CC BY
63
© 2006 г. Н.Х. Кятов
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ИНВЕСТИЦИЙ В ОСНОВНОЙ КАПИТАЛ
Областью применения предлагаемого в настоящей работе 2-уровневого алгоритма прогнозирования являются эволюционные процессы, временные ряды показателей которых обладают долговременной памятью. К их числу относятся чаще всего либо природные временные ряды (ВР), либо ВР основных показателей эволюционных процессов в различных отраслях народного хозяйства: ВР объёмов инвестиций в основной капитал, ВР индекса цен строительных материалов, конструкций, изделий, ВР объемов жилищного строительства и др. Как правило, в характере поведения подобных ВР проявляется хаотичность, наличие тяжелых хвостов. Поэтому применение к ним традиционных методов статистического анализа [1-3] весьма часто приводит к неудовлетворительному результату прогнозирования.
Традиционные подходы к прогнозированию экономических временных рядов базируются на декомпозиции. В результате проведения декомпозиции теряется информация о высокочастотных колебаниях ВР, которые представляют наибольший интерес при краткосрочном и среднесрочном прогнозировании, что негативным образом сказывается на качестве прогноза [1]. Предлагаемая клеточно-автоматная прогнозная модель не использует указанную декомпозицию и, следовательно, снимает проблему потери информации при разложении ВР на компоненты. Известно, что при выборе тренда, выделении сезонной компоненты, определении циклических компонент неизбежно присутствует определенная мера субъективизма. Такого рода «проблема субъективизма» не возникает при построении клеточно-автоматной прогнозной модели потому, что она не оперирует понятиями тренд, сезонность, цикличность.
По сравнению с традиционными клеточно-авто-матная прогнозная модель дает возможность привлечения в процесс прогнозирования нечисловой (качественной, лингвистической и т.д.) информации, характеризующей динамику рассматриваемого процесса.
1. Общая схема клеточно-автоматной прогнозной модели
Алгоритм прогнозирования на базе клеточного автомата реализуется в системном единстве с процессом моделирования долговременной памяти и завершается получением прогноза, включая валидацию. Алгоритм его реализации состоит из следующих шести этапов:
1. Использование статистических методов [1] для предварительного анализа на предмет выявления наличия или отсутствия тяжелых хвостов, трендов, циклических или сезонных компонент.
2. Фрактальный анализ [2] ВР с целью установления в нем долговременной памяти. Оценка ее глубины. Выявление в поведении ряда таких характеристик и тенденций, как трендоустойчивость или, наоборот, хаотичность, персистентность или антиперсистент-ность и др. Оценки, получаемые на выходе этого этапа, имеют числовую природу: наиболее адекватным является их представление в терминах и понятиях нечетких множеств (НМ) [4, 5].
3. Преобразование ВР в лингвистический временной ряд (ЛВР) с целью обеспечить возможность применить квазигенетический алгоритм [4], работающий с комбинаторными конфигурациями, составляющими собой структуру ЛВР и его терммножество [6]
4. Построение определяемой данным ЛВР генетической памяти клеточного автомата (КА).
5. Формирование прогноза для ВР и ЛВР путем реализации «мягких вычислений» генетического алгоритма на базе построенной памяти КА.
6. Валидация, т.е. получение оценок погрешности для прогноза ВР и ЛВР.
В целях демонстрации работы вышеуказанного алгоритма клеточно-автоматной прогнозной модели рассмотрим ВР помесячных объёмов инвестиций в основной капитал по Карачаево-Черкесской Республике (КЧР) за период с января 1995 г. по декабрь 2003 г. (рис. 1):
Z : z, i = 1, 2, ..., n. (1)
t 1 S I 8 I В 1 I I I 1 t I Ü 1 ä 1 i
Рис. 1. Гистограмма временного ряда помесячных объёмов инвестиций в основной капитал по КЧР за период январь 1995 - декабрь 2003 гг.
В результате проведенного статистического анализа были получены следующие значения коэффициентов: вариации V = 1,41; асимметрии А = 3,9; эксцесса Е = 8,7. Присутствует также и тяжелый хвост -54,6 %.
Отсюда следует, что ВР (1) не подчиняется нормальному закону распределения, и применение классических методов прогнозирования становится неаде-
кватным, так как не выполняется условие независимости между уровнями наблюдений.
Наличие долговременной памяти у ВР (1) подтверждается результатами его фрактального анализа. Полученные значения показателя Херста Н колеблются в пределах от 0,7 до 0,9. Многолетний опыт [2], накопленный для рядов с таким значением Н, свидетельствует, что в них заключена информация об определенных закономерностях и имеют место долговременные корреляции между текущими и будущими событиями [7]. Эта характеристика является основа-
нием для разработки метода прогнозирования на базе использования долговременной памяти.
Для отражения долговременной памяти предлагается использовать интервальные значения прогнозируемых показателей, для чего весь спектр наблюдаемых уровней объёмов инвестиций разделяем на 3 альтернативы: Н - низкий, С - средний, В - высокий. Если каждому числовому значению элементов ВР поставить в соответствие одну из этих альтернатив, то получим интервальный ВР или, в другой терминологии, ЛВР:
и: и, I = 1, 2, ..., п. (2)
Таблица 1
Месяцы Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь
1995 г.
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
индекс С С В С С В Н В В Н Н В
1996 г.
№ 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
индекс С С С В С В Н Н В С С В
1997 г.
№ 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
индекс С С С Н Н в н Н с Н Н В
1998 г.
№ 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
индекс С С В С Н В н Н В Н Н В
1999 г.
№ 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
индекс Н С В С С В Н Н Н Н С В
2000 г.
№ 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72
индекс В С с С Н С Н Н С Н С В
2001 г.
№ 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
индекс Н Н С В С В Н Н В Н Н С
2002 г.
№ 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
индекс Н Н В С С В Н Н В Н Н В
2003 г.
№ 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108
индекс Н Н В С С В с С В Н Н В
Для перевода исходного ВР (1) в лингвистический ряд предлагается использовать метод трендовых коридоров (рис. 2).
Рис. 2. Гистограмма временного ряда в полулогарифмических координатах с трендовыми коридорами
Суть предлагаемого алгоритма можно представить следующим образом. Сначала весь период наблюдений I = 1, 2, ..., п разбивается на отрезки, каждый из которых соответствует определенному году и состоит из 12 наблюдений. Для каждого отрезка, используя метод наименьших квадратов, строится линейный тренд. Далее путем параллельного переноса линии тренда вверх и вниз до касания соответственно с первым и последним из столбиков строятся верхняя и нижняя огибающие. Трендовый коридор, образованный двумя огибающими, разбивается на 3 равные полосы. Каждый числовой элемент ряда (1) заменяется на приписанный его столбцу терм и е и. Полученный ЛВР представлен табл. 1, а соответствующая гистограмма - на рис. 2.
2. Частотный анализ памяти ЛВР
В терминах клеточного автомата значение лингвистической переменной и+к+1 в ЛВР определяется /-конфигурациями
ui+k-1, ui+k-/+1, иг+Ь / = 1, к, (3)
т.е. конфигурациями длины / = 1, 2, ..., к в отрезке этого ряда
Ui+\, и+ъ ..., и+к, i = 1, п - к +1, (4)
где через к обозначаем глубину памяти рассматриваемого ряда. Из результатов проведенного К/8-анализа вытекает, что для ВР (1) значение к ограничено сверху цифрой 8. Последнее означает, что для всякого i = 1, 2, ..., п - к + 1 значение лингвистической переменной и+к в (4) определяется лишь такими /-конфигурациями вида (3), для которых 1 < к = 8. Алгоритм нахождения глубины памяти основывается на частотной статистике переходов в состояния Н, С и В всех /-конфигураций, имеющих место в ЛВР.
Рассмотрим какую-либо фиксированную /-конфигурацию, которую обозначим в виде отрезка
0 0 0 0 и1, и2, ..., и, ui. (5)
Работу клеточного автомата в рамках предлагаемой прогнозной модели организуем следующим образом.
Пусть последовательность (4) неограниченно растет, т.е. в ряду ui, i = 1, п значение параметра п ^ да.
Если в этой сколь угодно длинной последовательно -сти некоторая конкретная фиксированная конфигурация (5) появляется и при этом всякий раз после нее следует переход в одно и то же состояние и0 е {Н, С, В}, то, говорим, что конфигурация (5) обладает памятью.
Пусть терммножество и имеет мощность | и | > 3. Тогда, если имеют место перемежающиеся переходы в два фиксированные состояния, то говорим, что отрезок, т.е. /-конфигурация (5) обладает частичной памятью. Если же фиксированная конфигурация демонстрирует переходы в каждое из трех состояний Н, С и В, то говорим, что память у данной конфигурации не обнаружена.
Подсчет частот переходов в /-конфигурациях, как правило, представляется в виде ориентированных графов. Взвешенные частотами переходов орграфы и вычисленные частости этих переходов представляют собой память клеточного автомата, являющегося составной частью математической модели, предназначенной для прогнозирования ЛВР. На основании данных этой памяти можно высказывать утверждения относительно памяти отдельных /-конфигураций ЛВР, составляющих множество М.
Частотная статистика переходов /-конфигураций (4) в определенное состояние u0 е U = {Н, С, В} формируется следующим образом. Сначала для каждой /-конфигурации и" е М подсчитывается количество ее переходов в каждое из трех состояний Н, С, В, и на основании полученных данных вычисляются эмпирические значения частостей переходов. Далее для каждой 2-й конфигурации и" и° е М подсчитывается количество переходов в каждое из трех состояний Н, С, В и также на основании полученных данных вычисляются эмпирические значения частостей переходов. Аналогичным образом для каждого значения / е {3, 4, 5, 6} рассматриваем подмножество Mf2 с М всех /-конфигураций, встречающихся в ЛВР и вычисляются эмпирические значения частостей переходов из каждой конкретной /-конфигурации и", u2, ..., и° е M2 в состояние Н, С и В:
w/(u1, и2, ..., и/ ^ H), w/(u1, и2, ..., и/ ^ C),
w/(u10, и2, ..., щ ^ B), (6)
По результатам работы клеточного автомата была проведена верификация и валидация представленной прогнозной модели.
3. Формирование прогнозных лингвистических значений
Для ЛВР (2) осуществим прогнозирование неизвестного терма un+1 на основании известных членов этого ряда ui, i = 1, n с учетом вычисленных выше частостей вида (6), для / = 1, 2, ..., к.
Прогноз терма un+1 представляется в виде нечеткого терммножества (HTM) Un+1 = {(H; jH),(C; jc),(B; Hb)}, где значение функции принадлежности j удовлетворяет равенству jh + ¡¡С + jb = 1. Значения ¡¡Н, jс, ¡В вычисляются через значения частостей вида (6), получаемых для различных /-конфигураций.
Представленный табл. 1 ЛВР заканчивается элементом ип = В, где n = 108 соответствует декабрю 2003 г. Выполним прогноз на январь 2004 г., т.е. построим для отсутствующего элемента un+1 его нечеткое терммножество U0n+1 = {(H; jH), (C; j0c), (B; jB)}.
Учитывая установленную глубину памяти к = 8, рассматриваем отрезок ЛВР
un-5 un-4 un-3 un-2 un-1 = СВССВННВ. (7)
Для ряда (7) рассматриваем все его /-конфигурации, вычисляем частости, ненормированные значения функций принадлежности и их суммы. Процесс вычисления частостей можно прекратить при / = 6, когда со-
ответствующая /-конфигурация ССВННВ демонстрирует наличие памяти, т.е.
w6 (ССВННВ ^ Н) = 1/1, w6 (ССВННВ ^ С) = 0, w6 (ССВННВ ^ В) = 0.
Далее, осуществляя операцию нормирования, получим искомое значение функции принадлежности:
& & = 3к82 = 0,64; & =&с = 20 = 0,33; & =&в = 018 = 0,03.
С 6 о/ 6 / 6
Таким образом, прогнозное значение объёмов инвестиций представляется в виде НТМ: ЦП+1 = {(Н; 0,64), (С; 0,33), (В; 0,03)}. В лингвистических терминах этот прогноз можно сформулировать следующим образом: уровень объёма инвестиций в основной капитал ожидается низкий или, что менее вероятно, средний.
4. Верификация и валидация прогнозной модели Применительно к понятию «модель» [8], термин «верификация» означает проверку структуры и логики модели, а термин «валидация» означает проверку соответствия данных, полученных на основе модели, реальному процессу. Для реализации этих видов проверки построенной прогнозной модели последовательно рассматриваем лингвистические временные ряды
ui, i = 1,2,..., m, m = n - r, r = 1, n - к. (8)
Для каждого фиксированного индекса m строим прогноз терма um+1, представляемого в виде HTM
Um+1 = {(И; Ци), (C; Ца), (В; Цв)}.
Таблица 2
Прогнозируемый месяц 2003 г. /-конфигурация Переходы /■конфигурации в состояния Н, С, В Ненормированные значения функции принадлежности ц'и, ц'а, цВ Сумма ненормированных значений функций принадлежности Значение функции принадлежности Прогнозное нечеткое терммножество U = {(H; ци), (C; Ца), (В; Цв)}
Январь НВННВ Н 13/27 + 5/10 + 4/7 + 3/5 + 1 = 3,15 5 0,63 U = {(H; 0,63), (C; 0,33), (В; 0,04)}
С 11/27 + 4/10 + 3/7 + 2/5 + 0 = 1,64 0,33
В 3/27 + 1/10 + 0 + 0 + 0 = 0,21 0,04
Февраль НВННВН Н 16/36 + 10/13 + 4/5 + 3/4 + 2/3 + 0 = 3,43 6 0,57 U = {(H; 0,57), (C; 0,36), (В; 0,07)}
С 9/63 + 2/12 + 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1 = 2,13 0,36
В 11/36 + 1/13 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0,38 0,07
Март НВННВНН Н 17/37 + 2/15 + 1/9 + 0 + 0 + 0 = 0,7 6 0,12 U = {(H; 0,12), (C; 0,40), (В; 0,48)}
С 9/37 + 4/15 + 2/9 + 2/4 + 2/3 + 1/2 = 2,4 0,40
В 11/37 + 9/15 + 6/9 + 2/4 + 1/3 + 1/2 = 2,9 0,48
Апрель НВННВ Н 14/28 + 6/11 + 5/8 + 4/6 + 1 = 3,32 5 0,67 U = {(H; 0,67), (C; 0,29), (В; 0,04)}
С 11/28 + 4/11 + 3/8 + 2/6 + 0 = 1,47 0,29
В 3/28 + 1/11 + 0 + 0 + 0 = 0,21 0,04
Май НВС Н 7/32 + 1/9 + 0 = 0,33 3 0,11 U = {(H; 0,11), (C; 0,67), (В; 0,22)}
С 11/32 + 6/9 + 2/2 = 2,02 0,67
В 14/32 + 2/9 + 0 = 0,65 0,22
Июнь ВССВ Н 7/33 + 2/11 + 0 + 0 = 0,38 4 0,09 U = {(H; 0,09), (C; 0,22), (В; 0,69)}
С 12/33 + 2/11 + 2/6 + 0 = 0,87 0,22
В 14/33 + 7/11 + 4/6 + 1 = 2,75 0,69
Июль НВННВССВ Н 14/39 + 7/14 + 3/6 + 3/6 + 1/3 + 1/3 + 0 + 0 = 2,64 8 0,33 U = {(H; 0,33), (C; 0,46), (В; 0,23)}
С 12/39 + 5/14 + 2/6 + 2/6 + 1/3 + 1/3 + 1/2 + 1 = 3 0,46
В 13/39 + 2/14 + 1/6 + 1/6 + 1/3 + 1/3 + 1/2 + 0 = 1,85 0,23
Август ВННВССВС Н 7/34 + 1/10 + 1/6 + 1/3 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 0 = 2,31 8 0,29 U = {(H; 0,29), (C; 0,59), (В; 0,12)}
С 12/34 + 7/10 + 3/6 + 2/3 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1 = 4,72 0,59
В 15/34 + 2/10 + 2/6 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0,97 0,12
Сентябрь ВССВСС Н 7/35 + 2/12 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0,36 6 0,06 U = {(H; 0,06), (C; 0,44), (В; 0,50)}
С 13/35 + 2/12 + 2/7 + 1/3 + 1/2 + 1 = 2,64 0,44
В 15/35 + 8/12 + 5/7 + 2/3 + 1/2 + 0 = 3 0,50
Октябрь СВССВ Н 14/30 + 7/15 + 3/7 + 3/7 + 1 = 2,8 5 0,56 U = {(H; 0,56), (C; 0,34), (В; 0,10)}
С 13/30 + 6/15 + 3/7 + 3/7 + 0 = 1,69 0,34
В 3/30 + 2/15 + 1/7 + 1/7 + 0 = 0,51 0,10
Ноябрь ССВССВН Н 17/38 + 11/14 + 5/7 + 2/3 + 2/3 + 1/2 + 0 = 3,76 7 0,55 U = {(H; 0,55), (C; 0,07), (В; 0,38)}
С 9/38 + 2/14 + 1/7 + 1/7 + 0 = 0,51 0,07
В 12/38 + 1/14 + 1/7 + 1/3 + 1/3 + 1/2 + 1 = 2,68 0,38
Декабрь СВССВНН Н 18/38 + 2/16 + 1/10 + 3/5 + 1/2 + 1/2 + 1 = 3,29 7 0,47 U = {(H; 0,47), (C; 0,13), (В; 0,40)}
С 9/38 + 4/16 + 2/10 + 1/5 + 0 + 0 + 0 = 0,88 0,13
В 12/38 + 10/16 + 7/10 + 1/5 + 1/2 + 1/2 + 0 = 2,84 0,40
Пусть в полученном HTM Um+1 среди чисел цН, цС, /иВ максимальным является то число ц^, А е {Н, С, В}, у которого индекс А совпадает с термом um+1 ряда. Тогда, говорим, что для рассматриваемого индекса т прогнозная нечеткая модель привела к непротиворечивому прогнозу. В противном случае говорим о противоречивом прогнозе.
Для ЛВР (2) была проведена валидация прогнозной модели и получен непротиворечивый прогноз для каждого т = п - r, r = 1, 2, ..., n - 6 (табл. 2). Из таблицы видно, что лингвистический прогноз дает достоверный результат в 10 случаях из 12, ошибка составляет 16,7 %.
Особенностью рассматриваемого ВР инвестиций являются ярко выраженные сезонные выбросы, которые в несколько раз превосходят среднее значение этого показателя (рис. 1). Следует также отметить, что наличие сезонной составляющей в динамике ВР приводит к несопоставимости между собой уровней наблюдений. Чтобы решить эту проблему, предлагается элиминировать сезонную компоненту. Необходимо отметить, что применение коэффициентов сезонности
(табл. 3) при сезонной корректировке ВР несет в себе опасность избыточной или недостаточной корректировки [3]. В результате часть сезонной составляющей (с положительным или отрицательным знаком) попадает в сезонно скорректированный ряд, искажая его краткосрочные тенденции. Такой эффект называют эффектом просачивания [1].
В процессе преобразования ЛНМ йп+1 в численное
(классическое) НМ !п+1 ={(, ¡л1)}, t = 1, Т, Т = 3 в
качестве подходящих числовых значений элементов выбираются в сезонно скорректированном ВР сопоставимые с 2п значения объёмов инвестиций. То есть при прогнозировании объёма инвестиций в каком-либо месяце первого полугодия предлагается брать значения из соответствующего предыдущего периода.
Для более полного представления о динамике исследуемого ВР необходимо вернуть ожидаемую сезонную вариацию. Полученный результат приведен в табл. 3 и на рис. 3 (прогноз 1).
Таблица 3
Месяцы Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь
Исходный ВР 33,6 35,0 235,7 99,0 126,5 288,8 106,6 144,0 268,3 148,5 209,0 757,4
Коэффициент сезонности 1,0 1,0 2,2 2,0 2,0 4,5 1,7 2,4 6,6 2,8 3,4 11,7
Прогноз 39 41,6 114,3 76,4 94,58 215,8 82,85 110,3 326,7 135,5 171,2 586,2
Ошибка 0,2 0,2 0,52 0,2 0,25 0,25 0,22 0,23 0,22 0,09 0,18 0,23
Рис. 3. Соотношение фактических и прогнозных значений объёмов инвестиций с учетом сезонной вариации (прогноз 1) и коэффициента регрессии (прогноз 2)
Как видно из рисунка, происходит запаздывание в динамике прогнозных показателей по отношению к фактическим объемам инвестиций. При этом следует отметить, что средняя величина погрешности прогноза составила 23,3 %, при этом в 9 месяцах ошибка находится в диапазоне от 9 до 23 %.
В целях повышения точности прогноза предлагается учитывать и долгосрочную тенденцию в динамике исследуемого ВР. Так как ВР демонстрирует линейную тенденцию к нарастанию, для оценки этой тенденции и прогнозирования можно воспользоваться регрессионным анализом [1].
В результате корректировки полученных прогнозных значений объемов инвестиций в основной капитал на коэффициент регрессии (рис. 3 - прогноз 2) погрешность прогноза уменьшилась с 23,3 до 19,5 % в среднем выражении (табл. 4), при этом ошибка прогнозных значений, полученных с учетом тренда для 7 месяцев из 12, не превышает 7 %.
Таблица 4
Месяцы Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь
Исходный ВР 33,6 35,0 235,7 99,0 126,5 288,8 106,6 144,0 268,3 148,5 209,0 757,4
Прогноз 50,8 54,1 148,6 99,4 123 280,6 107,7 143,4 424,7 176,2 222,6 762,1
Ошибка 0,51 0,54 0,37 0,00 0,03 0,03 0,01 0,00 0,58 0,19 0,07 0,01
Полученный результат свидетельствует о том, что примененный комбинированный анализ, клеточно-автомат-ная прогнозная модель и классический декомпозиционный анализ, как подход к прогнозированию эволюционирующих экономических ВР с памятью является адекват-
ным и позволяет получать краткосрочный и среднесрочный прогноз с достаточно высокой степенью надежности.
Литература
1. Сигел Э. Ф. Практическая бизнес-статистика. М., 2002.
2. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. 5. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М., 2000. 6.
3. Прогнозирование и планирование в условиях рынка: Учеб. пособие для студентов вузов / Под ред. 7. Т.Г. Морозовой, А.В. Пикулькина. М., 1999.
4. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г., Ка-
саева М.Д. Прогнозная модель урожайности на ба- 8.
зе клеточных автоматов и нечетких множеств // Новые технологии в управлении, бизнесе и праве: Тр. Междунар. конф. г. Невинномысск, 30 мая 2003 г. Невинномысск, 2003. С. 163-167.
Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия
Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень, 2000. Пригожий И., Стингерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой. М., 1986. Кятов Н.Х. Предпрогнозный анализ инвестиций в основной капитал на базе фазовых портретов // Научная мысль Кавказа. Приложение. 2005. № 11. Кятов Н.Х. Моделирование физического износа объектов недвижимости // Недвижимость: экономика, управление. 2004. № 7, 8.
30 августа 2005 г.
