Использование метода конечных элементов при моделировании процесса контактного взаимодействия ролика и обрабатываемой детали Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА, МАШИНОСТРОЕНИЕ

УДК «1 787 д. П. МОРГУНОВ

Л. Г. СТИШЕНКО Я. М. СТРЕК В. А. ГЛУШЕЦ

Омский государственный технический университет

Новосибирская государственная академия водного транспорта Омский филиал

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССА КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ РОЛИКА И ОБРАБАТЫВАЕМОЙ ДЕТАЛИ

В статье представлена пространственная модель процесса контактного взаимодействия деформирующего элемента с заготовкой. Приведены примеры конечных элементов, присутствующих в СОБМОЗУ/ог!«. Исследуется влияние параметров режима контактного взаимодействия деформирующего элемента с заготовкой на формирование многоуровневого микрорельефа.

Метод конечных элементов (МКЭ) в настоящее время является одним из основных методов при решении задач механики твердого тела посредством численных алгоритмов [ 1 ]. В основе метода лежит дискретизация объекта с целью решения уоавнений меха-

ники сплошной среды в предположении, что эти соотношения выполняются в пределах каждой из элементарных областей. Эти области называются конечными элементами. Они могут соответствовать реальной части пространства, как, например, пространствен-

б)

Рис. 1. Примеры конечных элементов: а) объемный линейный конечный элемент; б) объемный параболический конечный элемент в) параболический конечный элемент поверхностп

ные элементы (рис. 1а, 16), или быть математической абстракцией, как элементы стержней, балок, пластин или оболочек (рис. 1в). В пределах конечного элемента назначаются свойства ограничиваемого им участка объекта. Это могут быть характеристики жесткости и прочности материала, плотность. Описываются поля интересующих величин (применительно к механике твердого тела — перемещения, деформации, напряжения). Параметры из второй группы назначаются в узлах элемента, а затем вводятся интерполирующие функции, посредством которых соответствующие значения можно вычислить в любой точке внутри элемента или на его границе. Задача математического описания элемента сводится к тому, чтобы связать действующие в узлах факторы. В механике сплошной среды это перемещения и усилия. Рассмотрим прямой метод построения уравнений, связывающих эти факторы в пределах конечного элемента, в предположении линейной постановки.

1. Поле перемещений А в пределах элемента (для пространственной задачи Д = [и,у^]) посредством инт ерполяционных функций, которые в изопарамет-рических конечных элементах используемых СОБ-МОЗШогкв идентичны функциям формы, собранных в матрицу [Ы], выражается через узловые перемещения {Д}. Смысл интерполяционных функций состоит втом, чтобы, зная величины, например, перемещений в узлах, получить их значения в любой точке элемента в зависимости от координат. В матричном виде соотношения имеют вид:

A = N-{A}

(1)

e = [D]-{A}.

(2)

азатем и между напряжениями и степенями свободы в v3Aa>.

(4)

4. Формулируй гс;; выражения для сил {F}, действующих в вершкнах элемента в зависимости от поля напряжений а, для чего используется матрица преобразования напряжений в узловые силы [А]:

(5)

5. Связываются выражения для узловых сил и перемещений в узлах:

И=[*Ма}.

(в)

где [&] = [А]• [Я]• [О] - матрица жесткости конечного элемента.

6. Для придания матрице [&] свойства симметрии добиваемся замены матрицы преобразования жесткости матрицей, транспонированной к матрице преобразования перемещений в деформации [О]. Тогда:

(7)

Для пространственной задачи {Д}=

у2^г'-- 'ик>ук'шЛ гАеК~числоузлов конечного элемента.

2. Поле деформаций е выражается через степени свободы {Д} посредством дифференцирования поля перемещений (а фактически интерполяционных функций) согласно соотношениям, собранным в матрицу [О] и связывающим деформации с перемещениями:

Перечисленные зависимости позволяют, зная перемещения в узлах, получить величины сил, а также решить обратную задачу: по силам найти перемещения, затем деформации и напряжения в пределах конечного элемента.

Прямая формулировка, как правило, используется для получения матриц жесткости конечных элементов стержней, балок и пластин, а также для описания процесса теплопроводности.

Для получения матриц жесткости пространственных элементов наиболее часто используются вариационные принципы, например, принцип минимума потенциальной энергии. Полученная таким образом матрица жесткости из пункта 6 здесь будет вычисляться как:

м=

\[Df .[E].[D}lxdydz

(8)

3. С учетом уравнений состояния, в основе которых лежит закон Гука и коэффициенты которых образуют матрицу [Е], устанавливается связь сначала между полем напряжений и полем деформаций:

:[Е].

(3)

dxdydz = [J]dqd íf/d п

Проблема интегрирования по объему тела сложной формы решается за счет того, что выражения записываются в локальной системе координат, связанной с элементом причем координаты изменяются в интервале [-1, +1].

При этом выражение для элементарного объема приобретает вид:

(9)

где [7] - определитель матрицы Якоби, или якобиан преобразования. Тогда:

J j I [D]T .[E] [D]det[JtedWdn

■ (10)

Аналитический расчет интегралов в выражении для матрицы жесткости невозможен даже для треугольников с криволинейными сторонами. Поэтому прибегают к численному интегрированию. Оно заключается в замене интеграла суммой произведений подынтегральных выражений, вычисленных в точках Гаусса или в некоторой другой системе точек на соответствующие весовые коэффициенты. Этот процесс сопровождается расчетом величины определителя якобиана (2). Отрицательная величина является следствием вырожденности данного конечного элемента. Как правило, информация о данном обстоятельстве помещается в диагностические сообщения программ.

Примеры конечных элементов, присутствующих в СОЗМОБШогкз, приведены на иллюстрациях: объемный тетраэдральный с линейным полем перемещений в пределах ограничиваемой им области (и, соответственно, постоянной деформацией) —на рис. 1а, объемный тетраэдральный с параболическим полем перемещений (линейным распределением деформаций) на рис. 16, треугольный элемент оболочки с параболическим полем перемещений и углов поворота— на рис. 1в.

На рисунках также обозначены локальная система координат элемента глобальная система координат тела Х,У,2, перемещения в локальной: и,у, для оболочечного — углы поворота относительно локальных осей в узле ©6,© ,©ч, и в глобальной: V, V, V/ системах координат.

Имея математический аппарат для получения матриц жесткости конечных элементов, приведения нагрузок, приложенных к поверхности или в объеме элемента к усилиям в узлах, а также решения обратных задач: вычисления полей деформаций и напряжений в объеме элемента на базе перемещений в узлах можно построить алгоритм МКЭ.

1. Производится дискретизация объема, занимаемого деталью или сборкой на элементы. Для объемного тела область разбивается на тетраэдры с гранями, аппроксимируемыми линейными или параболическими функциями координат.

2. Для пространственных конечных элементов степенями свободы являются перемещения в на-

правлении осей локальной системы координат элемента.

3. Определяются зависимости для преобразования перемещений и углов поворота в узлах к глобальной системе координат.

4. Вычисляются матрицы жесткости конечных элементов. В формулы для расчета компонентов матриц жесткости конечных элементов помимо координат узлов входят модули упругости и коэффициенты Пуассона материалов.

5. Полученные матрицы жесткости с использованием зависимостей для перехода от локальных систем координат элемента преобразуются в глобальную систему координат.

6. Матрицы жесткости, представленные в глобальных координатах, объединяются в глобальную матрицу жесткости [К].

7. Назначенные граничные условия, статические и кинематические, приводятся к нагрузкам и перемещениям в узлах, выраженным в глобальной системе координат, и включаются в столбец усилий [F].

8. Полученная линейная система уравнений вида [Л] - [л] = [F] решается относительно столбца перемещений. Для решения используются итерационные или прямые методы. Матрица жесткости, как правило, хранится в компактной форме, структура которой определяется до этапа ее заполнения матрицами жесткости элементов.

9. Для каждого конечного элемента, имея перемещения в узлах и аппроксимирующие функции, рассчитываются деформации. Если элементы линейные — деформации в пределах элементов постоянные, если элементы параболические — деформации изменяются линейно. На основе деформаций вычисляются напряжения в элементах. При необходимое™ напряжения в узлах смежных элементов осредняются с последующим пересчетом напряжений в пределах каждого элемента.

Весь процесс создания динамических моделей механических систем в программной связке SolidWorks / Cosmos Works можно представить в виде последовательности действий:

1) создание пространственной модели объекта исследования, непосредственно в программе SolidWorks (рис. 2);

2) в надстройке Cosmos Works применяются материалы, из которых изготовлены детали;

3) во вкладке "Нагрузка/ограничение" определяются ограничения перемещений заготовки "неподвижная (без изменения)" и ролика "на плоской грани", место приложения и величина нормальной силы;

Рис.2. Пространственная модель объекта исследования: 1 - заготовка; 2 - ролик

Рис. 3. Отображение сетки конечных элементов

а)

б)

Рис.5. Отпечаток индентора

4) определяются условия соприкасания ролика и заготовки во вкладке "Контакты/зазоры";

5) производится дискретизация объема, занимаемого сборкой, на элементы (строится сетка конечных элементов) (рис. 3);

6) запускается решающая программа для активного упражнения.

После завершения процесса расчета отображаются поля интересующих величин: усилие сжатия, перемещения, деформации, напряжения (рис. 4).

Определение влияния параметров процесса контактного взаимодействия деформирующего элемента с заготовкой на формирование многоуровневого микрорельефа [3]. К таким параметрам относятся усилие вдавливания деформирующего элемента в заготовку и радиус ролика. Усилие вдавливания при образовании регулярных микрорельефов определяет величин у остаточной деформации. Остаточная де-

формация тем больше, чем больше усилие вдавливания и чем меньше сопротивление обрабатываемого материала пластическому деформированию [4].

На рисунке 5 изображен след, оставленный роликом на заготовке.

Исследования проводились при следующих параметрах: радиус заготовки гз=25мм, радиус ролика г = 4, 4.5; 5; 5.5; 6; 6.5 мм, ширина ролика 4мм, радиус скругления 0,1; 0,5; 1; 1,5 мм, материал ролика — легированная сталь, материал заготовки — медь.

Заключение

Представленная модель позволяет:

1) используя метод конечных .элементов, определить поле напряжений и поле деформаций в рассматриваемых объемах деформирующего элемента и обрабатываемой детали;

I

ю

г

Я, мм

мм

40,1 0,5 1 1,5 Э, мм

Я, мм

р, МПа

б)

40,1 0,5 1 1,5 в, мм

Рис. 6. Зависимость параметров канавки от радиуса ролика, радиуса скру гления ролика при усилии вдавливания ролика Р=400Н: а) шкала деформации; б) усилие сжатия; в) перемещение; г) напряжение

2) исследовать влияние параметров режима контактного взаимодействия деформирующего элемента с заготовкой на формирование многоуровневого микрорельефа;

3) исследовать влияние геометрических параметров и физико-механических свойств материала деформирующего элемента и материала заготовки на формирование многоуровневого микрорельефа.

Библиографический список

1. Алямовский, А. А. 5оМс1\\'огк!!. Компьютерное моделирование »инженерной практике [текст] / А. А. Алямовский, А А. Собач-кин, Е.В. Одинцов, А.И. Харитонович, Н.Б. Пономарев - СПб.: БХВ-Петербург, 2005.-800 с.

2. Математическая энциклопедии [Текст]: под ред. И.М. Виноградова. - М: Советская энциклопедия, 1985. - 1248 с.

3. Пат. 2182093 Российская Федерация, В 61К 3/00. Способ повышения износостойкости рельсов и реборд колес железнодорож-нихтранспортных средств [Текст] / Моргунов А.П. Масягин В.Б. ДеркачВ.В.; заявитель и патентообладатель Омский гос. техн. ун-т. -№2000121137/28

4. Шнейдер, Ю.Г. Технология финишной обработки давлением [Текст] / Ю.Г. Шнейдер. - СПб.: Политехника, 1998. - 441 с.

МОРГУНОВ Анатолий Павлович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой "Технология машиностроения" Омского государственного технического университета.

СТИШЕНКО Лариса Георгиевна, доцент кафедры БЖД Омского государственного технического университета.

СТРЕК Ярослав Михайлович, аспирант кафедры "Технология машиностроения" Омского государственного технического университета. ГЛУШЕЦ Виталий Алексеевич, кандидат технических наук, заведующий кафедрой "Специальные технические дисциплины" Омского филиала Новосибирской государственной академии водного транспорта.

Поступила в редакцию 06.07.06.

©Моргунов А. П., Стишенко Л. Г., Стрек Я. М., Глушец В. А.

Книжная полка

Корендясев А. И. Теоретические основы робототехники: теория и практика проектирования роботов / А,И. Корендясев, Б.А. Саламандра, Л.И. Тывес; отв. ред. С. М. Каплунов; Ин-т машиноведения им. А. А. Благонравова. — М.: Наука, 2006. — 54 л.

Монография охватывает всю гамму проблем создания устройств от функциональных механизмов и систем робота, структуры и кинематики руки робота и др. до моделей систем очувствления роботов, процессов обработки информации и принятия решений. Содержит обзор работ, оказавших заметное влияние на развитие фундаментальной науки о роботах. Обобщает результаты фундаментальных исследований.