Анализ комплементарных фильтров при построении бескарданной гировертикали Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

APPLICA TION OF ALLAN VARIANCE FOR ANALYZE RANDOM ERRORS OF GYROSCOPE STABILIZA TION SYSTEM

I.R Gazaryan, A.J. Tairov, V.K. Ponomarev

The possibility and peculiarity of applying Allan s variation to the analysis of random errors of gyrostabilizers is considered. The results of processing the experimental data obtained in the process of studying the characteristics of a gyrostabilizer based on a threefold gyroscope using the Allan algorithm are presented.

Key words: gyrostabilizer, random errors, Allan variance, error analysis.

Ponomarev Valery Konstantinovich, candidate of technical sciences, associated professor, vkponomarevarambler.ru, Russia, Saint-Petersburg, Saint Petersburg State University of Aerospace Instrumentation,

Gazaryan Ivan Rafaelevich, engineer, gazarjan iraradar-mms. com, Russia, Saint-Petersburg, Joint Stock Company Research and Production Enterprise «Radar mms»,

Tairov Aleksandr Yurevich, head of laboratory, tairov ajuaradar-mms. com, Russia, Saint-Petersburg, Joint Stock Company Research and Production Enterprise «Radar mms»

УДК 531.383

АНАЛИЗ КОМПЛЕМЕНТАРНЫХ ФИЛЬТРОВ ПРИ ПОСТРОЕНИИ БЕСКАРДАННОЙ ГИРОВЕРТИКАЛИ

В.В. Матвеев

Рассматриваются вопросы построения бескарданной гировертикали (БГ) на основе комплексной обработки информации от гироскопов и акселерометров. Приводятся структурные схемы, передаточные функции и средние квадратические отклонения (СКО) случайных погрешностей классического комплементарного фильтра, объединяющего сигналы гироскопов и акселерометров. Приведено аналитическое соотношение для выбора оптимальной постоянной времени классического комплементарного фильтра. Рассмотрены альтернативные способы комплексирования гироскопов и акселерометров на основе фильтров Винера, Калмана, Маджвика и БГ на основе уравнения Бортца. Приведены результаты моделирования БГ с использованием различных фильтров на неподвижном основании, при ускоренном движении и синусоидальных колебаниях объекта.

Ключевые слова: комплементарный фильтр, бескарданная гировертикаль, гироскоп, акселерометр.

Введение. Для определения углов тангажа и крена подвижных объектов применяют бескарданные гировертикали (БГ), представляющие собой комплекс гироскопической (ГСО) и акселерометрической систем ориентации (АСО), применение которых в отдельности не представляется

153

возможным. ГСО в силу медленного дрейфа углов и неизбирательности к истинной вертикали может использоваться только непродолжительное время. Применение АСО придаст системе избирательность к плоскости горизонта, но ее использование возможно только при движении объекта без ускорений. По этим причинам ГСО и АСО объединяют в комплексную измерительную систему подобно традиционной гироскопической вертикали, используя положительные свойства каждой из них [1, 2].

В настоящее время комплексирование АСО и ГСО осуществляют при помощи так называемого комплементарного фильтра (complementary filter), систематическое изложение которого в англоязычной литературе дается в [3]. В отечественной литературе определение комплементарного фильтра дано проф. О. А. Степановым [4]. Следуя работам [3, 4] под комплементарным фильтром будем понимать многомерный фильтр, осуществляющий оценивание полезного сигнала по измерениям от нескольких устройств с заданными характеристиками инструментальных погрешностей, причем точность такой оценки выше точности отдельно взятого измерителя.

Чаще всего задача разработки комплементарного фильтра формулируется только с точки зрения подавления случайных погрешностей измерителей. При комплексировании ГСО и АСО существует некоторая специфика, заключающаяся в том, что необходимо также оценивать время переходного процесса БГ при действии ускорений объекта. Известно, что ускорения объекта приводят к тому, что аналитическая вертикаль БГ отклоняется от истинной вертикали и стремится занять так называемое положение кажущейся вертикали, как это имеет место в традиционных гиро-верткиалях. Очевидно, что чем больше постоянная времени (период колебаний) БГ, тем длительнее время переходного процесса и, следовательно, БГ в меньшей степени будет подвержена ускорениям объекта.

В качестве фильтра связи ГСО и АСО в настоящее время известно несколько различных алгоритмов: классический комплементарный фильтр, фильтры Винера - Калмана, фильтр Маджвика и др. Целью настоящей статьи является анализ комплементарных фильтров, использующихся для построения БГ.

Классический комплементарный фильтр. Классический комплементарный фильтр реализуется следующим образом. Для устранения медленного дрейфа углов тангажа и крена ГСО ее выходные сигналы пропускают через фильтр верхних частот (ФВЧ), который ослабляет низкие частоты и пропускает соответственно верхние. Сигналы АСО пропускаются через фильтр нижних частот (ФНЧ) и складываются с фильтрованными сигналами ГСО (рис. 1). Для того чтобы фильтры не влияли на полезный сигнал, необходимо, чтобы ФНЧ и ФВЧ удовлетворяли свойству инвариантности [2]:

WФНЧ (s) + W^B4 (s) = 1, (1)

154

где Жфнч (s), ^фВЧ (s) - передаточные функции ФНЧ и ФВЧ соответственно.

ФВЧ

Гироскопическая система ориентации агсо /

•1 *1

фАСО ФНЧ

Акселерометрическая система ориентации

S

Рис. 1. Традиционная схема построения БГ на основе комплементарного фильтра

В простейшем случае в качестве ФВЧ и ФНЧ можно воспользоваться звеньями с передаточными функциями вида

1 ТV

г.ФНЧ (V) = ——, №фВЧ (V) = ——, (2)

+ 1 + 1

где Т- постоянная времени фильтров.

В соответствии с передаточными функциями (2) оценка угла тангажа принимает вид

1 ......

(3)

г) = ^ JrC0 (s) +

JAC0 (s).

ТЯ +1 ТЯ +1

Оценка угла крена формируется аналогичным образом. Соотношение (3) собственно и есть уравнение комплементарного фильтра.

Можно показать, что соотношение (4) может быть достигнуто путем реализации структурной схемы (рис. 2).

Гироскопическая 0ГСО

система ориентации

qACO

Акселерометрическая

система ориентации

m

Ts

—

Рис. 2. Вариант построения комплементарного фильтра

Так как ГСО и АСО вырабатывают угол тангажа Ф с погрешностя-

ми

ггсо=Аш/ s,

DJACO »Аа / g,

(4)

(5)

где Аш, Аа - инструментальные погрешности гироскопа и акселерометра соответственно, то оценка угла тангажа БГ может быть представлена так:

155

Js) = —1— —. (6)

Ts +1 Ts +1 g

Из соотношения (6) следует, что погрешности гироскопов и акселерометров пропускаются через фильтры нижних частот с передаточными функциями T/(Ts+1) и 1/(g(Ts+1)) соответственно, причем увеличение постоянной времени Т влечет за собой усиление шума гироскопов.

Таким образом, комплексирование ГСО и АСО сводится к оптимальному выбору постоянной времени фильтров Т. Если погрешности гироскопов Dw и акселерометров Da имеют только белошумные составляющие, характеризуемые параметрами ARW (angle random walk - случайное блуждание угла) и VRW (velocity random walk - случайное блуждание скорости) соответственно, то СКО погрешности БГ может быть оценено по зависимости [l, 5]

f 2 ^

2 VRW ARW 2 • T +

Tg 2

(7)

Из анализа соотношения (7) следует, что минимум СКО погрешности БГ достигается, если постоянная времени фильтров удовлетворяет равенству

VRW

T = УЫУ . (8)

g ■ ARW

В этом случае СКО погрешности БГ будет определяться соотношением

аБг = (9)

Так как при ускоренном движении объекта необходимо замедлять процесс стремления БГ к кажущейся вертикали, что соответствует большой постоянной времени, то исходя из (8) следует уменьшать величину шума гироскопов ARW. Известно, что переходный процесс апериодического звена первого порядка заканчивается примерно за время 3Т, тогда за этот же интервал будет достигнута кажущаяся вертикаль БГ. Например, если шум гироскопов составляет ARW = 1°/Уч, а шум акселерометров -

VRW = 10-3 м/е/л/с (0,06м/е/л/ч), то постоянная времени БГ составит 0,37

с, время переходного процесса соответственно »1 с.

На рис. 3 приведены графики зависимости СКО погрешности БГ в зависимости от постоянной времени фильтров и уровня шума гироскопов.

При использовании гироскопов с уровнем шума 0,01 °/Уч может быть достигнута постоянная времени » 40 с.

При численной реализации классического комплементарного фильтра пренебрегают неголономностью угловой скорости и определяют углы непосредственным их интегрированием. Если используются системы ко-

156

ординат по ГОСТ 20058-80 «Динамика летательных аппаратов в атмосфере», то классический комплементарный фильтр реализуется следующим образом.

0.01 0.1 1 ю т, с

Рис. 3. Графики зависимости СКО погрешности БГ в зависимости от постоянной времени фильтров и уровня шума гироскопов

Определяются углы тангажа и крена по акселерометрам [1]:

(к +1) = ашё , Пх(к +1 , (10)

[пу (к +1)]2 + [п2 (к +1)]2

АСО1ч п~ (к +1) уА (к + 1) = --, (11)

пу (к +1)

где пх (к +1), Пу (к +1), п2 (к +1) - дискретные сигналы акселерометров (к = 0, 1,...).

Затем формируются оценки углов тангажа и крена по зависимостям

[1]:

д(к +1) = ос[Жк) + Т0с (к +1)] + (1 - а)#АСО (к +1), (12)

ук+1) = аУк)+Т0^х (к+1)]+(1 - а)уАСО(к+1), (13)

где сх (к +1), со2 (к +1) - сигналы гироскопов, Т0 - период дискретизации, а = Т /(Т0 + Т) - коэффициент комплементарного фильтра (0 <а< 1).

Если используется оптимальное значение постоянной времени (8), с позиции минимума СКО погрешности БГ, то коэффициент комплементарного фильтра определяется так:

ПАЛ

а =-. (14)

g ■ Т0 АЯЖ + ¥ЯЖ

Для вышеприведенных значений случайных погрешностей гироскопов и акселерометров и периоде дискретизации Т0 = 0,01 с коэффициент комплементарного фильтра принимает значение а = 0,972. Соотношение (14) позволяет теоретически рассчитывать коэффициент комплементарного фильтра а , а не подбирать его экспериментально, как это часто имеет место на практике.

Альтернативные фильтры. В настоящее время получены альтернативные алгоритмы для комплексирования АСО и ГСО. В работе [6, 7] предложена реализация фильтра Винера (далее ФВ) для оценивания компонент вектора ускорения силы тяжести g по сигналам гироскопов, базирующаяся на уравнении связи локальной и полной производной вектора g. При этом сигналы гироскопов используются в формировании переходной матрицы состояния («прогноза»), в качестве уравнения измерений - сигналы акселерометров. Структура данного фильтра соответствует фильтру Калмана с установившимися значениями матрицы коэффициентов передачи и имеет следующий вид:

п(к +1) = Ф(к)п(к) + К[п(к) - Ф(к)п(к)], (15)

где П(к) - оценка вектора кажущегося ускорения, ~(к) - сигналы акселерометров; К - матрица коэффициентов фильтра Винера (установившееся значение матрицы коэффициентов фильтра Калмана), Ф(к) - переходная матрица состояния, содержащая измерения гироскопов и определяемая так [6, 7]:

1 0 0 0 -М (к) Му (к)

ф(к)= 0 1 0 - М (к) 0 -мх (к ) . (16)

0 0 1 -Му (к) % (к) 0

По элементам вектора оценок п(к) могут быть найдены углы тангажа и крена по соотношениям, аналогичным (10) и (11).

Для построения ГВ также может применяться фильтр Калмана (ФК), в котором сигналы гироскопов выступают как сигналы управления, а акселерометры используются в уравнении измерений [8]. Для одномерного случая при оценивании угла тангажа уравнения состояния и измерения имеют вид:

Ф(к +1) = Ф(к) + Т0 м г (к) + Т0 Ам(к),

2{к +1) = Фа (к) + у(к +1), ( )

где Фа (к), у(к +1) - акселерометрический угол тангажа и шум АСО соответственно, Ам(к) - случайная погрешность гироскопа типа белого шума.

В первом уравнении системы (17) слагаемое Т0м2 (к) выступает как управление, а Т0Ам(к) - случайное возмущение.

158

БГ может быть реализована также при помощи фильтра Маджвика (Madgwick) (далее ФМ), особенностью которого является поиск кватерниона ориентации по сигналам акселерометров методом градиентного спуска [9], который затем сравнивается с кватернионом, полученным по гироскопам (рис. 4).

Рис. 4. Блок-схема фильтра Маджвика [9]

S

S

На рис. 4 обозначено (сохранены авторские символы): щ, W - сигналы акселерометров и гироскопов в связанной системе коорди-

S

нат (t - дискретные отсчеты), ^ 4est t - оценка кватерниона ориентации

связанной системы координат (S) относительно географической (E),

S S S

Jg(E 4 est,t-1) - якобиан, f (E 4est,t-1, ât ) - функция цели, V - оператор

набла, b - коэффициент ФМ.

S

Выходом системы является кватернион e 4 est t, по элементам которого определяются углы тангажа и крена. Связь кватерниона и углов

тангажа и крена приведена, например, в книге [1]. Степень влияния аксе-

S

лерометров или гироскопов на кватернион e 4 est,t определяется параметром р.

Известны способы построения БГ, в которой ГСО реализована на основе численной реализации уравнения Бортца (далее Б) [10]:

Аф(к +1) = Aa(k +1) + Лр(£ +1), (18)

(k+1)7q

где Aq(k +1) - вектор ориентации (вектор Эйлера); Ла (k +1) = Jw(t )dt

k

- приращение интегралов от угловой скорости основания на такте опроса гироскопов; Ap(k +1) - коническая поправка, определяемая так [10]:

ДР(£ +1) = 1 Да(к) х Да(£ +1).

По компонентам вектора ориентации Дф(£ +1) обычно формируют кватернион ориентации или матрицу направляющих косинусов, от которых затем переходят к углам тангажа и крена [1]. Полученные таким образом углы сравниваются с параметрами ориентации, вычисленными АСО, а разность пропускается через ФНЧ и используется далее для коррекции ГСО.

Случайные погрешностей БГ на неподвижном основании. Для

анализа случайных погрешностей БГ задавались погрешности гироскопов и акселерометров в виде дискретных белых шумов с ЛЯЖ =1°/Уч и УЯЖ = =10-3 м/с/Ус. Период дискретизации принимался 10-3 с. Для КФ и Б подбиралась постоянная времени в соответствии с соотношением (8), которая составила 0,37 с. ФМ моделировался при Ь = 0,007. Для реализации ФК и ФВ формировались соответствующие матрицы дисперсий шумов измерения и возмущения по заданным ЛЯЖ и УЯЖ.

На рис. 5 приведена диаграмма СКО погрешностей ГВ с различными фильтрами, полученных на основе моделирования соответствующих алгоритмов. Из анализа результатов моделирования следует СКО случайной погрешности угла тангажа БГ для всех фильтров более чем в 10 раз меньше, чем СКО шума отдельно взятой АСО с СКО 0,187°. Полученное значение СКО АСО соответствует теоретической оценке УЯЖ /(ФВ и

ФК имеют СКО погрешности 0,019°, что вдвое хуже классических КФ и Б, что соответствует большей постоянной времени, чем у КФ и Б. Последние имеют одинаковую СКО (0,01°), так как для их реализации принималась одинаковая постоянная времени Т.

0.02

0.01

КФ

ФМ

ФВ

ФК

А

и □

тж

Ч

АСО ГСО

Рис. 5. СКО погрешности угла тангажа БГ, вызванной шумами гироскопов и акселерометров: КФ - комплементарный фильтр, ФМ - фильтр Маджвика, ФВ - фильтр Винера, ФК - фильтр Калмана,

Б - фильтр с уравнением Бортца

Наименьшую СКО погрешности показал фильтр Маджвика (» 0,007°). Существенно, что теоретическая оценка (9) достаточно точно совпадает с результатами моделирования КФ, которая дает значение 9,672-10-3 ° (на основе моделирования - 9,666 10-3 °). На рис. 5 приведено также СКО погрешности ГСО, которое возрастает пропорционально квадратному корню из времени [1, 11]. При таком уровне шума гироскопов СКО погрешности ГСО без коррекции составит »1° за 1 час работы.

Анализ баллистических погрешностей. Баллистические погрешности БГ анализировались при импульсном воздействии на 3-й секунде на БГ ускорения объекта величиной 0,4 м/с2 в направлении движения. На рис. 6 приведены графики баллистических погрешностей БГ с различными фильтрами.

Как и следовало ожидать, АСО без какой-либо инерции достигает кажущейся вертикали, отклоненной от истинной на 2,3 °. КФ и Б достигают кажущейся вертикали за время »1 с, ФМ - менее 1 с. Если принять коэффициент Ь = 0,05, то ФМ реагирует на ускорение объекта практически безынерционно, что недопустимо для БГ. При уменьшении Ь реакция ФМ на ускорение объекта приближается к ФК и ФВ. При этом возрастает СКО случайной погрешности БГ с ФМ.

Переходный процесс ФК и ФВ длится около 10 с, так как выше было установлено, что им соответствовала большая постоянная времени и, как следствие, большая СКО погрешности.

е

о

к

а

Щ &

о

к

-1

уШГ = 1°/Л/Ч тж=ю"3м/с/л/с

АСО X \ " {'У и

'/Г ¡1" ' № ж;1 Л*"л*'т!'! |¡у. I" : ;■ .]

КФ,ФМ, Б \ / / ^ФВ

1,: т 1 »ж 7 • / I ГСО

10

Время, с

Рис. 6. Баллистические погрешности БГ

15

Например, если требуется создать классический КФ с временем переходного процесса »10 с, то ему должна соответствовать постоянная времени Т » 3,3 с. Подставляя Т в соотношение (7), получаем оаа = 0,018°, что

практически совпадает с СКО ФК и ФВ, т.е. при Т» 3,3 с КФ (или Б) будем иметь те же случайные и баллистические погрешности, что и с ФК, и ФВ.

161

Анализ погрешностей БГ при колебаниях основания. Погрешности БГ анализировались при синусоидальных колебаниях объекта по углу тангажа с амплитудой 3° и частотой 1 Гц. Алгоритмы БГ реализовывались с периодом дискретизации 0,01 с. В выходном сигнале погрешности угла тангажа определялась амплитуда гармоники на частоте колебаний объекта методом спектрального анализа (рис. 7).

Из анализа рис. 7 следует, что все фильтры дают гармонику в выходном сигнале БГ на частоте колебаний объекта. Амплитуда КФ, ФМ, ФК, ФВ составляет около 0,1°, что на два порядка больше, чем у фильтра с уравнением Бортца. Было установлено, что уменьшение периода дискретизации влечет за собой уменьшение погрешности ГВ от колебаний основания.

Частота, Гц

Рис. 7. Спектральные характеристики погрешности угла тангажа при синусоидальных колебаниях основания

Заключение. Проанализированы погрешности БГ с использованием различных фильтров связи ГСО и АСО. Минимум СКО погрешности БГ с классическим комплементарным фильтром при белошумных инструментальных погрешностях гироскопов и акселерометров достигается при постоянной времени фильтров Т = УЯЖ /(g • ЛЯЖ). В этом случае СКО БГ

БГ I-

может быть оценено по простой зависимости О =л\ЛЯЖ УЯЖ/g.

СКО случайных погрешностей БГ при использовании ФК и ФВ почти в два раза хуже, чем КФ и фильтр с уравнением Бортца при оптимально выбранной постоянной времени Т. Время переходного процесса достижения кажущейся вертикали у ФК и ФВ длительнее почти в 10 раз, чем у КФ. Увеличение постоянной времени классического комплементарного фильтра до 3,3 с позволит создать БГ с временем переходного процесса около 10 с и случайными погрешностями, аналогичными фильтрам Калмана и Винера. Постоянная времени фильтра Маждвика определяется параметром

162

ß, выбор которого, скорее всего, желательно проводить экспериментально или моделированием. При ß < 0,007 ФМ реагирует на ускорение практически безынерционно.

Основной вывод данного анализа заключается в том, что при определенном выборе параметров все фильтры дают близкие результаты с точки зрения СКО случайных погрешностей и реакции на ускорение объекта. Исключением является реакция на колебания основания, при котором лучшие результаты показал фильтр на основе уравнения Бортца.

Список литературы

1. Матвеев В.В., Распопов В. Я. Приборы и системы ориентации, стабилизации и навигации на МЭМС-датчиках. Тула: Изд-во ТулГУ, 2017. 225 с.

2. Ярлыков М.С. Статистическая теория радионавигации. М.: Радио и связь. 1985. 344 с.

3. Мансур Мостафа Элсайед Элсайед, Степанов О.А. Алгоритмы комплексной обработки в задаче коррекции показаний навигационных систем при наличии нелинейных измерений // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2016. Вып. 6. C. 89 - 102.

4. Brown R.G., Hwang Patrick Y. C. Introduction to random signals and applied Kalman filtering // John Wiley & Sons. New York, 1997.

5. Микросистемы ориентации / В.Я. Распопов, В.В. Матвеев,

A.П. Шведов, М.Г. Погорелов, М.В. Рябцев, Р.В. Алалуев, А.В. Ладонкин,

B.М. Глаголев // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2016. № 10. С. 239 - 265.

6. Шведов А.П. Способы повышения точности информационно-измерительных систем ориентации подвижных объектов. Автореферат дис. ... канд. техн. наук по специальности 05.11.16 - Информационно-измерительные и управляющие системы (в промышленности). Тула: Из-во ТулГУ. 2010. 20 с.

7. Микросистемы ориентации беспилотных летательных аппаратов / под. ред. В.Я. Распопова. М.: Машиностроение, 2011. 184 с.

8. OlliW Bastelseiten. IMU Data Fusing: Complementary, Kalman, and Mahony Filter. [Электронный ресурс] URL: http://www.olliw.eu/2013/imu-data-fusing/ (дата обращения: 10.06.2019).

9. Madgwick, S., Harrison, A., & Vaidyanathan, R. Estimation of IMU and MARG orientation using a gradient descent algorithm. Proceedings of the IEEE Int. Conf. Rehabil. Robot. 2011. P. 179 - 185.

10. Savege P. Strapdown analytics. Strapdown Association, Part 1. Inc. Maple Plain, Minnesota, 2000. 817 p.

11. Матвеев В.В. Инженерный анализ погрешностей бесплатформенной инерциальной навигационной системы // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2014. Вып. 9. Ч. 2. С. 251 -267.

Матвеев Валерий Владимирович, канд. техн. наук, доцент, matweew. valery@yandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

ANALYSIS OF COMPLEMENTARY FILTERS WHEN BUILDING STRAPDOWN

GYROSCHOPIC VERTICAL

V. V. Matveev

The issues of building a strapdown gyroschopic vertical (SGV) on the basis of complex information processing from gyroscopes and accelerometers are considered. The structural schemes, transfer functions and standard deviations (RMS) of random errors of the classical complementary filter combining the signals of gyroscopes and accelerometers are given. An analytical relationship is given to select the optimal time constant of the classical complementary filter. Alternative ways of integrating gyroscopes and accelerometers based on Wiener, Kalman, Majwick and SGV filters based on the Bortz equation are considered. The results of modeling SGV using various filters on a fixed base, with accelerated motion and sinusoidal oscillations of the object are given.

Key words: complementary filter, strapdown gyroschopic vertical, gyroscope, accel-erometer

Matveev Valery Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, matweew. valery@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University