CC BY
20
УДК 621.787
А. П. МОРГУНОВ К. Н. ПАНТЮХОВА
Омский государственный технический университет
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРОФИЛЬНОГО ОХВАТЫВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТА С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЙМОЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В СРЕДЕ COSMOSWORKS
Предлагается новая конструкция приспособления для высадки крепежных деталей, представляющая собой соединение охватывающего элемента с гладкой поверхностью и охватываемого профильного элемента. Рассматривается математическое описание соединения методом конечных элементов и анализ технологического процесса изготовления деталей соединения и их сборки.
Ключевые слова: профильное соединение, твердосплавная вставка, охватывающий и охватываемый элементы, коэффициент заполнения, метод конечных элементов, индентор.
Технологический процесс высадки болтов, винтов, гаек и других крепежных деталей осуществляется с помощью приспособления — матрицы с запрессованными цилиндрическими и коническими вставками, изготовленными из твердого сплава, как правило, ВК20.
Прочность неподвижного соединения — вставки с обоймой, уменьшается в связи с усталостью материала контактируемой поверхности обоймы. Поэтому возникает необходимость увеличения площади опорной поверхности и, соответственно, прочности соединения. С этой целью предлагается применение профильного соединения охватываемого и охватывающего элементов приспособления. Контактирующая поверхность твердосплавной вставки может быть волнистой, трапециидальной и другой формы с различным шагом выступов и впадин. На рис. 1 представлена волнистая поверхность твердосплавной втулки с различным коэффициентом заполнения профиля.
Традиционно сборка вставки с обоймой осуществляется с нагревом обоймы до 300 — 350°С. При этом назначение величин наружного диаметра вставки и внутреннего диаметра обоймы является определяющим с точки зрения заполнения профиля более мягким материалом обоймы. Для достижения максимального значения коэффициента заполнения профиля (Кзп= 1) необходимо назначить глубину и шаг впадин, соответствующими величине изменения размеров обоймы при охлаждении.
Одним из основных методов при решении задач механики твердого тела посредством численных алгоритмов является метод конечных элементов (МКЭ). В основе метода лежит дискретизация объекта с целью решения уравнений механики сплошной среды в предположении, что эти соотношения выполняются в пределах каждой из элементарных областей [1]. Эти области называются конечными элементами. В рассматриваемом случае они соответствуют реальной части пространства, как эле-
менты оболочек при контактном взаимодействии внутренней поверхности обоймы и наружной поверхности вставки. Математическое описание элемента сводится к тому, чтобы связать действующие в узлах факторы. В механике сплошной среды это перемещения и усилия [2 — 4].
Прямой метод построения уравнений, связывающих эти факторы в пределах конечного элемента, в предположении линейной подстановки приведен ниже.
1. Поле перемещений Д в пределах элемента (для пространственной задачи Д = [и, V, и/] посредством интерполяционных функций, которые в изопара-метрических конечных элементах используемых СОЗМОЭШогкэ идентичны функциям формы, собранных в матрицу [N1, выражается через узловые перемещения {Д}. Смысл интерполяционных функций состоит в том, чтобы, зная величины, например, перемещений в узлах, получить их значения в любой точке элемента в зависимости от координат. В матричном виде соотношения имеют вид:
Д = ЛГ{Д}. (1)
Для пространственной задачи {Д} = [и(, V,, иг,, и2, Ур у/2, ..., ик, Ук, где к — число узлов конечного элемента.
2. Поле деформаций выражается через степени свободы {Д} посредством дифференцирования поля перемещений (фактически интерполяционных функций) согласно соотношениям, собранным в матрицу [1>] и связывающим деформации с перемещениями:
е = [1>]{Д}. (2)
3. С учетом уравнений состояния, в основе которых лежит закон Гука и коэффициенты которых образуют матрицу [£], устанавливается связь сначала между полем напряжений и полем деформаций:
<т= [£] е,
(3)
а затем и между напряжениями и степенями свободы в узлах:
а=1Щ [Я] {А}.
(4)
4. Формулируются выражения для сил {Р}, действующих в вершинах элемента в зависимости от поля напряжений а, для чего используется матрица преобразования напряжений в узловые силы [А]:
{Р} = [А]{<т}.
(5)
5. Связываются выражения для узловых сил и перемещений в узлах:
{Р} = [А]{ А},
(6)
где [А) = [А] [Я] [С] — матрица жесткости конечного элемента.
6. Для придания матрице [А] свойства симметрии добиваемся замены матрицы преобразования жесткости матрицей, транспонированной к матрице преобразования перемещений в деформации [£)]. Тогда:
[к] = [ЯПЕ][Я].
(7)
Перечисленные зависимости позволяют, зная перемещения в узлах, получать величины сил, а также решить обратную задачу: по силам найти перемещения, затем деформации и напряжения в пределах конечного элемента.
Прямая формулировка, как правило, используется для получения матриц жесткости конечных элементов стержней, балок и пластин, а также для описания процесса теплопроводности.
Для получения матриц жесткости пространственных элементов наиболее часто используются вариационные принципы, например, принцип минимума потенциальной энергии. Полученная таким образом матрица жесткости из пункта б здесь будет вычисляться так:
[*] =
^О^ [Е][0]сЬсс1усЬ
(8)
(9)
[*] =
1 }
(10)
Проблема интегрирования по объему тела сложной формы решается за счет того, что выражения записываются в локальной системе координат, связанной с элементом у, г\, причем координаты изменяются в интервале [ — 1, + 1 ].
При этом выражение для элементарного объема приобретает вид:
где [./] — определитель матрицы Якоби, или якобиан преобразования. Тогда
Аналитический расчет интегралов в выражении для матрицы жесткости невозможен даже для треугольников с криволинейными сторонами. Поэтому прибегают к численному интегрированию. Оно заключается в замене интеграла суммой произведений подинтегральных выражений, вычисленных в точках Гаусса или в некоторой другой системе
Рис. 1. Профильное соединение обоймы и твердосплавной втулки с волнистой сопрягаемой поверхностью: а) исходное состояние соединения; 6) соединение с максимальным значением коэффициента заполнения (Као=1); в) соединение с частичным значением коэффициента заполнения (Кзп<1).
точек на соответствующие весовые коэффициенты. Этот процесс сопровождается расчетом величины определения якобиана [5]. Отрицательная величина является следствием вырожденности данного конечного элемента. Как правило, информация о данном обстоятельстве помещается в диагностические сообщения программ.
Имея математический аппарат для получения матриц жесткости конечных элементов, приведения нагрузок, приложенных к поверхности или в объеме элемента к усилиям в узлах, а также решения обратных задач: вычисления полей деформаций и напряжений в объеме элемента на базе перемещений в узлах можно построить алгоритм МКЭ.
1. Производится дискретизация объема, занимаемого деталью или сборкой на элементы. Для объемного тела область разбивается на тетраэдры с гранями, аппроксимируемыми линейными или параболическими функциями координат.
2. Для пространственных конечных элементов степенями свободы являются перемещения в направлении осей локальной системы координат элемента.
Рис. 2. Закон приложения силы во времени
3. Определяются зависимости для преобразования перемещений и углов поворота в узлах к глобальной системе координат.
4.еВычисляются матрицы жесткости конечных элементов. В формулы расчета компонентов матриц жесткости конечных элементов помимо координат узлов входят модули упругости и коэффициенты Пуассона материалов.
5. Полученные матрицы жесткости с использованием зависимостей для перехода от локальных систем координат элемента преобразуются в глобальную систему координат.
6. Матрицы жесткости, представленные в глобальных координатах, объединяются в глобальную матрицу жесткости [К].
7. Назначенные граничные условия, статические и кинематические, приводятся к нагрузкам и перемещениям в узлах, выраженным в глобальной системе координат, и включаются в столбец усилий [Б].
8. Полученная линейная система уравнений вида [к] [Д] = [Б] решается относительно столбца перемещений. Для решения используются итерационные или прямые методы. Матрица жесткости, как правило, хранится в компактной форме, структура которой определяется до этапа ее заполнения матрицами жесткости элементов.
9. Для каждого конечного элемента, имея перемещения в узлах и аппроксимирующие функции, рассчитываются деформации. Если элементы линейные — деформации в пределах элементов постоянные, если элементы параболические — деформации изменяются линейно. На основе деформаций вычисляются напряжения в элементах. При необходимости напряжения в узлах смежных элементов усредняются с последующим перерасчетом напряжений в пределах каждого элемента.
10. На основе компонентов напряжено-деформированного состояния и параметров прочности материала (материалов) производится вычисление эквивалентных напряжений по какому-либо критерию прочности [6].
Исследования влияния параметров процесса контактного взаимодействиядеформирующего элемента с твердосплавной вставкой на формирование опорной площади 5 проводилось с целью определения усилия вдавливания деформирующего элемента. Усилие вдавливания при формирования опорной площади определяет величину остаточной деформации, которая увеличивается с увеличением усилия вдавливания и уменьшением сопротивления обрабатываемого материала пластическому деформированию.
Нелинейная реакция
Л мки
а)
„ Нелинейная реакция
а, МПа
б)
Рис. 3. Кривые отклика: а) перемещение; 6) эквивалентное напряжение
Подготовка исходных данных о свойствах материалов. Этот шаг не ограничивается назначением численных величин, но и требует принятия решения о том, какие базовые гипотезы будут использованы при моделировании их поведения. Более того, данный этап наряду с тем, когда рассматриваются способы реализации граничных условий, определяет применимость программы для решения конкретной задачи.
Материал, из которого изготовлен охватывающий элемент (обойма), должен обладать способностью к пластическому деформированию. В качестве модели пластического течения принимается модель Мизеса с изотропным упрочнением — von Mises Plasticity (isotropic) [7]. Кривая «напряжение — деформация» аппроксимируется билинейной зависимостью. Она требует знания модуля на упругом участке — ЕХ и касательного модуля на участке упрочнения ETAN.
Кинематические граничные условия для заготовки состоят в фиксации радиального и осевого перемещения. Поскольку к индентору приложена вертикальная сила, то встает вопрос о его фиксации в поперечном и продольном направлениях. Это условие выполнено установкой на гранях индентора (выступа
твердосплавной вставки) и обоймы граничного условия симметрии — геометрической и статической. Расчету подвергается половина модели, а на плоских гранях в разрезе назначается условие скольжения — равенство нулю нормальных перемещений.
Нагрузка на индентор прикладывается в виде усилия. Она задается величиной и знаком измерения — Time curve (кривой времени) (рис. 2), на которой есть три участка (параметр здесь — абстрактное время):
— наклонный левый — рост нагрузки;
— горизонтальный — вспомогательный интервал, предназначенный для повышения наглядности результатов (в силу того, что параметры материала не зависят от времени, обязательным он не является);
— наклонный правый — уменьшение нагрузки.
Анализ технологического процесса. Общее
представление о процессе можно получить на основе кривых Nonlinear Response (нелинейная реакция), отображающих зависимость перемещения в заданной точке от параметра времени. На рис. 3 показаны кривые для точки отклика, назначенной ранее.
Кривая состоит из трех участков. Первый соответствует увеличению нагрузки, которая изменяется пропорционально времени. Перемещения увеличиваются нелинейно: чем больше нагрузка, тем активнее их приращение. Следующий участок — горизонтальный отрезок. Он соответствует интервалу времени, когда нагрузка постоянна. Величина вертикального перемещения достигает максимума. Последний интервал — снятие нагрузки и уменьшение деформаций. Соответствующий участок на диаграмме близок к линейному. Конечная точка соответствует остаточным деформациям.
Имея кривые отклика, можно адекватно оценивать диаграммы перемещений, деформаций, другие результаты, зависящие от параметра времени.
Для построения алгоритма прогноза выполняются несколько расчетов для одной и той же модели, но с различными нагрузками и геометрическими размерами индентора и обоймы.
Таким образом, представленная модель позволяет исследовать влияние параметров режима контактного взаимодействия деформирующего элемента (твердо-
сплавной втулки) на формирование опорной поверхности:
— зависимость максимальной и остаточной деформации от радиуса полуцилиндрической части индентора;
— зависимость усилия вдавливания индентора от радиуса деформирующего элемента;
— зависимость максимального и остаточного перемещения от усилия вдавливания индентора.
Библиографический список
1. Моделирование процесса контактного взаимодействия деформирующего элемента с заготовкой методом конечных элементов в среде COSMOSWORKS / А. П. Моргунов [и др.] // Динамика систем механизмов и машин: матер. VII Межд. науч,-техн. конф. 10-12 ноября2009 г. - Омск, 2009. -С. 285 - 293.
2. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич ; под ред. Б. Е. Победря. — М.: Мир, 1975. — 271 с.
3. Норри, Д. Введение в метод конечных элементов / Д Норри; пер. с англ. — М.: Мир, 1981. — 304 с.
4. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд; подредБ. Е. Победря. — М.: Мир, 1975. — 392с.
5. Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — 1248 с.
6. Шалашилин, В. И. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметритизация (в прикладной математике и механике) / В. И. Шалашилин, Е. Б. Кузнецов. — М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 224 с.
7. Роботнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела : учеб. пособие для вузов / ЮН. Роботнов. — 2-е изд., испр. — М.: Наука, 1988. - 712с.
МОРГУНОВ Анатолий Павлович, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой «Технология машиностроения». ПАНТЮХОВА Ксения Николаевна, инженер научного издательства ОмГТУ.
Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.
Статья поступила в редакцию 25.03.2011г. © А. П. Моргунов, К. Н. Пантюхова
Информация
Стипендии и гранты фонда Гумбольдта для молодых ученых России
Немецкий Фонд имени Александра фон Гумбольдта (Alexander von Humboldt Stiftung) предлагает программы стипендий, грантов и премий для учёных и молодых специалистов из России.
Фондим. Александра фон Гумбольдта — некоммерческая организация, созданная в 1953 году правительством Федеративной Республики Германия для поддержки научного сотрудничества между выдающимися иностранными и немецкими учеными. Фонд предоставляет иностранным ученым исследовательские стипендии и премии, которые дают им возможность приехать в Германию и реализовать собственные научно-исследовательские проекты совместно с немецкими коллегами. Единственным критерием отбора является научная квалификация претендентов.
Нет никаких квот как для отдельных стран, так и для отдельных академических дисциплин. Фонд им. Гумбольдта ежегодно выделяет:
— свыше 800 Гумбольдтовских стипендий и премий высококвалифицированным иностранным ученым -кандидатам и докторам наук для долгосрочной научно-исследовательской стажировки в Германии;
— по 10 стипендий федерального канцлера Германии молодым потенциальным лидерам из Российской Федерации, Китайской Народной Республики и Соединенных Штатов Америки (ученая степень не требуется). После окончания срока пребывания в Германии Фонд поддерживает связи со всеми стипендиатами и лауреатами, предлагая им повторные научные стажировки в Германии, финансовую поддержку для участия в конференциях и др.
Число стипендиатов и лауреатов Фонда превышает сегодня 24 тысячи человек (из них 44 нобелевских лауреата) из более чем 130 стран мира.
См. подробнее: www.humboldt-foundation.de (на немецком и английском языках) Представитель в Москве: тел: (495) 9746369; avh.moskau@daad.ru
Источник: http://www.rsci.ru/grants/grant_news/297/229828.php (дата обращения: 15.06.11)
