Вероятностная модель оценки остаточного времени безотказной работы электрооборудования при его эксплуатации по планово-предупредительным стратегиям обслуживания Текст научной статьи по специальности «Математика»

70 60 50

Ка-100, мкм; 40 ШС-100, МПа 30

20 10

0

Рис. 3. Твердость и шероховатость поверхности трения цилиндров после различных видов обработки:

1 — после расточки; 2 — после ППД; 3 — после ППД с покрытием; 4 — после хонингования; 5 — после эксплуатации

1 2 3 4 5

□ Твердость □ Шероховатость

Выводы

Таким образом, можно сделать вывод, что замена двух операций хонингования на ППД + ФАБО обеспечивает требуемую шероховатость.

Изменение технологии обработки цилиндров позволяет существенно сократить энергетические затраты и снизить себестоимость ремонта цилиндров при повышении эксплуатационных характеристик поверхностей трения.

Комбинированный способ, включающий поверхностное пластическое деформирование с од-

новременным нанесением антифрикционных покрытий (ФАБО), позволяет снизить шероховатость поверхности цилиндра до Яа = = 0,25 мкм, повысить твердость до 3500 МПа.

Список литературы

1. Курчаткин, В.В. Надежность и ремонт машин / В.В. Курчаткин [и др.]; под редакцией Курчаткина В.В. — М.: Колос, 2000.

2. Тракторы Т-130МГ-1, Т-170.01. Руководство по капитальному ремонту. — Челябинск: Внешторгиздат, 1991.

3. Абрамов, Ю.А. Справочник тех-нолога-машиностроителя. В 2-х томах. Т. 2. / Ю.А. Абрамов [и др.]; под ред. А.Г. Косиловой, Р.К. Мещерякова. — 4-е изд., перераб. и доп. — Машиностроение, 1985.

4. Одинцов, Л.Г. Упрочнение и отделка деталей поверхностным пластическим деформированием: справочник / Л.Г. Одинцов. — М.: Машиностроение, 1987.

5. Соколенко, И.Н. Технология поверхностного упрочнения гильз цилиндров двигателей раскатыванием с одновременным нанесением медного покрытия при их восстановлении: автореф. дис. ... канд. техн. наук. — Саратов, 1990.

6. Ерохин, М.Н. Трибологические основы повышения ресурса машин (вопросы и ответы): учебное пособие / М.Н. Ерохин [и др.]. — М.: ФГОУ ВПО МГАУ, 2003.

УДК 621.31:658.58

Н.Н. Сырых, доктор техн. наук, профессор

Н.Е. Кабдин, канд. техн. наук, доцент

ФГОУ ВПО «Московский государственный агроинженерный университет имени В.П. Горячкина»

А.А. Некрасов, инженер

ГНУ «Всероссийский научно-исследовательский институт электрификации сельского хозяйства»

ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ ОСТАТОЧНОГО ВРЕМЕНИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ ПРИ ЕГО ЭКСПЛУАТАЦИИ ПО ПЛАНОВО-ПРЕДУПРЕДИТЕЛЬНЫМ СТРАТЕГИЯМ ОБСЛУЖИВАНИЯ

Одно из основных мероприятий, обеспечивающих снижение интенсивности износа и приближения его к нормативным срокам службы на стадии старения (износа), — плановые профилактические замены электрооборудования до наступления отказа. В этих условиях естественным является необходимость оценки остаточного времени «жизни» изделия до отказа, уже проработавшего безотказно с принятой периодичностью профилактических

замен и возможностей его дальнейшего использования.

Поскольку отказы электрооборудования являются случайными событиями, в математических моделях решения поставленных задач должны использоваться методы теории вероятностей и математической статистики. Наиболее подходящей базовой моделью может служить рассматриваемый в математической теории надежности процесс восстанов-

ления, схематическое представление которого приведено на рис. 1 [1]:

т1, т2, ., тп + 1 — времена жизни изделия (элемента): независимые, одинаково распределенные случайные величины Р{тк < /} = F(t); тк = т1 + т2 + + ... + тк.

t1, t2, ., tn + 1 — моменты отказов (и восстановлений, поскольку предполагается, что восстановление мгновенное) элементов;

е( — остаточное время жизни элемента, т. е. от времени t до первого справа отказа: случайная величина с законом распределения P{гt > x} в не-установившемся (нестационарном) режиме (оперативная характеристика) с математическим ожиданием

п(1) + 1

-1:

(1)

п(1)+1

— момент (п + 1) отказа элемента (определяется сверткой функций F(t));

М — символ, означающий математическое ожидание случайной величины, заключенной в квадратные скобки.

Поскольку — случайная величина, то исчерпывающей ее характеристикой является закон распределения с соответствующими числовыми характеристиками. Найдем этот закон.

Для того чтобы событие {е( > x} осуществлялось, необходимо выполнить два условия [3, 4]:

• либо до момента t + x вообще не было отказов: вероятность этого события [1 - F(t + x)];

• либо на интервале Ц, U + dU произошел отказ: вероятность этого события h(U)dU, после этого до момента (г+x) не было отказов: вероятность этого события равна [1 - F(t + x - Ц)]. Интегрируя по всем возможным значениям

Ц(0 < Ц < г) и складывая полученный интеграл

| F (t + х - Ц) с первой вероятностью F (t + .

по-

лучим закон распределения остаточного времени безотказной работы:

(х) = Р{е( > х} = F(t + х) +

г

+| F (г + х - и) h (и) dU,

(2)

где h(U) — плотность распределения числа отказов за время Ц.

Заметим, что аналогичная формула распределения остаточного времени безотказной работы с использованием другого подхода получена в работе [3].

Для вычисления математического ожидания остаточного вре-

1

Л

мени жизни элемента М[е(] после времени t воспользуемся тождеством Вальда.

Пусть х1, х2, . — независимые, одинаково распределенные случайные величины (как и в нашем случае т1, т2, ...), причем Т = М[Х1 ]<^. Пусть N— неотрицательная целочисленная случайная величина, обладающая тем свойством, что для каждого натурального числа п событие ^ < п} не зависит отX , ,,X , 0, ... .

п + 1’ п + 2’

Тогда тождество Вальда имеет вид

М[є 1 ]=є( = Т М[Ж ].

(3)

Применяя тождество Вальда к уравнению (1), получим

є( = т [1 + н (г)]-г,

(4)

где И(/) — среднее число отказов за время t (функция восстановления), определяется через свертку функций;

И) = ХFn(/); Т = |tdF(t) = }F(t)(И.

п=1 0 0

Из уравнений (2) и (4) следует, что для определения остаточного времени жизни элемента необходимо уметь вычислять п-кратные свертки функций F(t) за достаточно большой период времени

,Рп(0 = р{(т1 + т2 + ... тп) < 0 = Р^п < 0.

К сожалению, относительно легко это можно сделать лишь при некоторых законах надежности. Поэтому эффективность применения «точных» формул (2) и (4) зависит от возможности в явном виде вычислить Fn(t) и И(/).

Например, при экспоненциальном законе с параметрами:

F (/) = е_х‘; Т =1; И(/) = №; ИЦ) = X;

Я (х ) = е-х(1+х)+|е-^+x_U^ЯdU =

0

= е-^+х)+^Хе-^Чш dU =

0

= е_Х(1+х) + Хе “х(1+Х)|еш dU =

1+4

= е-М1+х)

Хи 1т т — Хх

е dU = е

(5)

Рис. 1. Схематическое представление процесса восстановления изделия при эксплуатации

Из уравнения (5) следует, что остаточное время жизни изделия, уже проработавшего время t, не зависит от длительности периода предшествующей работы (свойства отсутствия последствия), т. е. при экспоненциальном законе надежности изделия остаточное время его жизни имеет такое же распределение, как и полное с такими же параметрами (в формуле (5) параметр t отсутствует). Поэтому неотказавший элемент, проработавший время t, не хуже совершенно нового. Это значит, что в период нормальной эксплуатации изделия (X = const), например 1000 ч, вероятность его безотказной работы, скажем от 0 до 10 ч или от 990 до 1000 ч, будет практически одинакова.

Такой же вывод можно получить для экспоненциального закона при более простых рассуждениях, а именно: вычислив вероятность безотказной работы элемента до момента времени t2 = t1 + x при условии, что к моменту времени t1 < t2 он не отказал. Для вычисления этой вероятности обозначим через А событие, заключающиеся в том, что изделие не откажет до момента времени t2 с вероятностью P{A} [4]. Аналогично вычисляется вероятность события В (изделие не откажет до момента времени tj с вероятностью P{B}).

Вероятность одновременного наступления событий (неотказ изделия до момента времени t2 при условии, что оно не отказало до момента времени tj) равна произведению двух событий А и В:

P{AB} = P{B}P{A|B},

где P{A|B} — условная вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло.

Поскольку событие А входит в событие В, то P{AB} = P{A}, поэтому P{A} = P{B}-P{A|B}. Отсюда

P W = Pw

В нашем случае

P[a}= F(t + x), P{B}= F(t), P{t,t + x} = P{a|b}.

Таким образом,

r , F (t, + x)

P\t,t + x} = —_, , .

1 ‘ F(t1)

процессов. Кроме того, из этого свойства и полученных соотношений следует, что в период нормальной эксплуатации (X = const) с преобладанием внезапных отказов, вызванных внешними факторами, при отсутствии старения производить профилактическую замену элементов, не ожидая наступления отказа, нецелесообразно. Поэтому в период нормальной эксплуатации целесообразно заменять элементы только поле их отказов.

Используя формулу (4), вычислим математическое ожидание остаточного времени жизни элемента после времени t:

£t = T [1 + Xt J — t — T + -=t — t + T,

т. е. оно такое же, как и у нового элемента. Однако особо подчеркнем, что, несмотря на то, среднее остаточное время элемента такое же, как у нового, вероятность безотказной его работы за время T

■ е те_1 = 0,3б8.

весьма низкая: (Т ) = ,

Кроме экспоненциального распределения определение характеристик остаточного времени жизни элемента с использованием выражений (2) и (4) относительно просто можно выполнить для нормального закона надежности и закона Эрланга 2-го порядка. В этом случае основные составляющие, входящие в эти формулы, предварительно определяются по формулам [5]:

1. Для нормального закона

F (t ) = Ф

H (t )=! ф

t - nm

n=1

5yfn

ft ^ t — nm

/по

По известным параметрам распределения т и п эти характеристики легко определяются по соответствующим таблицам, приведенным в работе [5], поскольку достаточно рассмотреть лишь первые члены ряда.

2. Для закона Эрланга 2-го порядка (при к = 2)

F (t ) = h (»>=і

і=0

і!

(1 + Xt);

у . 1 , 1 ^Xt

Kt-----1— е

іі

; h(tЦf1 - e_2Xt).

При экспоненциальном законе имеем

P {t, t + x} =

-X(tl+x) -Xt -Xx

Є Vl ' е 1 е ,x

-Xt

-kt

■ = є

На свойстве отсутствия последствия у экспоненциального закона, в частности, построена широко используемая на практике теория марковских

3. Для закона Эрланга к-го порядка (к > 2) и закона Вейбулла с параметрами в > 2 и а вычисление осуществлено численными методами; соответствующие таблицы приведены в работе [5].

Сделаем некоторые замечания относительно «точной» формулы (2), описывающей закон распределения остаточного времени безотказной работы изделия. Во-первых, как уже отмечалось, ее при-

т

менение эффективно лишь для немногих распределений наработок элементов до отказа. Во-вторых, поскольку формула (2) позволяет вычислять вероятность того, что элемент проработает в течение интервала заданной длины, например х, начиная с некоторого текущего момента времени г, то она выражает еще один из показателей надежности (кроме остаточного времени жизни элемента), а именно нестационарный (оперативный) коэффициент готовности.

Оперативный (т. е. зависимый от конкретных значений моментов времени г) характер этого коэффициента ограничивает его применение для получения обобщающих выводов и разработки многих практических рекомендаций. Поэтому практический интерес представляет процесс восстановления для большого времени г, поскольку нас интересует поведение процесса на тех участках, которым предшествует большое число отказов [1]. С этой целью рассмотрим асимптотическое поведение процесса и его характеристики при г^-да.

Здесь нам на помощь приходит узловая теорема Смита [2]: если функция Е(г) имеет производную, а функция Q(x) монотонно убывает и

га I 1 га

| Q {х)йх <^, то | Q (г-х )к (х ~)йх ^ — | Q (х )йх.

0 0 _ Т 0

Поскольку функция Е{г + х) удовлетворяет условию теоремы Смита, то Е(г + х) при г ^ да стремится к нулю. Возьмем Q{г) = Е(/ + х) ,тогда интеграл будет не что иное, как левая часть теоремы Смита, т. е.

Р{е( > х| —у -11Е{г + х)йг.

Т 0

Тогда стационарное остаточное время жизни элемента имеет распределение

Л(х) = Р{е> х} = 41Е(и)<Ш; и = (г + х). (6)

х

Смысл полученного уравнения иллюстрирует рис. 2: отношение заштрихованной площади ко всей площади под функцией распределения.

Обычно на практике имеет место, когда х малая величина, т. е. вероятность успешного выполнения задачи должна быть большой (например, вероятность безотказной работы). Тогда уравнение (6) можно представить как

Л = Р {е> х} = 1 - Е (г) йг > 1 - х. х << Т. (7)

0

Неравенство (7) верно всегда, а для стареющих распределений (а мы имеем дело с ними) оно

Рис. 2. Остаточное время работы элемента электрооборудования

превращается в равенство. Это следует из соотношений:

1 “

1 --<Р{е>х} = -= |Е(г)йг<е т = 1 -х,

х

Т

т. е. Л = Р{е> х} = 1 - -=, х << Т. (8)

Найдем среднее значение остаточного времени жизни элемента:

1 Г=/

Т'

0 V 0

йх =

1 [ хЕ (х) йх = -1 [ — йЕ (х) = Т + -^=.

т 1 ' Т1 9 ' ' 9 1Т

Итак

-_Т о2

£ —----1---—.

2 2Т

(9)

Применяя формулу (9) к экспоненциальному распределению, у которого о2 = Т, получим:

Т Т2 -

е = - + ^=Т,

2 2Т

т. е. такое же, как и нового элемента.

В таблице приведено возможное для практического использования остаточное время жизни элементов при профилактических заменах в зависимости от требуемых (заданных) вероятностей их безотказной работы, вычисленные по формуле (8).

Формула (8) имеет важное практическое применение. В частности, она позволяет эксплуатационному персоналу определять с минимальным рис-

Остаточное время жизни элементов

в Т, мес Примечание

24 36 48 60

0,99 0,95 0,90 0,24 1,2 2,4 0,36 1,8 3,6 0,48 2,4 4,8 0,60 3.0 6.0 х = Т (1 -р)

ком отказа продолжительность использования электрооборудования после установленного системой ППРсх (но нереализованного) срока профилактической его замены. Например, из таблицы следует, что при среднем сроке службы электрооборудования 48 мес (4 года) с риском 1 % допустимо эту операцию выполнить в течение полумесяца (х = 0,48 мес) после запланированного срока.

В последние годы опубликованы некоторые исследования по статистической оценке среднего остаточного ресурса (точнее, среднего остаточного времени) работы изделий, уже проработавших некоторое время г [6]. В качестве математической модели используется процесс функционирования изделия до первого отказа. Используемая в этих публикациях модель, исключающая возможные замены элементов при отказах и профилактических воздействиях, не адекватна принятой практике эксплуатации. Кроме того, предлагаемые рекомендации по использованию остаточного ресурса для решения многих практических задач являются необоснованными и ошибочными. Например, использование среднего остаточного ресурса для определения потребности в запасных частях интуитивно невозможно, поскольку для этого необходимо знать число отказов за рассматриваемый период (число запасных элементов должно быть не менее числа отказов) и др.

Выводы

Учитывая, что остаточное время безотказной работы является случайной величиной, в качестве математической модели принят известный в теории надежности случайный процесс восстановления, остаточное время безотказной работы которого после заданного времени г является одной из характеристик этого процесса. Процесс восстановления наиболее адекватно описывает функционирование изделий при их эксплуатации в сельскохозяйственном производстве и позволяет решить многие важные практические задачи, например обоснование

стратегий обслуживания, их параметров, потребность в запасных элементах и др. [5]. Причем математическая модель представлена в двух видах: в нестационарном режиме («точная» модель) и в стационарном режиме (приближение) наиболее часто применяемом при решении практических задач эксплуатации.

Установлено, что длительность периода использования изделия для дальнейшего его применения после некоторого безотказного времени работы г существенно зависит от среднего времени жизни восстанавливаемого изделия Т и для практического применения имеет смысл лишь при значении этого времени, близком к нормативному — около 7 лет (4 года и 3 года соответственно до капитального ремонта и после). При других значениях среднего времени возможно его временное применение лишь при более низких требованиях к вероятности безотказной работы (менее 0,99).

Использование среднего остаточного времени работы изделия до отказа является необоснованным, а практические рекомендации по его применению преувеличены и ошибочны.

Список литературы

1. Гнеденко, Б.В. Математические методы в теории надежности / Б.В. Гнеденко, Ю.К. Беляев, А.Д. Соловьев. — М.: Наука, 1965.

2. Байхельт, Ф. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход / Ф. Байхельт, П. Франкен. — М.: Радио и связь, 1988.

3. Барлоу, Р. Математическая теория надежности / Р. Барлоу, Ф. Прошан. — М.: Наука, 1996.

4. Соловьев, А.Д. Основы математической теории надежности: Ч. 1 / А.Д. Соловьев. — М.: Знание, 1975.

5. Сырых, Н.Н. Теоретические основы эксплуатации электрооборудования / Н.Н. Сырых, Н.Е. Кабдин. — М.: Агробизнесцентр, 2007.

6. Борисов, Ю.С. Ресурс подшипниковых узлов электродвигателей в сельскохозяйственном производстве / Ю.С. Борисов // Техника в сельском хозяйстве. — 2008. — № 4. — С. 22-25.

УДК 621.8.004.67:621.791.76/79

П.И. Бурак, канд. техн. наук, доцент

ФГОУ ВПО «Московский государственный агроинженерный университет имени В.П. Горячкина»

ТЕХНОЛОГИЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ И УПРОЧНЕНИЯ ДЕТАЛЕЙ МАШИН ЭЛЕКТРОКОНТАКТНОЙ ПРИВАРКОЙ БИМЕТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

Метод восстановления изношенных деталей укладывается промежуточный слой из металличе-

электроконтактной приваркой биметалличе- ского порошка или ленточного припоя, которые при-

ских покрытий заключается в том, что между дета- вариваются путем пропускания импульса тока и налью и дополнительным присадочным материалом пряжения (рис. 1) [1-3].

74 -------------------------------- ВестникФГ0УВП0МГАУ№Г20'10 ---------------------------------