CC BY
28
= е~а(‘ ^АГ(/,5). В этом случае функция 1 - (){£) допускает следующую факторизацию на окружности |^| = 1 [3, с. 1063]:
т-1
(/ + ЄЖ))- (5)
Применение аппарата факторизации позволило доказать следующие утверждения.
Теорема 2. Пусть все от-
рицательные индексы факторизации оператор-функции I - Q(£,). Тогда все решения (2), принадлежащие
пространству eatBCn(R+), образуют конечномерное
пространство размерности а= ^ I^JdimPy .
х,< о
Если все индексы факторизации неотрицательны, то уравнение имеет только нулевое решение.
Теорема 3. Для того чтобы уравнение (1) имело и , притом единственное решение,
x(,t)eeatBC"(R+) . при любой функции
f(t)eeatBCri(R+), необходимо и достаточно, чтобы
т-1
оператор Рт + £ 4ХJ Pj в факторизации (5) функции У=1
/ - Q(^) совпадал бы с единичным.
Можно показать, что при выполнении условий однозначной всюду разрешимости решение 00
х(/) = + /(0. где матрица Р(/,5) имеет
о
структуру, аналогичную той, которая имеет место в случае уравнения с ядром, зависящим от разности / - я [4, с. 74] (сучетом периодичности).
Отметим, что, используя аппарат факторизации, можно получить результаты о разрешимости уравнения (1) в пространстве ограниченных на оси функций при более слабых, чем А,-А3, предположениях относительно ядра АГ(/,5).
Все полученные результаты имеют соответствующие аналоги в теории уравнений с ядром, зависящим от разности [4, 5].
Литература
1. Пуляев В.Ф. II Диф. уравнения. 1989. Т. 25. №10. С. 1787-1799.
2. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Структура пространства решений линейных однородных интегральных уравнений с периодическими ядрами на оси / КубГУ. Краснодар, 2000. 25 с. Деп. в ВИНИТИ 06.05.00, № 1329-В00.
3. Гохберг И.Ц. Задача факторизации оператор-функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1964. Т. 28. С. 1055-1082.
4. Гохберг И.Ц, Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М., 1971.
5. Гохберг И.Ц., Крейн МГ. И УМН. 1958. Т. 13. Вып. 2 (80). С. 3-72.
Кубанский государственный университет
9 июня 2003 г.
УДК 519.6
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНСТРУМЕНТАРИЯ КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ ПРОГНОЗНЫХ НЕЧЕТКИХ ЗНАЧЕНИЙ УРОЖАЙНОСТЕЙ НА БАЗЕ ВРЕМЕННОГО РЯДА
© 2003 г. В.А. Перепелица, М.Д. Касаева, Ф.Б. Тебуева, Л.Г. Темирова
This paper describes mathematical model to prognosticate the next year. In this model the prognosis is based on the long duration mamory which belongs to the time row of yield for previous years.
Описание проблемы
Предлагается математическая модель и метод для прогнозирования ожидаемой в наступающем году урожайности сельскохозяйственной культуры, рассматриваемой в процессе решения задач землепользования [1] для отдельного хозяйства, района, региона и т.д. Предлагаемая модель базируется на инструментарии клеточных автоматов [2, 3]. Исходными данными служат элементы временного ряда урожайностей [4]. Результатом применения предлагаемого метода к указанному ряду является значение ожидаемой в насту-
пающем году урожайности в виде нечеткого множества [5, 6].
Цель работы - получение возможно более точного прогноза ожидаемой урожайности и обеспечение адекватного отражения стохастической природы моделируемого процесса Достижение этих целей становится исключительно ашуальным в случае практического решения задач землепользования, относящихся к зоне рискового земледелия [7].
Прогнозная модель ориентирована на задачу назначения выращиваемых в конкретном хозяйстве культур на конкретных полях. При определении тако-
го назначения преследуется цель - снижение агроэко-номического риска за счет возможно более точного прогноза урожайностей следующего года. Основную суть комплекса мероприятий по снижению агроэко-номического риска, обусловленного погодно-климатическими колебаниями, составляют: варьирование различных культур и их сортов с учетом ожидаемых в следующем году климатических условий, за счет использования в неблагоприятном году наиболее устойчивых, неприхотливых сортов; использование так называемой асинхронности урожаев различных культур [7] путем расширения посевов культуры с благоприятным прогнозом и уменьшения - с неблагоприятным; планирование форвардных и фьючерсных операций межрегионального сотрудничества, заключение торговых соглашений с учетом прогноза урожайности и ожидаемой конъюнктуры рынка.
Перечень этих мероприятий по существу определяет ситуационный базис [8] для управления агро-экономическим риском [9], которое базируется в первую очередь на результатах прогнозной модели.
Обзор и краткий анализ существующих к настоящему времени подходов и методов прогнозирования можно найти в [10]. Количество таких методов более 10. Они базируются либо на корреляционно-регрессионных моделях, либо на трендах, для представления которых выбираются наиболее подходящие экстраполяционные зависимости. Глубокий анализ временных рядов урожайности сельскохозяйственных культур показывает слабую адекватность этих моделей указанным рядам. Причиной тому является скрытая квазипериодичность, наличие долговременной памяти и дробной фрактальной размерности, присущей временным рядам урожайностей базовых культур, выращиваемых в зоне рискового земледелия [11]. В силу этого обстоятельства в настоящей работе для построения прогнозной модели урожайности предлагается новый подход, который базируется на использовании клеточных автоматов и математического аппарата нечетких множеств. При этом, оговоримся заранее, предлагаемая математическая модель относится только к пассивным прогнозам [8], которые опираются лишь на возможное продолжение развития внутренних, собственных тенденций системы. Для максимального учета долговременной памяти, присущей рассматриваемому временному ряду, предлагается использовать интервальные значения прогнозируемого показателя, для чего весь спектр наблюдаемых урожайностей разделен на три альтернативы: оптимистическую (высокий уровень), пессимистическую (низкий уровень) и среднюю [8]. Если каждому числовому значению элементов данного временного ряда поставить в соответствие одну из этих альтернатив, то получим интервальный временной ряд или в другой терминологии — лингвистический временной ряд (ЛВР).
Преобразование числового временного ряда в ЛВР
В настоящей работе для целей иллюстрации и ве-
рификации предлагаемой модели рассматриваем временной ряд
Л.» = 1,и (1)
урожайностей зерновых для Волгоградской области за период с 1930 по 2001 г., которые перенумерованы индексом / = 1,2,...,я, где и = 2001-1930 +1 = 72; у1 - средняя урожайность (ц/га) зерновых в / -м году. С целью визуализации этого ряда на рис. 1 дано его графическое представление в виде гистограммы.
Преобразование временного ряда (1) в ЛВР означает замену числовых элементов , / = 1,и лингвистическими переменными, называемыми термами; их совокупность принято называть терм-множеством [6, 12], которое в настоящей работе обозначаем через С/ = {м}. Принимаем, что множество ¡7 состоит из трех элементов: и = Н~ низкая урожайность, и = С-средняя, и = В - высокая. Заменяя элементы ряда (1) соответствующими термами из I/ , получаем ЛВР
и/./ = 1,2.п. (2)
В [4] предлагается строить ЛВР вида (2), опираясь на скользящую среднюю (СС) [13]. Однако СС обладают тем принципиальным недостатком, что при их построении практически всегда остается открытым вопрос определения наилучшего порядка СС. Чаще всего на практике порядок средней определяется эвристически, т.е. интуитивно. В связи с этим в настоящей работе предлагается алгоритм преобразования ряда (1) в ряд (2) на базе интервального подхода. Этот алгоритм состоит из трех этапов.
Первый начинается с визуализации гистограммы, представляющей ряд (1), на которой выделяются жирными точками столбики, указывающие на явно высокую и низкую.урожайности (рис. 1). Соединяя соседние жирные точки пунктирными отрезками, получаем верхнюю огибающую, ломанную (ВОЛ) и нижнюю огибающую ломанную (НОЛ).
На втором этапе последовательно для каждого столбика гистограммы рассматриваем отрезок, соединяющий точку его пересечения с НОЛ с точкой его пересечения с ВОЛ. Этот отрезок делим на три равновеликих интервала: нижний, средний и верхний. Отмечаем на каждом из отрезков концы среднего интервала, после чего каждую пару соседних верхних (нижних) концов средних интервалов соединяем пунктирным отрезком, в результате чего получаем границы срединной области гистограммы (СОГ).
На 3-м этапе временной ряд вида (1) преобразуем в ЛВР вида (2), осуществляя окрашивание каждого столбика гистограммы (рис. 2). Рассматривая г -й столбик этой гистограммы, элемент у1 заменяем термом Н, если верх столбика находится ниже СОГ, иначе заменяем у1 термом С, если его верх принадлежит СОГ и, наконец, заменяем термом В, если верх этого столбика находится выше СОГ. Работа третьего этапа, а вместе с
Рис. 1. Гистограмма временного ряда (1) урожайности зерновых культур по Волгоградской области с 1930 по 2001 г.
/ і 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
н Н с В С С С В Н С В В С Н С С Н С Н Н С С В С
ч . 1930 1932 1934 1936 1938 1940 1942 1944 1946 1948 1950 1952
і 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
Н В Н Н В Н С С В Н В С В С В Н В С Н В В Н В С
и 1954 1956 1958 1960 1962 1964 1966 1968 1970 1972 | 1974 1976
і 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72
и і В Н С Н С С Н В С С В В В С В В С Н Н В Н Н С В
и 1978 1980 1982 1984 1986 1988 0661 1992 1994 1996 1998 2000
ним и работа алгоритма заканчивается тогда, когда элемент уп ряда (1) заменяется соответствующим термом. Тем самым ЛВР (2) считается построенным.
Теоретически возможен случай, когда верх рассматриваемого / -го столбика находится на верхней или на нижней границе СОГ. Тогда элемент _у,- заменяем термом Н, если верх его столбика находится на нижней границе СОГ, и на С в противном случае.
Для временного ряда (1) в результате применения к нему алгоритма, получен конкретный ЛВР, который представлен таблицей и отражает урожайность зерновых по Волгоградской области.
Частотный анализ памяти ЛВР
Как отмечается в [4, 11, 14], временные ряды вида (1) и ЛВР вида (2) обладают долговременной памятью [15]. Последнее означает, что такие ряды аккумули-
руют информацию о колебаниях погодных условий и их влияние на урожайность сельскохозяйственных культур. Иными словами, в этих рядах заключена информация об определенных закономерностях, которые в научной литературе принято относить к так называемой долговременной памяти.
Наличие таковой у временного ряда (1) урожайностей ; зерновых по Волгоградской области подтверждается результатами его фрактального анализа [15] или, в более узком смысле, И/Б-анализа [14], примененного к (1). Основная числовая характеристика этого результата заключается в том, что полученные значения показателя Херста Н колеблются для ряда (1) в пределах от 0,7 до 0,9. Многолетний опыт, накопленный для рядов с таким значением Я, свидетельствует, что в них имеют место долговременные корреляции между текущими и будущими событиями [15]. Особо
25
20 -
ц/га
□ Низкая
□ Средняя ■ Высокая
Рис. 2. Гистограмма ЛВР (2) урожайности зерновых культур по Волгоградской области с 1930 по 2001 г.
отметим, что такое поведение урожайности зерновых в зоне рискового земледелия в Волгоградской области представляет собой типичное явление среди подавляющего большинства природных процессов и явлений.
В [4] сформулировано предложение представлять наличие в ЛВР долговременной памяти в терминах и понятиях клеточного автомата, в частности линейного клеточного автомата [3]. В этих терминах значение лингвистической переменной И;+£ в ЛВР (2) (см. таблицу) определяется / -конфигурациями
^/+£-/+1 > I ~\к , (3)
т.е. конфигурациями длины I в отрезке этого ряда м«+1>и1+2 >~>и1+к> 1 = 1,п-к + 1, (4)
где через к обозначена глубина памяти рассматриваемого ряда. Из результатов К/Б-анализа вытекает, что для урожайности по Волгоградской области значение к ограничено сверху цифрой 6. Последнее означает, что для всякого 1 = 1,2,...,и-& + 1 значение лингвистической переменной «,+£ в (4) или в (2) определяется лишь такими I -конфигурациями вида (3), для которых 1<к-6.
/у\
Через И} ’ обозначим количество всех попарно различных I -конфигураций в ЛВР (2). Для принятого терм-множества и = {Н,С,в} теоретически возможное количество различных I -конфигураций, / = 1,2,..., к, к = 6 составляет к
2У =3 + 32 +З3 +34 +35 +36 =1092,
/=I
в то время как в реальном ЛВР (2), представленном в таблице, количество всех таких попарно раз-
/ -конфигураций,
них
составляет N™ = = 9,
N¡2)= З,
личных 6
= ИН1 -Ж. Из 1=\
Л^2) = 26, Л^2) = 53 , Л^2) = 64, = 68. Приме-
чательным здесь является то, что из 27 теоретически возможных 3-конфигураций в реальном ЛВР (2) отсутствует конфигурация вида Щ^мЩ+г ~ ННН, т.е. на протяжении наблюдаемого 72-летнего периода отсутствует случай трех идущих подряд неурожайных лет. На наш взгляд, примечательным можно считать и
тот факт, что из З4 =81 теоретически возможной 4-конфигураций в реальном ЛВР (2) отсутствует 28 4-конфигураций, т.е. в течение наблюдаемого периода треть 4-конфигураций в рассматриваемом регионе не возникали.
Рассмотрим какую-либо фиксированную I -конфигурацию, которую обозначим в виде отрезка
(5)
Если в ЛВР (2) выделен отрезок «/+1>И;+2>-..,ы,совпадающей с (5), т.е.
0 • Г7
u¡+j =и j , 7 = 1,/, то по отношению к следующему
элементу ' и,-+1+1 =и°, и0 е1/ = {Н,С,В} условимся говорить, что /-конфигурация (5) переходит в со-0
стояние и , т.е. в лингвистическую переменную ы,+/+1, совпадающую с термом и0.
В предлагаемом авторами подходе базовым является следующее теоретическое предположение. Пусть последовательность (2) неограниченно растет, т.е. в ряду и,- I = \,п значение параметра и-»да. Если в этой сколь угодно длинной последовательности неко-
0 0 0 0 Щ ,и2.........Uj,...,u¡ .
торая конкретная фиксированная конфигурация (5) появляется и при этом всякий раз после нее следует
переход в одно и то же состояние и° е {н,с,в}, то говорим, что конфигурация (5) обладает памятью. Если имеют место перемежающиеся переходы в два фиксированных состояния, то говорим, что отрезок (5), т.е. / -конфигурация (5) обладает частичной памятью. Анализ конкретного ряда, отражающего урожайности зерновых по Волгоградской области, позволяет сформулировать следующие утверждения.
Для всякого отрезка длины 1 (Н, С или В) и всякого отрезка длины 2 (ВВ, ВС, СВ, ВН, НВ, СС, СН, НС, НН) в ряду и,- г -1 ,п всякий раз находились случаи переходов в Я, С и В. Первые признаки наличия памяти обнаружились при 1 = 3: уже 23 % 3-конфигураций, из числа встречающихся в ряду (2), демонстрирует переход только в одно состояние из и (наличие памяти); для 1 = 3 - 50 % 3-конфигура-*
ций вида (5) демонстрирует наличие частичной памяти и 27 % 3-конфигураций демонстрирует с различной частотой переходы в какое-либо из трех состояний не {Я, С, 5}. Для 1 = 4 77% 4-конфигураций в ряду (2) демонстрирует наличие памяти и 23% демонстрирует наличие частичной памяти, другие случаи отсутствуют. Для 1 = 5 наличие памяти демонстрирует 94 % 5-конфигураций в ряду (2) и 6 % - частичную память. Для 1-6 наличие памяти демонстрируют все 100 % 6-конфигураций вида (5).
Частотная статистика переходов / -конфигураций (5) в определенное состояние и0 еС/ = {н,С,в} формируется следующим образом. Сначала для каждой 1-конфигурации и® в {Н,С,В} подсчитываем количество ее переходов в каждое из трех состояний Я, С, В.
. Для наглядности строим двудольный полный орграф, представленный на рис. 3, дугам которого приписаны числа, означающие количество наблюдаемых в ЛВР
(2) переходов. каждой из трех 1-конфигураций и\,
»1 е и в каждое из трех состояний Я, С, В. Например, в конкретном ЛВР (2), относящемся к Волгоградской области, имеем 7 переходов - из С в С, 11 переходов — из С в В и 8 переходов - из С в Я. Количество переходов из В в С, В и Я равно соответственно 10, 5 и 18. Здесь же количество переходов из Я в С, В и Я равно соответственно 9, 8 и 5. На основании1 этих данных можно вычислить эмпирические значения частостей переходов из 1-конфигураций в состояние Я, С и В:
щ(С~>В) = 11
wj (С —» Я) =
26
26’
Рис. 3. Орграф переходов из 1- конфигураций в состояния Н, С и В
и■1(н^С) = ^, щ(н^В) = ^, щ(н-+Н) = -^.
Далее для каждой 2-конфигурации и^и2 е (и х и) подсчитываем количество переходов в каждое из трех состояний Я, С, В. Для наглядности строим 3 двудольных полных орграфа (рис. 4а, б, в). Дугам этих орграфов) приписаны числа, означающие количество наблюдаемых в ЛВР (2) переходов каждой из девяти 2-конфигураций и®и2е (ихи) в состояния С, В или Я. В конкретном ЛВР (2), относящемся к Волгоградской области (рис. 4а), имеем 1 переход из СС в С, 4 перехода из СС в В, 2 перехода из СС в Я, 3 перехода из СВ в С, 3 перехода из СВ в В, 4 перехода из СВ в Я,
3 перехода из СН в С, 3 перехода из СН в В и 1 переход из СН в Я. На основании этих данных можно вычислить эмпирические значения частостей переходов из 2-конфигураций СС, СВ, СН в состояния С, В и Я:
н^(СС->С) = у,н^(СС-»в) = |, и-2(СС->Я) = |, ^(св->с) = А,
W2{CB-+B) = -^,W2(CB->H) = ±..
*2(сн-+с)Л,п2(сн-*в)Л,
(7)
ю2(СН -> Я) = —.
7 ,1 *
Аналогичным образом (рис. 4) вычисляются эмпирические значения частостей переходов из 2-конфигураций ВС, ВВ, ВН, НС, НВ, НН в С, В и Н.
' Далее для каждого значения I е {3,4,5,б} рассмат-
всех / -конфигураций,
риваем множество встречающихся в ЛВР (2), мощность
М\
(2)
= N?\
wx(B В)- —, wx(B Н) = —
(6)
По аналогии с (6), (7) вычисляем эмпирические значения частостей переходов из каждой конкретной / -
конфигурации uf 6 в состояние Н, С и В
О
/ о о
w/іщ uj-.mi w/(u l°«2—"/*
► я), / = 3,4,5,6.
і
(8)
Формирование прогнозных значений урожайностей
Пусть дан конкретный ЛВР (2), например, представляющий временной ряд урожайностей по Волгоградской области. Ставится задача прогнозирования неизвестного терма ' £/л+1 на основании известных
членов этого ряда и,, i = \,n, точнее на основании вычисленных выше частостей вида (6) - (8), для / = 1,2,..., к, где к - глубина памяти в ЛВР (2).
Прогноз терма и„+1 представляется в виде нечеткого терм-множества (НТМ)
ип+х = {{Н;мн\{С’Мс\{в</-‘в)}’
где значение функции принадлежности // удовлетворяет равенству Мн + Мс + Мв ~ 1- Значения //#, Мс > Мв вычисляются через значения частостей вида (6) - (8), получаемых для различных / -конфигураций .в следующем отрезке ЛВР:
un-l+1» мл-Ъ"‘>ми • (^)
■ Сначала, согласно (6), вычисляются частости переходов из 1-конфигурации и„ в состояния Я, С, В: \\\(ип -> Я), щ(ип -» с), щ(ип -> В). Далее, согласно (7), вычисляются эмпирические значения частостей переходов из 2-конфигурации ип_\ип в со-стоянияД С и В\ ->Я), ^2(ия_]Мя ->с) и
w2(m„_im„ —» л), после чего вычисляем значение частостей переходов из 3-конфигурации в ип-2ип-\ип в состояния Я, С и В. Если 3-конфигурация ип~2ип-\ип демонстрирует наличие памяти, например, ™з(м/1-2м/1-1ми с)=1 , то переходим к вычиЬлению
искомых значений Цн,Мс>Мв. Для этого сначала вычисляем ненормированные значения Мн =w\(ип H)+w2{Vn-\un Н)+ 0,
Мс ~ Щ(ип C)+W2(un~\un С)+1,
,и'в = Wi(un —» B)+W2(un-\U„ —» В)+ 0 и их сумму <т3 = ¿¿'и + ц'с + ¿i'B , после нормировки которых по-
м'н Мс м'в лучаем = —-, мс =—, Мв = —•
°3 ст3 , °3
Если 3-конфигурация ип-2ип-1ип не демонстрирует наличие памяти, то рассматриваем 4-конфигурации ип-Ъип-2ип-\ип » лля которой вычисляем частости ее переходов в состояния Н, С и В. Всякий раз к вычислению искомых ¿¿Н’МС’Мв переходим тогда, когда встретится такая /-конфигурация w„_;+1u„_/+2 и„,
Рис. 4. Орграфы переходов из 2-конфигураций в состояния Я, С и В которая демонстрирует наличие памяти, например получаем единичное значение частости для терма В: н>1 (и„-/+1М„_/+2 ...и„ —» В) = 1. Тогда сначала вычисляем ненормированные значения:
Мн =>п(«п ->Я)+и'2(м„_1м„ ->Я)+...+
+ ^/-1 (ип-1+2ип-1+3—ип -»■#)+ 0;
/*с = -> с)+ И'2(м„-1м„ -> С)+...+
+ ™1-\(ип-1+2ип-1+3":ип ->С)+0;
(«В =и,1 (мя “>^)+И'2(М77-1МЛ ->5)+...+
+ и’/-1(мл-/+2кп-/+3-ип ->£) + 1 и значения их суммы сг/ = ц’^ + ц'с + м'в • После чего вычисляем искомое значение функции принад-
лежности для HTM t/„+1 : fjn =
Ж
°7
Мс
°1
Мв -
Мв
°7
Для реализации проверки построенной прогнозной модели последовательно рассматриваем ЛВР
uiti = \,2,...,т, т = п-г, г = \,п-к, (10)
т.е. ряды (10) получаются путем удаления из ЛВР (2) последних г его членов.
Для каждого фиксированного индекса т строим прогноз терма ит+\, представляемого в виде НТМ Um+l
Пусть, в полученном HTM Um+j, среди чисел МН’МС’Мв максимальным является то число //д, А е {Н,С,В }, у которого индекс Д совпадает с термом ит+\ ряда (2). Тогда, говорим, что для рассматриваемого индекса т прогнозная нечеткая модель привела к непротиворечивому прогнозу. В противном случае говорим о противоречивом прогнозе для термина т. ,
В заключение отметим, что для ЛВР (2), соответствующему ряду (1) урожайности по Волгоградской области, был получен непротиворечивый прогноз для каждого т = п~г, г = 1,2,..., п - 6, т. е. подтверждена адекватность предложенной прогнозной нечеткой модели реальным временным рядам урожайности зерновых по Волгоградской области.
Î
Литература
1. Перепелица В.А., Тебуева Ф Б. II Математика. Компьютер. Образование': тез. докл. Седьмой между нар. конф. Дубна, 2002. С. 163.
2. Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. М., 1971.
3. Курдюмов С.П. и др. И Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. М., 1996. ,
4. Касаева МД., Перепелица В.А. II Современные аспекты экономики. 2002. № 9 (22). С. 201-207.
5. Орловский С.А: Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М., 1981.
6. Алтунин А.Е., Семухин М.В: Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень, 2000.
7. Векленко В.И. Экономические проблемы устойчивости и повышения эффективности земледелия. Курск, 1999.
8. Лопатников ЛИ. Экономико-математический словарь. М., 1987.
9. Управление риском: Риск. Устойчивое развитие.
Синергетика. М., 2000.
10. Бережная Е.В., Бережной В.И. математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. М., 2001.
11. Яновский Л П. Принципы, методология и научное обоснование прогнозов урожая по технологии «Зонт». Воронеж, 2000.
12. Жирабок А.Н// Соросовский образовательный журнал. 2001. Т. 7. №2. С. 109-115.
13. Нейман Э.-Л. Малая Энциклопедия Трейдера. Киев, 1997.
14. Перепелица В.А., Попова Е.В. //Современные аспекты экономики. 2002. № 9 (22). С. 185-200.
15. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М., 2000.
Карачаево-Черкесский государственный технологический институт
13 января 2003 г.
УДК 519.21
ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ ФИЛЬТРАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
© 2003 г. Е.А. Семенчин
This work is devoted to the construction of an optimal filter of a special form for a linear stochastic systems. The optimal estimation in a middle quadrum sense of non-observed stochastic process, which is got with it's (filter's) help is constructed only by the results of observations at the current moment of time and doesn't account (opposite to Calman-Buesi filter) the results of observations in previous moments of time.
The given filter has a rather simple form and may be realized on computers with a small operative memory (for example on automobile's computers)
Постановка задачи. Пусть (ЄІ,Р,Р) — некоторое
вероятностное пространство, где О. - множество элементарных событий; Р - а -алгебра подмножеств множества П ; Р - вероятность (вероятностная мера), определенная на Р. На (П,Р,Р) с выделенным на нем потоком а -алгебр , / є [0,г], задан (к + /) -мерный
^І))' ^ ”меРная и ^ *меРная
случайный процесс
77(7) компоненты которого удовлетворяют соответственно стохастическим дифференциальным уравнениям в форме Ито: dZ{t) = a(t)Z{t)dt + b{t)dwx{t), ¿е^г], £(/0) = £0,(1) Л(г)£(/)А + Я(/)Ло2(/), 77(/0) = 77о• (2)
Здесь #0, Ло ~ соответственно к -мерный и / -мерный гауссовские -измеримые случайные векторы; (/), м>2(/) - к -мерный и /-мерный винеров-
