниченная сверху некоторой постоянной, то величина %р(0,У) оценивается достаточно просто. В этом случае потребуется оценка при условии существования плотности у случайной величины 0, ограниченной сверху числом кв ,

гн тн ^ тн

% р (0, У) < q[2% р-Х— + (2 + к в)% с-*—] + qs~ тах(1, к в)% *------*—.(26)

(«н, у ) («н, у) («н, у )

Данная оценка обладает теми же свойствами, что и оценка (23), а именно: правая часть неравенства (26) сходится к 0 как при q ^ 0, так и при сближении

т1н

функции распределения случайной величины---------- с экспоненциальной.

«н

тн

Если у случайной величины —— плотности не существует, либо она не

«н

ограничена, то процесс получения оценки (25) является трудоёмким. Можно © Проблемы энергетики, 2004, № 7-8

получить оценки, обладающие соответствующим при q ^ 0 порядком малости, но

JH

не стремящиеся к 0 при схождении величины --------------- с экспоненциально

«н

распределенной. Другие оценки приведены в книге [3].

Искомые метрические оценки для отклонения функции распределения нормированного времени отказа тн от экспоненциальной получаются комбинацией неравенств (23) и (25) для средней метрики \ с и (24) и (26) для равномерной метрики | р.

Таким образом, вероятностные метрики могут использоваться при оценке технического состояния различного электрооборудования в условиях эксплуатации с учётом законов распределения отказов.

Summary

The problems of usage of the probabilistic metrics are reviewed at an estimation of availability index of product of electric equipment with the count offrame of a solved problem permitting to determine speed of convergence of the moment of failure depending on a distribution law of a random variable.

Литература

1. Шаров В. В. Некоторые проблемы прогнозирования технического состояния электроэнергосистем в условиях эксплуатации // Известия вызов. Проблемы энергетики. - 2002. - № 3 - 4. - С. 48-56.

2. Калашников В. В., Рачев С. Т. Математические методы построения стохастических моделей обслуживания. - М.: Наука, 1988. - 358 с.

3. Золотарев В. М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. - М.: Наука, 1986. - 423 с.

4. Всехсвятский С. Ю., Калашников В. В. Оценки распределения времени первого отказа для регенерирующих моделей / В кн: «Математическая теория систем». - М.: Наука, 1986. - С. 59 - 75.

5. Объём и нормы испытаний электрооборудования. - М.: ЭНАС, 1998. - 257 с.

6. Надежность технических систем: Справочник / Под ред. И. А. Ушакова. - М.: Радио и связь, 1985. - 608 с.: ил.

Поступила 08.01.2003