Использование кватернионов при математическом моделировании механизмов с параллельными кинематическими цепями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.865.8

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ ПРИ МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ МЕХАНИЗМОВ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ КИНЕМАТИЧЕСКИМИ ЦЕПЯМИ

В.А. Смирнов, В.Б. Федоров

На примере механизма с параллельными кинематическими цепями, имеющего три степени свободы, показана возможность использования кватернионов при построении математических моделей таких механизмов.

*2’

Одним из путей совершенствования технологического оборудования является использование при его построении нетрадиционных кинематических схем. Часто под такими схемами понимают схемы механизмов, имеющих параллельные кинематические цепи, связывающие исполнительный орган с основанием [1-3].

Наиболее известным механизмом с параллельными кинематическими цепями (МПКЦ) является платформа Стюарта - шестикоординатный механизм платформенного типа [4], схема которого показана на рис. 1. В данном механизме платформа соединена с основанием посредством шести штанг длиной Ь,. Каждая из штанг соединена с платформой сферическим шарниром В,, с основанием - через кардано-вый шарнир А,.

Длины штанг целесообразно принять за обобщенные координаты рассматриваемого механизма, так как они однозначно описывают пространственную ориентацию платформы и удобны с точки зрения управления оборудованием, построенным на базе этого механизма. Однако с точки зрения практического использования более полезны параметры, непосредственно характеризующие положение платформы. Назовем эти параметры выходными координатами механизма. В качестве выходных координат могут выступать координаты сферических шарниров

В,-

Математическая модель механизма должна связывать его обобщенные и выходные координаты:

А2 = Оа, - *в, ? + Оа, - ^в, )2 + Оа, - *в, )2, » = 1 -6. (1)

В шесть уравнений (1) входят шесть обобщенных координат и 18 выходных координат. Следовательно, не все выходные координаты являются независимыми. Поэтому уравнения (1) должны быть дополнены 12 уравнениями связи вида [5]

(л;в — дгв ) + (Ув,~Ув^ + Ов(—гв7) > О)

где / * j и расстояния между шарнирами В; и В; известны и постоянны.

Выбором иных выходных координат можно существенно упростить математическую модель. Можно принять в качестве выходных координат механизма три линейные координаты некоторой характерной точки С платформы, назовем ее полюсом, в неподвижной системе координат ОХУ7, и три угловые координаты, определяющие разворот платформы вокруг полюса из некоторого начального состояния.

В качестве выходных угловых координат могут выступать, например, углы Крылова: угол рыскания у/, угол тангажа 3 , угол крена у [6]. Данные углы позволяют пересчитать координа-

ты сферических шарниров, заданные в системе координат СХ' У Z', в систему координат ОХУ2 [5]:

V ГА ь Н хс'

у*, щ т2 т3 Ус А

гв і Щ «2 «з 2с г'в,

11; 1° 0 0 и 11;

(3)

где /] = СОв Ц/ СОв ^ + БІП і9 ЭШ вІП у І /2 =$ІП^СО$5; /3 =-С08^8ІП7 + 8ІП^$ІПі9с087;

т.

;-віл ^ сов ^ + вігі $ сов^вт/; т2 =соз^соб.9; тг ^зт^зіп^ + соз^зіп^соз/;

и, =С08^зт/; «2 = -зт>9 ; и3 =соз19сов^.

В этом случае уравнения (1) после преобразований примут следующий вид: I2 = (хАг -хс)2+ 0А) -ус)2 + (гА( - %)2 + х’1. +у% +2% +

)+

)+

+ 2 (С^С?' + 8198^8/)Ув. +8у/С9у'ъ, +(Бу/Ъ&Су-Су/8у)г’в. ](хс — )■

+ 2 "(в 5С ^ ву - в у/Су)х'в. +Су/С Зу’в. +(в у/ ву + С у/ Ъ ЗСу)г'в. |ус - ук> )н + 2 С^8^'в. -8Эу'в. +СЗСуг'ь. \гс - гА|), / = 1 ...6, где для сокращения записи введены обозначения: в ц/ - вт ц/, С у/ = со$ц/ и т. д.

Пусть необходимо составить математическую модель для механизма, показанного на рис. 2. Количество степеней свободы этого механизма Я = 6(8-1)-3-3-5-6 = 3 . Следовательно, пространственная ориентация платформы должна описываться тремя обобщенными координатами.

Примем, что обобщенными координатами являются длины штанг Ь1, выходными будем считать координаты сферических шарниров В, в неподвижной системе координат ОХУ2. Запишем уравнения, связывающие обобщенные и выходные координаты:

^ = (*А| - *в, )2 + Оч - Ув, ? + (ч - 2в, )2, / = 1 ...3. (4)

В уравнения (4) входят 9 координат сферических шарниров, следовательно эти уравнения должны быть дополнены 6 уравнениями связи. Однако для рассматриваемого механизма можно записать только три уравнения, аналогичные (2):

(лв,-л:в2) + (.Ув, ~.Ув2) +(2в1~2вг) Н^Вг! >

(*в, -ХвУ+ІУв, ~Увъ) + (гв

■гв ) — |В2В3|

(5)

(*в, _^Вз )2 + (.Ув, Ув,) + (2в, гв3)2_|ВіВ3| .

Остальные уравнения связи должны быть записаны из каких-то иных условий, например, учитывающих, что точки В, - центры соответствующих шарниров, лежат в заданных плоскостях.

На рис. 2 показана плоскость, в которой лежит точка В,. Данная плоскость проходит через штангу Ц перпендикулярно прямой, являющейся осью вращения шарнира А1. Если ось вращения шарнира А, задана уравнением

х-х

А, У-Уа, _

/л

‘А, тА\ "А,

где /А], тА], яА| - направляющие косинусы в системе координат 0ХУ7, то уравнение плоскости, перпендикулярной этой прямой и проходящей через точку В,, будет иметь вид [8]

1А, (*-*В1) + "7А1О'->;В1) + ИА1(2-гВ1) = 0-Так как эта плоскость проходит через точку пересечения штанги Ц с осью вращения шарнира А! (точку А,), то можно записать дополнительное уравнение связи

/А1 (*А, “ ■%, ) + Я*А, СУЛ, ~ Л, ) + «А, (*А, “ ■гВ, ) = 0 •

Аналогично для остальных штанг:

1а2(*а2 -Хв2) + тКг(уА2 -уВг) + «а2(2а2 -%2) = 0;

^А3 Оа3 ~ *В3 ) + ОТА3 СУАз - Ув3 ) + «А3 Оа3 - *в, ) = 0'

Оси вращения цилиндрических шарниров обычно лежат в плоскостях, параллельных плоскости ОХУ . В этом случае иА) = пА2 = «Аз = 0 и дополнительные уравнения связи несколько упростятся:

* А, Оа, - ■*В, ) + тА, Оа, - Уъ, ) = 0;

1А2 (*А2 ~ *В2) + тАг Оа2 - Ув2 ) = 0 ; (6)

1Аг (ХА3 “*В3) + тАъ Оа3 - Лз ) = 0 •

Совместное решение девяти уравнений (4>—(6) позволит определить выходные координаты по известным обобщенным координатам, т. е. решить прямую задачу о положениях.

При решении обратной задачи о положениях необходимо задать три выходные координаты и с использованием уравнений (4)—(6) определить обобщенные координаты - длины штанг Ь1.

Если при функционировании механизма представляет интерес пространственное положение его платформы, то в качестве выходных координат целесообразно использовать координаты полюса С в системе координат ОХУ2 и три угловые координаты, характеризующие поворот платформы вокруг полюса - углы Крылова. В этом случае для решения задач о положениях потребуется совместно решать шесть уравнений - по числу выходных координат механизма:

V = (*А, - кх'вх ~1гУв, ~хс )2 + (УА, - щх'в, ~тгУв, ~Ус ? +

+ Оа, - "«г/в, -гс )2;

1*2 = (ха2 ~Ьх'в2 ~^гУв2 _^з2'в2 ~хс) + Оа2 ~т\х'в2 ~тгУ в2 ~тъ2'вг ~Ус) +

+ Оа2 -И1*'в, ~пгУв2 -»з*'в2 -2С)2;

V =(*А3 -11х'в3-12У'в3-1з2'в3-хсУ +Оа3 -Щх’в3-ЩУ’в3-Щ^'в3-Ус)2 + ^

+ Оа3 -И1*'вз ~пгУв3 ~пз2'в3-2с)2;

1АХ (*л, -кх'вх ~1гУв, -Ч2'в, ~хс)+ «А, (уа, - тхх'щ ~ЩУв, ~тъ2'вх ~Ус)= 0;

/а2 (*а2 - 1\х'в2 -кУвг ~Ч2'в2 -хс )+ ™а2 (уа2 ~ Щх'в2 ~ЩУ'в2 ~Щ2'в2 ~Ус )=Ф

^Аз (*А3 - 11Х'в3 ~ЬУв3 ~Ч2'В3 ~ХС )+ тА, (Аз “ ~т2У'в3 ~™Ъ2'В3 ~УС)= 0 •

Уравнения (7) получены из (4) и (6) с использованием (3). Уравнения (5) исключены из рассмотрения, так как при подстановке в них координат сферических шарниров, рассчитанных с использованием (3), они превращаются в тождества.

Из шести выходных координат только три являются независимыми. Принять, какие из выходных координат использовать в качестве независимых, т. е. для каких координат задавать значения при решении обратной задачи о положениях, зачастую можно только по результатам численного решения прямой задачи для различных значений обобщенных координат.

Покажем, как могут быть решены прямая и обратная задачи о положениях для рассматриваемого механизма с использованием кватернионов.

Введем в рассмотрение систему координат АхХхУх2х, оси которой сонаправлены соответствующим осям системы координат ОХУ2, и вектор гх, начало которого совпадает с точкой А, (рис. 3), а координаты равны гхх = 0, гху - 0, г{7 - Ьх. Очевидно, что вектор гх соответствует вертикальному положению штанги Ьх. Положению этой штанги при работе механизма соответствует вектор г*. С использованием математического аппарата кватернионов [7] переход от вектора ?! к вектору г* можно записать как

^*=Л1о^оЛ1,

где - нормированный кватернион, заданный в системе координат АхХ^¥х2х; Л] - кватернион, сопряженный с Л!; о - символ операции умножения кватернионов.

Координаты точки В, конца вектора гх определяются следующим образом:

г \ *в, /■ \ ХА\

Увх = А, о г} о А1 + Уа\

(8)

Аналогично могут быть получены координаты точек В2 и В3.

Кватернион Л как гиперкомплексное число записывается в следующей форме:

А — Яд + + І2Л2 ’ 0^)

где - действительные числа; / - мнимые единицы. Для нормированного кватерниона $+42+М+ЛІ=1. (10)

Кватернион А, сопряженный с А, записывается как

А. — Л^ ” І] Лу 12 ^2 І3 ^ • (11)

Применительно к задаче описания вращения твердого тела, имеющего закрепленную точку, мнимые единицы і} трактуются как орты некоторой прямоугольной системы координат. При

таком подходе параметры Л} определяют направление оси поворота твердого тела в системе координат, задаваемой ортами iJ; параметр Л0 характеризует угол 9* поворота тела вокруг этой оси: Л$ = со&3* /2.

Примем, что для кватерниона А1 орты і} сонаправлены осям системы координат АхХхУх2х. С учетом (9) и (11) и свойств кватернионов [7] распишем преобразование (8):

= (Лі + Лі ~^21 — ^зі)'г\х —Л)Лі)'% + + Л>Лі)’гіг + хах ’

Ув, =2(^]/І2і + Л>Лі)‘гиг + (Лн +/^2і “Лі “ Дзі)'гіу +2(Л21Л3] -Л01ЛІІ)-ггг +УА, ’

2в, = 2(ЛПЛ31 ~ Л01Л21)-г1х +2(Л2ІЛ3} -ь Доі^і)*гік +(Лн +/^зі ~К\ ~^г\)'г\г + 2а}-

Так как гхх - ги = 0, гХ2 =ЬХ и Лзх - 0, полученные выражения существенно упрощаются:

-'■в! — 2Л01Л21/п +*Аі I Ув, ~Уах 2Л01Л112!1; хВі — (2Л0І \)Ц

Аі

(12)

Условие Лгх = 0 следует из того, что любое положение штанги можно рассматривать как поворот в шарнире А, из исходного вертикального положения на угол 3* вокруг оси, лежащей в плоскости ХхАхУх. Причем ориентация этой оси в плоскости задана, что устанавливает связь между компонентами кватерниона: Л^ = кхЛхх, кх = тКх //А) . Выражение для координаты гВ] записано с использованием условия (10) нормирования кватерниона.

Для определения параметров кватернионов запишем с использованием (12) уравнения вида

(*в, -*в;)2 +Ов, -Ув,)2 +Ов, -*в,)2 НВД|2:

+ХА2 ~2к1Л0^Л1\Ц ~ХА, ) + (2Л1Л1А ~Уах ~ 2Аъ2Л12Ь2 + ) +

+ (24 +*А, -[24 -1]а-гК)2 = (ВзВ,)2;

(13)

(^зЛвАз-^з + ^-Аз л:А1) +{2.АтЛ1ХЬх-уА^-2Л0ЪЛ1ЪЬъ++

+ {24 -фз +гДз -[24 -\]ц -гА,)2 — |В3В1|2;

(2^2 Л>2^12 ^2 +Л:А2 _ 2&3ДозЛз^'3 ~ -'■Аз) + ^ЛвЛз^З —^А3 — 2А02Л12Ь2 + ^А2 ) + -1]//2 + ^д2 - [2/^3 -1]/,3 - гАз) = |В2В3| ,

+

где расстояния [В^В, | между шарнирами известны и при работе механизма не меняется.

Для определения величин Лр,, Л11, Л02, \2, Л^3, Л13 уравнения (13) должны быть дополнены уравнениями

4 + 4(1 + £12) = 1; 4 + 4(1 + А:22) = 1; 4 + Л123(1 + *з) = 1,

(14)

следующими из условия (10) нормирования кватернионов. Из уравнений (14) можно записать: Л1 = ±,

|1 ^01 . 3 _ 4. . 1 _ 4- М_ ^рз

\+щ

; Я12-±

1 + #

; - ±

1 + &,

что позволит уменьшить количество параметров кватернионов в (13) до трех:

/ I-----— I-----— \2 Г |----~

2к2Лй2 у } + + Ха2 + | + £2 А *А,

- 2 Л):

/1-4

■2^01

1-^5

гА-А.

02 л/, /!°2''^2 +УА,

1 + &,

+

'р + к?

ф2+гА2-[24-1]/,-гА1)2=|В2В1|2;

2к3Я03

1-4

1—^-13+хА +2к^и\]—^-1л-хК + -2Л01.1^-^-11-уА -

1 + к2 3 Аз ,Ч,1^1 + ^2^ А' ^1 + £2^ А‘

1-4

У \

(15)

24

/1 Л)3

1 + &32

Л+Уа,

+ ([24 -фз +2д, -[24 -Ф -^А,)2 =|В3В1|2;

11 ^2-12 +*А, -2к3Л,3У~^и-Xд

\2

\ + к1

03-1 , , 2 3

1 + &з

+

2 Л)

1-4

1311 1 + £32

^з-Уа, -

~’2Чтт§1!+Уа‘

\2

+

' ф2 + *д2 - [24 - фз - гд3 )2 = |В2В3|2.

Знаки перед радикалами в (15) расставлены из анализа знаков координат сферических шарниров, получаемых с использованием преобразования (8).

Решение уравнений (15) позволяет при заданных обобщенных координатах Ь1 определить параметры кватернионов и, далее, с помощью зависимостей (12) и аналогичных, записанных для других сферических шарниров, определить координаты этих шарниров. Тем самым решается прямая задача о положениях. Использование кватернионов позволило снизить количество совместно решаемых уравнений с девяти до трех. Численное решение уравнений (15) авторами выполнялось с использованием пакета МаШСас!.

Технологическое оборудование, построенное с использованием рассматриваемого механизма с параллельными кинематическими цепями, можно использовать для перемещения заготовки, установленной на его платформе, в вертикальной плоскости с поворотом ее относительно двух горизонтальных осей. Требуемые для этого перемещения платформы можно описать с помощью трех выходных координат: координаты гс полюса и двух углов Крылова (тангажа 9 крена у ).

Смирнов В.А., Федоров В.Б. Использование кватернионов при математическом

_________________________________________________моделировании механизмов с параллельными...

Поэтому при решении обратной задачи целесообразно выбрать в качестве трех известных выходных координат механизма величины 2С, 9 и у .

Составим уравнения, позволяющие решить обратную задачу при принятых выходных координатах. С использованием третьего уравнения из (12) и аналогичных ему можно записать следующие выражения:

(2До1 —1)^1 + 2 К] = П1Х В! +П2У В1 +Щ2 В! +2С >

(2Л02 —1)12 + 2д2 = ЩХ з2 +П2У в2 В2 ~>г2С 5 (16)

(2^3 - 1)Хз + 2Аз = пхх'щ +п2у'Вз +п3г'В} +гс .

Направляющие косинусы, входящие в (16), определяются только углами 9 и у .

Из выражений (16) можно выразить длины штанг Ь1:

Т П\Х'В, +«2Ув, +Щ2'в+2с ~ 2 а, ,

2 , I 1...3. (.1 I)

^0/ 1

Подстановка (17) в (15) позволяет получить систему трех нелинейных уравнений, которая связывает три принятых независимых выходных координаты механизма с тремя неизвестными параметрами кватернионов Л01, Л02, . Численное решение этой системы позволит, с после-

дующим использованием (17), определить обобщенные координаты Ь1 при заданных выходных координатах 2С, 3 и у, т. е. решить для рассматриваемого механизма обратную задачу о положениях. Как и в случае прямой задачи, при использовании кватернионов количество совместно решаемых уравнений снижено до трех.

Уравнения, полученные для решения задач о положениях, служат основой для численного решения задач о скоростях и ускорениях. Следовательно, гиперкомплексные числа кватернионы могут быть успешно использованы при моделировании механизмов с параллельными кинематическими цепями путем решения прямой и обратной задач кинематики.

Литература

1. Потапов, В.А. Оборудование с параллельной кинематикой / Б.А. Потапов // СТИН. -2003. -№3. -С. 35-40.

2. Глазунов, В.А. Пространственные механизмы параллельной структуры / В.А. Глазунов,

A.Ш. Колискор, А. Ф. Крайнев. - М: Наука, 1991. - 95 с.

3. Обрабатывающее оборудование нового поколения. Концепция проектирования /

B.Л. Афонин, А.Ф. Крайнев, В.Е. Ковалев и др.; под ред. В.Л. Афонина. - М.: Машиностроение, 2001. -256 с.

4. Механика машин: учеб. пособие для втузов /ИИ Вулъфсон, М.Л. Ершов, М.З. Коловский и др.; под ред. Г. А. Смирнова. - М.: Высш. шк., 1996. - 511 с.

5. Манипуляционные системы роботов / А.И Корендясев, Б.Л. Саламандра, Л.И Тывес и др.; под общ. ред. А.И. Корендясева. - М.: Машиностроение, 1989. -472 с.

6. ГОСТ 20085-80. Динамика летательных аппаратов в атмосфере. Термины, определения и обозначения.

7. Бранец, В.Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела / В.Н. Бра-нец, ИИ Шмыглевский. - М.: Наука, 1973. - 320 с.

8. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике /М.Я. Выгодский. - М.: Физматгиз, 1963.-872 с.