Использование процессов с непрерывным временем в исследовании стохастических рекуррентных последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.21

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ В ИССЛЕДОВАНИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ РЕКУРРЕНТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

А. А. Голдаева

1

В работе предлагается новый подход, связанный с рассмотрением стохастических разностных последовательностей как последовательностей наблюдений (в детерминированные или случайные моменты времени) процесса с непрерывным временем, заданного стохастическим дифференциальным уравнением.

Ключевые слова: стохастические разностные уравнения, индекс хвоста, стохастические дифференциальные уравнения, преобразование Лапласа.

The paper proposes a new approach connected with consideration of stochastic difference sequences like sequences of observations (in deterministic or random moments of time) of a continuous time process satisfying a stochastic differential equation.

Key words: stochastic difference equation, tail index, stochastic differential equation, Laplace transformation.

1. Бведение. Рассмотрим процесс УП, п ^ 1, удовлетворяющий стохастическому разностному уравнению

где (An,Bn), n ^ 1, — независимые, одинаково распределенные пары неотрицательных случайных величин.

Известно, что стационарные процессы вида (1) при довольно общих условиях обладают двумя важными свойствами, относящимися к поведению их экстремумов: стационарное распределение имеет степенной хвост, а максимум Mn = max{Yi,..., Yn} при n ^ то растет асимптотически, как максимум [On] независимых случайных величин с тем же распределением.

Процессы (1) изучаются начиная с работы [1]. В работе [2], которая посвящена исследованию двух числовых характеристик — индекса хвоста к и экстремального индекса O, найдены общие формулы для них, но они не дают ответа в явном виде и результат может быть получен только численно.

Исследования в данной области ведутся давно, но многие вопросы остаются открытыми. Аналитические результаты получены только в некоторых частных случаях. Так, в работе [3] найдены индексы к и O для логлапласовского случая (см. далее пример 2). Поэтому представляет интерес поиск других случаев, когда индексы могут быть выписаны в явном виде, и разработка подходов, позволяющих исследовать их аналитически.

Целью данной работы является нахождение явной формулы индекса хвоста к, для чего предлагается новый подход, состоящий в рассмотрении некоторых последовательностей, удовлетворяющих (1), как последовательностей наблюдений процесса с непрерывным временем, заданного стохастическим дифференциальным уравнением. В дальнейшем предполагается использовать этот подход также для изучения экстремального индекса O.

Отметим, что уравнение (1) может иметь различные приложения. Например, оно может описывать динамику некоторого денежного фонда [4, § 8.4.1], куда через определенные промежутки времени поступают вклады (величины Bn), а в остальное время изменения капитала происходят пропорционально его величине (со случайными коэффициентами An), причем учитываются как доходы, так и расходы.

Дальнейшие рассуждения будут опираться на следующую теорему.

Теорема A [2]. Пусть процесс Yn, n ^ 1, удовлетворяет уравнению (1), пусть

1) существует такое число к > 0, что EAK = 1, EA^ ln+ Ai < то, 0 < EBf < то;

2) распределение Bi/(1 — Ai) невырождено, а распределение ln Ai при условии, что Ai = 0,не решетчатое.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1 Голдаева Анна, Алексеевна — ассист. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Yn = An Yn-i + Bn, n ^ 1, Yo ^ 0,

(1)

7 ВМУ, математика, механика, № 6

1) уравнение У^> = А^ + Бг, где У^ и (А1,Б1) независимы, имеет единственное решение Ус == Б3 Ш=1 Аг;

2) если в (1) положить Уо = У^, то процесс {Уп} будет стационарным;

3) при любом начальном условии процесса {Уп} имеет место Уп Д У^, п дж;

4) существует постоянная с > 0, такая, что Р(Уте > х) ~ сх-к при х дж;

5) процесс Уп имеет экстремальный индекс в, вычисляемый по формуле в = Р(\/с=1 Ш=1 Аг ^

у-1)ку-к-1 йу, причем если ап = п-1/к, то Ишп^с Р(апМп ^ х) = ехр(—свх-к) для всех х > 0.

Заметим, что поведение процесса (1) в достаточно общем случае определяется только величинами Ап. Другими словами, если два процесса вида (1) заданы парами случайных величин (Ап,Бп) и (Ап,Бп), п ^ 1, соответственно, причем эти пары удовлетворяют условиям 1, 2 теоремы А, то оба процесса имеют одинаковые индексы хвоста к и одинаковые экстремальные индексы в. Таким образом, нет необходимости, чтобы конкретный процесс (1) представлялся в виде последовательности наблюдений процесса с непрерывным временем, достаточно, чтобы такое представление имел некоторый процесс с такими же коэффициентами Ап.

2. Основные результаты. Рассмотрим случайный процесс (Х^^о, удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению

йХг = (с - й • Х4) йг + (гХгйШг, Х0 = х, (2)

где Ш — стандартное броуновское движение, с € М, й > 0, а > 0. Вид этого уравнения подобран так, чтобы из него получалось уравнение (1), что будет показано далее.

Согласно [5, теорема 5.2.1], уравнение (2) имеет единственное ¿-непрерывное решение. В работе [6]

2

для случая с > 0, (I > — это решение представлено в явном виде:

Хг = (х + с ^ с^, 0.

2

Обозначим а = — (с? + тогда решение уравнения (2) перепишется следующим образом:

Х4 = еа1+аШг( х + ^* Л, г ^ 0. (3)

Также в работе [6] в явном виде указана плотность стационарного распределения:

— 2<г — 1 —1 = (Г(^ + 1))~ аг^-'ехр^раг1), * > 0,

и найден индекс хвоста к = ^ + 1 = —

Заметим, что если случайная величина Хо не зависит от процесса Ш и имеет стационарное распределение, то процесс (3) является стационарным.

Лемма. Пусть А — неотрицательная случайная величина, Ш — стандартное броуновское движение, А и Ш независимы, А = , а < 0, а > 0. Рассмотрим, функции ф(в) = ЕАЯ и (р(п) = Ев-ил —

2

Доказательство. Имеем

преобразование Лапласа случайной величины А. Тогда 1р(в) = (р ( — ав — ].

ф(в) = Ев(аА+а№л)з = Е(Ев(аА+а№л)з\А) = = Е ехр (-(М2~2а^)2) ¿и = = <р(-аз -

Лемма доказана.

Следствие 1. Пусть случайная величина А представляется в виде

А £ еаА+^«, (4)

о

где А — неотрицательная случайная величина, £ имеет стандартное нормальное распределение, А и £ независимы, а < 0, а > 0. Тогда выполняется равенство = ф(к — в), где к = —

2а а?'

Доказательство. Пусть <^(и) — преобразование Лапласа случайной величины А. Применим лемму:

ф(к -з)=ф =<р а - ^ - У ^ = Ч> (-ав - у«2^) =

Следствие доказано.

Следствие 2. Пусть ^(з) = ЕА5, где А — некоторая неотрицательная случайная величина. Если

функция ф(з(и)), где в (и) = — ^ + л/а,2~|сг2ц или в (и) = — — л/а,2~2сг2"-, а < 0, а > 0, являет,ся преобразованием Лапласа некоторой неотрицательной случайной величины А, то величина А представляется в виде (4).

о2 „ 2 ■

Доказательство. По лемме имеем = (р ^—ав — , где <р(и) — преобразование Лапласа

случайной величины А. Выразив как функцию и из уравнения —аз — ^в2 = и, получим в (и) =

— ^т + ^а2~2сг2" или в (и) = — -¿р — Л^а,2~2сг2". Подставляя эти выражения в ф(з), приходим к требуемому утверждению.

Следствие доказано.

Теорема. Пусть А = еаЛ+°"Л^57 где £ имеет стандартное нормальное распределение, А — неотри-

_ 2 а | -I

цательная случайная величина, причем ЕА ^ < оо, а < 0, а > 0. Рассмотрим процесс X, задаваемый стохастическим дифференциальным уравнением (2), в котором с > 0 — произвольная постоянная,

<1 = —(а + Рассмотрим также случайные величины Ап = А, независимые в совокупности и, не зависящие от процесса Ш; Тп = ^П=1 Аг, Уп = Хуп, п ^ 1. Тогда Уп удовлетворяют всем условиям

теоремы А, Ап = А, п ^ 1, причем индекс к = —

Доказательство. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение (2), в котором положим

2

(I = — (а + Тогда решение этого уравнения представляется в виде

Хг = (х + с£ ^ = (ж + с £ ск) , 0.

Будем рассматривать процесс Хг, í ^ 0, через случайные промежутки времени А1, А2, .... Покажем, что для любых А > 0 выполнено равенство

_ „а^+оШ^ (~ -а—^С)

Х4+д = еа^а""а ( х4 + с I е~аа~айз ) ,

где = — Ш — стандартное броуновское движение (свое для каждого £ > 0).

Действительно,

Х+д = еа(г+д)+оШ'+^ж + с е-а5-оШ ^ = еаЛ+о^14) +аг+оШ ж + еаЛ+о^+аг+оШ х

х (с £ е-а5-оШ йз + с е-а5-оШ ^ = еаЛ+°^° X + еаЛ+°^° с £ е-"^ йи.

Положим Ап = А, Тп = ^П=1 Аг, Уп = Хуп, п ^ 1. Тогда Уп удовлетворяют уравнению (1), в котором

Ап = еадп +о<"-1), Вп = сеадп +о<"-1) /0Л" е—^-^ отсюда Ап = А.

Очевидно, что пары (Ап,Вп) независимы, поскольку каждый из процессов Ш(г) не зависит от того, что происходило до момента времени ¿.

Проверим выполнение условий 1, 2 теоремы А для к = —Покажем, что ф(к) = ЕА1 = 1. Имеем

ф(к) = р ак - ук2^) = <р а - у ^ = =

8 ВМУ, математика, механика, № 6

Далее, ЕАК 1п+ А1 = Ев(аЛ+ст^д)к(аА+аШд)+, где А = А 1, Ш — стандартное броуновское движение. Тогда

ЕАЧ 1п+ = Е{Ее(-аА+(тШ^к{аА+аША)+\А) = ^=Е

V 2п

а2 л

-а-Е 2

А 1- Ф

а

л/2

Пусть Хо — такое число, что при х ^ Хо выполнено неравенство л/х ^ ехр -^¡ртХ^, тогда

ЕА? 1п+ Аг = Е

■ехр( -—А)1{А^х0}

■ехр( -^А) 1{А>х0}

-а-Е 2

А 1 Ф

а

л/2

< С + —г=Е [А/ {А > ж0}] - 77 ЕА ( —- ^ ) ЕА < оо,

у2п 2 \у2п 2

г2

где С и С\ — некоторые константы, Ф(ж) = -Д= е~~ с1г.

Оценим ЕБК. Заметим, что

ЕБК = Е ( сваА+аШд

сА

гА

йП = е с \ е-аз+аА-аЩ°+аЩд йв

А

= сКЕ\ I еа1+ат йг) >

^ (?Е[ [ ш1п е' /О *е[0;А]

к / \ к

йг) = скЕ\ ш1п еаъ+™1 • А ) > 0. ¿е[0;А]

Далее,

ЕБ К = скЕ

Ак

еа+оШг йг) < сКЕ[ Ак ( шах е'

о

*е[0;А]

аг+аШг^ \ =

В [7, гл. VIII, § 2] показано, что

Р ^Шах(аг + аШ4) ^ х^ = Ф (

X — ав\ 2аж / —х — а8 4; х | = | -— | — е я Ф

Тогда

Е ^АК ГетаХ4б[0;Д](а4+ст^«М \ = ЕЕ ^АК ГетаХ4б[0;Д](а^+ст^4 М \ \А

=Е

Ак

Г+С

1

+

\/2ТГА(Т 1

ехр -

(х - аА)2 2а

\/2тгА а

ехр

2а2А

(х + аА)2 2а

. 2 а

7) 6Хр > > а2 а2

хФ

х аА

а

Л/А

2а2А

Н--2Ж г I Лх

=Е

Ак 1 Ф

1л/А

а

ак „ л/2тт

ДК+2

ехр

а2 А 2<т2

акЕ

Ак+ Ф

а

+

а

+

+Е

Ак 1 Ф

а

< 2ЕАк +

к | ап ЕАК+1 - акЕАк+1 < оо.

л/2тг

Условие 2 теоремы А также выполнено в силу непрерывности совместного распределения величин Ап и Бп. Теорема доказана.

3. Примеры. Пример 1. Случайные величины Ап = Н, п ^ 1, Н > 0. В этом случае величины Ап имеют логнормальное распределение, т.е. величины 2п = 1п Ап имеют нормальное распределение с параметрами (аН,а2Н). Этот пример в случае Н = 1 подробно рассмотрен в работе [3], где найден индекс хвоста к = — 2и доказано, что экстремальный индекс в зависит только от величины а/а и является невозрастающей функцией от нее на (-ж;0).

а

2

2

а

к

к

е

о

о

о

е

о

а

Нормальная модель для логарифмических приращений финансовых показателей является традиционной в финансовой математике (модель Блэка-Шоулса). Однако практика показывает, что логнормаль-ная модель не всегда удовлетворительно описывает действительность. Как одну из альтернатив можно рассмотреть логлапласовское распределение (см. [8]). Симметричный логлапласовский закон впервые появился еще у Фреше [9] в модели дохода. В [10] этот закон был выведен из некоторой стохастической модели дохода, причем его подгонка под реальные статистические данные дала лучшие результаты, чем логнормальная модель. Логлапласовское распределение возникает также при остановке геометрического броуновского движения (традиционного в финансовой математике) в случайный момент времени, распределенный показательно. В финансовых приложениях это может быть связано с тем, что экономическое время отличается от календарного.

Пример 2. Случайные величины Дп, n ^ 1, имеют показательное распределение с параметром Л. Покажем, что в этом случае величины имеют логлапласовское распределение. Действительно,

P(Z„ G B) = Р(аД„ + ctW(Д„) g B) = EI|аД„ + CTW(Д„) G B} = E(E(I|аД„ + CTW(Д„) G В}|Д„)) =

= EJB ТШГа 6XP dU = JB С ТШГа 6XP XeM~Xx) dXdU>

f+°° A ( (и-ах)2 \ , Л ( \J1o2\ + а2 . а \ Pz„ (и) = / . ехр--т--\х ах = = ехр--^-\и\ H—„и .

1 пУ ' Jo \ 2а2х ) V2<x2A + а2 У\ °2 1 1 а2 )

Поскольку плотность распределения Лапласа задается формулой р(х) = при х < 0 и р(х) =

й_е-!3х ПрИ х ^ 0, то нетрудно заметить, что Zn имеет распределение Лапласа с параметрами

\/2<т2А + а2 + а „ \llo2\ + а2 - а

а =-ъ-, р =-ô-) (5)

ст2 ст2

а — соответственно логлапласовское распределение.

Логлапласовский случай также рассмотрен в [3], для него найдены индекс хвоста к = в — а и экстремальный индекс в = (1 — Подставляя в эти формулы (5), получаем к = —и в = а)2 '

Отметим, что А в ^ при А —оо.

Пример 3. Пусть задан ARCH-процесс первого порядка

Xn — £ n \h + AXn_!, n > 1, 7,A> 0,

где еп, п ^ 1, независимы и одинаково распределены. Тогда последовательность У^ = Х"^ удовлетворяет

(1) с Ап = А^п, Вп = , п ^ 1. В классической модели еп имеют стандартное нормальное распределение, поэтому величины Ап имеют гамма-распределение с параметрами Этот случай разобран в работе

[2], где получено следующее уравнение для к: Г(к + 1/2) = п1/2(2А)-К и индексы к и в найдены численно.

Покажем, что Ап нельзя представить в виде (4). Рассмотрим функцию

ф(з)=ЕА°п = У Г -^я^ехрГ-^) = Г ^е^ <11 = Щ-Т (в+ \

2 J лА ./n лА V 2

Необходимое для представления (4) условие ^(з) = ^(к — з) равносильно следующему: Г(к — 5 + 1/2) = (2А)25-кГ(з + 1/2). Это условие не выполняется ни при каких А > 0.

Автор приносит благодарность научному руководителю доценту А. В. Лебедеву за постановку задачи, а также за внимание и поддержку при работе над статьей.

— оо

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Vervaat W. On a stochastic difference equation and a representation of non-negative infinitely divisible random variables // Adv. Appl. Probab. 1979. 11. 750-783.

2. Haan L. de, Resnick S., Rootzen H., Vries G. de. Extremal behaviour of solutions to a stochastic difference equation with applications to ARCH processes // Stochastic Processes and their Applications. 1989. 32. 213-224.

9 ВМУ, математика, механика, № 6

3. Новицкая О.С., Яцало Е.Б. Экстремальное поведение рекуррентных случайных последовательностей // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 5. 6-10.

4. Embrechts P., Klüppelberg C., Mikosh T. Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Berlin: Springer, 2003.

5. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. М.: Мир, 2003.

6. Klüppelberg C. Risk Management and Extreme Value Theory // Extreme Values in Finance, Telecommunication and the Environment. Boca Raton: Clapman and Hall/CRC, 2002. 101-168.

7. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1, 2. М.: Фазис, 1998.

8. Kozubowski T.J., Podgorski K. Log-Laplace distributions // Int. Math. J. 2003. 3, N 4. 467-495.

9. Freshet M. Sur les formules de repartition des revenus // Rev. Inst. Int. Statist. 1939. 7. 32-38.

10. Inoue T. On income distribution: the welfare implication of the general equilibrium model and the stochastic processes of income distribution formation: Ph.D. Thesis. University of Minnesota, 1978.

Поступила в редакцию 25.11.2009

УДК 51-77

О ПОСТРОЕНИИ АРБИТРАЖНОЙ ХЕДЖИРУЮЩЕЙ СТРАТЕГИИ НА РЫНКЕ С АКТИВАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ОДИНАКОВОГО СЛУЧАЙНОГО ФАКТОРА

М. А. Мартынов1

Предъявляется явная хеджирующая стратегия, позволяющая доказать арбитраж-ность рынка с наличием по крайней мере двух активов, зависящих от одинакового случайного фактора.

Ключевые слова: контрастная структура типа ступеньки, полулинейное параболическое уравнение, арбитраж, опцион, хеджирующая стратегия.

We present an explicit hedging strategy which enables us to prove the arbitrage of the market incorporating at least two assets depending on the same random factor.

Key words: step-like contrast structure, semi-linear parabolic equation, arbitrage, option, hedging strategy.

Введение. В данной работе речь пойдет о модели ценообразования финансового инструмента, который может быть интерпретирован как опцион на рынке, подчиненном некоторым дополнительным условиям. Напомним, что опцион — это договор, дающий право его владельцу на покупку (или продажу) некоторого актива со стоимостью S(t) в заранее назначенный срок T по фиксированной цене X. Опцион определен в терминах базового актива, т.е. является производной ценной бумагой (деривативом). Иными словами, опцион — это контракт, по которому его держатель в момент исполнения получает платеж. Так как опцион представляет собой финансовый актив, цену которого определяет рынок, то предполагается, что его стоимость зависит от времени и цены S(t) на базовый актив. Задача определения рациональной цены опциона на финансовый актив была решена Блэком, Шоулсом [1] и Мертоном [2]. В дальнейшем построенная ими модель подвергалась многочисленным модификациям. Основное предположение, которое необходимо для получения формулы Блэка-Шоулса, однозначно определяющей цену опциона, — безарбитражность рынка. Напомним, что наличие арбитража эквивалентно существованию возможности с вероятностью 1 получить положительный доход, имея нулевой стартовый капитал.

Предположим, что на рынке присутствуют по крайней мере два актива, стоимости которых Si(t) и S2(t) суть случайные процессы, зависящие от одного и того же броуновского движения. Утверждение об арбитражности рынка с такими активами не является новым. В книге [3] сформулирован принцип, утверждающий, что рынок безарбитражен тогда и только тогда, когда число торгуемых активов (за исключением безрискового) не превосходит числа источников случайности. В этой же книге с помощью

1 Мартынов Михаил Александрович — асп. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].