CC BY
5В.М. Овсянников
Использование конечно-разностного уравнения неразрывности Леонарда Эйлера в области неустойчивости течения
В области, содержащей особые точки с неустойчивым характером течения, геометрический вывод лагранжева уравнения неразрывности обнаруживает трудности вычисления площади деформированной фигуры. Для проведения расчетов течений рекомендуется использовать линеаризованную форму экспоненциального закона движения жидкой частицы, дающую лагранжево уравнение неразрывности с дополнительным членом. Его форма, записанная для сжимаемого газа, может быть использована для расчета режима потери устойчивости.
Ключевые слова: лагранжево уравнение неразрывности; неустойчивое течение; особая точка; неустойчивый ус седла.
Лагранжевы переменные, связанные с движением жидкой частицы, достаточно редко используются при решении задач гидрогазодинамики. Однако все химические реакции, физические процессы (за исключением переноса оптического излучения, происходящего исключительно быстро), происходят именно в движущейся «жидкой» частице и наиболее полно описываются в лагранжевых переменных. В общем виде уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости известно давно и приведено в учебниках, (например [5]), создававшихся еще в прошлом веке. Оно имеет вид
| дх / д хь, дх / д уъ |
\ = 1.
| ду / д хь, ду / д уь \
Здесь хь ,у — начальные координаты точки при значении времени I = 0, х, у — координаты точки в момент времени
Однако для конкретного простейшего поля скорости, когда производные компонент скорости по координатам ди / дх, ди / ду, ду / дх, ду / ду постоянны, лагранжево уравнение неразрывности выписано сравнительно недавно, в 1967 году [8], и получило привычный вид div V = 0. Алгебраический путь вывода не позволил отметить, что при наличии в поле течения особых точек, характеризующихся неустойчивостью течения, вывод осложняется. Геометрический путь вывода уравнения неразрывности, применявшийся Л. Эйлером и Н.Е. Жуковским позволяет это заметить.
1. Наличие неустойчивых точек в области течения. В дифференциальной геометрии изучение течения несжимаемой жидкости для плоского двухмерного течения производится на основании решения системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений [9]:
dx / dt = ax + by; (1)
dy / dt = cx + ky,
где использованы для производных компонент скорости u, v по координатам x, у следующие обозначения:
a = du /dx, b = du / ду, c = dv / dx, k = dv / dy.
Здесь t — время деформации.
Начальные условия для системы (1) x = xb, y = yb при t = 0. Решение системы уравнений (1) имеет экспоненциальный вид [6]:
x = {[(s2 - a) / (s2 - Sj)] exp (ts1) - [(^ - a) / (s2 - ^)] exp (ts2)} xb+ (2)
+ {[b / (s2 - si)] [exP (ts2) - exP (tsi)]} Уь; y = [(s! - a) (s2 - a) / (b (s2 - s1))] [exP (ts1) - exP (ts2)] xb+
+ {[(s2 - a) / (s2 - si)] exP (ts2) - [(si - a) / (s2 - si)] exP (tS1)} Уь’
где
s1 = (^) [a + k + ((a - k)2 + 4 b c) 0 5], s2 = (^) [a + k - ((a - k)2 + 4 b c) 0 5]. Вычисление площади деформированного за время t единичного квадрата, приравниваемой единице, дает равенство:
exp (t div V) = 1, из которого следует div V = 0.
Еще раз подчеркнем, что вывод закона движения жидкой частицы и уравнения неразрывности, получаемого с его использованием, относится к случаю постоянства производных
a = du / dx, b = du / dy, c = dv / dx, k = dv / dy во всей рассматриваемой области течения. Этого же постоянства производных компонент скорости требует классификация особых точек течения. В частности, для особой точки типа седла требуется отрицательность якобиана d (u,v) / d (x,y), а для центра (вихря) — его положительность. В учебнике Л.С. Пон-трягина [9] достаточно подробно доказывается неустойчивость линий тока, проходящих вдоль неустойчивого уса седла. Особая точка центр (вихря) тоже обладает малой устойчивостью, так как находится на границе устойчивого фокуса и неустойчивого. Мы ограничимся разбором течения и обсуждения вывода лагранжева уравнения неразрывности в окрестности особой точки типа седла и ее неустойчивого уса.
2. Течение в окрестности неустойчивого уса седла. На рисунке 1 схематически изображено течение в донной части обтекаемого тела. В точке 1 происходит отрыв основного пограничного слоя, нараставшего от передней критической точки обтекаемого тела. В застойной зоне донной части возникает вихрь, центр 2 которого является тоже особой точкой с положительным якобианом. В точке 1 сталкиваются два пограничных слоя: возникающий от касания вихрем 2 поверхности тела и основной пограничный слой, оторвавшийся от тела. Точка отрыва 1, таким образом, является особой точкой типа седла.
Неустойчивый ус седла проходит по границе оторвавшихся и соприкасающихся пограничных слоев.
Рис. 1. Схема течения в донной части обтекаемого тела с особыми точками типа седла — точка 1 и центра (вихря) — точка 2.
На основании теоремы А.М. Ляпунова о неустойчивости [10] можно показать неустойчивость экспоненциального закона движения жидкой частицы, движущейся вдоль неустойчивого уса седла. Один из двух корней характеристического уравнения будет иметь положительную действительную часть. Поэтому и скорость и ускорение при движении жидкой частицы должны будут неограниченно нарастать по экспоненциальному закону.
До сих пор мы говорили о кинематике движения, не касаясь динамики. Если обратиться к уравнению движения, то окажется, что для достижения бесконечно большого ускорения требуется наличие в потоке бесконечно большой силы или перепада давления. Таких больших сил в потоке нет. Поэтому течение вдоль неустойчивого уса седла вынуждено отклониться от экспоненциального закона движения жидкой частицы и не подчиниться лагранжеву уравнению неразрывности вида div V = 0.
3. Использование конечно-разностного уравнения неразрывности Леонарда Эйлера. В 1752 г. Леонард Эйлер, проводя геометрическим путем вывод уравнения неразрывности (Euler L. Principia motus fluidorum), воспользовался линеаризованной формой экспоненциального закона движения жидкой частицы (2), которая отвечает соотношениям Коши-Гельмгольца [4: с. 8] и является решением системы двух дифференциальных уравнений u = dx / dt = a xb + byb; v = dy / dt = cxb + kyb.
Полученное Эйлером уравнение неразрывности для лагранжевых переменных имеет помимо div V дополнительный член, представляющий собой произведение времени деформации контрольной фигуры на якобиан d (u,v) / d(x,y). Это уравнение выведено Эйлером в конечно-разностной форме в § 19 и§ 12 для двухмерного течения и в § 35 и § 27 для трехмерного течения несжимаемой жидкости. Оно приводится также К. Трусделлом в его книге «Leonhardi Euleri. Commentationes Mechanicae ad theoriam corporum pertinentes» на с. LXIII. В статье Эйлера, несмотря на использование системы координат, сопутствующей движению жидкой частицы, полученный им результат используется не полностью. Эйлер устремляет время деформации t к нулю и после предельного перехода получает для несжимаемой жидкости только уравнение неразрывности в эйлеровых переменных div V = 0.
На неполноту использования получаемого материала обратил внимание В.А. Бубнов [1, 2] в 1997 г. Он заметил это у Н.Е. Жуковского, получившего уравнение неразрывности сходным путем построением эллипсоида деформаций [4]. В.А. Бубнов указал путь построения более полного уравнения неразрывности в статьях [1, 2]. Довести построение лагранжева уравнения неразрывности до завершенной формы удалось в работе [6]. Здесь же получено уравнение неразрывности с дополнительным членом для сжимаемого газа, которое снимает трудности с толкованием несохраняемости величины контрольной фигуры. Несохранение объема контрольной фигуры в случае течения сжимаемого газа следует трактовать как вынужденное изменение плотности и давления с генерацией акустических волн давления, возникновения нестационарности и турбулизации потока.
Экспериментальные исследования показывают, что срыв потока с поверхности обтекаемого тела почти всегда сводится к турбулизации сорвавшихся струек тока. Это является качественным подтверждением рассмотренного здесь явления самопроизвольного возникновения нестационарности при стационарных краевых условиях в окрестности неустойчивых особых точек течения.
В работе [6] опубликовано, а в работе [7] еще раз в более полном изложении приведено конечно-разностное уравнение неразрывности для двухмерного и трехмерного течения сжимаемого газа с дополнительным членом, соответствующим линеаризации экспоненциального закона движения жидкой частицы. Предполагается, что некоторые физические процессы в области неустойчивого течения будут подчиняться этому уравнению.
Заключение. Показано, что в окрестности неустойчивой особой точки типа седла вывод лагранжева уравнения неразрывности неправомерен ввиду быстрого неограниченного возрастания скорости и ускорения жидкой частицы, принадлежащей контрольной фигуре.
Предложено для решения конкретных задач ограничиться линеаризованной формой экспоненциального закона движения, приводящей к конечноразностному лагранжеву уравнению неразрывности, выведенному Эйлером в 1752 г. для несжимаемой жидкости. Форма этого уравнения для сжимаемого газа обеспечивает принцип сохранения вещества за счет изменения плотности и возникновения волны давления.
Литература
1. Бубнов В.А. Физические принципы гидродинамических движений / В.А. Бубнов // Проблемы аксиоматики в гидрогазодинамике: сб. ст. - Вып. 4. - М., 1997. - С. 206-269.
2. Бубнов В.А. Кинематика жидкой частицы / В.А. Бубнов // Проблемы аксиоматики в гидрогазодинамике: сб. ст. - Вып. 7. - М., 1999. - С. 11-29.
3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям /
Э. Камке. - М.: Наука, 1976. - 576 с.
4. Кочин Н.Е. Теоретическая гидромеханика / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель,
Н.В. Розе. - Ч. 1. - Л.-М.: ОГИЗ, 1941. - 348 с.
5. ЛамбГ. Гидродинамика / Г. Ламб. - М.-Л.: Гостехиздат, 1947. - 928 с.
6. Овсянников В.М. Введение в аксиоматическую механику жидкости, основанную на базисных экспериментах с жидкостью / В.М. Овсянников // Проблемы аксиоматики в гидро-газодинамике: сб. ст. - 2006. - № 15. - С. 19-51.
7. Овсянников В.М. Конечно-разностное уравнение неразрывности Леонарда Эйлера / В.М. Овсянников // Проблемы аксиоматики в гидро-газодинамике: сб. ст. -2009. - № 18. - 72 с.
8. Овсянников Л.В. Общие уравнения и примеры. / Л.В. Овсянников // Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей. - Новосибирск: Наука, 1967. - С. 5-75.
9. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтря-гин. - М.: Наука, 1973. - 848 с.
10.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степанов. - М.: КомКнига, 2006. - 472 с.
Literatura
1. Bubnov V.A. Fizicheskie principy' gidrodinamicheskix dvizhenij / V.A. Bubnov // Problemy' aksiomatiki v gidrogazodinamike: sb. st. - Vy'p. 4. - M., 1997. - S. 206-269.
2. Bubnov V.A. Kinematika zhidkoj chasticy' / V.A. Bubnov // Problemy' aksiomatiki v gidrogazodinamike: sb. st. - Vy'p. 7. - M., 1999. - S. 11-29.
3. Kamke E'. Spravochnik po oby'knovenny'm differencial'ny'm uravneniyam / E'. Kamke. - M.: Nauka, 1976. - 576 s.
4. Kochin N.E. Teoreticheskaya gidromexanika / N.E. Kochin, I.A. Kibel', N.V. Ro-ze. - Ch. 1. - M.: OGIZ, 1941. - 348 s.
5. Lamb G. Gidrodinamika / G. Lamb. - M.-L.: Gostexizdat, 1947. - 928 s.
6. Ovsyannikov V.M. Vvedenie v aksiomaticheskuyu mexaniku zhidkosti, osnovannuyu na bazisny'x e'ksperimentax s zhidkost'yu / V.M. Ovsyannikov // Problemy' aksiomatiki v gidro-gazodinamike: sb. st. - 2006. - № 15. - S. 19-51.
7. Ovsyannikov V.M. Konechno-raznostnoe uravnenie nerazry'vnosti Leonarda E'jlera / V.M. Ovsyannikov // Problemy' aksiomatiki v gidro-gazodinamike: sb. st. - 2009. - № 18. -72 s.
8. Ovsyannikov L.V Obshhie uravneniya i primery'. / L.V. Ovsyannikov // Zadacha o neustanovivshemsya dvizhenii zhidkosti so svobodnoj granicej. - Novosibirsk: Nauka, 1967. - S. 5-75.
9. Pontryagin L.S. Oby'knovenny'e differencial'ny'e uravneniya / L.S. Pontryagin. -M.: Nauka, 1973. - 848 s.
10. Stepanov V.V. Kurs differencial'ny'x uravnenij / V.V. Stepanov. - M.: KomKniga, 2006. - 472 s.
Ovsyannikov, Vladislav M.
Using L. Euler’s Equation of Continuity in the Environment of Unstable Current
In the environment with special points of unstable current, the geometrical conclusion of Euler’s equation of continuity makes it hard to calculate the square of a deformed figure. To calculate currents it is recommended to use the linear form of the exponent law of the movement of a liquid particle, which results in Euler’s equation of continuity with an additional member. Its form, recorded for gas being compressed, may be used to calculate the mode of stability loss.
Key-words: Euler’s equation of continuity, unstable current, special point, unstable saddle string.
