Параметрическая идентификация модели механизма с параллельными кинематическими цепями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.865.8

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ МЕХАНИЗМА С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ КИНЕМАТИЧЕСКИМИ ЦЕПЯМИ

В.А. Смирнов

PARAMETRIC IDENTIFICATION OF MODEL OF MECHANISM WITH PARALLEL TRANSMISSION ROUTES

V.A. Smirnov

Показана возможность экспериментального уточнения параметров кинематической модели, описывающей реальный механизм с параллельными кинематическими цепями, используемый при построении технологического оборудования.

Ключевые слова: механизм с параллельными кинематическими цепями, идентификация параметров кинематической модели.

The article shows the possibility of experimental specification of kinematic model parameters which describes the real mechanism with parallel transmission routes used at construction of processing equipment.

Keywords: mechanism with parallel transmission routes, identification of kinematic model parameters.

Построение технологического оборудования на основе механизмов с параллельными кинематическими цепями (МПКЦ) и управление таким оборудованием предполагает использование кинематических моделей МПКЦ [1, 2]. Идеализированная кинематическая модель МПКЦ не в полной мере будет отражать кинематические свойства построенного на его основе оборудования. В частности, это связано с несоответствием геометрических размеров элементов модели МПКЦ и соответствующих элементов реального оборудования. Следовательно, возникает необходимость в экспериментальном уточнении геометрических параметров модели МПКЦ, т. е. требуется выполнить параметрическую идентификацию модели.

Рассмотрим МПКЦ (рис. 1). Данный механизм включает в себя подвижную платформу, связанную с основанием шестью штангами, имеющими длины LJ9 j -1,6 . Длины штанг могут меняться; примем величины Lj в качестве входных координат МПКЦ. Выходным звеном МПКЦ

является подвижная платформа; в качестве выходных координат механизма целесообразно принять величины, определяющие пространственную ориентацию подвижной платформы как твердого тела.

Свяжем с подвижной платформой некоторый рабочий орган. Пространственная ориентация рабочего органа, а значит, и подвижной платформы, определяется тремя линейными координатами некоторой характерной точки (например, точки С ) в связанной с основанием системе координат (СК) OXYZ и тремя угловыми координатами, определяющими разворот осей связанной с рабочим органом СК CX'Y'Z' относительно СК OXYZ.

Рассматриваемый механизм относится к классу гексаподов и имеет шесть степеней подвижности.

Кинематическая модель МПКЦ, показанного на рис. 1, сводится к следующей системе нелинейных уравнений [3]:

Lj2= j - hxB J - hy'bj - hz'nj ~хс)2+(yAj - т1х'вJ ~т2У' в, -

+ 0zAj - пхх'В] -п2у'В/-n3z'Bj -zcf ,7=1, 6,

где {xhj,yAj, zA ) - координаты карданового шарнира, связывающего j-ю штангу с основанием, в

Ус)2+

(1)

СК ОХУ2 \ (х'в , у'в , z,в/) - координаты сферического шарнира, связывающего j-ю штангу с подвижной платформой, в СК СХ'У'2'\ (хс,ус,гс) - координаты характерной точки С в СК

охуг.

Направляющие косинусы 1к,тк,пк, к = \,3, входящие в уравнения (1), определяют разворот осей связанной с рабочим органом СК CX'Y'Z' относительно СК OXYZ. Данные направляющие косинусы целесообразно выразить через три угла, описывающих переход от СК OXYZ к СК CX'Y'Z' путем последовательных поворотов. В качестве этих углов могут выступать углы Крылова у/ , 3 , у [4]. В этом случае

lx =cos^cos/ + sini9sin^sin^ ; /2 = sin ^ cos 5; /3 =-cos^sin^ + sin^sini9cos/ ; ml =- sin у/ cos у + sin 3 cos у/ sin у ; т2 - cos у/ cos 3 ; тъ = sin у/ sin у + cos у/ sin 3 cos / ; (2)

пх =cosi9sinx; п2 =-sini9 ; п3 = cosi9cosx и кинематическая модель (1) может быть переписана в следующем виде [3]:

LJ2 ~х 'в, + У B, + z в;+(хс ~хаУ +(Ус -Уа,)2 + Ос ~zAf)2 +

+2

+2

+2

(Ci\j Cy + Sij/SS Sy)x'Bj + S\\jC&y'B^ + (S\\jS&Cy -C\\jSy)z'B^ ^xc -xA^ j + (C\|/SS Sy — Sv|/ Cy)x'Bj + C\\jCSy'Bj + (S\\jSY + C\\iSQCy)z'B^ ^yc ) +

(3)

CS Sy^fB -SSyfB +C»CYzfB

h-%)'

y = 1,6,

где для сокращения записи введены обозначения: S ^ = sin^, С у/ = cosy/ и т. д.

В качестве параметров кинематической модели, требующих уточнения применительно к реальному МПКЦ, лежащему в основе технологического оборудования, выступают:

- координаты кардановых шарниров (xAj, yAj, zAj), j-1,6 в неподвижной СК OXYZ;

- координаты сферических шарниров (х в^, y'Bj, z'Bj) , j = 1,6 в связанной с подвижной платформой СК CX'Y'Z';

- длины штанг > , j = 1, 6, соответствующих некоторому произвольному положению подвижной платформы, принятому за начальное (нулевое).

Смирнов В.А.

Параметрическая идентификация модели механизма с параллельными кинематическими цепями

Общее количество подлежащих уточнению параметров - 42. Следовательно, определение этих параметров возможно из 42 независимых уравнений.

Точное знание этих величин позволит определять текущие значения входных и выходных координат МПКЦ. Текущие входные координаты определяются через известные приращения

А, формируемые при управлении оборудованием:

Д1,;

текущие выходные координаты рассчитываются с использованием уравнений (2) - решается прямая задача кинематики о положениях.

Для определения указанных параметров воспользуемся метрологической оснасткой (рис. 2), имеющей элемент крепления к подвижной платформе и тонкую пластину, выполненную в форме равностороннего треугольника. После установки метрологической оснастки на подвижную платформу связанная с оснасткой СК СХ'У^' будет полностью определять пространственную ориентацию подвижной платформы.

Пусть МПКЦ находится в начальном (нулевом) состоянии. При

этом состоянии механизма могут быть измерены координаты (х8к,у8к, г8к), к = 1,3 вершин Бк

треугольной пластины метрологической оснастки, что позволит определить координаты характерной точки С как точки пересечения высот треугольной пластины:

1, Ь .1

~Х’

Рис. 2. Метрологическая оснастка

- ^ (*$! + ХБ2 + Х53 ) 5 Ус ~ 2 + -^2 + У$3 ) 5 2С ~ ъ + ^2 + 2$3 ) '

(4)

Так как координаты (хг8к,у'8к, г'8к) точек 5^ в СК СХТ^1 известны, а пересчет этих координат в СК ОХУЕ осуществляется с использованием матричного преобразования

/

Увк

К 1 у V

ПЛ

ГПп

ги

Ус

0 0 0 1

Л

1

то с учетом (2) могут быть определены направляющие косинусы и углы Крылова. Таким образом, для начального состояния МПКЦ после измерения координат (х8к, у8к, zSл) можно определить все

выходные координаты. Следовательно, в соответствующих этому состоянию уравнениях кинематической модели (3):

I

<о>

:Ї,(ХА,>УА,>2*

<0> <0> <0> ,,,<0> п<0> <0> ч ■ і г-

,19 ,7 ), 7=1,6

(5)

(6)

в качестве неизвестных будут присутствовать только перечисленные выше подлежащие уточнению параметры.

Изменим длину одной из штанг (для определенности первой) на известную величину АЦ1> . В этом случае можно записать следующую систему уравнения:

АА<1>=/1(*а1^а1^а1.*,в1.Ув1.^»лс>^с>^с>^<,>^<1>.Г<1>)-А<0>; ^0>=/у(Ч^Ау.%,Ау.Уву^,в,»^с1>.3'с>^с>^<1>.'9<1>.^>).У = 2Гб, где функции /у определяются уравнениями (3) кинематической модели.

Измерение для данного состояния МПКЦ координат (х8к,у8к, г8к), к-1,3 и определение по

результатам этих измерений значений выходных координат х^1>,у^1>9 позволит

использовать шесть уравнений (4) при расчете подлежащих уточнению параметров.

Так как для определения 42 подлежащих уточнению параметров модели МПКЦ требуется 42 уравнения, то системы уравнений (4) и (5) должны быть дополнены еще 30 уравнениями. Требуемые уравнения могут быть получены при последовательном изменении длин штанг:

- на величину АЦ,2> изменяется длина второй штанги, тогда

на величину Л£з3> изменяется длина третьей штанги, тогда

ит. д.

В результате будут получены 42 нелинейных уравнения, которые можно сгруппировать в шесть систем по семь уравнений:

Численное решение каждой из сформированных систем нелинейных уравнений позволит определить 7 подлежащих уточнению параметров модели МПКЦ: длину одной штанги и координаты соединяемых ею шарниров.

Необходимость в многократном измерении координат (х8к,у8 , г8к) , к = 1,3 с целью определения значений текущих выходных координат требует внесения в этот процесс элементов автоматизации. В частности, в метрологическую оснастку могут быть встроены датчики, способные регистрировать изменения ее пространственной ориентации относительно начального состояния. В этом случае возможно существенное ускорение процесса получения информации, необходимой для проведения идентификации модели МПКЦ.

1. Смирное, В.А. Математическая модель трехкоординатного манипулятора с параллельной кинематической структурой/В. А. Смирное, М.М. Тверской//Вестник ЮУрГУ. Серия «Машиностроение». -2005. - Выпуск 7. -№ 14(54). - С. 19-22.

2. Смирное, В.А. Алгоритм управления механизмом с параллельной кинематической структурой / В.А. Смирнов, В.Б. Федоров // Вестник ЮУрГУ. Серия «Машиностроение». - 2005. -Выпуск 7. -№ 14(54). - С. 23-26.

3. Сулацкая, Е.Ю. Моделирование рабочего пространства станка с параллельной кинематикой / Е.Ю. Сулацкая, Л.Н. Петрова // Вестник ЮУрГУ. Серия «Машиностроение». - 2005. -Вып. 13. -№ 11 (144). - С. 42-45.

4. Бранец, В.Н. Использование кватернионов в задачах ориентации твердого тела /

В.Н. Бранец, И.П. Шмыгловский. - М.: Наука, 1973. - 320 с.

Смирнов Владимир Алексеевич. Кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматизация механосборочного производства» Южно-Уральского государственного университета. Область научных интересов - современные методы управления технологическим оборудованием.

Vladimir A. Smirnov. Candidate of engineering science, associate professor at the Mechanical Assembly Production department of South Ural State University. Professional interests - modem methods of control of manufacturing equipments.

і

і

Литература

Поступила в редакцию 24 сентября 2009 г.