Использование теории кубатурных формул в задачах автоматического управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.3.07

С. А. Бронов, Р. Г. Рейфман

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ В ЗАДАЧАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Предлагается метод решения задач анализа поведения динамической системы и синтеза управляющих воздействий, основанный на использовании теории кубатурных формул и сопутствующей этому процедуре дискретизации непрерывного движения системы. В результате чего математическая модель представляется в виде системы линейных алгебраических уравнений, роль неизвестных в которых играют значения координат состояния и управления системы в фиксированные моменты времени. Это позволяет получить описание поведения системы и форму управляющих воздействий в конечном, аналитически представленном виде.

Методы решения задач синтеза управляющих воздействий для динамических систем в настоящее время представлены в широком спектре работ по теории управления, обзор современного состояния которого достаточно полно представлен в [1]. Однако в практическом приложении это многообразие методов редко позволяет достаточно просто и в то же время достаточно точно построить управление в конечной, аналитической форме.

В классическом представлении математическая модель линейной стационарной системы может быть записана в виде векторного уравнения

х(I) = А ■ х(I) + В ■ и({), (1)

где х($) = {х1 У)} - п-мерный вектор состояния системы; и(^) = {и1 (I)} - /-мерный вектор управления; А = {ау}, (I, ] = 1, п ) и В = {Ьу }, (I = \ п , ] = 1, /)- матрицы коэффициентов системы.

Постановка задачи управления: перевод системы из заданного начального состояния { х0} в заданное конечное состояние {хк } за определенный интервал времени Т.

Введем в рассмотрение множество функций - полиномы Эйлера {Е!, У)} (^ = 1, ж ), составляющие базис в функциональном пространстве координат состояния и управления. Полиномы Эйлера для (^ = 1, т ) определяются выражениями [2]

Е1И) = I - 2,

Е2 у) = /2 - (,

Ет (г) =

(1 - Ґ)

ж

(1 - г)2

Умножим каждое из уравнений системы (1) на одну из первых (т -1) функций данного множества и получим семейство (т -1) систем вида

хх (г) ■ Ех (г) = ахх ■ хх (г) ■ Ех (г) + аХ2 ■ х2 (г) х хКх(г) +...+аы ■ хп(г)■ Ех(г) +

+Ьхх ■ их(г)■ Ех(г)+Ь12 ■ и2(г)х хЕ1(г) +...+ЬХ1 ■ и1 (г) ■ Ех(г); х2 (г) ■ Е1 (г) = а21 ■ х1 (г) ■ Е1 (г) + а22 х хх2(г) ■ Ех(г) +...+а2п ■ хп (г) ■ Ех(г) +

+Ь21 ■ и1 (г) ■ Е1 (г)+Ь22 ■ и2 (г) х хЕ1(г) +...+Ь21 ■ и1 (г) ■ Ех(г);

хп (I) ■ Е1 (г) = аП1 ■ х1 (г) ■ Ех (г) + ап 2 х

хх2(г) ■ Ех(і) +... + апп ■ хп(г) ■ Ех(і) + +Ьп1 ■ щ(г)■ Е1(г) + Ьп2 ■ и2(г)х хЕ1(г) +... + Ьп1 ■ и1 (г) ■ Е1(г); х1 (г) ■ Е2(г) = ахх ■ х1 (г) ■ е2(г) + а12 х

хх2(г)■ е2(ґ) +...+аы ■ хп(г)■ Е2(г) + +Ь11 ■ и1(г) ■ Е2(г)+Ь12 х х и2 (г) ■ Е2(г) +...+ЬХ1 ■ и1 (г) ■ е2 (г); х2 (г) ■ Е2 (г) = а2Х ■ хх (г) ■ е2 (г) + а22 х х х2(г) ■ Е2(г) +... + а2п ■ хп(г) ■ Е2(г) + +Ь2х ■ их (г) ■ е2 (г) + Ь22 ■ и2 (г) х хЕ2 (г) +...+Ь21 ■ и1 (г) ■ Е2 (г);

*п (г) ■ Е2 (г) = апх ■ хх (г) ■ Е2 (г) + ап2 х х х2(г) ■ е2(ґ ) +...+апп ■ хп (г) ■ Е2(г) +

+Ьпх ■ их (г) ■ Е2(г) + Ь„2 х

х и2(г) ■ Е2(г) +...+Ьп1 ■ и, (г) ■ Е2 (г);

Хх (г) ■ Ек (г) = ап ■ хх (г) ■ Ек (г) + ах2 х х х2(г) ■ Ек (г) +...+аы ■ хп (г) ■ Ек (г) +

+Ьхх ■ их (г) ■ Ек (г) + Ьх2 ■ их (г) х хЕк(г)+...+Ьи ■ и,(г) ■ Ек(г); х2 (г) ■ Ек (г) = а2х ■ хх (г) ■ Ек (г) + а22 ■ х2 (г) х

хЕк(г) +...+а2п ■ хп(г) ■ Ек(г) +

+Ь2х ■ их(г) ■ Ек (г)+Ь22 ■ иг(г) х хЕк (г) +...+Ь21 ■ и, (г) ■ Ек (г);

(2)

Хп V) ■ Ек У) = ам ■ хх (Г) ■ Ек (Г) + ап 2 ■ х2 (Г) х

ХЕк (!) + ... + апп ■ хп (1) ■ Ек Ц) +

+Ьпх ■ их^)■ Ек(Г) + Ьп2 ■ и2(г)х

хЕк V) + ... + Ьп1 ■ и, Ц) ■ Ек «).

Проинтегрируем правые и левый части уравнений (2) на интервале , (т ], где (х - момент времени, соответствующий исходному состоянию системы; /т - момент времени, соответствующий конечной точке фазовой траектории:

Іъ(г) ■ Е3(г)Л = |^аы ■ хі(г)■ Е3(г)Мг-

к У=

+ІХ Ьу ■ и У (г) ■ Е„ (г )Мг.

г У1

Используя свойство интегрирование по частям и соотношение для полин.омов Эйлера

е* (г) = Е-х(г),

преобразуем левую часть выражения (3) к виду

гт гт /

| х (г) ■ Е* (г)йг = | [ (г) ххЕ* (г)] ]г -

1х 1х

1т

-| х (г) ■ Е* (г)йг =

гх

= - х (гх) ■ Е* (гх) + х (гт) х

гт

х Е* (гт) - * ]х1 (г) ■ Е*-х(г )Л'

b11 • C1 • E1(t1) ... b1l • Cm • E1 (tm )

(4)

кЬпх ■ Сх ■ Еп (гх) ... ЬА ■ Ст ■ Еп (гт )) ,

Используя понятие блок-матрицы, запишем (4) в виде следующего матричного уравнения:

Y

= (D D2)

Y

+ F •u , (5)

где Y =

/ \ У

■ n-мерный вектор начального состояния

/ \ Уп+і

системы; Y2.. m =

у У mn j

Рассмотрим на интервале [tx, tm \ конечный набор фиксированных моментов времени {tk }, (k = \m ) и правую часть (З) в соответствии с теорией кубатурных фор- вес™ых значений координат системы. мул (ТКФ) [З] заменим на сумму вида

- (mn - n) -мерный вектор неиз-

'Z'Zaij • ck • xj (tk) • Es (tk) +

j=1 k=1

l m

+ ^^bij • Ck • Uj (tk ) • Es (tk ) ,

j=1 k=1

Матрицы в уравнении (5) запишем выражениями

Ґ-E1(t1) О.О.О.ОЛ

О - E1(t1) О.......................О.О

Z1=

где ск - коэффициенты кубатурной формулы; Ел. (гк) -значение базисных функции в точке гк ; ху (гк), иу (гк) -дискретные значения координат состояния и управления.

Коэффициенты ск должны удовлетворять системе соотношений вида

гт т

І Еі (г)М = £ Ск ■ Еі (гк), і = 1, 2, 3, ... .

<, к=1

В соответствии с этими преобразованиями запишем Д = систему уравнений (2) в виде:

-ху (1х) ■ Ех (Іх) + ху (!т) ■Е,(гт) =

Z2 =

О.............О.........О -Es (tx) ...О

'О... Ei(tm) ...О......О............О

О..........О Ei(tm) ...О.........О

= ^Laij • ck • xj(tk) • Es (tk) +

j =1 k=1 m

+^Z Ck • Xj (tk ) • sEs-1(tk ) + k=1

l m

+ЪЪЬу • ck • uj(tk) • Ei(tk) ■

j=1 k=1

Введем следующие обозначения:

Уі = Xi(ti), y 2 = X2(ti), Уз = X1(t2),..., Ушп = Xn (tm ), U1 = Щ^іХ U2 = u2(t1),..., U„, = U, (tm )

о........о................о.о е (ґт )

4 /

сх ■ \.ах 1 ■ Е1(ч ) + Ео (ч )] ... сх ■ а1п ■ Ех (ч )

С1 ■ ап1 ■ Е (0 .... С1 [апп ■ Ет (0 + тЕт-1(0]

С2 ■ [а11 ■ Е1 (Ч2 ) + Е0(Ч2)] ... Ст ■ а1п ■ Е1(Гт )

С2 ■ ап1 ■ Е, (12) .... Ст \-аш ■ Е, ({т ) + *Е*-1({т )]

V /

где 2Х, 22, Бх, Б2 - подматрицы, размерность которых определяется размерностью векторов Ух и У2 т ; 2х и Бх имеют размерность [п х т(п -1)]; 22 и Б2 имеют размерность [т(п -1)хт(п -1)].

Произведем в (5) перегруппировку и получим

(22 - А )-У2т - Г ■ и = {БХ - 2Х )-¥х. (6)

Решая уравнение (5) относительно У2 т , можно получить дискретные значения координат траектории движения

\ ґ \ Уі

В этих переменных система уравнений (2) в матрич- системы (1) при заданном управляющем воздействии и (г):

Ът =( 2 - 02)-1 ■[( Вх - г,) ■ Гх + ^ ■ и ], и, в частности, свободное движение, равное

Г =(г 2 - в2 )- ■( - гх уг.

Эти уравнения можно рассматривать как дискретный аналог непрерывного решения уравнения (1): х(г) = 0(г - гх) ■ х(гх)+

ной форме будет выглядеть следующим образом: r-Ex(tx) О... Ex(tm )...О

О -Ex(tx).... О...Ex (tm)...

; \Ушп у

cx [aii • Ei(ti) + ^іЯ ..

Cm -^п • E1 (tm У

c a , E (t.) .... c [a •E (t ) + nE , (t )\

1 nl n\ W ^Lnn n\ m J п-^ m /J

+f G (t -т). Bu(T)d т

/ \ Уі

уУшп j

где 0(г - т) - матрицант системы (1).

Аналогично, как было сделано выше, соответствующей перегруппировкой в (4) получим матричное урав-

ЗІ

нение, обусловливающее подобную связь только с конечными координатами Ут системы:

и окончательно имеем

(т-Х)

( - Ох )-¥х

- Г ■и = (Б2 - 22 )-Ут

(7)

где Ух

(т-Х)

Ух

- (тп - п) -мерный вектор неизве-

7

стных; У =

Уп(т-Х)

У

■Уп(т-Х)+Х

Ут

- п-мерный вектор координат ко-

V /

нечного состояния системы.

Произведем группировку подматриц в (6) и (7), выделив в них элементы, соответствующие координатам векторов Гх и ¥т , для этого представим матрицы ((2 - В2) из (6) и (гх - вх) из (7) в виде блочных матриц, получаемых следующим образом:

(2 - В2 )У2 т =(*т К )

2..( т-Х)

— Я У _і- Я У •

_ 2..(т-Х) ^ ^т1 т ;

(2х - Ох )У1Лт-Х) =(х ^ )х

У

у

К12..(т-Х)

= ЯхУх + ЯхххУ,

2..(т-Х) 9

Ят-Уцт-Х) - Г ^ = (О - 2х )Ух - ЯтУ ';} ЯххХ ■У^т-Х) - Г ^ =(О - 22 )Ут - Ях У |

где У2.(т-Х)

(8)

/ Л

Уп+Х

Уп( т-Х)

2..(т-Х)

- (Яхт Ґ ■Г ^ = (БХт )-' х х(Ох - 2х )Ух - (Яхт Ґ ■Ят'Ут '; У2..(т-Х) - (^ХҐ ■Г ^ = (Яхх)-Х х

(9)

х(О2 - 2 2 )Ут - (Яхх)-^ Ях Ух Матрицы в уравнениях системы (9) одинаковой размерности, поэтому можно просуммировать левые и правые части, в результате получим

(хҐ - Ят Ґ ур-и = = (т ( (Ох - 2х )+ (БххУ ■Ях )х --{(ЯХт Ґ (т + (Я*ХҐ '(О - 2 2 )) ,

и=

(10)

где матрицы Яхт и Яхх имеют размерность [п(т -1)хп(т - 2)]; матрицы Ят и Ях - размерность [п(т - !) х п]. Преобразуем систему

неизвестные значения координат

системы.

Умножим слева оба уравнения системы (8) на (Яхт )-х и (Яхх )-х, соответственно, где взятие обратной матрицы понимается в соответствии с [4]:

"[(Г1 - (Яхт У ) ]-х х

()-х (Вх - гх) +(Бхх)-х А ) -[-((( )-х- Ят + (Яхх)-1 •( - г 2)).)

Таким образом, коэффициенты матрицы

[((Яхх)" - (Яхт )-х ) ) х( ( ■ ( - гх )+ (Б^ ■ Ях )

представляют ничто иное, как параметры регулятора, где в качестве входного сигнала для регулятора выступает вектор Ух = {х1 (гх)} .

В частном случае, когда речь идет о системе автоматического регулирования и координата х(г) играет роль координаты ошибки, конечное состояние системы соответствует началу координат фазового пространства, тогда вектор управления принимает более простой вид

и =[((Яхх)-х - (Яхт Г )]-х х

х [((Яхт )-х (Вх - гх)+(ЯххГ ■Ях ) )

Если число решений в (10) бесконечно, то для выделения единственного решения, естественно, необходимо добавить ограничения на параметры возможной траектории движения, например, зафиксировать ряд промежуточных значений х(гг), где число г можно выбрать таким образом, что матрицы в (10) будут квадратными. Также можно ввести ограничения и на управляющее воздействие. Что касается условия возможности существования единственности решения уравнения (10), то оно является обычным следствием теории линейных алгебраических систем [4].

Используя соотношение (10), можно достаточно просто получить решение и других задач анализа, например, критерий управляемости или наблюдаемости системы (1).

Рассмотренный метод может быть использован для линейных непрерывных систем - как стационарных, так и нестационарных, и позволяет получить закон управления рассматриваемой системы в виде конечного аналитического выражения относительно параметров системы.

Библиографический список

1. Синергетика и проблемы теории управления / под ред. А. А. Колесникова. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004.

2. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. М. : Наука, 1974.

3. Половинкин, В. И. Асимптотически наилучшие последовательности кубатурных и квадратурных формул / В. И. Половинкин // Теория кубатурных формул и вычислительная математика. Новосибирск : Наука, 1980.

4. Ланкастер, П. Теория матриц / П. Ланкастер. М. : Наука, 1978.

S. A. Bronov, R. G. Reifman USE OF KUBATUREN FORMULAS THEORY IN AUTOMATIC CONTROLING

The method of the decision of problems of the analysis of dynamic system behaviour and the operating influences synthesis , based on use of the kubaturen formulas theory and procedure of digitization of continuous movement of system accompanying is offered. Therefore the mathematical model is represented in the form of system of the linear algebraic equations, the role of unknown persons in which has values of condition coordinates and management of system at the fixed moments. It allows to receive the description of system behaviour and the form of operating influences in the final, analytical form.

Принята к печати в декабре 2006 г.

УДК 546.812.

Г. И. Баринов, Е. В. Бабкин

МЕТАСТАБИЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ И КИНЕТИКА ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ В ОКСИДАХ ЖЕЛЕЗА И ТИТАНА. ГЕОФИЗИЧЕСКИЙ АСПЕКТ

Излагаются результаты исследований полиморфных превращений оксидов железа в связи с термодинамическими условиями их образования. Обсуждается методика определения энергии активации данных процессов на основе термомагнитного анализа.

Имеющиеся в настоящее время данные петромагнит-ных исследований горных пород различного происхождения показывают, что формирование аномального геомагнитного поля обусловлено магнитоминералогическими процессами, протекающими в толще магнитоактивного слоя Земли. Оксиды железа, определяющие магнитные свойства магматических и большей части метаморфических пород, участвуют в этих процессах с момента своего зарождения.

Исследования базальтов рифтовых зон, являющихся молодыми геологическими образованиями, показали, что кристаллизация первичных магнитных минералов определяется равновесными термодинамическими условиями в магмовом очаге [1]. Естественно, что после своего образования, оказываясь в новых термодинамических условиях, минералы становятся неустойчивыми или метастабильными и способны переходить в другие формы. При этом возможны переходы двух типов: во-первых, минерал, не изменяя своего состава, претерпевает переход в другие устойчивые кристаллические формы, и во-вторых, неустойчивый минерал или ряд неустойчивых минералов разлагается на серию более устойчивых и имеющих в сумме тот же химический состав, что и первоначальный минерал.

Несмотря на большое количество работ, посвященных изучению магнитных свойств природных и синтезированных образцов оксидов железа, вопросы, связанные с метастабильностью данных соединений, не получили полного освещения и требуют проведения дополнительных исследований. Все эти процессы характерны для наиболее распространенных магнитных минералов, таких как магнетит, иоцит, маггемит, титаномагнетиты.

Стабилизация фазы маггемита и ее магнитные свойства. Маггемит у - Fe2O3 является кубической модификацией оксида железа, которая образуется в процессе

окисления магнетита. В ряде месторождений он представляет продукт термической диссоциации инидокроита у - FeOOOH и сидерита FeCO3. Маггемит имеет кристаллическую решетку шпинели, в которой часть катионных позиций вакантна. По данным [2], маггемит может существовать в форме тетрагональной структуры с упорядоченным расположением катионных вакансий в октаэдрической подрешетке.

Маггемит - метастабильная фаза. При температурах выше 220 °С он необратимо переходит в ромбоэдрическую антиферромагнитную фазу гематита а - Fe2O3. По этой причине непосредственное измерение температурной зависимости намагниченности и температуры Кюри маггемита невозможно. В [3] на основе расчета обменных взаимодействий между ионами железа, находящихся в тетраэдрических и октаэдрических позициях значение температуры Кюри определено как 770 °С. В связи с проблемой измерения температуры Кюри возник вопрос о стабилизации фазы у - Fe2O3. Стабилизировав кристаллическую решетку шпинели у - Fe2O3 введением ионов натрия, получено экспериментальное значение температуры Кюри 675 °С [4]. Попытки замещения ионов железа трехвалентными ионами алюминия и хрома также привели к противоречивым результатам относительно температуры Кюри [5]. Таким образом, вопрос о высокотемпературных магнитных свойствах до последнего времени оставался открытым.

Возможность получения фазы маггемита, стабильной в широкой температурной области, представляет интерес не только для геофизических исследований, но и для физики твердого тела в целом. Даже такое уникальное явление, как слабое искажение кристаллической решетки при переходе из кубической шпинельной структуры в ромбоэдрическую при неизменном состоянии ионов в оксиде Fe2O3 и вызванная им глобальная