CC BY
13
НЕКОТОРЫЕ ПОДХОДЫ К ОЦЕНКЕ ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГОСИСТЕМ В УСЛОВИЯХ
ЭКСПЛУАТАЦИИ
В. В. ШАРОВ
Казанский государственный энергетический университет
Рассмотрены вопросы определения моментов проведения профилактических мероприятий при управлении техническим состоянием электрооборудования в условиях эксплуатации, точности получения оценок и принятия решения о выполнении эксплуатационно-технических мероприятий при комплексной оценке технического состояния электроэнергосистем.
Решение данной проблемы связано с новыми подходами к оценке продолжительности времени эксплуатации электроэнергосистем (ЭЭС), функционирующих в условиях воздействия случайных факторов [1-4], между профилактиками. Особый интерес при решении задач эксплуатации ЭЭС представляют оценки функций распределения продолжительности времени жизненного цикла различного электрооборудования ЭЭС, где в научном плане уделяется внимание вопросам точности получаемых оценок. Схема физической модели взаимосвязи изменения технического состояния ЭЭС при влиянии внешних воздействующих факторов и эксплуатационных нагрузок приведена в работе [4].
В состав современных ЭЭС входят различные автоматизированные системы управления технологическими процессами, специальные измерительноинформационные и управляющие системы, включающие и средства вычислительной техники. Оценки технического состояния ЭЭС непосредственно связаны с их надёжностью в условиях эксплуатации.
Целью исследований является разработка математических моделей определения моментов проведения профилактических мероприятий, описываемых функциями распределения, которые зависят от вероятности безотказной работы электрооборудования и от промежутков времени между моментами проведения профилактик, при управлении техническим состоянием электрооборудования в условиях эксплуатации и точности получения этих оценок с учётом различных режимов эксплуатации.
Методика решения задачи и математический аппарат для её реализации
Рассмотрим случай, когда имеется электрооборудование, которое, находясь в условиях эксплуатации, сохраняет свою работоспособность в течение случайного времени 0. Для электродвигателя величиной 0 является время его работы до момента остановки из-за неисправности или отказа, или потери мощности из-за сгорания контактных щёток либо по причине пробоя изоляции. Для силового трансформатора момент 0 наступает при пробое изоляции или её износе. Для средств вычислительной техники момент 0 наступает при отказе электронной схемы либо периферийного устройства. Во всех случаях значение 0 не является заранее определенным и характеризуется функцией распределения ¥(х) = ¥(0 < х), смысл которой состоит в том, что ¥(х) - доля тех случаев, при
© В. В. Шаров
Проблемы энергетики, 2004, № 1-2
наблюдении большого их числа, когда время безотказной работы 0 не превышает х.
При эксплуатации для продления срока службы электрооборудования регулярно проводятся профилактики [5]. Для электродвигателя - это замена щеток, чистка, осмотр и контроль изоляции. Для силового трансформатора - это контроль показателей качества трансформаторного масла, контроль изоляции, осмотр и замена неисправных блоков. Для средств вычислительной техники - это осмотр и ремонт периферийных устройств, прогон тестовых задач, замена неисправных электронных блоков и т. д.
Однако, как показывает практика, стратегия выполнения профилактических мероприятий по наработке или календарному принципу для ряда элементов электрооборудования является экономически неоправданной ввиду того, что не учитывает техническое их состояние на момент ёе проведения. Это объясняется тем, что в нормативных документах предусматривается единый перечень и периодичность работ для соответствующих видов профилактик, в том числе и замен отдельных элементов с определённой наработкой. Реализация же программы обслуживания по состоянию делает объём выполняемых работ величиной переменной, которая зависит от технического состояния системы. Исходя из этого, необходимо обосновывать периодичность проведения различных профилактик с учётом этих требований.
Основываясь на том, что профилактики проводятся в моменты
Sl,S2,£з,...,Бк-1 - Бк = Т(к > 1), где Т(к > 1)- промежуток времени между этими моментами, при решении данной задачи задаём £0 = 0 и делаем следующие допущения: 1) профилактика осуществляется за время, когда длительностью её проведения можно пренебречь по сравнению с Т(к > 1); 2) в результате проведения профилактики
электрооборудование полностью восстанавливает свою работоспособность.
Указанные допущения означают, что после проведения профилактики электрооборудование будет работать случайное время, распределенное по закону ¥ (х), при условии, что с ним профилактики более проводиться не будут, и это время не зависит от функционирования электрооборудования до рассматриваемого момента его восстановления. Последнее предположение важно для практики эксплуатации, хотя оно и не учитывает факта деструктивных процессов, происходящих за счёт старения электрооборудования. Однако оно достаточно объективно отражает процессы, происходящие на периоде нормальной эксплуатации, когда электрооборудование пока ещё не работает на износ, находясь в предельном состоянии.
Для решения задачи обозначим через т момент отказа электрооборудования при таком режиме эксплуатации. Поскольку т - величина случайная, то она также описывается функцией распределения, которую обозначим W(х) = Р(т < х ). Функция W(х) зависит лишь от вероятности безотказной работы электрооборудования Р и от промежутков времени Т между моментами проведения профилактик. Для определения значения W (х) обозначим
через 0 (г > 1) значение времени безотказной работы, которым обладает электрооборудование после проведения г-1 - ой профилактики. При этом 01 - время безотказной работы электрооборудования. Все величины 0г-, являются независимыми и имеют одну и ту же функцию распределения ¥(х). Очевидно, что
т = ( - 1)Т + 0У = £у_1 +0У если 01 >Т, . . ., 0у-1 >Т, 0У < Т, при условии, что
q = Р(01 <Т), определяющая вероятность того, что время безотказной работы электрооборудования не превышает длину интервала времени между последовательными профилактиками (рис. 1).
Рис. 1. Время распределения безотказной работы электрооборудования между профилактиками Пусть
Г ¥(х)/ q. х < Т
(1)
¥т (х)=^;г(х) / q' *><; [1, х > Т.
Обозначим через п случайную величину, имеющую функцию распределения ¥т(х), равную условной функции распределения времени безотказной работы электрооборудования при условии, что это время не превосходит Т. Тогда случайная величина тт распределена так же, как и сумма двух независимых случайных величин пт и (у-1)Т, определяемая соотношением
тт = (у-1)Т + пт,
(2)
где V - имеет геометрическое распределение, при котором Р(у = к) = (1^)к-^ , к > 1.
Для понимания физической сущности формулы для искомой функции распределения W(x), поясним её графически. Рассмотрим функцию распределения ¥т (х) (рис. 2) и выделим прямоугольник с основанием Т и высотой ¥(Т) = q. Поместим выделенный прямоугольник в систему координат [х, W(x)]; так чтобы его левый нижний угол оказался в начале координат, и обозначим его цифрой 1. Изменим высоту прямоугольника в 1^ раз и обозначим новый прямоугольник цифрой 2. Затем вновь изменим высоту прямоугольника с цифрой 2 в 1^ раз и обозначим новый прямоугольник цифрой 3 и т. д. Взаимное расположение прямоугольников наглядно видно на рис. 2. Сплошная жирная кривая и есть искомая функция W(x).
Для того, чтобы увидеть какой эффект получен от проведения профилактики, необходимо сравнить вид W(x) и ¥т(х). Здесь необходимо рассмотреть несколько случаев. Если ¥т(х) - стареющее распределение [6], при котором W(x) < ¥т(х), то проведение профилактики оправдано. Тогда необходимо лишь найти оптимальное значение Т, исходя из наилучшего критерия для практики эксплуатации электрооборудования. Если, напротив,
¥т(х) - молодеющее распределение [6], при котором W(x) > ¥т(х), и если ¥т(х) = 1 -
-Хх
е , при котором W(x) = ¥т(х) , то в этом случае проведение профилактики не оправдано. Возможны и более сложные взаимные расположения ¥т(х) и W(x).
Отметим, что среднее время Ет безотказной работы электрооборудования с учетом профилактик
T
ET =[(1-q)T + J x d FT(x)]/q 0
и поэтому (1^)Т /q < Ех < Т /q, так как величина q зависит от Т.
Если предположить, что вид функции распределения ^т(х) неизвестен, как это часто бывает на практике, а известна лишь вероятность q, то проведенные рассуждения дают право утверждать, что искомая функция Щ(х) лежит в выделенной области (рис. 2).
Рис. 2. Графическая интерпретация функции распределения времени безотказной работы
электрооборудования
Обозначив кривую, ограничивающую эту область сверху, через Щ(х), а ограничивающую ее снизу - через Щх), получим оценку
Вид кривых Щ(х) и Щ(х) представляет собой их кусочно-постоянные значения. Если взять величину
за оценку искомой функции Щ(х), то эта оценка будет при сделанных допущениях наилучшей в том смысле, что при каждом х > 0 достигается минимум величины
где sup - берется по всевозможным распределениям FT(x) таким, что FT(T) = q. © Проблемы энергетики, 2004, № 1-2
W(x)
1
Т
2 Т
ЗГ... (к-1)Т кТ
х
W(x) < W (x) < W(x).
(4)
#( x )= 1 / 2 [W(x) + W (x)]
(5)
Оценка (5) и ее возможная погрешность (6) представляют собой то обоснование относительно случайного времени т, которое можно сделать при выбранных допущениях.
Найденные границы Щ (х) и Щ(х) расположены, вообще говоря, несимметрично относительно оцениваемой функции Щ(х), то есть Щ (х)— Щ(х) ф Щ(х) - Щ(х). Погрешность А(х) имеет вид
Д(х) = 1^(1^)к-1,
если (к-1)Т < х < кТ(к > 1), (7)
при этом тах Д(х) < q / 2. (8)
Исходя из (7) и (8), можно сделать вывод, что погрешность тем меньше, чем меньше q или чем более надёжно электрооборудование на промежутке времени Т между последовательными профилактиками. Равенство (7) позволяет судить еще и о том, что оценка (4) неравномерна, то есть значения её погрешности зависят от аргумента х, убывая с его ростом.
Необходимо отметить, кроме того, что кривая 1 -еХ при X = -1п(1^) / Т лежит внутри выделенной области (рис. 2), поэтому
А1(х)= I Щ(х) -1 + е~Хх |< 2Д(х). (9)
Из неравенств (8) и (9) следует, что I Р(-т 1п(1^) / Т > х) - е х\ — 0 при q — 0. Учитывая условие, что 1п(1- q) = - q + 0(q), получаем
|Р^т / Т > х) -е_х \ —— 0 при q — 0. (10)
Соотношение (10) свидетельствует о предельной экспоненциальности нормированной случайной величины qт / Т и представляет собой частный случай широко используемой в теории надежности предельной теоремы [6]. Это утверждение получено как следствие двусторонней оценки (4), которая, таким образом, содержит в себе не только соотношение (10), но и информацию о его точности. Более того, для справедливости (4) вовсе не нужно требовать, чтобы q — 0. Поэтому оценки вида (4) являются основанием для инженерных расчетов в практике эксплуатации.
Регенерирующие процессы и момент отказа электрооборудования. В практике эксплуатации электрооборудования представляет интерес исследование моделей, которые описываются регенерирующими процессами. При рассмотрении этих моделей используется понятие момента первого отказа т, являющегося случайной величиной, который служит инструментом для оценки функции распределения Щ(х) этой величины. В практике эксплуатации используются, как правило, оценки двух типов: неравномерные, их частный случай - равномерные оценки, и метрические. Оценки первого типа были рассмотрены, и они имеют вид (4). Оценки второго типа используются следующим образом. В пространстве функций распределения вводится некоторая метрика й, измеряющая расстояние между сравниваемыми функциями. Оценке подлежит величина й[Щ(ш / а), шпр. (х)], где Щпр.(х) - некоторый предельный © Проблемы энергетики, 2004, № 1-2
закон для нормированной случайной величины ат, при этом величина supЛl(x) (9) является равномерным расстоянием между функцией распределения W(x / а) нормированной случайной величины ат при а = -1п(1 -#)/Т и предельным законом Wщt.(x) = 1-е'х.
Погрешности для оценок обоих типов имеют такую форму, что допускают получение предельных теорем (10). Рассмотрим на промежутке времени (0,Т) случайный процесс £(*), реализуемый следующим образом: %(*) = 0 при * < шт^Т) и £(*) = 1 при шт(01,Т) < * < Т. Это позволяет судить о том, что значением £(*) = 0 подтверждается тот факт, что электрооборудование исправно в момент *. Этот процесс является циклом. На рис. 3 представлены два возможных типа траектории цикла: а) - соответствующий случаю 01 > Т и б) - соответствующий случаю 01< Т.
т‘ і т ‘
і о і э 1 1
Єі> Т 1 0і<г !
0 а) — о о ► Т Єі * 1 11 1 и 0 0! б) и г Т і
Рис. 3. Возможные варианты траектории цикла электрооборудования в условиях эксплуатации
Теперь рассмотрим процесс £(*), представляющий собой состояние электрооборудования в момент времени ¿є(0,<ю). Он может быть построен, если взять число независимых реализаций циклов, обозначая их индексом і, и реализовать из них процесс ^(¿), присоединяя один цикл к другому, как показано на рис. 4, где Бк = кТ. Если сравнить этот рисунок с рис. 1, то можно увидеть, что моменту отказа т соответствует момент первого скачка процесса ^(¿) из состояния
0 в состояние 1 (на рис. 4 значение у = 3)._____________________
ш 1
1 Э |— 1 1 і і і 1 1 1 1 1 1
1 1 V = 1 V = 2 \ = Ъ \ ¡V = 4 і 1 1 1 1 ! !у=5 1 1 к
с ■ ■ О О 5і 52 х э 54 і
Рис. 4. Регенерирующий процесс состояния электрооборудования в условиях эксплуатации © Проблемы энергетики, 2004, № 1-2
Процесс £(*), полученный присоединением независимых циклов друг к другу, является регенерирующим процессом. В этом процессе по существу не изменится состояние циклов, если в определении / -го цикла считать величину Т[ случайной, зависящей только от 0/, и принять Бк = Т1 + ... + Т*. Такая модель соответствует случайному выбору моментов профилактик, зависящих только от технического состояния электрооборудования в условиях эксплуатации. Этот факт позволяет штатному обслуживающему персоналу принимать обоснованные эксплуатационно-технические решения на выполнение соответствующих мероприятий.
Для повышения вероятности безотказной работы наиболее ответственных систем в практике эксплуатации ЭЭС решаются задачи их резервирования с последующим восстановлением отказавших элементов. Такие системы состоят, как правило, из N + 1 элементов, один из которых работает под нагрузкой, а остальные находятся в холодном или ненагруженном резерве. Подобная схема, например, имеет место при работе силовых трансформаторов, где в качестве резервных элементов используются вводы трансформатора. Нагруженный элемент имеет случайное время безотказной работы, не зависящее от наработки системы и распределённое по закону ^(х). Данная система имеет М средств обслуживания и ремонта, каждое из которых способно полностью восстановить работоспособность отказавшего элемента, на что требуется случайное время восстановления с функцией распределения в(х). Это случайное время также не зависит от наработки системы.
Работа системы осуществляется следующим образом. Нагруженный элемент работает положенное ему случайное время, после чего он поступает либо в ремонтный орган, если в этот момент средства ремонта свободны, либо встает в очередь на ожидание ремонта. В этот же момент на место нагруженного элемента становится один из резервных элементов. По окончании ремонта элемент снова перемещается в резерв. Решение этой задачи состоит в определении циклов с номером / > 1. Отсчёт времени начинается с /-го по счету отказа нагруженного элемента, когда все остальные элементы исправны и находятся в резерве, и заканчивается в момент /+1-го отказа аналогичного типа. Если обозначить продолжительность /-го цикла через Т/ и рассмотреть процесс £/(*), 0 < * < Т/ , где £/(*) - число неисправных элементов в момент * на рассматриваемом цикле, то очевидно, что величина Т зависит от траектории £/(*) и может быть определена как момент первого скачка процесса £/(*) из состояния 0 в состояние 1, совершаемого после начала процесса %/(*) (рис. 5). Весь процесс
функционирования электрооборудования £/(*) в условиях эксплуатации на промежутке времени (0, да) реализуется путем присоединения независимых и одинаково распределенных циклов друг к другу.
Случайный поток заявок, поступающий на вход системы, имеющей М средств обслуживания и ремонта, является при этом рекуррентным. Промежутки времени между моментами поступления данных заявок являются независимыми и имеют одинаковую функцию распределения ^(х). Поступившая заявка направляется либо к средствам обслуживания и ремонта, если в момент поступления имеется хотя бы одно свободное средство, либо, в противном случае, присоединяется к очереди, размер которой не ограничен. Каждое средство обслуживает заявку в течение случайного времени, имеющего функцию распределения в(х) и не зависящего от наработки системы. По окончании обслуживания средство либо берет очередную заявку из очереди, либо
освобождается и ожидает момента, когда на него будет направлена поступившая заявка.
Рис. 5. Регенерирующий процесс состояния электрооборудования в условиях эксплуатации с резервированием
Для определения і-го цикла необходимо использовать следующий подход. Пусть £і(і) - число заявок в системе, которые находятся на обслуживании и в очереди в момент і, отсчитываемый от начала цикла. За начало цикла выбирают і-й по счёту момент поступления заявки в систему, а за его конец — (і + 1)-й момент. Исходя из этого, обозначим длительность і-го цикла через Ті. Тогда все рассмотренные случаи полностью переносятся на случай, представленный на рис. 5, где состояние процесса £і(і) ограничено и задаётся неравенством £і(і) < А +1, и из данных циклов получается регенерирующий процесс ^(і) , где £і(і) - число заявок, находящихся в системе в момент ш.
Рассмотренные случаи позволяют объединить построение регенерирующего процесса путём задания последовательности независимых одинаково распределенных циклов у; = (£і(і),Ті) при і > 1, в которых £і(і) представляет собой случайный процесс, заданный при 0 < і <Ті.
Случайная величина Ті и процесс ^і(і) связаны между собой, при этом процесс ^і(і), полученный присоединением циклов, является регенерирующим. Присоединение циклов может быть наглядно представлено в математической форме в виде соотношения
£і(і) =£і(і - У -і), если і Є (Уі-1, Si ),
где Уі = Т1 + ... + Ті при і> 1, У0 = 0.
Промежуток времени (Уі_1, У) является і-м периодом регенерации, а моменты времени Уі - точками регенерации, при этом последовательность {У} > 0 является процессом восстановления, вложенным в регенерирующий процесс ^і(і).
Все рассмотренные случаи показывают, каким образом путем выделения циклов можно представить исследуемый процесс в виде регенерирующего. Кроме того, целесообразно разделить циклы на две категории: к первой отнести такие, на которых происходят события, рассматриваемые как отказ, ко второй - циклы, на которых отказов не происходит. Цикл, на котором отказа не происходит,
представлен на рис. 3, а, а цикл, на котором происходит отказ, представлен на рис.
Предположим, что в системе с резервированием её отказ наступает в момент, когда нет ни одного неисправного элемента, то есть траектория ^¿(¿) = N + 1. Тогда цикл, показанный на рис. 5, не имеет отказа. Отказ возникнет, если на промежутке времени (0,7/) траектория ^1^) достигнет уровня N+1. При этом не обязательно трактовать отказ на первом цикле как событие, заключающееся в пересечении процессом £$) определенного уровня. Можно считать, что отказ наступает, если Т1 >^, где ^ - фиксированное значение. Это свидетельствует о том, что отказ наступает, если средства непрерывно заняты обслуживанием соответствующего элемента по времени более чем ^, что недопустимо по технологическим соображениям.
Иначе говоря, в пространстве Г, в котором принимают значения циклы 71, выделяется подмножество А циклов, в которых имеет место отказ, а доля А = Г - А составляет множество циклов, в которых отказы не происходят.
Обозначим через q = Р(у/ е А) вероятность того, что в цикле имеют место отказы при условии: все у/ распределены одинаково и вероятность q не зависит от /, а через В(х) - функцию распределения периода регенерации В(х) =Р(Т/ < х). Если в рассмотрении циклов будут иметь место лишь отказы, то распределение их длины будет совпадать с условным распределением величины 7/, при условии, что у/ е А. Исходя из этого, обозначим это распределение через -в°(х), а длины циклов, подчиняющиеся этому распределению, через 7/. Аналогично обозначим йн(х) и 7н/ и отнесем их к циклам, в которых не имеют место отказы, а моменты величин 70/ и 7н/ обозначим соответственно и при $ > 1.
Кроме факта отказа, необходимо использовать понятие момента отказа на цикле, которое определяется лишь для циклов, в которых имеют место отказы. За момент отказа на цикле естественно принять сам момент его достижения, который обозначим через п°/.
В общем случае для каждого цикла, на котором имеет место отказ у/ е А, будем считать заданной случайную величину п°/ — 7, трактуемую как момент отказа на цикле, обозначив её как = ^(^0/)$ при $ > 1.
При этом моментом отказа для регенерирующего процесса £$) назовем случайную величину т, определяемую для рассматриваемой реализации траектории £$) регенерирующего процесса при условии выполнения соотношения |у1 е А,. . . , уу-1 е А, уг е А}. Тогда случайная величина т будет определяться из соотношения
где V - представляет собой номер первого цикла, на котором имеет место отказ.
Поскольку вероятность появления цикла, на котором имеет место отказ, равна q и циклы между собой независимы, то величина V является случайной с геометрическим распределением
3, б.
т = 71 + ...+ Гу-1 +л0i,
(11)
Ру = к) = (1 ^)к\.
В соотношении (11) величины Т и V, вообще говоря, зависимы. Однако с помощью формулы полной вероятности можно показать, что имеет место следующее равенство по распределению
тт = Т*1 + ...+ 7%-1 + пн/, ,
(13)
где величины Т не зависят друг от друга и все вместе не зависят как от V, так и от 0
П ¡.
Имеющая место формула (2) является частным случаем равенства (13). Распределение момента отказа электрооборудования в условиях эксплуатации показано на рис. 6. Цикл, на котором имеет место отказ, заштрихован.
Рис. 6. Распределение момента отказа электрооборудования в условиях эксплуатации
Неравномерные оценки распределения момента отказа. Обозначим через W(x) функцию распределения величины т как W(x) = Р(( < х) и определим оценку этой функции.
Рассмотрим последовательность независимых случайных величин: п°1, Тн2, П°1+ Тн2, ... и образуем с их помощью процесс восстановления с запаздыванием, то есть неубывающую последовательность случайных моментов времени: п°1, П°1+Тн2, п°1+Тн2+П°1+Тн2, ... и пусть М(х) - число членов этой последовательности, не превышающих фиксированной величины х.
Можно доказать справедливость простой, но важной формулы для искомой функции распределения
И^(х) = 1 - Е(1 - #)
Мх)
(14)
Соотношение (14) дает возможность не только определить вид предельного при ^ ^ ° распределения момента отказа, но и получить двусторонние неравномерные оценки для допредельных распределений, то есть при произвольном конечном д.
Процесс восстановления электрооборудования в условиях эксплуатации с запаздыванием приведён на рис. 7.
„ 0 пгН ггН тг пг»
Л 1 1 2 1 3 ¿АУ*; * Ы(х)+\
Рис. 7. Процесс восстановления электрооборудования в условиях эксплуатации с запаздыванием
Очевидно, что величина Л(х) (14) хотя и является случайной, растет с ростом х примерно как линейная функция
Л(х) и х /тн 1. (15)
Поэтому естественно ожидать, что
Щ(х) г 1 - ехр( - qх/mHl). (16)
Из соотношения (16) следует, во-первых, что величина т должна иметь распределение, близкое к экспоненциальному, а во-вторых, что ее среднее приблизительно равно тн1 / q, то есть оно растет по мере уменьшения q. Поэтому, если выбрать нормированную случайную величину тн = qт / тн1, то получим, что
Р(тн < х) г 1—е~х . (17)
Соотношение (17) является общей формулировкой предельного соотношения, обобщающей, в частности, полученные соотношения (10).
Чтобы сделать утверждение (17) математически строгим, необходимо воспользоваться результатами теории восстановления, изучающей поведение случайной величины Л(х) и дающей соответствующие оценки [8, 9]. В частности, понадобится функция восстановления Но(х), порожденная последовательностью
1 1, 1 1 + Т 2, Т 1 + Т 2+Т з, которая представляет собой среднее число членов этой случайной последовательности, не превосходящих х.
Для верхней оценки верна следующая универсальная формула:
Щ(х) = [{1 -ехр[(1 + Ио(Х-нУ)1п(1 -q)]}dP(цO < у). (18)
тн
0 т1
При получении нижней оценки необходимо рассмотреть два случая, соответствующих наличию у величин Тн/ экспоненциальных и степенных моментов.
Сначала рассмотрим решение, когда у случайной величины Тн/ существует экспоненциальный момент, то есть для некоторого 1 > 0 величина
Е ехр(1Тн¿) < т(1) < да конечна. В этом случае для нижней оценки справедлива формула
л;
Ш(л) = |{1 - ехр[-р(х - у)/п^]}</Р(л° < у), 0
где р = q + ^2(1 - тН2 / 2(тН1)2) + 0(^2), (20)
а остаточный член 0^ ) зависит от 1 и может быть определён в явной форме [8, 9].
Второй случай предполагает, что у величин Т/ существует момент, например при £ = 3, то есть пн$ < да. В этом случае для нижней оценки справедлива формула
X
Ш( X) = [ {1 - «(^-н^РлО < у),
пн
(21)
где ш( х) = qs 1Е
Тн / пн -1
[е /(qх)s + 0(1/^х)8 + q)] + е рх.
(22)
Чтобы определить качество полученных оценок, применим их к модели, когда электрооборудование, находясь в условиях эксплуатации, сохраняет свою работоспособность в течение случайного времени 0. Для этой модели ТI = Т и #ю(х) < к, если х < кТ, при к > 1. Поэтому из оценки (16) находим, что можно выбрать Щх) = 1 - (1 - q)k, если (к - 1)Г < х < кТ, при к > 1 - это в точности соответствует кривой, представленной на рис. 2. Поскольку в рассматриваемом случае величины Т/ постоянны, при нахождении нижней оценки применима формула (19). Так как распределение величины ^неизвестно и п°1 < Г, то оценка будет занижена, если выбрать ^01 = Т.
Получим
Ш (х ) =
0,
< 1 - ехр Г (х - г)! - р . Г _
если х < Т , если х > Т.
(23)
Величина р определяется равенством (20), при этом можно показать, что в этом случае имеет место точное равенство р = - 1п(1 - q) и, таким образом, найденная кривая Ш(х) совпадает с представленной на рис. 2 пунктирной кривой.
Таким образом, такой подход при решении задач комплексной оценки ТС ЭЭС позволит определять точность их получения исходя из вероятности безотказной работы при функционировании электрооборудования в условиях воздействия случайных факторов, а специалистам служб эксплуатации предоставит возможность принимать обоснованные решения по выполнению эксплуатационно-технических мероприятий в зависимости от его реального состояния.
Summary
The problems of definition of the moments of realization of preventive actions are
reviewed at control of availability index of product of electric equipment under operating
conditions, accuracy of obtaining of estimations and decision marking about fulfilment of plant
measures at a complex estimation of availability index of product of electropower systems.
Литература
1. Белашов В.Ю., Мухамадуллин И.М. Математическое моделирование процесса эксплуатационного износа изоляции электродвигателей и динамическое прогнозирование их отказов // Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. - 2002.- № 7-8. - С. 85-101.
2. Мухамадуллин И.М. Влияние эксплуатационных факторов на работу электрооборудования в сельском хозяйстве // Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. - 2002.- № 7-8. - С. 132-135.
3. Шаров В.В. Выбор стратегии эксплуатации электроэнергосистем по состоянию // Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. -2000.- № 1-2. - С. 84-91.
4. Шаров В.В. Некоторые проблемы прогнозирования технического состояния электроэнергосистем в условиях эксплуатации // Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. - 2002.- № 3-4. - С. 48-56.
5. Объём и нормы испытаний электрооборудования. - М.: ЭНАС, 1998. - 257 с.
6. Гнеденко Б.В., Соловьев А.Д. Математика и теория надежности. - М.: Знание, 1982. - 265 с.
7. Надежность технических систем: Справочник. / Под ред. И.А. Ушакова. -М.: Радио и связь, 1985. - 608 с.: ил.
8. Калашников В.В., Рачев С.Т. Математические методы построения стохастических моделей обслуживания. - М.: Наука, 1988. - 358 с.
9. Всехсвятский С.Ю., Калашников В. В. Оценки распределения времени первого отказа для регенерирующих моделей / В кн.: Математическая теория систем. - М.: Наука, 1986. - С. 59-75.
Поступила 10.12.2002
