CC BY
22
Рассмотренные примеры не исчерпывают направления исследований, связанных с оценкой возможностей влияния на конформации молекул, а вместе с ними, в конечном счете, на их свойства.
ЛИТЕРАТУРА
1. Франк-Каменецкий, М.Д., Веденов, А.А., Дыхне, А.М. Переход спираль - клубок в ДНК //УФН. - 1971. - Т. 105. - Вып. 3 . - С. 479 -519.
2. Benham, C.J. // Elastic model of supercoiling. Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 74. (1977). Р. 2397 - 2401.
3. Hearst, J.S. Torsional rigidity of DNA and length dependence of the free energy of DNA supercoiling // J. Mol. Biol. 173. 1984. Р. 75-91.
4. Hunter, C. A. Sequence-dependent DNA Structure: The Role of Base Stacking Interactions // J. Mol. Biol. № 230. 1993. Р. 1025-1054, 1993.
5. Frank-Kamenetskii, M. D., Lukashin, A. V., Anshelevich, V. V.1985 Torsional and bending rigidity of the double helix from data on small DNA rings // J. Biomol. Struct. Dynam. 2. 1985. Р. 1005-1012.
6. Swigon, D. Configurations with self-contact in the theory of the elastic rod model for DNA - Rutgers University, New Brunswick. 1999. - 255 pp.
7. Bouchiat, C., Mezard, M. Elasticity model of supercoiled DNA molecule // Phys. Rev. Lett. 80. 1998. Р. 1556-1559.
8. Козлов, Н.Н., Кугушев, Е.И., Сабитов, Д.И., Старостин, Е.Л. Компьютерный анализ процессов структурообразования нуклеиновых кислот // Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. - №19. - 2002. - № 42.
9. Hunter, C. A. Sequence-dependent DNA Structure: The Role of Base Stacking Interactions// J. Mol. Biol. №230. 1993. Р. 1025-1054.
10. Olson, W. K., Gorin, A. A., Lu, X.-J., Hock, L. M. DNA sequence-dependent deformability deduced from protein-DNA crystal complexes // Proc. Natl Acad. Sci. USA . №95. 1998. Р. 11163-11168.
11. Strick, T. R., Croquette V. Homologous Pairing in Stretched Supercoiled DNA // Proc. Natl. Acad. Sci. USA № 95. 1998. Р.10579-10583.
12. Илюхин, А.А., Щепин, Н.Н. К моментной теории упругих стержней // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2001. - Спецвыпуск. - С. 92 - 94.
13. Илюхин, А.А., Тимошенко Д.В. Математический анализ условий замкнутости молекул ДНК // Материалы Международной XI научно-технической конференции «Математические модели физических процессов».- Таганрог. - 2005. - С. 135 - 143.
14. Илюхин, А.А., Тимошенко Д.В. Новый метод определения условий замкнутости молекул ДНК // Обозрение прикладной и промышленной математики. - Москва. - 2006. - Т. 13. - Вып. 2. - С. 322 - 324.
15. Илюхин, А.А., Тимошенко Д.В. Математическая модель замкнутых молекул ДНК // Известия Саратовского университета. - Саратов. -2008. - Т.8. - Сер. Математика. Механика. Информатика. - Вып. 3. - С. 32 - 40.
16. Илюхин, А.А., Тимошенко Д.В. Микрополярная теория упругих стержней. Известия Саратовского университета. - Саратов. - 2008. -Т.8. Сер. Математика. Механика. Информатика. - Вып. 4. - С. 27 - 39.
17. Илюхин, А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. - Киев: Наукова думка, 1979. - 216 с.
18. Илюхин, А.А., Тимошенко Д.В. К одномерной микрополярной теории упругих стержней. - В кн.: Труды IV Всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». - Ростов-на-Дону. - 2008. - С. 49 - 57.
19. Илюхин, А.А., Тимошенко Д.В. Точное решение системы уравнений Кирхгофа для естественно закрученного стержня с равными жёсткостями на изгиб. // Труды XI Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». - Ростов-на-Дону. - 2007. - С. 144 - 147.
20. Горр, Г.В., Илюхин А.А., Ковалев А.М., Савченко А.Я. Нелинейный анализ поведения механических систем. - Киев: Наукова думка, 1984. - 288 с.
21. Ковалев, А.М. Нелинейные задачи управления и наблюдения в теории динамических систем. - Киев: Наукова думка, 1980. - 176 с.
22. Ковалев, А.М., Илюхин А.А. К определению параметров оси стержня, деформированного концевыми нагрузками // Механика твердого тела. 1980. Вып. 12. - С. 100 - 108.
А.В. Кохановская, Н.Ю. Шкабурская, Н.В. Драгныш, М.С. Бородина
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАКЕТА MATHCAD КАК СРЕДСТВА ПЕРСОНАЛИЗИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКОЙ ЛИНИИ
В 8 КЛАССЕ
Аннотация. В данной статье рассмотрена система реализации функционально - графической методической линии в персонализированном обучении общеобразовательному курсу математики с использованием компьютерной системы Mathcad.
Ключевые слова: функционально-графическая линия, персонализированное обучение, Mathcad.
A.V. Kokhanovskaya, N.Y. Shkaburskaya, N.V. Dragnysh, M.S. Borodina
USING THE MATHCAD PACKAGE AS A MEANS OF PERSONALIZED MATH TEACHING WHEN IMPLEMENTING A FUNCTIONAL-GRAPHICAL LINE IN GRADE 8
Abstract. In this article, the system of implementing a functional-graphical methodic line in personalized teaching of a General mathematics course using the Mathcad computer system is consider.
Key words: functional and graphic line, personalized training, Mathcad.
Функционально-графическая линия занимает важнейшее место в методике преподавания математики [1]. Изучение других линий осуществляется через понятие функции. Организация материала в школьном курсе обычно происходит по схеме: функции-уравнения-преобразования [1]. Изучение функции в основной школе неразрывно связано с ее графическим представлением. Реализация функциональной идеи заложена в основу разработки комплектов учебников написанных коллективом авторов под руководством А.Г. Мордковича [2].
В ходе реализации линии полезно повышение наглядности, визуализации исследуемых понятий. Построение динамических, интерактивных моделей. Для чего в преподавании математике используют
компьютерные системы и технологии [3,4,5,8], в том числе пакет Mathcad [6,7]. В настоящее время почти каждый кабинет оснащен компьютером и проектором, а это позволяет устанавливать необходимые программы и использовать их на всех этапах обучения. Основным преимуществом Mathcad является наглядность выполнения математических вычислений. Команды и формулы на экране записываются в известной нам форме так, как они представлены в книгах или как мы пишем на листе бумаги, что значительно облегчает постановку и решение задач. Вот почему можно использовать эту программу на уроках математики с 7-го класса, потому что все ученики в это время уже имеют базовые знания о работе с компьютером [7].
Организация персонализированного обучения рассмотрено в [1]. Персонализация личности осуществляется в деятельности. Рассматриваемая деятельность - это образовательная деятельность обучающихся при изучении математики. Но учебная деятельность в традиционном понимании не учитывает обязательных контактов между учениками. Эти контакты и личные взаимодействия не всегда носят систематический характер. Чтобы реализовать персонализированное обучение математике в 8 классе рассмотрим учебно-творческую исследовательскую деятельность учеников, проводимую в небольших группах (а затем индивидуально).
Под учебно-творческой деятельностью понимаем: В.И. Андреев «Учебно-творческая деятельность - это один из видов учебной деятельности, направленный на решение учебно-творческих задач, осуществляемый преимущественно в условиях применения педагогических средств косвенного или перспективного управления, ориентированных на максимальное использование самоуправления личности, результат которой обладает субъективной новизной, значимостью и прогрессивностью для развития личности и, особенно ее творческих способностей» [10].
Результат решения задач, исследования моделей с использованием ИКТ носит эффект новизны, что способствует повышению мотивации обучения. Исследовательская деятельность способствует персонализации учащихся, развитию их личности. Пакет Mathcad является одним из удобных средств персонализации.
Одной из основных областей применения компьютера являются математические и технические вычисления. Отличительной особенностью программы Mathcad является то, что математические выражения на экране записываются в привычном виде, как мы видим их в книге, на доске или тетради. Mathcad помогает выполнять символьные и численные вычисления, решать основные задачи линейной алгебры и математического анализа.
Mathcad является интегрированной программной системой, включающей текстовый редактор, вычислительный и графический процессор, справочную систему. После запуска пакета Mathcad на экране компьютера появляется программное окно (см. рис. 1).
М Mathcad - [Беэымничыйй] - |П| х|
И ' _|д|хj
]D-g3ö sa^U^e ^ ^ | •■■ s т о = | ь п ||н»% _rJ ш |
J |Normal "^[[Änäi 3l10 _lJ в 1 Ö | Щ S Ш | i= j= | *2
(мой веб-узел
d
ЙЙ
Нажмите Fl, чтобы открыть справку. |АВТО |NUM Страница! ^
Рис. 1. Программное окно пакета Mathcad
Строка заголовка содержит название программного пакета и имя открытого файла. При необходимости вы можете присвоить файлу имя или изменить его.
Главное меню предназначено для управления всеми процессами, кроме того, оно позволяет выполнить все команды и функции.
Панель инструментов каждый пользователь может сделать удобным для себя. Чтобы выбрать необходимую панель, нужно нажать Вид>Панели инструментов и выбрать нужную. Далее панель инструментов появляется на рабочей области (рис.2), и с помощью курсора мыши вы можете задать ей определённое местоположение.
fei Mathcad - [Безымянный!]
■(3 0 айл Правка Вид Вст;
Инструмен
операции Окно Спр;
jnjx] -|Д|*1
□ - ö у в i а gj о. | ■■■ ; т в = -»jg I э]
J|Nörmal tJ|AthI
I |Мой веб-узел
в I Ü шшш = 8= I ■
т
Булева алгебра * = < >■: ^ &
Дололиетел. *J
шШ&М-Ш'
График *J
аь :Ь Hi
Калькулятор
sir cos tan In log
n! i 14 Г "Г
e« £ () x*
п: 7 8 9 /
"7 4 5 6 x
+ 12 3 +
Программирование Add Line <if otherwise for while break continue return on error
a ß У S s f
V в i к X I*-
v 5 о * P и
T v ф ф % V
to А В Г Л E
Z H © I К A
M N 3 О П P
X T Y Ф X ¥ ß
—» ■-» | Modifiers
float rectangular assume
solve simplify substitute
factor expand coeffs
collect series parfrac
fourier laplace ztrans
invfourier inviapiace invztrans
explicit combine confrac rewrite
Модификато
integer complex
H
RealRange
В П I ?
3
:е П., чтобы открыть справку. |АВТО N1)171 |Страница 1
Рис. 2. Примеры панелей инструментов Каждая панель содержит в себе определённый набор ярлычков. Для удобства пользования, если навести курсор на один из ярлыков, то на экране высветится его название и всего лишь одним кликом можно вызвать его на экран.
Так, например, панель математика состоит из ярлыков: Калькулятор, График, Вектор и Матрица, Вычисление, Математический анализ, Булева алгебра, Программирование, Греческие символы, Символьные преобразования (рис.3).
Математические
XJ
Ш Ф [===] *щ J& Щ&ВРЩ.
Рисунок 3. Панель «Математика»
Что касается типа данных, то в Mathcad используются: числа (действительные, комплексные, константы), текст и массивы (ранжированные переменные, векторы и матрицы).
Функции записываются в привычном для математиков виде. Обычно название функции вводят, используя клавиатуру. Выделяют встроенные функции и определённые пользователем. Mathcad содержит сотни встроенных функций (рис. 4).
Рис. 4. Панель выбора встроенных функций
Теперь перейдём к рассмотрению графиков (рис.5). Графики служат для визуального отображения результатов вычислений, а так же помогают улучшить понимание и разобрать характеристики той или иной заданной функции.
График
Л jir Iii
Рис. 5. Панель видов графиков
Графики в Mathcad можно разбить на две группы:
1. Двумерные:
• декартовый график;
• полярный график.
2. Трёхмерные:
• график трёхмерной поверхности;
• график линий уровня;
• трёхмерная гистограмма;
• трёхмерное множество точек;
• векторное поле.
Для построения двумерного графика необходимо задать функцию, нажать на панели кнопку график X-Y и ввести на оси абсцисс имя аргумента, а на оси ординат имя функции, затем щёлкнуть кнопкой мыши вне графика (рис.6).
Рис. 6. Построение двумерного графика
Чтобы разместить на одном шаблоне несколько графиков, нужно на оси ординат набрать имя первой функции, поставить запятую и ввести имя второй функции (рис. 7).
Для построения трёхмерного графика (рис. 8), вводится имя функции двух переменных, знак присваивания и выражение функции, на панели выбирается график поверхности и в поле ввода записывается только имя функции [12].
Рис. 7. Изображение двух графиков на одной координатной плоскости
Рис. 8. Пример построения трёхмерного графика
Для того чтобы внести в график какие-либо изменения, нужно навести на него курсор мыши, щёлкнуть два раза левой клавишей и на рабочем окне появится поле форматирования (рис.9). В окне форматирования можно задать направление взгляда наблюдателя на трёхмерный график, определить угол его поворота и наклона вокруг осей, также можно заключить график в куб с прозрачными или цветными рамками, дать название графику и координатным осям. Что касаемо внешнего вида графика, то в данной системе компьютерной математики есть возможность смены цвета и типа заливки, а так же возможно установить направление изменения цвета графика вдоль всех осей.
Рис. 9. Поле форматирования графиков
С помощью курсора мыши можно вращать график и изменять его размеры. Если вы хотите посмотреть, как график будет вращаться относительно какой-либо мнимой оси, то нужно удерживая на клавиатуре кнопки Shift+Ctrl прокрутить график, задавай ему нужное направление. Для того чтобы остановить вращение графика, нужно сделать лишь один клик по нему.
Далее рассмотрим технологические приемы решения задач и их решение в КС Mathcad, соответствующих содержательной линии «Функции» в фазе лабилизации (8 класс) персонализированного обучения.
Целью деятельности учителя является организация и руководство над деятельностью учащихся в области изучения функций, исследования графиков функций с помощью системы Mathcad, рассмотрения разных способов форматирования графиков функций, усвоения понятий: область определения и область значений функции, возрастающая и убывающая функции, наибольшее и наименьшее значения и т. д.
Деятельность учеников заключается в ознакомлении (самостоятельно или с помощью учителя) с типами функций, способами построения их графиков, способами их форматирования, исследованием функций с помощью инструментов Mathcad.
Эта линия особенно полезна для обучения с использованием системы Mathcad. Именно благодаря ей на уроках можно сделать много качественных графических изображений. С помощью Mathcad вы также можете создать анимированное видео, показывающее изменение графика функций в зависимости от изменения какого-то параметра, входящего в аналитическую запись функции. Использование системы Mathcad в этой теме сэкономит время и обеспечит более глубокий уровень освоения материала. На начальном этапе изучения графиков функций и совместной работой с системой Mathcad, можно подготовить задания для каждого ученика.
При помощи системы Mathcad учащиеся должны задать аналитически функции, графики которых изображены ученику, а затем выполнить их построение в системе (аналитическая запись функции и её графическая интерпретация известны) (рис. 10).
Рис. 10. Пример индивидуальных заданий
Выполняя такое задание в Mathcad, ученики могут определять функции, визуализировать их графики, анализировать результаты, сравнивая с заданием. Если результат совпадает с изображением в задании, значит, функция реализована - верно. В таком процессе ученики могут сделать множество ошибок, но не стоит их фиксировать: каждый работает индивидуально, в удобном для себя темпе. Сам видит, правильно он выполнил задание, осуществляя самоконтроль. Ученик может обращаться за консультацией, в случае затруднения к учителю.
Приведем примеры некоторых конкретных задач фазы лабилизации персонализированного обучения (8
класс).
Задача-самоконтроль: Задача о построении графика функции по заданной аналитической и (или) графической записи. Это задания по карточкам, о которых мы уже говорили выше (рис.10).
Если ученик справился с этим заданием, можно дать дополнительную карточку (карточки заготавливаются заранее). Например, известно, что график квадратичной функции проходит через точку (-1; 3), а его вершина находится в точке (1; 1). Требуется задать аналитически функцию, реализовать в Mathcad (при этом шаблон готового графика на карточке известен).
Задача-презентация: Свойства графиков функций у = у — - . у = ■ул' наглядно можно проследить
при помощи их построения в системе МаШсас!. Меняя значения коэффициента в аналитической записи, сразу становится видно, как изменяется график, следовательно, можно рассуждать о свойствах функций. Этот приём может быть использован и при наведении учеников на собственный вывод.
Задача-перекодирование: 1. Задан график кусочной функции. Отметьте зелёным цветом те значения аргумента, при которых функция будет возрастать, а жёлтым цветом те значения, при которых она убывает. Запишите свой результат
2. По заданному графику запишите аналитическое выражение функции и реализуйте Mathcad. Задача-исследование: 1. Исследуйте уравнение 2х" — 6х + 3 — р графически, найдите значение р. при которых уравнение имеет два корня, один или не имеет решений вовсе.
2. Исследуйте поведение параболы, заданной уравнением у = ох:йхг при разных знаках коэффициентов, которые входят в уравнение параболы.
Задача графическая: 1. Задайте любую функцию, которая ограничена сверху. Проверьте свой результат с помощью системы Mathcad.
2. Задайте аналитически кусочно-непрерывную функцию, которая изображена графически в задании, проверьте себя с помощью системы Mathcad.
Анимационная задача: 1. Запишите видео, на котором парабола опускается вниз. Какой параметр квадратичной функции у = + Г)" +■ т меняется?
2. Продумайте условия и реализуйте анимационное видео, на котором график параболы перемещается
влево.
Задача на интерактивное взаимодействие: Создать реализацию, изображающую график функции у = + т , с возможностью изменения коэффициентов п и т. При каких значениях коэффициентов, график
функции проходит через заданную точку (а; Ь).
Подобные задачи улучшают наглядность, повышать качество усвоения математического материала, в том числе и при реализации функционально-графической линии в 8 классе. Помимо, повышения качества и эффективности обучения математике, по сути реализуется исследовательская работа учащихся.
Содержание программ исследовательской работы, меняется в зависимости от возможностей учеников. Задания упрощаются или усложняются, но важно, что остается процесс исследования, поиска, экспериментирования.
Нередко встречается, что на базе школ проводятся разнообразные конференции, тренинги, мастер-классы и т.д. для того, чтобы увидеть, как идёт работа учеников и учителей над исследовательскими работами.
Одной из главных задач проведения таких мероприятий, является создание условий для развития личности учащихся и реализации их способностей, а так же приобретение навыков исследовательской работы. Как уже было отмечено, исследовательская деятельность служит инструментом персонализации учащихся и является одной из наиболее эффективных образовательных технологий.
Одним из примеров подобной исследовательской работы может служить работа учащегося 7 класса «Основы использования программы Mathcad». Напомним, что 7 класс - это фаза адаптации в персонализированном обучении математике, поэтому организуемая нами работа носила учебно-творческий характер. Главными задачами, представленными в работе, было ознакомление с интерфейсом Mathcad, просмотр вебинаров для более тщательного изучения возможностей и принципа работы в программе, а так же были проделаны первичные навыки использования компьютерной системы (рис. 11). Отчёт по проделанной работе был оформлен в виде презентации, сопровождающейся докладом ученика.
Рис. 11. Слайды из презентации научно-практической работы ученика 7 класса
В 8 классе темы исследований должны давать возможность учащимся проявить больше личной свободы и творчества, а так же не ограничиваться только школьной тематикой, но и выходить за рамки школьного курса. Внимание учащихся следует направить на задачи связанные с исследованиями, разработкой интерактивных моделей, графических методов решения. В соответствие с этими принципами были выбраны темы научно-исследовательских работ.
Ещё одним примером исследовательской работы может служить работа ученицы 8 класса «Применение КС Mathcad при построении графиков функций в 8 классе», в ней были отобраны задачи, решение которых будет представлено в программе Mathcad (рис. 12).
В работе учащихся 8 класса «Математические пакеты прикладных программ» можно рассмотреть такие программы, как Mathcad, MATLAB, Mathematica и Maple. Проанализировать возможности каждой из программ, их интерфейс, и как результат проделанной работы выделены плюсы и минусы каждой компьютерной системы (рис. 13).
Рис. 12. Слайды из презентации научно-практической работы «Применение КС Mathcad при построении
графиков функций в 8 классе»
Плюсы Ма1Иетайса
• Ориентирована на сферу высшего образован] научных расчетов.
• Наиболее развитая система символьной математики.
• Совместимость с разными компьютерными платформами.
• Уникальная трехмерная графика.
• Поддержка синтеза звука.
• Развитые средства форматирования докумен
Рис. 13. Слайды из презентации научно-практической работы «Математические пакеты прикладных программ»
Отчёты по проделанным работам можно оформить в виде презентаций, сопровождающихся докладом каждого из учащихся.
Еще одним из средств обучения в данной фазе может быть сайт - www.Mathcad.com [13] или справочная системы. В которых содержится множество реализованных примеров из различных прикладных областей: математики, статистики, экономики, инженерных расчетов и другие. Для учащихся 7-8 класса достаточно познакомиться с разделом Gallery (Галерея). Там представлены различные графики, анимационные объекты и видеоролики, которые реализованы (при помощи математических функций и элементов программирования) и описаны. Целью рассмотрения встроенных примеров является предварительное знакомство с возможностями и повышение мотивации.
Таким образом, можно сделать вывод, что профессиональное развитие учителя всегда связано с поиском новых технологий в обучении. Его роль - стать организатором познавательной деятельности, в которой основным лицом является ученик. Учитель должен организовывать учебный процесс и управлять им, а это может быть реализовано с помощью современных педагогических, информационных и компьютерных технологий.
Большие возможности содержатся в применении компьютерных технологий на уроках математики. В современном кабинете необходимо использовать не только различные установки и оборудование для проведения демонстрационных экспериментов, но и компьютерное оборудование с мультимедийным проектором или демонстрационным экраном.
В качестве одной из вспомогательных программ, позволяющей повысить рост усвоения учащимися нового материала, является пакет Mathcad. Помимо вычислений он позволяет решать проблемы наглядности и визуализации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Попадьина, С.Ю. Реализация функционально-графической линии в персонализированном обучении общеобразовательному курсу математики с использованием компьютерной системы Mathcad: диссертация URL: http://nauka-pedagogika.com/pedagogika-13-00-02/dissertaciya-realizatsiya-funktsionalno-graficheskoy-linii-v-personaliztf^^
(дата обращения: 01.04.2019).
2. Мордкович, А.Г. Беседы с учителями математики: Учеб.-метод. Пособие / А.Г. Мордкович. - 2-е изд., доп. И перераб. - М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»:, 2005. - 36 с.
3. Драгныш, Н.В. Использование инновационных технологий для преподавания курса «Теория вероятностей и математическая статистика» // Дискуссия. - 2010. - № 8. - С. 80-83.
4. Драгныш, Н.В., Цветков, А.А. Использование возможностей системы дистанционного обучения Moodle для создания индивидуальных образовательных маршрутов // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. - 2017. - № 1. - С. 198-204.
5. Цветков, А.А., Драгныш, Н.В. Особенности адаптирования методики преподавания теории вероятностей для эффективного восприятия школьниками // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. - 2018. - № 1. - С. 231-235.
6. Леонтьев, А.Л., Кохановская, А.В., Драгныш, Н.В. Визуализация решений уравнений математической физики гиперболического типа с помощью Mathcad // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. - 2018. - № 1. - С. 212-222.
7. Леонтьев, А.Л., Драгныш, Н.В. Методика использования пакета Mathcad при рассмотрении уравнения колебаний // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. - 2019. - № 1. - С. 350-355.
8. Ткаченко, Н.Ю., Бородина, М.С., Кохановская, А.В. Особенности применения дистанционной технологии при подготовке к ЕГЭ по математике // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. - 2019. - № 1. - С. 147-157.
9. Высокобойников, Ю. Е., Задорожный, А. Ф. Основы работы в программе Mathcad. Учебное пособие. Новосибирск: НГАСУ, -2006. -122 с.
10. Андреев, В. И. Диалектика воспитания и самовоспитания творческой личности: основы педагогики творчества. - Казань: Изд-во Казанского университета, 1988. - 238 с.
11. Педагогический энциклопедический словарь / Гл. ред. Б. Бим-Бад; Ред- кол.: М. М. Безруких, В.А. Болотов, Л.С. Глебова и др. - М.: Большая российская энциклопедия, 2003. - 527 с.
12. Поршнев, С.В. Компьютерное моделирование физических систем с использованием пакета MathCad. - М: Горячая линия - Телеком, 2002. - 252 с.
13. Официальный сайт PTC Mathcad [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://www.mathcad.com/en/ (дата обращения: 12.05.2020).
