Равномерная оценка экстремального индекса стохастических рекуррентных последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Boente G., Fraiman R., Yohai V.J. Qualitive robustness for stochastic processes // Ann. Statist. 1987. 15. 1293-1312.

5. Reider H. Qualitive robustness of rank tests // Ann. Statist. 1982. 10. 205-211.

6. Hampel F.R., Ronchetti E.M., Rousseeuw J., Stahel W.A. Robust statistics. The approach based on influence functions. N.Y.: Wiley, 1985.

7. Brockwell P.J., Davis R.A. Time series analysis: Theory and methods. N.Y.: Springer-Verlag, 1991.

8. Boldin M.V. Local robustness of sign tests in AR(1) against outliers // Math. Methods Statist. 2011. 20. 2-22.

Поступила в редакцию 15.12.2010

УДК 519.21

РАВНОМЕРНАЯ ОЦЕНКА ЭКСТРЕМАЛЬНОГО ИНДЕКСА СТОХАСТИЧЕСКИХ РЕКУРРЕНТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

А. А. Голдаева1

В работе найдена равномерная оценка сверху экстремального индекса некоторых стохастических рекуррентных последовательностей. Для этого был использован новый подход, который состоит в рассмотрении последовательностей наблюдений (в детерминированные или случайные моменты времени) процесса с непрерывным временем, заданного стохастическим дифференциальным уравнением.

Ключевые слова: экстремальный индекс, индекс хвоста, стохастические разностные уравнения, стохастические дифференциальные уравнения.

A uniform upper bound of the extremal index of some stochastic recurrent sequences is obtained in the paper. We used a new approach consisting in the consideration of sequences of observations (in deterministic or random moments of time) of a continuous time process given by a stochastic differential equation.

Key words: extremal index, tail index, stochastic difference equations, stochastic differential equations.

1. Bведение. Рассмотрим процесс Yn, n ^ 1, удовлетворяющий стохастическому разностному уравнению

Yn = An Yn-1 + Bn, n ^ 1, Yo ^ 0, (1)

где (An,Bn), n ^ 1, — независимые, одинаково распределенные пары неотрицательных случайных величин.

Известно, что стационарные процессы вида (1) при довольно общих условиях обладают двумя важными свойствами, относящимися к поведению их экстремумов: стационарное распределение имеет степенной хвост, а максимум M;^ = max{Yi,..., Yn} при n — ж растет асимптотически, как максимум [9и\ независимых случайных величин с тем же распределением, где в есть экстремальный индекс процесса Yn.

Напомним [1], что стационарная случайная последовательность Yn с маргинальной функцией распределения G(x) имеет экстремальный индекс в, если для любого т > 0 существует такая последовательность U;(t), что:

1) nG(un(T)) — т при n -ж;

2) P(Mj ^ U;(t)) — exp(—вт), n -ж.

Процессы (1) изучаются начиная с работы [2]. В работе [3], которая посвящена исследованию двух числовых характеристик — индекса хвоста к и экстремального индекса в, найдены общие формулы для них, но они не дают ответа в явном виде и результат может быть получен только численно. Так, в [3] доказана

Теорема A [3]. Пусть процесс Yn, n ^ 1, удовлетворяет уравнению (1), пусть

1) существует такое число к > 0, что E Af = 1, E Af ln+ Ai < ж, 0 < E BK < ж;

2) распределение Bi/(1 — Ai) невырожденное, а распределение ln Ai при условии, что Ai = 0, не решетчатое.

1 Голдаева Анна Алексеевна — ассист. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) уравнение У, = + Б\, где У, и (А1,Б1) независимы, имеет единственное решение У,, =

£Г=1 Б3Ш Аг;

2) если в (1) положить Уо = У,, то процесс {Уп} будет стационарным;

3) при любом начальном условии процесса {Уп} имеет место Уп У,, п — ж;

4) существует постоянная с > 0, такая, что Р(У, > х) ~ сх'к при х — ж;

5) процесс Уп имеет экстремальный индекс в, вычисляемый по формуле

/<х / ж 3 \

Р V П^ < У'1) КУ~К~1 (у,

^ 3 = 1г=1 '

причем если ап = п'1/к, то Ишп^„ Р(апМп ^ х) = ехр(—свх'к) для всех х > 0.

В работе [4] была найдена явная формула индекса хвоста к, для чего был предложен новый подход, состоящий в рассмотрении некоторых последовательностей, удовлетворяющих (1), как последовательностей наблюдений процесса с непрерывным временем, заданного стохастическим дифференциальным уравнением. Основным результатом [4] является следующая теорема.

Теорема Б [4]. Пуст,ъ А = еаЛ+°"Л^57 где £ имеет стандартное нормальное распределение, А —

_ 2 а | -I

неотрицательная случайная величина, причем Е А < оо, а < 0, а > 0. Рассмотрим процесс (Х^^о,

задаваемый стохастическим дифференциальным уравнением

(Хг = (с — ( ■ Хг) (Ь + (ХгйШг, Хо = х, (2)

2

в котором с > 0 — произвольная постоянная, (1 = — (а + Рассмотрим также случайные величины

Дп = А, независимые в совокупности и не зависящие от процесса Ш; Тп = ^п=1 Дг, Уп = Хтп, п ^ 1.

Тогда Уп удовлетворяют всем условиям т,еоремы А, Ап — А, п 1, причем индекс к = — Щ-.

Заметим, что поведение процесса (1) в достаточно общем случае определяется только величинами Ап. Другими словами, если два процесса вида (1) заданы парами случайных величин (Ап,Бп) и (Ап,Бп), п ^ 1, соответственно, причем эти пары удовлетворяют условиям 1, 2 теоремы А, то оба процесса имеют одинаковые индексы хвоста к и одинаковые экстремальные индексы в. Таким образом, нет необходимости, чтобы конкретный процесс (1) представлялся в виде последовательности наблюдений процесса с непрерывным временем, достаточно, чтобы такое представление имел некоторый процесс с такими же коэффициентами Ап.

Целью данной работы является отыскание оценки экстремального индекса в процесса Уп с помощью процесса с непрерывным временем, заданного стохастическим дифференциальным уравнением (2).

Отметим, что уравнение (1) может иметь различные приложения. Например, оно может описывать динамику некоторого денежного фонда [5, § 8.4.1], куда через определенные промежутки времени поступают вклады (величины Бп), а в остальное время изменения капитала происходят пропорционально его величине (со случайными коэффициентами Ап), причем учитываются как доходы, так и расходы.

2. Основные результаты. Рассмотрим случайный процесс (Хг)г^о, удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению (2). Рассмотрим также процесс Уп = Хтп, Тп = ^*=1 Дг, п ^ 1,

Д1, Д2, ■■■ — независимые, неотрицательные, одинаково распределенные случайные величины, не завися_ 2 а | -I

щие от процесса Ш, с ЕД ^ < оо.

Обозначим М^ = тах[0;£] Х3, = тахд,=у^

Чтобы найти оценку в, применим метод, который использовался в [6]. Для стохастического дифференциального уравнения (2) можно ввести масштабную функцию в(х) и меру скорости т. Масштабная функция определяется следующим равенством:

Гх ( Г у с — й ■ Ь \ в(х) = J ехр (—2 J —М) с1у, же(0;оо), (3)

откуда следует, что

и ч ( Гс-й-ЛЛ ( 2с 2с 1\ щ

в (х) = ехр 1-2 J ^2 сИ\= ехр I ■+ ■ - \ ■ х^1, х е (0; оо). (4)

Мера скорости т процесса, заданного уравнением (2), абсолютно непрерывна и имеет лебегову плотность

2

т'(Ж) = 2 2 К V х е (5)

а2х2 в'(х)

В этом случае процесс XI является эргодическим, его стационарное распределение абсолютно непрерывно и имеет лебегову плотность

= же(0;оо), (6)

\т\

где \т\ = т((0; то)).

Теорема В [6]. Для любого начального значения Хо = у £ (0; то) и любой функции п(Ь) | то выполнено равенство

Иш \р(мХ < п(г)) - ^(п(г))\ =0,

г—>оо

где F{x) = exр (-^¿j)), ж е (1; +то).

\m\s(x)

Теорема 1. Имеет место следующая оценка: в ^ ц, ■ где ц, = Е Ai.

Доказательство. Поскольку величины имеют вид Tn = Ai, n ^ 1, где Ai, Д2,... — незави-

симые, неотрицательные, одинаково распределенные случайные величины, то Tn образуют процесс восстановления. Пусть v(t) — число попадающих на [0; t\ моментов восстановления. В силу элементарной

теоремы восстановления t то. Отсюда следует, что Mj{t) < MtX и для любой функции

u(t) I ж выполнено неравенство

P(M^t) < u(t)) ^ P(MX < u(t)). (7)

Из теоремы В и формулы (3) получаем

F{x) = exp I -n _ 2d

Поскольку exp(-|§ + ^ ■ exp(-|§) при у то, то

7ji/ \ , . exp(£)(2d/a2 +1) _2d/(j2_1

F(a;) = 1 — F(x) ~-2—:—:--x * , ж то. (8)

|m|

Из формул (4)—(6) находим стационарную плотность

2 /2с 2с 1\ _4_2

п{х) = -—ехр —---- - ) X ~ .

\m\a2 \a2 a2 x)

Пусть H(x) — функция распределения, соответствующая стационарной плотности h(x). Тогда имеем

2ехр(%) _2 d_1

Из (8) и (9) следует, что

2а2

Р(х)/Н(х) -»■ -5-, х —► то. (10)

а2

Рассмотрим такую последовательность ип, что п ■ Р(пп) — 1, п — то. Тогда из (10) получаем

а2

n

-1'П1

п ■ Н(ип) —>■ П ► ТО.

Перейдем в обеих частях (7) к пределу при п - то. Предел правой части равен Рп(ип) = е

а предел левой части равен

2

lim Е H{un)ev{n) = lim EH(unfnn = lim Н(ип)в»п =

_0.1. <у2 _,

Тогда из (7) получаем е 'м'г^ ^ е , откуда следует требуемое утверждение. Теорема доказана.

3. Однородность экстремального индекса. В работе [7] доказана следующая Лемма. Если Ап = Ап, п ^ 1, в > 0, то к = к/в, в = в.

С помощью этой леммы было показано, что в случае логнормальных Ап экстремальный индекс зависит только от а/( . Докажем теперь более общее утверждение об однородности экстремального индекса по параметрам а, а и ц.

Теорема 2. Если А = ¡лДо, где ЕДо = 1, то экстремальный индекс в зависит только от величины

Доказательство. Из теоремы Б следует, что Ап = еа

-, где £ - N(0; 1).

Рассмотрим величины Ап = где £ ~ 0; 1). Тогда Ап = (Ап)а^11 и из леммы получаем,

что в = в. Теорема доказана.

Таким образом, если обозначить г = то утверждение теоремы 1 можно переписать в виде

в < 2г2.

4. Примеры. Рассмотрим случай, когда случайные величины Дп = Н, п ^ 1, Н > 0. Тогда величины Ап имеют логнормальное распределение, т.е. величины 1п Ап имеют нормальное распределение с параметрами (аН,а2Н). Этот пример в случае Н = 1 подробно рассмотрен в работе [7], где доказано, что экстремальный индекс в зависит только от величины а/( и является невозрастающей функцией от нее на (—ж;0). Таким образом, достаточно изучать зависимость в от а при а = 1. Эта зависимость была проанализирована в [7] путем компьютерного моделирования. Результат представлен на рис. 1 пунктирной линией.

Нормальная модель для логарифмических приращений финансовых показателей является традиционной в финансовой математике (модель Блэка-Шоулса). Однако практика показывает, что логнормаль-ная модель не всегда удовлетворительно описывает действительность. Как одну из альтернатив можно рассмотреть логлапласовское распределение. Это распределение возникает, например, при остановке геометрического броуновского движения (традиционного в финансовой математике) в случайный момент времени, распределенный показательно. В финансовых приложениях это может быть связано с тем, что экономическое время отличается от календарного.

В [4] рассмотрен случай, когда величины Дп, п ^ 1, имеют показательное распределение с параметром Л, а величины Ап соответственно имеют логлапласовское распределение, и получена явная формула для экстремального индекса

4а2

в = , =-. (11)

{у/а2 + 2а'2X - а)2

Выберем параметр Л так, чтобы величины 1п Ап в случае нормального и лапласовского распределений имели одинаковые характеристики — математическое ожидание а и дисперсию а2 = 1. Тогда из (11) получим

в = 1

л/2 - а2 + а л/2 — а,2 — а

(12)

График зависимости (12) представлен на рис. 1 сплошной линией. Штрихпунктиром показан график зависимости от а оценки в, полученной в теореме 1, при а = 1.

На рис. 2 сплошной линией представлен график зависимости (11) в от а при Л = 1 в случае, когда Ап имеют логлапласовское распределение, а штрихпунктиром — график зависимости от а оценки в, полученной в теореме 1, при а = 1.

Рис. 1

Рис. 2

Заметим, что с помощью теоремы 1 можно не только оценить реальный индекс в сверху, но и довольно

хорошо приблизить его в области малых значений.

Автор приносит благодарность научному руководителю доценту А. В. Лебедеву за постановку задачи

и советы, высказанные при написании статьи.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 11-01-00050.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лидбеттер М, Линдгрен Г., Ротсен Х. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. М.: Мир, 1989.

2. Vervaat W. On a stochastic difference equation and a representation of non-negative infinitely divisible random variables // Adv. Appl. Probab. 1979. 11. 750-783.

3. Haan L. de, Resnick S., Rootzén H., Vries G. de. Extremal behaviour of solutions to a stochastic difference equation with applications to ARCH processes // Stochast. Process. and Appl. 1989. 32. 213-224.

4. Голдаева А.А. Использование процессов с непрерывным временем в исследовании стохастических рекуррентных последовательностей // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 6. 13-18.

5. Embrechts P., Klüppelberg C., Mikosh T. Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Berlin: Springer, 2003.

6. Klüppelberg C. Risk Management and Extreme Value Theory // Extreme Values in Finance, Telecommunication and the Environment. Boca Raton: Clapman and Hall/CRC, 2002. 101-168.

7. Новицкая О.С., Яцало Е.Б. Экстремальное поведение рекуррентных случайных последовательностей // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 5. 6-10.

Поступила в редакцию 09.02.2011

УДК 519.21

ОПТИМИЗАЦИЯ ДИВИДЕНДНОЙ СТРАТЕГИИ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ, ПРОДОЛЖАЮЩЕЙ РАБОТУ ПОСЛЕ РАЗОРЕНИЯ

Н. В. Карапетян1

В статье рассмотрена модель работы страховой компании, в которой акционеры покрывают убытки при разорении и компания продолжает работу с новым начальным капиталом. Для случаев дискретного и непрерывного времени доказано существование стратегий, оптимизирующих дивиденды и доход акционеров, т.е. разницу между дивидендами и убытками.

Ключевые слова: дисконтированные дивиденды, доход, барьерные стратегии.

A model of the work of an insurance company is considered. It is supposed that the company applies a dividend barrier strategy and shareholders cover the deficit at the time of ruin so that the company can continue its functioning after the ruin. The existence of the strategies maximizing either the dividends amount or the profit of shareholders is proved both for discrete and continuous time.

Key words: discounted dividends, profit, barrier strategies.

Введение. Де Финетти [1] был первым, кто рассмотрел страховую компанию как акционерное общество и предложил в качестве критерия оптимальности ее работы величину выплаченных акционерам дивидендов. Было установлено (см. [2-4]), что с точки зрения максимизации выплаченных акционерам за время работы компании дивидендов оптимальной является барьерная стратегия, т.е. все поступающие премии выплачиваются в качестве дивидендов, пока уровень капитала не окажется ниже барьера. Однако сам Де Финетти установил, что при использовании такой стратегии разорение компании неизбежно. Диксон и Уотерс [5] рассмотрели ситуацию, когда акционеры в состоянии покрыть убытки компании при

1 Карапетян Нарине Вигеновна — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].