Использование трехмерных конечных элементов в расчетах прочности многослойных панелей Текст научной статьи по специальности «Физика»

Численные методы расчета конструкций

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЕТАХ ПРОЧНОСТИ МНОГОСЛОЙНЫХ ПАНЕЛЕЙ

А.П. КИСЕЛЕВ, канд. техн. наук, доцент Н.А. ГУРЕЕВА, канд. техн. наук, доцент Р.З. КИСЕЛЕВА, ассистент.

Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия

Обычно в расчетах многослойных пластин используются гипотезы Кирхгофа или Тимошенко, накладывающие связь на характер изменения тангенциальных перемещений по толщине пакета слоев пластины. Нормальное перемещение по толщине пакета слоев принимается постоянным. В настоящей работе представлен конечно- элементный алгоритм расчета многослойных пластин на основе соотношений теории упругости без дополнительных гипотез.

Матрица жесткости произвольного шестигранного элемента пластины с узловыми неизвестными в виде перемещений и их первых производных по декартовым координатам x,y,z формируется согласно алгоритму [1]. Для выполнения численного интегрирования произвольный шестигранник отображается на куб с локальными координатами -1 < < 1. Глобальные координаты х, у, z

внутренней точки конечного элемента определяются через узловые значения координат трилинейными соотношениями

хX} (i)

где {ху ^ = {х X X X X X X X J- матрица-строка узловых значе-

1x8

ний координаты Л, под символом X понимаются координаты x, y, z.

Дифференцированием (1) определяются производные координат x,^ , х,л ,

x,£ ,....z,£ ; x , y , z ,..., С, z .

Перемещения внутренней точки конечного элемента определяются через их узловые значения матричными соотношениями

х = л, С)У {гу} (2)

I k I т п р к г к г к г й I

где = у у1 у у у у ур у У,ц -г,к г,п -г,п у,с -г,^ -

1x32

вектор узловых неизвестных компоненты у в локальной системе координат; под символом у понимаются перемещения и, V, w; матрица функций

формы, полученной на основе кубических полиномов Эрмита.

Вектор узловых неизвестных компоненты у в глобальной системе координат имеет вид

^ГТ ) г I k I т п р к г к г к г к\

у) =у у1 у у у у ур у у,х ...у,к У,у ...у,у у,2 ...у,к}

1x32

Связь между векторами \уу,} и \уГ} записывается в матричном виде

\у;}Т = [г ] у г } (3)

1x32 32x32 32x1

где матрица [г] формируется на основе соотношений

У,|=У, X •x,|+У, у •У,|+У, 2 (4)

Формулы Коши теории упругости с использованием выражений (1), (2), (3), (4) представляются в матричном виде

и=м V; Л (5)

6x1 6x96

У

96x1

где {г}7 = {еххеуу£гг 2еху 2ехг 2еуг}- вектор-строка деформаций внутренней точ-

V; } = {и У } {уУ } {^У } }- вектор узловых неизвестных

ки конечного элемента;

конечного элемента в локальной системе координат.

Связь между напряжениями и деформациями внутренней точки конечного элемента принимается в виде

М=[С ] {4 где {стГ={т хх ® уу ® гг аху ® хг ® уг }. (6)

6x1 6x6 6x1

Матрица жесткости конечного элемента формируется на основе равенства работ внешних и внутренних сил при нагружении упругого тела

{{< {г} dV = ¡{V }7 {р} dS, (7)

V S

где V - объем тела, {V}г = {и,V, w}- вектор перемещений точки на поверхности S; {р}Г = {рхРуРг}- вектор внешних нагрузок на поверхности S. При использовании (5),(6) равенство (7) запишется в виде

к] V; }=/}, (8)

где [к ] = Д^]Г [в]г [С ][б] dV - матрица жесткости конечного элемента;

96x96 V 96x96 96x6 6x6 6x96 96x96

{^У }= {¡иу } } {wГ } }- вектор узловых неизвестных конечного элемента в глобальной системе координат; {/}= ¡[к1а]г {p}dS - вектор узловых усилий;

- матрица преобразования локального

гг |

В настоящей работе реализована возможность использования полученного конечного элемента в расчётах напряженно-деформированного состояния тонких пластин, состоящих из нескольких слоёв материалов с различными физическими свойствами.

Рассмотрим трёхслойную пластину, загруженную произвольной нагрузкой. Выделим из неё пакет шестигранных объёмных элементов по толщине (рис. 1).

№

z

гы [0] [о]] Г[г ] [0] [01]

А = [0] Ы [0] ,[ф [0] [г ] [0]

[0] [0] ы [0] [0] [г ]

вектора {рУ } в глобальный вектор }.

_1_

Рис. 1

к

Рис. 2

На рис. 1 каждый внешний слой пластины представлен одним объёмным элементом, средний слой - двумя объёмными элементами. Количество элементов в слоях может варьироваться. Модуль упругости Е и коэффициент Пуассона 38

1x96

/ для внешних слоёв принимаются одинаковыми. Для среднего слоя эти велись I

чины являются другими с , /и .

Для отдельного объёмного конечного элемента принята нумерация узлов [1]: узлы нижней грани - i, ], ^ I узлы верхней грани - т, п, р, h (рис. 2).

Вектор узловых неизвестных шестигранного элемента внешнего слоя имеет

вид ={и и, х и, у и, г V V, х V, у V, г W W, х W, у W, г }, (9)

где и, V, w - компоненты вектора перемещений вдоль осей х, у , г соответственно.

Из-за различия физико-механических свойств материалов пластины компоненты вектора неизвестных общей узловой точки конечных элементов, принадлежащих к разным слоям, будут различными. Вектор (9) и его компоненты для узловой точки внутреннего слоя будут помечены штрихами.

Если в узловой точке, расположенной на границе раздела слоёв, узловые неизвестные элемента внешнего слоя принять за основные, то узловые неизвестные конечного элемента внутреннего слоя нужно выразить через основные соотношением

МТ = [ь] м. (10)

12x1 12x12 12x1

Для получения матрицы [Ь] используются следующие условия:

1. Равенство векторов перемещений граничного узла внешнего и внутреннего слоя v'=V, которое приводит к соотношениям

и '=и; V=V; w'=w. (11)

2. Равенство относительных деформаций вдоль координатных осей х и у, которое на основании соотношений Коши [2] приводит к выражениям

ди' ди; ду' ду (12)

дх дх' ду ду

3. Отсутствие разрывов на границах разделов приводит к равенствам

дw' дw; дw' дw (13)

дх дх' ду ду

4. Отсутствие проскальзывания на границах разделов слоёв приводит к равенствам касательных напряжений (т'х2 = <7хг, &'у2 = (7уг и углов сдвига

у'ху = уху, которые при использовании [2] приводят к соотношениям

ди' G ди дw (G Л дv' G дv дw (G Л ди' ди дv' дv _ ,ч

— =--+—I--11; — =--+—I--11, — =—; — =—, (14)

дг G' дг дх ^ G' ) дг G' дг ду ^ G' ) ду ду дх дх

где G - модуль упругости при сдвиге.

5. Равенство нормальных напряжений к границе раздела слоёв а'2г =ст

при использовании [2] приводит к соотношению

дw' Л+2и дw Л-Л' ди Л-Л' дv

-=-— —+--+--, (15)

дг Л+2/ дг Л+2/ дх Л'+2/ ду

где X и ^ - параметры Ламе.

Если элемент внутреннего слоя примыкает нижней гранью к элементу наружного слоя, то описанное преобразование выполняется для узлов i, ], ^ I (рис. 2), если верхней гранью - то для узлов т, п, р, h.

С использованием матрицы [Ь] формируется матрица преобразования матрицы жесткости и вектора узловых нагрузок конечных элементов внутреннего слоя, граничащих с элементами наружного слоя.

Пример расчёта. Определено напряжено-деформированное состояние трёхслойной пластины, защемлённой на левом конце, и загруженной на свободном крае линейной распределённой нагрузкой интенсивности q (рис.3).

Были приняты следующие исходные данные:

I = 0,2 м; Ь = 0,2 м; q = 100 Н/см; ^ = 0,002м; h2 = 0,006м; Е = 2-105 МПа;

Е' = 2-104 МПа; ц = 0,3; = 0,25.

По толщине пластина разбивалась на 10 равных дискретных элементов. По длине пластина разбивалась на 60 одинаковых элементов. При учете плоского напряженного состояния число степеней свободы системы равно 3926.

В таблице приведены результаты численного расчёта, где даны нормальные напряжения для точек 1, 2, . . . 4 (рис. 3). Штрихами отмечены точки, относящиеся к среднему слою панели.

Таблица

Напряжения Точки

МПа 1 2 2' 3' 3 4

-151.049 -85.783 -8.32 8.322 85.783 151.049

1.118 1.163 1.175 -1.163 -1.163 -1.118

Как видно, в граничных точках имеются скачки в значениях нормальных напряжений. Эпюра нормальных напряжений охх в поперечном сечении заделки, разделенном по высоте на 10 равных частей представлена на рис.4.

Условие равновесия по силам (Ех = 0) выполняется с точностью 6 = 0,00039%, а по моментам (ЕМУ = 0) точность составила 6 = 0,00025%. Анализ результатов показывает, что объёмный конечный элемент [1] пригоден для расчёта многослойных тонкостенных конструкций.

Ь

Рис. 3

1510.49

Рис. 4.

1S5.56

Л и т е р а т у р а

1. Киселев А .П. Метод конечных элементов в решении трёхмерных задач теории упругости// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. -2007. - № 4. - С. 11-17.

2. Самуль В. И. Основы теории упругости и пластичности.-М.: «Высшая школа», 1970. - 288с.

THE APPLICATION OF THREE-DIMENSIONAL FINITE ELEMENTS FOR STRENGTH ANALYSIS OF MULTILAYER PLATES

A.P. Kiselyov, N.A. Gureyeva, R.Z. Kiselyova

The possibility of using eight-node and six-edge finite elements with nodal unknown displacements and their derivative in strength analysis of thin plates consisting of several layers of materials with various physical properties is studied in the paper. 40