CC BY
1689
16. Очков В.Ф. Mathcad 14 для студентов, инженеров и конструкторов. СПб.: БХВ-Петер-бург, 2007.
17. Панферов А.И., Лопарев А.В., Пономарев В.К. Применение MathCad в инженерных расчетах: учеб. пособие. СПб., 2004.
18. Половко А.М. Mathematica для студента. СПб.: БХВ-Петербург, 2007.
19. Сараев П.В. Основы использования математического пакета Maple в моделировании: учеб. пособие. Липецк, 2006.
УДК 336.761
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СЛЯСИ МОДЕЛИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ КУРСА ВАЛЮТ
А.А. Молчанов
В статье рассматривается использование GARCH-модели для исследования курсов валют на основе данных РБК, ставится проблема учета серий случайных больших выбросов доходностей финансовых инструментов при расчете волатильности. Рассматривается частный случай, который моделирует волатильность в виде суммы константной базовой волатильности и линейной функции абсолютных значений нескольких последних изменений цен, производится оценка ключевых параметров простейшей модели и указывается область ее применения и недостатки, указывается применимость моделей высших порядков.
Ключевые слова: GARCH-модель, курс валют, волатильность, учет случайных больших выбросов доходностей финансовых инструментов.
Задачи прогнозирования являются, пожалуй, наиболее распространенными. Планирование и принятие управленческих решений всегда опирается на прогнозы, даже если они производятся неявно, «в уме». Примеров прикладных задач прогнозирования в экономике огромное количество: прогнозирование потребительского спроса, объемов грузоперевозок, финансовых потоков компаний, курсовой стоимости акций, цен на недвижимость и т.д.
В результате повсеместного распространения информационных технологий наметились три тенденции в современном прогнозировании:
1. Во многих компаниях методы прогнозирования начинают включаться в автоматизированные технологические цепочки, возрастают требования к точности прогнозирования.
2. Стремительно возрастают объемы доступных данных, накапливается огромное количество временных рядов, многие из которых взаимосвязаны. Все более актуальной становится задача выявления не очевидных скрытых взаимосвязей в самих данных.
3. Динамичность процессов в современной экономике все более проявляется в существенной нестационарности временных рядов - их структурные свойства имеют тенденцию к постоянному изменению.
В этих условиях стандартные статистические методы прогнозирования начинают давать сбой. Лежащие в их основе предположения часто не выполняются на практике или не допускают надежной проверки, например, гипотеза стационарности ряда или гипотеза о той или иной форме его нестационарности. Скажем, имея дело с нестационарным рядом, мы можем предполагать непостоянство дисперсии (гетероскедастичность) и использовать соответствующую стохастическую модель, тогда как на самом деле ряд будет периодически изменять свою структуру, переключаясь с одной модели на другую. Для высокоточного прогнозирования большого количества нестационарных взаимосвязанных временных рядов необходимы новые методы и подходы.
Особо стоит отметить проблематику прогнозирования финансовых временных рядов. Характерная особенность последних заключается в их «толстых хвостах», а также в том, что они обнаруживают существенно более сильную реакцию на отрицательные «шоки», чем на положительные. Эти и некоторые другие идеи отражены в разработках Энгла (ARCH модели), Тима Боллерслева (GARCH модели), а также в более поздних подходах к анализу условной гетероскеда-стичности. Визуальная предпосылка для их реализации - кластеризация дисперсии.
Анализируя изменения каких-либо экономических показателей (цен, процентных ставок и т.д.) в течение долгого времени в эконометрике выделяют два компонента: один из них, тренд, изменяется согласно некоторой закономерности, а другой - волатильность, изменяется случайным образом.
Для экономических прогнозов очень важно знать не только средний уровень, например, курсов акций, но и каковы будут ожидаемые отклонения от этого среднего уровня. На рынках ценных бумаг случайные отклонения показателей от тренда крайне важны, поскольку стоимость акций, опционов и других финансовых инструментов сильно зависит от рисков. Отклонения от тренда могут значительно меняться во времени - периоды сильных изменений сменяются периодами незначительных изменений.
Хотя реальная волантильность переменна, экономисты долгое время имели в своем распоряжении только такие статистические методы, которые основаны на предположении о ее постоянстве.
В 1982 г. Энгл разработал авторегрессионную гетероскедастическую (т.е. предполагающую переменный разброс) модель (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity -ARCH), на основе которой стало возможно предсказывать изменение волатильности. Открытый им метод анализа экономических временных рядов позволяет гораздо достовернее, чем ранее, прогнозировать тенденции изменения ВВП, потребительских цен, процентных ставок, биржевого курса и других экономических показателей не только на ближайший день или на неделю, но даже и на год вперед. Высокая точность прогнозов с использованием этой модели была доказана, в частности, на анализе историко-экономической статистики США и Великобритании, когда сделанный на основе данных за минувшие годы прогноз сопоставляли с фактическими показателями последующих лет.
Присуждая Нобелевскую премию по экономике, Нобелевский комитет подчеркнул большое теоретическое и прикладное значение разработанной Энглом ARCH-модели. Она «стала незаменимой не только для ученых, но и для финансовых и рыночных аналитиков, которые применяют ее при
оценке собственности и рисков портфельных инвестиций». Открытые им методы предсказания будущих изменений экономических показателей очень важны и для современной российской экономики, где все еще велика вероятность экономических и политических шоков, повышающих волатильность.
Простые представления о волатильности (статистическом показателе, характеризующем тенденцию рыночной цены или дохода, изменяющихся во времени) исходят из того, что зачастую случайные изменения цен на каждом временном интервале не зависят друг от друга.
Реальное поведение случайных изменений обычно не соответствует данному допущению. Для волатильности характерна, так называемая «кластеризация», т.е. периоды, когда абсолютные значения волатильности принимают большие или меньшие значения. Например, при рассмотрении курса RUR/ USD за несколько последних лет можно выделить периоды, когда колебания курса были незначительны, и периоды, когда, среагировав на определенные события, курс в течение нескольких дней или недель совершал значительные колебания (т.е. выбросы были не разовыми и случайными, а представляли собой затухающую серию, спровоцированную одним или несколькими значительными движениями). Если для такого рынка произвести оценку возможных потерь за неделю однодневных спекулятивных операций, не учитывая серийность случайных движений цен, то оценка риска может оказаться заниженной.
Проблему учета серий случайных больших выбросов доходностей финансовых инструментов при расчете волатильности можно решить с помощью использования ARCH/GARCH-моделей.
ARCH-модель моделирует волатильность в виде суммы константной базовой волатильности и линейной функции абсолютных значений нескольких последних изменений цен. Расширением ARCH-модели является GARCH-модель волатильности, где на текущую волатильность влияют как предыдущие изменения цен, так и предыдущие оценки волатильности («старые новости» или «предыстория»).
Еще десять лет назад моделирование макроэконометрических и финансовых вре-
менных рядов сосредотачивалось по большей части на условных первых моментах, а любые временные зависимости в моментах более высокого порядка рассматривались как помеха.
Усиление роли риска и неопределенности в современной экономической теории требовало, однако, развития новых эконометрических методов для временных рядов, которые учитывали бы при моделировании изменение дисперсий и ковариаций во времени, учитывая явное отсутствие какой бы то ни было структурной динамической теории в экономике, объясняющей динамику моментов более высокого порядка. Особенно помог этому развитию класс моделей с условной авторегрессионной гетероскедастичностью (GARCH), введенный Энглом.
Так же как успеху обычных линейных моделей временных рядов содействовало использование условных математических ожиданий вместо безусловных, ключевой момент, предлагаемый моделью GARCH, состоит в различении условных и безусловных моментов второго порядка. В то время как безусловная матрица ковариаций для представляющих интерес переменных может быть неизменной во времени, условные дисперсии и ковариации часто зависят нетривиальным образом от состояний в прошлом.
Понимание точного характера этой временной зависимости крайне важно для многих проблем в макроэкономике и финансах, таких как необратимые инвестиции, цены на опционы, структура процентных ставок по срокам и общие динамические соотношения для цен активов. Кроме того, с точки зрения получения эконометрических выводов потеря в асимптотической эффективности из-за не учета гетероскедастичности может быть сколь угодно большой и при составлении экономических прогнозов, как правило, можно использовать намного более точную оценку неопределенности ошибки прогноза, если получать ее как условную по текущему информационному множеству.
Эмпирические закономерности в доходностях активов. Даже в одномерном случае массив функциональных форм, задаваемый уравнением, слишком обширен и бесконечно превосходит то, что может вместить любое параметрическое семейство GARCH-моделей.
Ясно, что для того, чтобы можно было надеяться выбрать подходящую GARCH-модель, нужно иметь опытные закономерности, которые эта модель должна уловить.
Опишем некоторые закономерности для волатильностей доходностей активов.
Доходности активов, как правило, являются лептокуртическими. Эта закономерность была отмечена Мандельбротом, Фамой и другими исследователями, что породило большое количество литературы по моделированию доходностей ценных бумаг как реализаций независимых и одинаково распределенных случайных величин из распределений «с толстыми хвостами».
Явление «кучкования волатильности» сразу заметно на графиках доходностях активов по времени. Анализ графиков и разумные статистические критерии показывают, что доходности не являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами по времени, «коридор» волатильности постепенно сужается.
«Эффект левереджа», впервые отмеченный Блэком, состоит в том, что изменения в курсах ценных бумаг обычно отрицательно коррелированы с изменениями в волатильности курсов. Фиксированные издержки частично объясняют это явление. Обычно фирма с большими обязательствами и большой чистой стоимостью капитала в большей степени подвержена воздействиям, когда стоимость фирмы падает. По мнению Блэка, реакция волатильности курсов на направление динамики доходности слишком сильна, чтобы ее можно было объяснить только с помощью левереджа. Этот вывод подтвердился опытными работами, сделанными позже.
Неоперационные периоды. Информация, накапливающаяся после закрытия финансовых рынков, отражается на курсах на момент открытия рынков. Если информация накапливается с постоянной скоростью по календарному времени, то дисперсия доходности за период с момента закрытия в пятницу до момента закрытия в понедельник должна быть в три раза больше, чем дисперсия за период с момента закрытия в понедельник до момента закрытия во вторник. Фама обнаружил, что информация накапливается более медленно, когда рынки закры-
ты, чем когда они открыты. На фондовом рынке дисперсии выше вслед за выходными и праздниками, но вовсе не настолько сильно, как можно было бы ожидать при постоянной скорости поступления новостей.
Предсказуемые публикации важной информации связаны с высокой волатильностью. Волатильность доходностей по акциям отдельных фирм высока в период, близкий к объявлению дивидендов, а фиксированный доход и волатильность курса иностранной валюты выше в периоды, когда центральные банки ведут интенсивную торговлю или когда публикуются макроэкономические новости.
Наблюдаются также существенные предсказуемые изменения в волатильности в течение операционного дня. Обычно волатильность намного выше при открытии или закрытии торгов на фондовых и валютных биржах, чем в середине дня. Увеличение волатильности при открытии частично отражает накопление информации за то время, в течение которого рынок не работает. Не просто объяснить волну волатильности при закрытии.
Волатильность и последовательная корреляция. Существует обратная зависимость между волатильностью и сериальной корреляцией для американских фондовых индексов. Эта закономерность является устойчивой к определению выборочного периода, рыночного индекса, интервала измерения и меры волатильности.
Совместная динамика волатильностей. Существуют факторы, объясняющие динамику волатильностей валютных курсов. Энгл показал, что изменения в волатильности облигаций тесно связаны по срокам погашения. Эта общность изменений волатильности проявляется не только для активов в рамках одного рынка, но также и по различным рынкам. Например, волатильности американских акций и облигаций двигаются параллельно, в то время как имеют место тесные связи между изменениями волатильности по международным фондовым рынкам.
Параллельное движение волатильностей должно активизировать моделирование, поскольку указывает на то, что общие факторы могут объяснить значительную часть колебаний условных дисперсий и ковариаций доходностей активов. Этим подводится основание под факторные ARCH модели.
Макроэкономические переменные и волатильность. Так как стоимости акций близко связаны со «здоровьем экономики», естественно ожидать, что измерители макроэкономической неопределенности, такие как условные дисперсии промышленного производства, процентных ставок, темпов роста денег и т.д., должны помочь в объяснении изменений волатильности валютного рынка. Валютная волатильность резко повышается в течение спадов и финансовых кризисов и падает в течение подъемов, вместе с тем, связи между макроэкономической неопределенностью и фондовой волатильностью слабы. С другой стороны, нашли сильные положительные связи между волатильностью доходности акций и процентными ставками, если затронуть фондовый рынок.
СЛЯСИ-модель. В литературе предложено множество разных параметрических спецификаций для меняющейся во времени условной дисперсии. В линейной ARCЩq) модели введенной Энглом принимается, что условная дисперсия является линейной функцией от квадратов q прошлых инноваций:
<т, = ю + Z а‘є<-‘ =m + a(zK-i.
i=\,q
(i)
где Ь обозначает лаговый оператор или оператор сдвига назад, Ьгу{ =у _ 1. Конечно, чтобы эта модель была корректно определена и условная дисперсия была положительной, параметры должны удовлетворять соотношениям со >- 0 и а\ — .
2 2 Vt=Et ~°t ,
Если ввести обозначение то модель ARCЩg) можно переписать в виде
£\2 -СО + a(L)sf, + v].
(2)
Поскольку £г-\(Уг) = 0, то модель непосредственно соответствует модели AR(q) для квадратов инноваций, еД Этот процесс является слабо стационарным тогда и только тогда, когда сумма положительных параметров авторегрессии меньше единицы. В таком случае безусловная дисперсия равняется
Var(s1 ) = <у =
1-QTj - ...-а
Хотя сериально некоррелированы, очевидно, что они не являются независимыми по времени. В согласии со стилизованными фак-
тами для доходностей активов, имеется тенденция, что большие (малые) по абсолютной величине значения процесса сопровождаются другими большими (малыми) значениями с непредсказуемым знаком. Кроме того, если предполагается, что распределение нормированных инноваций не меняется во времени, то безусловное распределение £{ будет иметь более толстые хвосты, чем распределение zt. Например, для модели ARCH(1) с условно нормально распределенными ошибками
Е{є])
= \л-
1 -а,
Е{еУ 1-ЗаГ ССЛИ 1 " Е{е1)2
в противном случае; в обоих случаях это больше, чем величина 3, соответствующая нормальному распределению.
Модель ARCH(g) также можно представить как модель МА(ц) дляе? с меняющимися во времени параметрами:
ЕЮ
£t = со + _
(З)
где {&} обозначает скалярный стохастический процесс с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Модели с меняющимися во времени параметрами имеют долгую историю в эконометрике и статистике. Привлекательность эквивалентной с точки зрения наблюдений формулировки, представленной уравнением (1), проистекает из того, что она непосредственно сосредотачивается на меняющейся во времени условной дисперсии процесса.
В эмпирических приложениях ARCH(q)-моделей часто возникают трудности из-за длинных лагов и большого числа параметров. Чтобы обойти эту проблему, Боллерслев предложил обобщенную ARCH, или GARCH(p, q), модель,
■ + X/V'7,
i=1,q j=1,q
= со + a(L)st_x + fi(L)<7t_x
(4)
Чтобы условная дисперсия в модели ОАЯСН(р, ц) была определена, все коэффициенты в соответствующей линейной ARCH-модели бесконечного порядка должны быть положительными. В предположении, что а (Ь) и в (Ь) не имеют одинаковых корней и что корни уравнения в (х) = 1 лежат за пределами единичного круга, это ограничение на положительность выполнено тогда и только
тогда, когда все коэффициенты в представле-
а(х)
НИИ 1 - (5(х) бесконечным степенным рядом неотрицательны. Для простой GARCH(1, 1)-модели для положительности а} требуется, чтобы ^ 0 ; ах >0 и А - 0.
Преобразовав GARCH(p, ц)-модель,
представленную в уравнении (2), получим, что
= о) + §'(/.) + 0(1) si, - fJ(L)v>
(5)
что задает АКМА[тах(р, ц), р]-модель для еД Используя стандартные рассуждения, получаем, что эта модель слабо стационарна, если и только если все корни уравнения а (х) +в (х) = 1 лежат за пределами единичного круга. Во многих приложениях с «высокочастотными» финансовыми данными оказывается, что оценка величины а (1) + в (1) очень близка к единице. Это являлется эмпирической мотивировкой для так называемой интегрированной GARCH (р, ц), или ЮАЯСН(р, ц), модели, предложенной Энглом и Боллерслевым.
В большинстве случаев для данных с малыми промежутками простоя GARCH(1,1) -
модель с величиной а\ + Р\ . близкой к единице хорошо описывает данные. Поэтому для прогнозирования используют именно модель ОАЯСН(1,1), а ОАЯСН-модели более высоких порядков не применяются из-за громоздких вычислений, учитывая то, что результат получается не намного точнее.
САКСИ(1,1). Итак, запишем ОАЯСН-модель в более наглядном виде:
г і
<7? =K + XGl<Tll+XAJslJ
р ч
Ajelj
,=1 J=1 при
Для м одели с P и Q равными единице:
У, = с + є,.
<т, = К + G>, ,
-Аєі і.
Моделирование в MatLab
load garchdata
Получив данные о котировках, ряд значений необходимо преобразовать в «ряд возврата» или массив отклонений потому, что Mat-Lab строит на основе данных такого рода:
DATA = price2ret(data);
Построение модели и вывод результатов: spec =
garchset('Display','off, 'P',1,'Q',1,'T olCon', 1e-6);
2
2
<T, =co
[coeff,errors,LLF,eFit,sFit,summary] =
garchfit(spec,DAT А); garchdisp(coeff,errors)
Данные для моделирования экспортировались с сайта РБК (www.rbc.ru). Ввиду того, что на сайте в свободном доступе расположены неполные данные о котировках (есть периоды, на которых не указана средневзвешенная цена), было необходимо недостающие значения заполнить средним арифметическим наибольшей и наименьшей цены за текущий день. Также по некоторым валютам и вовсе отсутствовали данные о ценах, по-
этому для одного и того же периода для различных валют количество котировок различно. Несмотря на это, число всех котировок на валюту превышает 2 000 значений, что делает расчеты более точными.
Рассматривая графики всех валют, легко заметить наличие кластеризации волатильности. На графике (рис. 1) ЕЦИ/ШБ за два месяца (евро к доллару) это видно.
Кластеризация волатильности просматривается на всех современных рынках, и ее наличие не зависит от выбираемого периода. Гораздо удобнее наблюдать волатильность на графике отклонений (рис. 2).
Рис. 1. Наличие кластеризации волатильности ЕЦЯ/ШБ за два месяца
500 1000 1500 2000 2500
Рис. 2. Волатильность на графике отклонений
Таблица 1
Результаты оценки параметров GARCH модели
EUR2USD Value St. error T-stat
A 0.029772 0.0062823 4.7389
G 0.90642 0.024448 37.0751
C 6.23e-005 0.00010556 0.5899
K 0,000002 6.42e-007 3.1127
USD2RUR Value St. error T-stat
A 0.37538 0.015303 24.5297
G 0.62462 0.0047014 132.8593
C 1.35e-005 9.37e-005 0.1445
K 2e-006 8.16e-008 24.4996
Краткие обозначения
A - весовой коэффициент, определяющий степень влияния предыдущих цен на текущие значения волатильности; G - весовой коэффициент, определяющий степень влияния предыдущих цен на текущие значения;
K - базовая волатильность или базовый уровень волатильности;
Value - значение параметра;
St. error - стандартное отклонение (Standart Error);
T-Stat - T Statistic.
В значениях параметра А (это весовой коэффициент, определяющий степень влияния предыдущих цен на текущие значения волатильности) для всех серий котировок нет ни одного нуля, что говорит о том, что оценка модели прошла успешно, но результаты работы программы могут не быть удовлетво-
рительными ввиду ограниченности применения данной модели.
Как видно из первой таблицы, коэффициенты между таблицами совсем не связаны. Также не просматривается связь между валютами со схожими значениями функции правдоподобия и коэффициентами ОАЯСН.
Таблица 2
Значения функции правдоподобия
валюта период котировок Функция правд.
1 EUR USD 1999-01-04 2006-12-12 2727 10299
2 GBP CHF 1998-09-07 2006-12-12 2807 10921
3 GBP JPY 1998-09-07 2006-12-12 2805 10561
4 GBP USD 1998-09-07 2006-12-12 2651 10595
5 USD CAD 1998-09-07 2006-12-12 2809 11687
6 USD CHF 1998-09-07 2006-12-12 2808 10404
7 USD JPY 1998-09-07 2006-12-12 2811 10619
8 USD RUR 1998-09-07 2006-12-12 2100 9314,9
9 USD SEK 1998-09-07 2006-12-12 2627 9693
10 USD SGD 1998-09-07 2006-12-12 2752 9670,6
В этой таблице последний столбец содержит информацию о значениях функции правдоподобия. Из нее видно, что наименьшее значение соответствует котировкам и8Б/ЯиК, что подтверждает то, что модель имеет большую погрешность на нестабильных рынках, в частности для данных котировок, колебания цены доллара по отношению к рублю достаточно сильно изменялись.
Значительный скачок в начале периода очень сильно повлиял на результаты прогнозирования, и ОАЯСН-ІооІЬох столкнулся со значительными расхождениями между прогнозами и реальными значениями. Таким образом, при использовании ОАЯСН-модели следует учитывать такого рода колебания. Применять модель в чистом виде без вспомогательных инструментов также не имеет смысла.
О 200 400 500 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Рис. 3. Скачок в начале периода очень сильно повлиял на результаты прогнозирования
Самым высоким значением функции правдоподобия стало отношение американского доллара к канадскому:
Рис. 4. Значительные скачки отсутствуют
Рис. 5. Уровень волатильности ограничен узким «коридором»
Рассмотрим ОАЯСИ-модель на котировках и8Б/ЯиЯ для более высоких порядков. Для сравнения полученных результатов рассмотрим сводную таблицу значений (второй и третий столбец - это стандартное отклонение параметров С и К соответственно):
C SE K SE ф. правд.
GARCH(1,1) 9.3659e-005 8.1634e-008 9314,9
GARCH(2,1) 8.3718e-005 7.767e-008 9397,3
GARCH(1,2) 7.684e-005 7.6805e-008 9449,5
GARCH(2,2) 5.8899e-005 6.5965e-008 9588,6
GARCH(3,1) 7.718e-005 7.6671e-008 9454,2
GARCH(1,3) 5.7103e-005 7.5549e-008 9545,5
GARCH(3,2) 5.7777e-005 6.3123e-008 9592,2
GARCH(2,3) 5.2197e-005 7.287e-008 9598,5
GARCH(3,3) 5.3174e-005 7.5492e-008 9653,7
При изменении (от ОАЯСИ(1,1) до ОАЯСИ(3,3)) одного из рассматриваемых параметров на 76,1 % (падение), стандартное
отклонение от базового уровня волатильности падает на 8 %, а что самое главное, на 3,64 % возрастает значение функции правдоподобия. Не стоит основываться на том, что повышение порядка модели приводит к более точным прогнозам, хотя отчасти это действительно так. Точность расчета показателей увеличивается, рамки нахождения параметров сужаются, но функция правдоподобия изменяется незначительно потому, что на такое же значение может изменить эту функцию простое сглаживание скачка на 6-й котировке (13 августа 1998: 8,5 рублей), путем замены цены на 20 рублей. Это говорит о том, что всего одна «пробитая» точка может достаточно сильно повлиять на прогнозирование цены, используя GARCH-модель.
В заключение необходимо отметить, что общий недостаток GARCH-моделей заключается в том, что все они независимо от применяемых методов вычисления используют исторические данные. И если условия на рынке (например, волатильность рынка или корреляция между активами) резко меняются, то эти изменения будут учтены только через определенный промежуток времени. А до этого момента предсказания будут некорректны. Для оценок используется та или иная модель, а это означает наличие модельного риска в расчетах. Поэтому необходима периодическая проверка адекватности применяемой модели. Все вышеназванные факторы приводят к тому, что данные модели хорошо работают в случае стабильного состояния рынков и перестают адекватно отражать поведение цен, когда на рынках происходят существенные изменения. Следует помнить, что GARCH -всего лишь инструмент прогнозирования, а не универсальный способ анализа цен.
Литература
1. Box G.E.P., Jenkins G.M., Reinsel G.C. Time Series Analysis Forecasting and Control, 3rd ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1994.
2. Bollerslev T. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity // Экономический журнал. 1986. № 31. С. 307-327.
3. Цыплаков А.А. Некоторые эконометрические методы. Метод максимального правдоподобия в эконометрии. ЭФ НГУ, 1997.
4. Contreras J., Esp_nola R., Nogales F.J., Conejo A.J. ARIMA Models to Predict Next-Day Electricity Prices // Август 2003, часть 18, № 3. С. 1014-1020.
