CC BY
128
The mathematical description and results research dynamic characteristics of the indicator gyrostabilizer are given. The ways increasing the accuracy of the device functioning are considered.
Key words: gyroscope, accelerometer, gyrostabilizer.
Malyutin Dmitriy Mikhailovich, candidate technical sciences, professor, Malyutindm@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 629.7.05
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВАРИАЦИИ АЛЛАНА ДЛЯ АНАЛИЗА СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ СИСТЕМ ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ
И.Р. Газарян, А.Ю. Таиров, В.К. Пономарев
Рассматривается возможность и особенность применения вариации Аллана для анализа случайных ошибок гиростабилизаторов. Приводятся результаты обработки с помощью алгоритма Аллана экспериментальных данных, полученных в процессе исследования характеристик гиростабилизатора, построенного на основе трехстепенного гироскопа.
Ключевые слова: гиростабилизатор, случайные погрешности, вариации Аллана, анализ ошибок.
В ряде случаев к гиростабилизаторам помимо требований к систематическим погрешностям предъявляются достаточно строгие требования по шумовым показателям. Шумы гиростабилизатора проявляются в виде случайных погрешностей выдерживания направлений измерительных осей объектов стабилизации в инерциальном пространстве. Гиростабилизаторы являются сложными электро-механическими устройствами, поэтому случайные погрешности стабилизации порождаются как механическими, так и электронными компонентами, которые работают во взаимодействии друг с другом. Природа возникновения этих погрешностей разнообразна и не всегда может быть описана на физическом уровне. Отмечались случаи, когда шумы генерировались в структуре системы стабилизации в форме «детерминированного хаоса» как результата влияния большого количества нели-нейностей в механических и электронных компонентах. В связи с этим представляется актуальной задача разработки методик выявления и идентификации случайных погрешностей гиростабилизаторов в процессе лабораторных испытаний.
Наряду с классическими методами представления метрологических характеристик различных измерительных средств, большую популярность приобрел метод их оценки с помощью особого алгоритма статистической обработки сигналов, который известен как метод вариации Аллана (The
143
Allan Variance Technique) [1]. Диаграмму Аллана и ее характерные точки приводят, например, в составе технических характеристик инерциальных чувствительных элементов последнего поколения (гироскопов и акселерометров), служащих основой для построения гиростабилизаторов различного назначения. Использование вариации Аллана как способа описания случайной составляющей ошибок инерциальных измерителей закреплено стандартами IEEE [2 - 4]. Следует отметить, что вариация Аллана является удобным и универсальным способом сравнения характеристик однотипных измерительных устройств, поскольку имеет универсальную платформу. Преимуществом вариации Аллана является возможность анализа структуры и характеристики составляющих, порождающих общую случайную ошибку измерения.
В работе рассматривается возможность использования вариации Аллана для анализа и классификации случайных ошибок систем гироскопической стабилизации.
Суть алгоритма Аллана (Вариация Аллана), в отличие от классических способов описания характеристик случайных сигналов (выборочная дисперсия, спектральная плотность, корреляционная функция), заключается в том, что с помощью него подвергаются обработке не сами сигналы, а разность между их значениями, разнесенными по времени на интервал, называемый временем осреднения. Вариация Аллана может применяться для статистического анализа характеристик непрерывных случайных процессов и числовых последовательностей. В последнем случае в качестве отсчетов используются средние значения числовой последовательности xk (k=1...N) на интервале осреднения m (i=1...M). На практике группы отсчетов (кластеров или сегментов) l (l=1...L) числовой последовательности, содержащей N элементов, формируют двумя возможными способами [5, 6]: способом пересекающихся выборок (скользящее окно) и способом не пересекающихся выборок. Во втором случае между кластерами существует интервал, равный шагу последовательности, который называют «мертвым» временем. При использовании пересекающихся выборок разрывов между кластерами нет. Если имеется числовая последовательность, то количество кластеров, сформированных по второму способу, не может быть больше L=N/M, а длина числовой последовательности должна быть кратной M. Таким образом, имеем условие M=(N-1)/2.
Среднее значение отсчетов в кластере l вычисляется по формуле
1 lm
Xl (m) =— X xk. (1)
m k=1+(l-1)m
С использованием осредненных данных вариация Аллана определяется по алгоритму
2 1 L-1 _ 2
SA(m) = VT 14 X(xl+1(m)-xl(m)) . (2)
2(L -1) l=1
Более кратко его можно записать в виде
аЛ(т) @ 2((х/+1<» - х1 (m))2), (3)
где угловые скобки означают знак осреднения по ансамблю.
Важно отметить, что при М=1 дисперсия Аллана численно равна дисперсии центрированной случайной последовательности [5], а также то, что дисперсия Аллана не чувствительна к наличию неизвестной постоянной в отсчетах последовательности х [6].
Для получения среднего значения отсчетов в кластере I при использовании пересекающихся выборок используется формула
1 I+т-1
х(т)=— X ч. (4)
т к=1
Количество кластеров здесь будет равно Ь=И-1 и формула для вычисления дисперсии Аллана примет вид
2 1 2 аЛ(т) = ЛГ 0л X(Х1+1(т) -XI(т)) . (5)
2(Я - 2) I=1
К более удобному варианту алгоритма Аллана приводит использование последовательности ук, которую формируют путем численного интегрирования наблюдаемой последовательности хк. Если интегрирование выполняется по методу прямоугольников (метод Эйлера), то среднее значение последовательности хк на временном интервале осреднения г = тго можно вычислить по формуле
хк(г) = Ук+т~ Ук , (6)
т
где г0 - временной шаг между отсчетами, связанный с частотой /0
1
опроса измерителя соотношением = —.
/о
Таким образом, алгоритм Аллана запишется в виде
2 1 К-т 2 ^ (г) = —— ч X ( хк+т Хк) . (7)
Л 2г(Н - т) к=1 Подстановка формулы (6) в выражение (7) дает
2 1 Ы-2т 2
^ (г) = ^- — X (Ук+2т - 2Ук+т + Ук ) . (8)
Л 2г2(N - 2т) к=1
Обычно результат вычисления вариации Аллана представляют в графической форме в виде зависимости о(г), которую называют девиацией Аллана. Для удобства последующего анализа график строят в логарифмическом масштабе по обеим осям.
Взаимосвязь вариации Аллана со спектральной плотностью 5Х(ш) наблюдаемого процесса х(1) определяется соотношением [5]
145
П 4
г
со т
4ю.
(9)
2
В общем случае получить дисперсию Од(т) в аналитическом виде по формуле не представляется возможным. Поэтому ^(ю) представляют в виде суммы спектральных плотностей независимых шумов известной природы. Так формируется базовая модель дисперсии Аллана из пяти составляющих [6, 8]:
2 2 2 <?А (т) = а? Т- + с1 Т + В 221п(—) + сд- + с— 2 3 р т т2
(10)
2
Составляющие модели (10) имеют следующую физическую природу:
2
С2 - шум квантования; д— белый шум; В 221п(—)- фликкер-шум; д^ Т-
т
т
р
3
.2 Т
2
винеровский процесс; а1 ~— шум ухода наблюдаемого сигнала (случайный наклон).
При использовании логарифмических масштабов каждая составляющая представляется прямой линией, имеющий определенный наклон к оси абсцисс. На рис. 1 приведен идеализированный график девиации Аллана, соответствующей модели (10) с указанием характерных наклонов и природы шумов, вносящих вклад в ошибку измерителя.
Время осреднения, сек
Рис.1. Характерные наклоны кривой девиации Аллана
Обычно график девиации Аллана, построенный по экспериментальным данным, отличается от идеализированного. Это затрудняет задачу определения параметров модели (10) по построенному графику. Для лучшей оценки параметров рекомендуется использовать аппарат регрессивно-
146
го анализа с моделью линии регрессии в виде (10). Для повышения точности процедуру регрессивного анализа выполняют для отдельных участков графика, имеющих характерный наклон [8].
Формула (10) является аналогом модели Лисона, используемой для анализа шумов радиотехнических устройств [9], и поэтому не имеет строгого обоснования применительно к измерителям, являющимися электромеханическими устройствами. Многие специалисты дополняют ее по крайней мере еще двумя составляющими: синусоидальным шумом и марковским процессом первого порядка [10]. Кробка Н.И. предлагает включить в состав расширенной модели дисперсии Аллана дополнительные составляющие с наложенными ограничениями на спектральную плотность при нулевой частоте [11]. Следует отметить, что для погрешности в виде «детерминированного хаоса» вообще невозможно предложить какую-либо модель. Как синусоидальный шум, так и марковский процесс первого порядка являются двухпараметрическими составляющими и поэтому могут располагаться в любом месте графика девиации Аллана. Для иллюстрации этого на рис. 2 приведены графики девиации Аллана для синусоидального процесса с различными значениями частоты: а - 0,5 Гц; б - 3 Гц; в - 5 Гц, а также графики для экспоненциально-коррелированного процесса с различными значениями постоянной корреляции: г - 0,1 с; д - 1 с; е - 5 с.
1(Г 10" 10
Время осреднения, сек
а
10"1 10" ю1 Время осреднения, сек
б
10"1 10" ю1 Время осреднения, сек
6
Время осреднения, сек Время осреднения, сек Время осреднения, сек
где Рис. 2. Графики девиации Аллана для синусоидального и экспоненциально-коррелированного процессов
Наличие указанных составляющих искажает картину пятикомпо-нентной модели и приводит в некоторых случаях к заблуждениям в интерпретации структуры шумов измерителей [11].
Для гиростабилизатора, по аналогии с инерциальными датчиками, можно ввести особую интерпретацию наклонов кривой девиации Аллана, которая представлена в таблице.
Соотношения между локальными наклонами кривой Аллана __и составляющими погрешности_
Наклон Тип погрешности (обобщенный) Тип погрешности (для гиростабилизатора)
-1 Шум квантования Белый шум дискретизации наблюдаемой ошибки стабилизации
-1/2 Белый шум Случайная составляющая угловой ошибки стабилизации
0 Фликкер-шум Нестабильность нулевого положения платформы гиростабилизатора
1/2 Винеровский процесс Случайная составляющая скорости изменения угловой ошибки стабилизации
1 Случайный наклон Тренд ошибки стабилизации
Построение девиации Аллана для анализа ошибок стабилизации платформы выполняется по формуле (8) для каждого канала гиростабилизатора. При этом массив данных интегральной функции формируется по алгоритму
N
Ук = X хк % (11)
к=1
Алгоритм Аллана имеет много модификаций, которые дают лучшие результаты при оценке структуры случайных погрешностей в конкретных областях измерительной техники. Среди них можно выделить алгоритм
2
вычисления модифицированной вариации Аллана Ыос1&д (г) [1], а также группу алгоритмов, в которых статистической обработке подвергаются вторые разности наблюдаемых процессов и разности более высоких по-рядков[7]. Для гиростабилизаторов прежде всего будет полезным построение графиков девиации на основе обработки вторых разностей, который известен как алгоритм Адамара (Иаёашагё). Формула Адамара имеет вид
2 1 N-3т 2
°#(г) = - X(хк+3т -3хк+2т + 3хк+т -хк) . (12)
6г2 (N - 3т) к=1
Особенностью этого алгоритма является то, что он инвариантен не только к наличию постоянной составляющей в отсчетах, но и к составляющей, которая линейно изменяется во времени. Для гиростабилизатора это уход платформы. Сопоставление графиков девиации Аллана и Адамара
позволяет получить параметры общего тренда ошибки стабилизации и его случайной составляющей. В качестве недостатка этого метода стоит отметить невозможность определения знака ухода платформы.
По предлагаемой методике авторами проведена оценка случайной составляющей ошибок стабилизации двухосного гиростабилизатора координатора, в котором в качестве чувствительного элемента используется трехстепенной управляемый гироскоп с центральной шаровой опорой. Положение платформы относительно корпуса измерялось штатными датчиками (синусно-косинусными вращающимися трансформаторами), установленными в гиростабилизаторе по осям подвеса платформы. Состав оборудования, использованного при проведении эксперимента, включал: гиростабилизатор с блоком электроники, блок управления гиро-стабилизатором, компьютер с установленным специальным программным обеспечением и источник питания. Схема соединения блоков приведена на рис. 3.
Рис. 3. Структурная схема рабочего места для экспериментальных
исследований
В блоке управления приводом осуществлялись оцифровка сигналов СКТ, формирование массива данных и передача его по цифровой шине в компьютер. Специализированное программное обеспечение выполняло постобработку полученного массива данных и построение графиков девиации Аллана. Использовались две программы постобработки. Одна из них разработана авторами в среде Matlab-Simulink на основе ядра, представленного на сайте корпорации Freescale Semiconductor (Document Number AN5087 Rev.0, 2/2015) [5]. В качестве второй использовалась программа AlaVar 5.2[12], которая позволяет строить графики стандартной девиации Аллана, модифицированной девиации Аллана, а также девиации Адамара. На рис.3 приведены некоторые результаты исследований.
149
ю1
10
-Наклон \1 ......- - - АзИМуТ
' / / /> : У :
....... : У? ■ У* - ......:у**: Л.:;.:.; X» : :::::: «V :::::::
:::::::: :::::::
10и 101 Ю1 10^
Время осреднения, сек
а
б
10"1 10и 101 10^ Время осреднения, сек
в
ю
10"
10"1 10и 101 1(Г 10-
,з КГ
- * - МОЕУ --НОЕУ
р ........;....>...;..;..;.;.!.;.■ / / ! : :::::: / ; МММ:
...... У
Л-*' ........М-гМ-ИгН"
1(Г 10"1 10и 101 1(Г 10^
т, 8ес
Время осреднения, сек
д е
Рис. 3. Графики зависимости девиации Аллана и Адамара от времени осреднения
Графики на рис. 3, а, б, в, д представляют стандартные девиации Аллана для азимутального и наклонного каналов гиростабилизатора и построены с помощью программы, разработанной авторами. Графики рис. 3, б, г, е получены при обработке массива данных азимутального канала с помощью программы Л1аУаг 5.2 и содержат результаты построения девиации Аллана, модифицированной девиации Аллана, а также девиации Адамара. Массив данных записывался в течение 60 минут (графики рис. 3, а, б) при первом включении и в течение 30 минут при втором (графики рис. 3, д, е). Частота обновления данных равнялась 40 Гц. Графики рис. 3, в, г являются результатам обработки усеченного до 30 минут массива данных первого включения.
г
По результатам проведенных исследований погрешностей испытуемого образца гиростабилизатора можно сделать следующие выводы:
1. Для гиростабилизатора основными погрешностями являются случайная составляющая угловой ошибки стабилизации в виде белого шума и тренда ошибки стабилизации (уход платформы).
2. Численное значение дисперсии случайной составляющей угловой ошибки можно определить при относительно малых интервалах осреднения (до 0.2 с). Параметры ухода с высокой степенью достоверности оцениваются при времени осреднения более 10 с.;
3. На графиках девиации Аллана отсутствует характерный участок с нулевым наклоном. Поэтому нестабильность нулевого положения платформы можно определить по точке, в которой девиация достигает минимального значения [11].
4. В структуре погрешностей гиростабилизатора присутствует экспоненциально-коррелированный случайный процесс, который более заметно обнаруживается на диаграмме Адамара (см. рис. 3, е). Вероятно, наличие этой составляющей связано с работой контура силовой разгрузки, имеющего вполне определенные динамические характеристики.
5. Сопоставление графиков Аллана и Адамара показывает, что уход платформы (дрейф) содержит систематическую и случайную составляющие. Параметры случайной составляющей определяются по диаграмме Адамара, а параметры систематической составляющей (регулярный уход) могут быть определены вычитанием случайной составляющей из параметров суммарного ухода, определяемого по графику девиации Аллана.
К сожалению, авторам для обработки были доступны записи только двух реализаций, что, конечно, недостаточно для получения среднестатистических характеристик погрешностей гиростабилизатора. К тому же можно предположить, что уровень и структура погрешностей могут существенно измениться при проведении эксперимента на качающемся основании, а также в процессе температурных и вибрационных испытаний.
Тем не менее, обработка даже ограниченного объёма экспериментальных данных показывает, что дифференциальные методы идентификации погрешностей измерительных устройств могут эффективно применяться и для оценки статистических характеристик погрешностей систем гироскопической стабилизации.
Список литературы
1. Allan D., Barnes J. A modified Allan Variance with increased oscillator characterization ability // Proc. 35th Ann. Freq. Control Symposium, USAERADCOM, Ft. Nonmouth, NJ 07703, May 1981. P. 470 - 474.
2. IEEE Std P1559-2009. IEEE Standard for Inertial System Terminology.
3. IEEE Std P1780. IEEE Standard Specification Format Guide and Test Procedure for Inertial Measurement Units (IMU).
4. EEE Std 647 - 2006. IEEE Standard Specification Format Guide and Test Procedure for Single - Axis Laser Giros.
5. Freescale Semiconductor, Allan Variance: Noise Analysis for Gyroscopes/ Document number: AN5087, Rev.0, 2/2015.
6. Степанов О. А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 2. Введение в теорию фильтрации. СПб.: ГНЦ РФ ОАО "Концерн "ЦНИИ "Электроприбор",
2012. 417 с.
7. Кробка Н.И. Дифференциальные методы идентификации структуры шумов гироскопов // Гироскопия и навигация. 2011. №1 С. 59 - 77.
8. Крутовой Д. А., Ситников П.В. Некоторые практические вопросы использования вариации Аллана при исследовании бесплатформенного инерциального блока // Материалы XV конференции молодых ученых «Навигация и управление движением» / под общ. ред. Академика РАН В.Г. Пешехонова. СПб.: ГНЦ РФ АО «Концерн «ЦНИИ Электроприбор»,
2013. С. 246 - 252.
9. Андронов Е.В. Глазов Г.Н. Теоретический аппарат измерений на СВЧ: Т.1. Методы измерений на СВЧ. Томск: ТМЛ-Пресс. 804 с.
10. Матвеев В.В., Погорелов М.Г. Анализ погрешностей микромеханических гироскопов методом вариаций Аллана // Известия ТулГУ. Технические науки. 2015. Вып. 3 С. 123 - 135.
11. Кробка Н.И. О топологии графиков вариации Аллана и типовых заблуждениях в интерпретации структуры шумов гироскопов // Материалы XXII Санкт-Петербургской международной конференция по интегрированным навигационным системам. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор». 2015. С. 457 - 481.
12. ALANOISE: noise generation freeware [Электронный ресурс] URL http://www.alamath.com (дата обращения: 10.05.2019).
Пономарев Валерий Константинович, канд. техн. наук, доцент, vkponomarev@rambler. ru, Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения,
Газарян Иван Рафаэльевич, инженер, gazarjan_ir@radar-mms.com, Россия, Санкт-Петербург, АО ««Научно-производственное предприятие ««Радар ммс»,
Таиров Александр Юрьевич, начальник лаборатории, tairov_aju@radar-mms.com, Россия, Санкт-Петербург, АО «Научно-производственное предприятие « Радар ммс»
APPLICA TION OF ALLAN VARIANCE FOR ANALYZE RANDOM ERRORS OF GYROSCOPE STABILIZA TION SYSTEM
I.R Gazaryan, A.J. Tairov, V.K. Ponomarev
The possibility and peculiarity of applying Allan s variation to the analysis of random errors of gyrostabilizers is considered. The results of processing the experimental data obtained in the process of studying the characteristics of a gyrostabilizer based on a threefold gyroscope using the Allan algorithm are presented.
Key words: gyrostabilizer, random errors, Allan variance, error analysis.
Ponomarev Valery Konstantinovich, candidate of technical sciences, associated professor, vkponomarevarambler.ru, Russia, Saint-Petersburg, Saint Petersburg State University of Aerospace Instrumentation,
Gazaryan Ivan Rafaelevich, engineer, gazarjan iraradar-mms. com, Russia, Saint-Petersburg, Joint Stock Company Research and Production Enterprise «Radar mms»,
Tairov Aleksandr Yurevich, head of laboratory, tairov ajuaradar-mms. com, Russia, Saint-Petersburg, Joint Stock Company Research and Production Enterprise «Radar mms»
УДК 531.383
АНАЛИЗ КОМПЛЕМЕНТАРНЫХ ФИЛЬТРОВ ПРИ ПОСТРОЕНИИ БЕСКАРДАННОЙ ГИРОВЕРТИКАЛИ
В.В. Матвеев
Рассматриваются вопросы построения бескарданной гировертикали (БГ) на основе комплексной обработки информации от гироскопов и акселерометров. Приводятся структурные схемы, передаточные функции и средние квадратические отклонения (СКО) случайных погрешностей классического комплементарного фильтра, объединяющего сигналы гироскопов и акселерометров. Приведено аналитическое соотношение для выбора оптимальной постоянной времени классического комплементарного фильтра. Рассмотрены альтернативные способы комплексирования гироскопов и акселерометров на основе фильтров Винера, Калмана, Маджвика и БГ на основе уравнения Бортца. Приведены результаты моделирования БГ с использованием различных фильтров на неподвижном основании, при ускоренном движении и синусоидальных колебаниях объекта.
Ключевые слова: комплементарный фильтр, бескарданная гировертикаль, гироскоп, акселерометр.
Введение. Для определения углов тангажа и крена подвижных объектов применяют бескарданные гировертикали (БГ), представляющие собой комплекс гироскопической (ГСО) и акселерометрической систем ориентации (АСО), применение которых в отдельности не представляется
153
