Использование принципа Сен-Венана в геотехнике Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Инженерно-строительный журнал, №4, 2010

РАСЧЕТЫ

Использование принципа Сен-Венана в геотехнике

К.т.н., ассоц. проф, С.О. Оспанов; студент А.А. Сахариева*,

Казахская Головная Архитектурно-Строительная Академия

Проблемы определения напряжений в грунтовом массиве имеют большое значение для расчета прочности, устойчивости грунтов, их деформаций под действием внешних сил и собственного веса. В механике грунтов зависимость между общими деформациями и напряжениями принимается линейной, т.е. при определении напряжений в грунтовой толще применимы решения теории упругости. Различают три основных математических метода решения задачи теории упругости:

• прямой метод, который заключается в непосредственном интегрировании основных уравнений при выполнении граничных условий;

• обратный метод, если задаются функциями напряжений или перемещений, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям задачи, а затем устанавливают, каким граничным условиям эти функции соответствуют;

• полуобратный метод Сен-Венана, когда задаются частью функций перемещений или напряжений и из уравнений задачи устанавливают, каким условиям должны удовлетворять остальные функции. При этом дифференциальные уравнения существенно упрощаются.

С этих позиций рассмотрим принцип Сен-Венана, который устанавливает, что если силы, действующие на малую площадку, заменить статически эквивалентной системой на той же площадке, то при новой системе сил произойдет изменение в напряженном состоянии лишь в непосредственной близости к приложенной нагрузке; это не изменит напряжений на расстояниях, больших по сравнению с линейными размерами площадки, на которую действуют поверхностные силы.

Применение принципа Сен-Венана при решении частных задач, моделировании, а также метод однородных решений подробно описаны и развиты в работах А.И. Лурье, И.И. Воровича, Ю.А. Устинова и других. А некоторые аспекты применения принципа Сен-Венана в нелинейной теории упругости представлены в работе В.В. Калашникова и М.И. Карякина.

Данный принцип подтверждается опытными данными не только для упругих тел, но и для более сложных, какими являются грунты. Строго говоря, это следует и из общего принципа сохранения энергии.

Справедливость принципа Сен-Венана покажем на примере расчета конструкций на упругом основании, ограничимся рассмотрением лишь плоской задачи.

Работы, посвященные расчету этих конструкций содержат в основном обзорный характер, хотя за последние 30 лет проведено значительное количество экспериментов.

Существует 3 модели грунтового основания:

1) местных упругих деформаций (гипотеза Винклера);

2) общих упругих деформаций (теория упругого полупространства - полуплоскости);

3) модель упругого слоя.

в)

О

i,o :о,о о,5 i,o

Ы зш

z-0,25b

z=l,0b

Рисунок 1. Эпюры распределения сжимающих напряжений по вертикальным (б) и горизонтальным (в) сечениям массива грунта при действии треугольной нагрузки (а)

Оспанов С.О., Сахариева А. А. Использование принципа Сен-Венана в геотехнике

CALCULATIONS

Magazine of civil engineering, №4, 2010

Определение напряжений в условиях плоской задачи значительно упрощается, так как все составляющие напряжений о2, ох и т в рассматриваемой плоскости ZOX не зависят от деформационных характеристик линейно деформируемой полуплоскости.

Для сжимающих вертикальных напряжений сг, действующих на горизонтальные площадки, параллельные ограничивающей плоскости, имеем формулу: [1]

' Р (2х • „ЛЛ

где а и в' - углы, как показано на рисунке 1,а.

Формулу (1) можно представить в виде

с = к • р (2)

Значения коэффициента кг для определения величины сжимающих напряжений приведены в таблице 1.

Таблица 1. Величины напряжений о2 в линейно-деформируемом массиве при действии полосообразной нагрузки, меняющейся по закону треугольника, выраженные в долях от максимальной интенсивности нагрузки

z/b Значения Х/Ь

-1,5 -1 -0,5 0 0,25 0,5 0,75 1 1,5 2 2,5

0 0 0 0 0 0,25 0,5 0,75 0,5 0 0 0

0,25 - - 0,001 0,075 0,256 0,480 0,643 0,424 0,015 0,003 -

0,5 0,002 0,003 0,023 0,127 0,263 0,410 0,477 0,353 0,056 0,017 0,003

0,75 0,006 0,016 0,042 0,153 0,248 0,335 0,361 0,293 0,108 0,024 0,009

1 0,014 0,025 0,061 0,159 0,223 0,275 0,279 0,241 0,129 0,045 0,013

1,5 0,020 0,048 0,096 0,143 0,178 0,200 0,202 0,185 0,124 0,062 0,041

2 0,033 0,061 0,092 0,127 0,146 0,155 0,163 0,153 0,108 0,069 0,050

3 0,050 0,064 0,08 0,096 0,103 0,104 0,108 0,104 0,090 0,071 0,050

4 0,051 0,06 0,067 0,075 0,078 0,085 0,082 0,075 0,073 0,060 0,049

5 0,047 0,052 0,057 0,059 0,062 0,063 0,068 0,065 0,061 0,051 0,047

6 0,041 0,041 0,050 0,051 0,052 0,053 0,053 0,053 0,050 0,050 0,045

Как видно из эпюры сг (рис 1,б), напряжения при Z=0 резко изменяется в зависимости от координаты X,

с глубиной это изменение незначительно, и при Z=2,5b величина сжимающих напряжений почти одинакова для разных сечений х.

Рисунок 1,в иллюстрирует сжимающие напряжения по горизонтальным сечениям массива грунта. При Z=0,75■b эти напряжения имеют наибольшие значения под центром тяжести треугольной нагрузки. По мере увеличения глубины ^=1,0Ь; особенно Z=2,0■b) происходит сглаживание напряжений.

Непосредственные измерения сжимающих напряжений с помощью месдоз при действии на массив грунта различных нагрузок потверждают результаты теоретических решений.

Вышеприведенные примеры из механики грунтов подтверждают принцип Сен-Венана, который имеет различные формулировки. Одна из них: напряжения, производимые в теле путем приложения к малой части его поверхности системы сил, статически эквивалентной нулевой силе и нулевому моменту, пренебрежимо малы на расстояниях, значительных по сравнению с линейными размерами площадки, на которую эти силы действуют.

Принцип Сен-Венана имеет огромное значение как для механики грунтов (геотехники), так и для моделирования. Он дает возможность воспроизводить желаемое напряженное состояние посредством упрощенных нагружений на поверхности модели.

Литература

1. Цытович Н.А. Механика грунтов. М. : КД Либроком, 2009. 272 с.

2. Далматов Б.И. Механика грунтов, основания и фундаменты. М. : Высшая школа, 2000. 203 с.

3. Лещенко А.П. Фундаментальная строительная механика упругих тел. Таганрог : ЛКИ, 2003. 976 с.

* Асия Алимкановна Сахариева, г. Алматы, республика Казахстан Тел. моб.: +7(701)292-32-68; эл. почта: asiya_aktobe@mail.ru

Оспанов С.О., Сахариева А. А. Использование принципа Сен-Венана в геотехнике