CC BY
19УДК 576/8
Vladislav A. Kholodnov1, Marina Yu. Lebedeva2
THE USE OF FREE SOFTWARE FOR SOLVING PROBLEMS OF MULTI-OBJECTIVE OPTIMIZATION IN CHEMICAL ENGINEERING
Saint-Petersburg state technological Institute (Technical University) Branch of the "national research University "MPEI" in Smolensk
St Petersburg State Institute of Technology (Technical University), Moskovsky Pr., 26, St Petersburg, 190013, Russia Branch "National Research University" «MPEI» in Smolensk Energetichesky Pr-d, 1, Smolensk, 214013, Russia e-mail: holodnow@yandex.ru
The article deals with current problems of optimization: questions of correctness of the constructed statistical models: multiobjective optimization methods suitable for solving problems of chemical technology, and the use of free software to solve such kind of problems. When building a mathematical model of the process under study discusses the problem of the correct methods of constructing the statistical model in the context of the following aspects: the adjusted criterion of adequacy, the independence of the factors and the absence of multicollinearity. Provides the mathematical formulation of practical problems of multicriteria optimization and the results of their decisions using the Internet-client-server applications "NEOS Server: State-of-the-Art Solvers for Numerical Optimization" and a free system for mathematical calculations "GNU Octave".
Key words: multicriteria optimization, a statistical model, the criterion of the determination, the software GAMS, and the NEOS Server.
DOI 10.15217/issn1998984-9.2018.43.91
Введение
Среди причин многокритериальности задач химической технологии можно выделить:
1. Множественность разнообразных требований, которые предъявляются к характеристикам получаемых веществ.
2. Необходимость обеспечения функциональной полноты показателей, для химико-технологических систем (технологических, экономических, экологических и т.д.).
Существует большое количество методов и программ для решения такого рода задач [1]. 1
В статье рассматриваются методы решения задач многокритериальной оптимизации с использованием свободного программного обеспечения, пригодные для практического применения.
В качестве свободного программного обеспечения выбраны две среды, доступные любому пользователю: система моделирования высокого уровня для
1. 2.
В.А. Холоднов, М.Ю. Лебедева
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОБОДНОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МНОГОЦЕЛЕВОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Московский пр. 26, Санкт-Петербург, 190013, Россия
Филиал «Национальный исследовательский университет «МЭИ» в г. Смоленске Энергетический проезд, дом 1 , г. Смоленск, 214013, Россия. e-mail: holodnow@yandex.ru
В статье рассматриваются актуальные проблемы оптимизации: вопросы корректности построения статистических моделей; методы многокритериальной оптимизации, пригодные для решения задач химической технологии, и использование свободного программного обеспечения для решения подобного рода задач. При построении математической модели исследуемого процесса обсуждается проблема корректной методики построения статистической модели в разрезе следующих аспектов: скорректированный критерий адекватности, независимость факторов и отсутствие мультиколлинеарности. Приводятся математические постановки практических задач многокритериальной оптимизации и результаты их решения с использованием интернет-клиент-серверного приложения «NEOS Server: State-of-the-Art Solvers for Numerical Optimization» и свободной системы для математических вычислений «GNU Octave».
Ключевые слова: многокритериальная оптимизация, статистическая модель, критерий детерминации, программное обеспечение GAMS, NEOS Server.
математического программирования и оптимизации «GAMS» и свободная система для математических вычислений «GNU Octave», использующая совместимый с MATLAB язык высокого уровня.
«GAMS» является одним из самых популярных входных форматов для NEOS сервера. «NEOS Server: State-of-the-Art Solvers for Numerical Optimization» - это бесплатный интернет-сервис для решения численных задач оптимизации использованием программы «GAMS» (General Algebraic Modeling System) [2]. При этом пользователь может решать свою задачу дистанционно с помощью мощных вычислительных средств и получать результаты на электронную почту [3]. Свободная программа «Octave» -удачный симбиоз систем «Scilab» и «Matlab» [7].
Метод главной компоненты [4] заключается в том, что критерий качества связывается с одним из показателей выбранных в роли основного (главного). На остальные показатели накладываются ограничения.
Холоднов Владислав Алексеевич, д-р техн. наук, профессор, каф. системного анализа, СПбГТИ(ТУ), e-mail: holodnow@yandex.ru Vladislav A. Kholodnov, Dr Sci. (Eng.), Professor, Department of System Analysis and information technology SPSIT(TU) Лебедева Марина Юрьевна, канд техн. наук, доцент, каф. менеджмента и информационных технологий в экономике, Филиал НИУ «МЭИ»в г. Смоленске
Marina Yu. Lebedeva, Ph.D. (Eng.), Assistant Professor, Department. management and information technology in the economy Branch "National Research University" «MPEI» in Smolensk
Дата поступления 9 ноября 2017 года
Математическая постановка задачи имеет следующий вид: найти
X* = argminFfi(x)
хеХ
с учетом ограничений на параметры оптимизации x
inf х < х < sup X и на остальные критерии оптимальности F(x): in/F (х) < Fj (х) < sup Fj (х) или при выполнении условия для остальных параметров оптимизации:
Fj (х) < £( , i = 1 ,. . i R.
Принцип справедливого компромисса. Обобщенная функция желательности Харрингтона
[4]. Этот метод преобразует многокритериальную векторную задачу в скалярную, для решения которой может быть применен стандартный алгоритм оптимизации.
Метод достижения цели на основе маргинальных решений [4, 5] включает в себя выражение для множества намерений разработчика F * = {F* ,F2* ,. . .,F„; }, которое связано с множеством целей FX = {F1(X), F(x), ■ ■■,Fm(x)} учетом ограничений на параметры оптимизации х infx x< supx.
Относительная степень поставленных намерений контролируется посредством вектора взвешенных коэффициентов ю = {o>i, ю2,.., ют} и может быть представлена как стандартная задача оптимизации с
помощью следующей формулировки: найти
( ),
при условии, что Fj (х) — 60j ■ у « Fj ,
i = 1,. . ,,m.
Член (ю/ у) вносит в данную задачу элемент ослабления, что, иначе говоря, обозначает жесткость заданного намерения. Весовой вектор w дает исследователю возможность достаточно точно выразить меру взаимосвязи между двумя целями.
Рассмотрим реализацию перечисленных методов решения задач многоцелевой оптимизации для примера, характерного для химической технологии.
В лабораторных условиях исследовалось влияние на процесс кристаллизации полугидрата сульфата кальция
температуры и состава раствора (концентрации фосфорной кислоты и содержания в ней примесей (Ре203, А1203, Б^е2", БОЛ [6].
Показателями процесса служили следующие параметры:
у1 - скорость кристаллизации, характеризующаяся степенью перехода СаБО^НЪО в СаБ04^0,5И20, %; у2 - время фильтрования, с; уз - захват фосфат-ионов, % Р2О5; у4 - размер кристаллов полугидрата, мкм. При проведении вычислительного эксперимента использовался ротатабельный план второго порядка? и учитывалось отсутствие мультиколлинеарности [4]. Факторы и диапазоны их изменения приведены в таблице 1.
Таблица 1. Факторы и диапазоны изменения переменных
Примеси SO42", % SiF2-, % AI2O3 , % P2O5, % T °С Fe2O3, %
Центр плана 2,50 0,75 1,35 46,5 95 1
Интер-
вал варьирования 1,32 0,38 0,34 3,96 5 0,52
X] = +1 3,82 1,15 1,7 51,46 100 1,53
X/ = -1 1,18 0,35 1 43,54 90 0,48
X = + 1,895 5 1,5 2 55 105 2
X = -1,895 0 0 0,7 40 85 0
На основании обработки экспериментальных данных и отсева незначимых коэффициентов, получены следующие уравнения регрессии с использованием функции «sqp» программы «Octave» [7]:
Для y - скорость кристаллизации, характеризующаяся степенью перехода в CaSO4^,5H2O, %:
У! = 8 9 ,4 + 9, 3 ■ — 6, 5 ■ х2 + 7 ■ х4 + 4, 5 ■ х5 — 5, 1 ■ х, + 5 , 6 ■ ■ х2 — 5 ,4 ■ ■ х4 + 5 , 9 ■ х2 ■ х4 + 3 ,9 ■ х3 ■ х6. Для у2 - время фильтрования, с:
у2 = 56,5 + 9,5 ■ х2 + 20,5 ■ х3 + 46,8 ■ х4 - 7,4 ■ х5 + 18,9 ■ х6 + 8 ■ х2 ■ х3 + 10,9 ■ х3 ■ х4 - 9,3 ■ х4 ■ х5 + 16,6 ■ х4 ■
хб +2 0,2 ■х, .
Для у3 - захват фосфат-ионов, % Р205: у3 = 1,9 + 0,3 ■ х3 + 0,54 ■ х4 - 0,27 ■ х5 + 0.14 ■ х6 + 0,56 ■х1-х2 + 0,15 ■ ■ х3 - 0,18 ■ х± ■ х4 + 0,27 ■ х± ■ х5 + 0,21 ■ х2 ■ х3 + 0,24 ■ х2 ■ х5 + 0,23 ■ х3 ■ х4 — 0,42 ■ х3 ■ х5 — 0,26 ■ х3 ■ х6 — 0,27 ■ х4 ■ х5 + 0,05 ■ х4 ■ х6 + 0,3 ■ х2 + 0,2 ■ х1 - 0,61 ■ х| Для у4 - размер кристаллов полугидрата, мкм:
у4 = 16,5 - 0,8 ■ х2 - 0,8 ■ х5 - 1,3 ■ х4 - 0,6 ■ х6 - 0,7 ■ х2 ■ х5 - 0,8 ■ х\ - 1.4 ■ х| - 1,1 ■ х| - 0,7 ■ х26
Очень важно, что в качестве критерия адекватности получаемых уравнений регрессии использовался скорректированной коэффициент детерминации:
?2 _ Л _ ГЛ _ о2> "-1
для
R
1 - (1-й 2)-
п—т—1
В данном случае, коэффициент детерминации скорректирован на число экспериментальных точек п = 48 и число подбираемых коэффициентов т.
В таблице 2 приведены значения коэффициента детерминации и скорректированного критерия детерминации для полученных уравнений регрессии.
Одним из важнейших условий построения статистической модели является независимость воздействия факторов и отсутствие мультиколлинеарности. В нашем случае матрица парных коэффициентов корреляции подчеркивает независимость факторов и отсутствие мультиколлинеарности.
Таблица 2. Значения коэффициента детерминации и _скорректированного критерия детерминации
Уравнение регрессии
1 2 3 4
Число подбираемых параметров 10 11 18 10
Коэффициент детерминации 0,88 0,91 0,90 0,92
Скорректированный коэффициент детерминации 0,84 0,88 0,83 0,90
С использованием полученной корректной модели процесса были решены задачи многокритериальной оптимизации.
in/ 3 < у3 (хх ,х2 , х3 , х4, х5, х6) < sup 3 ,
i п/ 4 < У4 (Xi , Х2 , х з , Х4, X 5, Хб) < SUp 4.
На оптимизирующие переменные также наложены ограничения:
in fx i < Xj < supXi Для решения воспользуемся NEOS-сервером оптимизации (GAMS). Ниже приведен текст программы в General Algebraic Modeling System (GAMS) и результаты решения.
Метод главной компоненты
В соответствии с данной стратегией в качестве главного критерия выбираем, например, y1 (скорость кристаллизации).
Задачу оптимизации запишем в следующем виде:
найти
X* = argmaxy1 (х1(х2 ,х3 ,х4,х5 ,х6)
ХЕХ
Остальные критерии примем в качестве функциональных ограничений:
iп/ 2 < У2 (х1; х 2, х з , х4, х 5, хб) < sup 2 ,
Листинг программы решения задачи VARIABLES z;
FREE VARIABLES x1, x2, x3, x4, x5, x6;
EQUATIONS Conl, Con2, Con3, Con4, Con5, Con6, Con7, Con8,
Con9, Con10, Con11, Con12, Con13, Con14, Con15, Con16, Con17, Con18, Obj;
Conl.. x1=L=1 ; Con2.. x1=G=-1; Con3.. x2=L=1; Con4.. x2=G=-1;
Con5.. x3=L=1; Con6.. x3=G=-1; Con7.. x4=L=1; Con8.. x4=G=-1;
Con9.. x5=L=1; Con10.. x5=G=-1; Con11.. x6=L=1; Con12.. x6=G=-1;
Con13.. 56.5+9.5*x2+20.5*x3+46.8*x4-7.4*x5+18.9*x6+8*x2*x3
+ 10.9*x3*x4-9.3*x4*x5+16.6*x4*x6+20.2*x4*x4=L=210;
Con14.. 56.5+9.5*x2+20.5*x3+46.8*x4-7.4*x5+18.9*x6+8*x2*x3
+ 10.9*x3*x4-9.3*x4*x5+16.6*x4*x6+20.2*x4*x4=G=20;
Con15.. 1.78+0.32*x3+0.82*x4-0.3*x5+0.3*x6+0.5*x1*x2
+0.16*x1*x3-0.28*x1*x4+0.3*x1*x5+0.18*x2*x3+0.32*x2*x5+0.23*x3*x4
-0.39*x3*x5-0.25*x3*x6-0.36*x4*x5+0.29*x4*x6+0.33*x1*x1-0.22*x4*x4-0.22*x6*x6=L=5;
Con16.. 1.78+0.32*x3+0.82*x4-0.3*x5+0.3*x6+0.5*x1*x2
+0.16*x1*x3-0.28*x1*x4+0.3*x1*x5+0.18*x2*x3+0.32*x2*x5+0.23*x3*x4
-0.39*x3*x5-0.25*x3*x6-0.36*x4*x5+0.29*x4*x6+0.33*x1*x1+0.22*x4*x4-0.22*x6*x6=G=0;
Con17.. 16.5-0.8*x2-0.8*x5-1.3*x4-0.6*x6-0.7*x2*x5-0.8*x1*x1-1.4*x2*x2
-1.1 *x5 *x5-0.7*x6*x6=L=13;
Con18.. 16.5-0.8*x2-0.8*x5-1.3*x4-0.6*x6-0.7*x2*x5-0.8*x1*x1-1.4*x2*x2 -1.1*x5*x5-0.7*x6*x6=G=6;
Obj.. 89.4+9.3*x1-6.5*x2+7*x4+4.5*x5-5.1*x1*x1+5.6*x1*x2 -5.4*x1*x4+5.9*x2*x4+3.9*x3*x6 =e=z; MODEL PROBLEM /ALL/; Options LP=Cplex;
SOLVE PROBLEM USING NLP MAXIMIZING Z; DISPLAY x1.L, x2.L, x3.L, x4.L, x5.L, x6.L, z. VARIABLE x1.L = 0.931 VARIABLE x2.L = 1.000 VARIABLE x3.L = -1.000 VARIABLE x4.L = 1.000 VARIABLE x5.L = 1.000 VARIABLE x6.L = -1.000 VARIABLE z.L = 108.624
Принцип справедливого компромисса. Обобщенная функция
желательности
Одним из наиболее удачных способов решения задачи оптимизации процессов с большим количеством критериев является использование предложенной Харрингтоном обобщенной функции желательности й. Для ее построения измеренные значения критериев преобразуются в безразмерную шкалу желательности б. Построение шкалы желательности, которая устанавливает соотношение между значением критерия у и соответствующим ей значению б (частной функцией желательности), является в своей основе субъективной, отражающей отношение эксперта к отдельным критериям. Для построения шкалы желательности удобно использовать метод количественных оценок с интервалом значений желательности от нуля до единицы. Значение б = 0 (или й = 0) соответствует абсолютно неприемлемому значению критерия; а б = 1 (й = 1) - самому лучшему значению. Промежуточные значения функции желательности и соответствующие им числовые отметки приведены в таблице 3.
Такой выбор числовых отметок объясняется удобством вычислений.
Построенная в соответствии с таблицей 3 шкала б, представляет собой безразмерную шкалу, при помощи которой любой критерий может быть преобразован так,
чтобы его можно было интерпретировать в терминах полезности или желательности для любого специфического применения.
Значение функции желательности Характеристика качества объекта или изделия
1,00 Лучший уровень качества
0,80 Хороший уровень качества
0,63 Средний уровень качества
0,37 Минимально допустимый уровень качества
0,20 Низкий уровень качества
0,00 Абсолютно неприемлемое качество
Для односторонних ограничений вида у < у так или у > Утп удобной формой преобразования у в б служит экспоненциальная зависимость:
с? = е хр[ - е хр( - ус)].
В формуле Ус=Ьо + Ь коэффициенты Ьо, Ь определяются по реперным точкам, если задать для нескольких значений свойства у соответствующие значения функции желательности б (предпочтительно в интервале 0,2 < б < 0,8).
Имея несколько критериев, преобразованных в шкалу б можно при помощи арифметических операций
скомбинировать некий обобщенный показатель желательности й.
Математическим выражением, отвечающим требованиям, служит среднее геометрическое функций желательности:
к
этим частных
D = ^d L ■ d
или
d2 ■ ...
какое-либо
D = e xp(! ■ l n( d 1
dfc)).
= 0, то
Очевидно, что если какое-либо одно а! соответствующее й = 0. Более того, на й сильно влияют именно наименьшие значения а. В то же время й = 1 только тогда, когда все частные желательности а! = 1. С обобщенной функцией желательности й можно производить все вычислительные операции, как и с любым критерием
системы, можно использовать й в роли критерия оптимизации.
Метод справедливого компромисса. Максимизация обобщенной функции желательности
Полученные уравнения регрессии были использованы для решения задачи максимизации обобщенной функции желательности й процесса кристаллизации полугидрата сульфата кальция. Оптимизацию процесса необходимо проводить по четырём показателям. На основе экспериментальных данных были выбраны следующие значения а1, а2, а3, а4, соответствующие двум базовым отметкам на шкале желательности (см. таблицу 4).
Таблица 4. Реперные точки для определения функций принадлежности
Показатели процесса И, y с y, % y4, мкм
Значение свойства 9S 25 5,3 245 0,027 5,75 19 б,1
Числовые отметки по шкале желательности а 0,S 0,2 0,S 0,2 0,S 0,2 0,S 0,2
Для нахождения коэффициентов Ьо, Ь была использована функция решения систем нелинейных уравнений «fsolve» системы математических вычислений «Octave». Были получены следующие функции принадлежности: = ехр(— ехр(1. 1 5 — 0.02 7 ■ ух)), d2 = ехр( — ехр(—1.54 + 8.2 4 ■ 1 0 - 3 ■ у2)),
d3 = ехр( — ехр(—1.5 1 + 0. 345 ■ у3)), ( ( )).
Задача оптимизации была сформулирована в следующем виде: найти
X* = а^тах£>жЫ(х1,х2 ,Xg ,х4,х5,х6) , 1
Д(х1,х2 ,хз ,х4,х5 ,Хб) = ехр(-Чп« ■<<, ■dg ■ <¿4))
при наличии ограничений на параметры оптимизации -1,9 < x< 1,9 .
Поиск оптимального компромиссного решения был выполнен с использованием функции «sqp» для решения классических оптимизационных задач с ограничениями в программе «Octave». Найденное решение имеет вид: хг = 0.55, х2 = -0.54, х3 = -1.9, х4 = -1.4, х5 = — 0 . 2 4, х6 = — 1 . 9 , 0(х1,х2 ,хз,х4,х$ , хб ) = 0 . 8 2 Задача нахождения оптимального решения на основе маргинальных значений [4] и метода достижения цели [5] была сформулирована в следующем виде: найти минимум
X* = argminxe;f Д(х1,х2,хз,х4,х5 ,хб) ,
где
R (х1, х2, хз, х4, х5 ,х6) = £ 4= 0R ¿(х1, х2, х3, х4, х5, х6),
D ( Л _ (У щар г - У 1 'ж4
R i (х1, х2, х3, х4, х5,х6) = I ) .
\ Vi марг /
при наличии ограничений -1,9 < Xj < 1,9; умарг - маргинальное или желаемое значение j-го критерия.
Найденное с помощью программы «GAMS» решение имеет вид:
xi = 0.37, Х2 = -1.9, хз = 0.68, х4 = -1.36, х5 = 0 . 8 9 , х6 = 0 . 8 5 . При этом обобщенная функция желательности
D(xi, X2, X3, X4, X5, Xa) = 0,75
Выводы
Корректная методика построения статистической модели должна обязательно учитывать следующие аспекты: скорректированный критерий адекватности, независимость факторов и отсутствие мультиколлинеарности.
Использование свободного программного обеспечения «GAMS» и «GNU Octave» позволяет эффективно решать задачи многокритериальной оптимизации.
Литература
1. Trifonov A.G.. Mnogokriterial'naya optimizatsiya. Rezhim dostupa: http://matlab.exponenta.ru/optimiz/book_1/16.php (дата обращения 14.10.2017).
2. Kallrath J. Algebraic Modeling Systems: Modeling and Solving Real World Optimization Problems. Applied Optimization, Vol. 104: Springer Science & Business Media, 2012. 254 p.
3. Neos-server. URL: https://neos-server.org/neos/ (дата обращения 14.10.2017).
4. Холоднов В.А, Лебедева М.Ю., Пунин А.Е., Хартманн К. Системный анализ и принятие решений. Компьютерные технологии решения задач многоцелевой оптимизации систем: учеб. пособие. СПб: СПбГТИ(ТУ), 2006. 153 с.
5. Gembicki F.W. «Vector Optimization for Control with Performance and Parameter Sensitivity Indices» Ph.D. Thesis, Case Western Reserve Univ., Cleveland, Ohio, 1974.
6. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии. М.: Высшая школа, 1985. 205 с.
7. Octave. URL: http://www.gnu.org/software/octave (дата обращения 14.10.2017).
References
1. TrifonovA.G.. Mnogokriterial'naya optimizatsiya. Rezhim dostupa: http://matlab.exponenta.ru/optimiz/book_1/16.php
(дата обращения 14.10.2017).
2. Kallrath J. Algebraic Modeling Systems: Modeling and Solving Real World Optimization Problems. Applied Optimization, Vol. 104: Springer Science & Business Media, 2012. 254 p.
3. Neos-server. URL: https://neos-server.org/neos/ (дата обращения 14.10.2017).
4. Holodnov V.A., Lebedeva MJu, Punin A.E, Hartmann K. Sistemnyj analiz i prinjatie reshenij. Komp'juternye tehnologii reshenija zadach mnogocelevoj optimizacii sistem: ucheb. posobie. SPb: SPbGTI(TU), 2006. 153 s.
5. Gembicki F.W. «Vector Optimization for Control with Performance and Parameter Sensitivity Indices» Ph.D. Thesis, Case Western Reserve Univ., Cleveland, Ohio, 1974.
6. Ahnazarova S.L., Kafarov V.V.Metody optimizacii jeksperimenta v himicheskoj tehnologii. M.: Vysshaja shkola, 1985. 205 s.
7. Octave. URL: http://www.gnu.org/software/octave (дата обращения 14.10.2017).
