Использование динамического регулятора для решения задачи стабилизации нелинейного многосвязного объекта с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-506

Е. А. Паршева Астраханский государственный технический университет

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СТАБИЛИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНОГО МНОГОСВЯЗНОГО ОБЪЕКТА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Введение

Задача синтеза систем управления для объектов в условиях априорной неопределенности их параметров является фундаментальной проблемой современной теории систем автоматического регулирования [1-12]. Особое место занимают задачи, связанные с построением адаптивных систем управления, когда измерению доступны только регулируемая переменная и управляющее воздействие. Для решения этой задачи предложены различные способы: метод расширенной ошибки, алгоритмы высокого порядка, метод шунтирования и др. Все эти методы предполагают использование фильтров состояния или шунтирующих устройств, а управляющее воздействие формируется в виде скалярного произведения вектора настраиваемых параметров и вектора регрессии.

В данной работе предлагается использовать динамический регулятор, предложенный в [13], для многосвязных объектов с запаздыванием по состоянию, что позволяет получить строго минимально-фазовый обобщенный настраиваемый объект управления. При этом для формирования управляющих воздействий и в алгоритмах настройки используются только измеряемые переменные локальных подсистем, т. е. осуществляется полностью децентрализованное управление.

Постановка задачи

Имеется взаимосвязная стационарная нелинейная система, динамические процессы в локальных подсистемах которой описываются уравнениями

X (г) = А (X)х (г) + т(X)я (г -т.) + Д (Х)(у. (^ К (г)+чТу. (я)) +

к _________________

+ X ауУ] (г), . = 1, к, (1)

] =и* ]

Уг (г) = ЦХг (гX РУг С?) =Укг ^ 1 = 1 П - 1, 5 е Иг ,0].

Здесь хг (г) е Я"г - вектор состояния г -й подсистемы; и1 (г) - скалярное управляющее воздействие; уг (г) - скалярная регулируемая переменная, доступная измерению; Р = Л/Л - оператор дифференцирования; уш (?) - ограниченные непрерывные начальные функции; уг (уг) е Як'г -неизвестная функция; уг (уг) - известная нелинейная функция; чг е Як'г,

а у є Rn - неизвестные числовые матрицы; A, (X), m, (X), B, (X) - числовые

матрицы соответствующих порядков, элементы которых зависят от вектора неизвестных параметров Хєх ; х - известное множество возможных значений вектора X ; А = [1, 0, ... , 0]. Передаточная функция локальной подсистемы имеет вид

W(1)=L,Wn, -A —mA*"4)-1 B, =

Q, (1)

где deg R, (l) = m,; deg Q, (l) = n,; l - комплексная переменная в преобразовании Лапласа; 1п - единичная матрица порядка n ,, X n,.

Децентрализованное адаптивное управление для таких систем определяется как задача построения таких k локальных блоков адаптивного управления, каждому из которых доступна только текущая информация о системе.

Необходимо спроектировать систему управления, для которой будет выполнено условие

lim x, (t) = 0. (2)

t—— ¥

При этом в локальных подсистемах управления не допускается использование измеряемых величин других подсистем.

Предположения:

А1. Пары (A,B ,) управляемы для любых Хєх .

А2. Известны порядки полиномов n,, mt, относительная степень n, — mt > 1 и множество х .

А3. y (У і^ £d,|y, 1 =1 ... , ki,.

Метод решения

Зададим следующую структуру управляющего устройства в виде

&(t) = F,z,(t) + bo,С,т (t)у (tX и,(t) = —-Ц-d,Tz,(tX (3)

p g(У і )

где z, (t) є Rn — вектор состояния регулятора; F, — гурвицева числовая матрица в форме Фробениуса; b0i = [0, ... , 0, 1]'; С, є Rn — вектор настраиваемых параметров; yTpi (t) = [у, (t), z,т (t)] - расширенный вектор выхода;

d є Rn — пока неизвестный числовой вектор, условия выбора которого будут определены.

Введем расширенный вектор состояния системы (1) и (3) xpi (t) = col( x, (t), z , (t)) и объединим уравнения (1) и (3) в одно векторноматричное уравнение

х р1 (0 = (Лр1 + БР1С01ЬР1) Хрі (ґ) + Бр1 (С (ґ) - С01 )т у. (ґ) +

Р1 ' Р1

т

+ РргУг (ґ -^ ) + Б11-ЛТ (Уі ) У 1 (Уі ) + X аР1>У] (Ґ) (4)

Ур1(ґ) = ^Р1ХР1 (0, 1 =1, к,

где хР1 (ґ)є Я2п; Ур1 (ґ)є ^”+1; числовые матриц^і ЛР1,Б^,Би,т^,,арУ.

рг

имеют вид

ЛР1 =

т Р =

1 Л Бг (Х)ё Тт ; Бр1 = оп 1 хі ; Б = ' Бг '

1 о 1 ’ р1 _ Ьо1 _ ’ і1 оп 1 хі

1 р 1 ; ь = Ь1 оіхп " а] "

; а =

опхі р о п1 хп1 1 п[ ( р о^хі

где Со - некоторый вектор, обеспечивающий гурвицевость матрицы Ло = Лр1 + ЬрСІіЬРІ. В [2] было показано, что такой вектор существует.

Введем блочно-диагональные матрицы

Ло = ¿іа§{Лоі, к , Лок} ; т р = рі , ... , т Рк} ;

Бі = diag{Бll, . , Бік} ; С = аіа§{сі, . , Ск} ;

бр = • •• , Брк} ; Со = diag{соl, • •• , Сок} ;

ьр = ... , ьрк} ,

Р

и векторы

хр = соі(х

рі’

хрк); л = со1(л^ •. , Лк) ;

і(

Ур = со1(ур1 ^ к , Урк) ; у(у)=со1(у1(у1), к , у (Ук)) ; у=• •• , Ук) ; у((-т) = со1(У1(^ -т1Х • •• , Ук((-т к)) •

Тогда уравнение системы (4) в составной форме примет вид *р Ц) = АХр (() + Вр (С(г) - Со)Г Ур (^) + трУ(1 - т) +

+ В^ ( у)у( у) + а рУ(^),

Ур^) = 1рХр^X

(5)

где хр (ґ) є Я2п; Ур (ґ) є К”+і; п = Xп1 ; ар - блочная матрица с блоками арц :

а р =

а

1=і о а

р2і

рі2

о

а ркі а ріс 2

рік

р2к

о

к

Следующее утверждение дает решение сформулированной задачи. Утверждение. Если выполнены предположения А1-А3, а векторы

и gi выбраны так, что полиномы Ь, (1) = с, (1)g1TLpj (112п - Ар, )-1 Вр, гур-вицевы с положительными коэффициентами, степень которых на единицу меньше, чем у полиномов с, (1) = det(1/2n - Ар,) = det(1/n - А) ¿е!(1/и - ^),

то существует вектор С0,, обеспечивающий гурвицевость матрицы А0,, и любой из приведенных алгоритмов

í

С (ґ) = -1 (ёТ У Р, (эЖьУр, № + С, (0),

0 ( (6)

Сг (ґ) = -(§гТУрг (ґ))Г2гУрг (ґ) - { (§гТУрг (^))Г3іУрі + Сг (0)

0

обеспечивает выполнение целевого условия (2), где Г, Г2г, Г3г - положительно-определенные симметричные матрицы.

Замечание 1. Если вектор Сг (ґ) задать в виде х, (ґ)ё,, то в условиях утверждения можно настраивать только один параметр х, (ґ), например, по алгоритму

í

Хг (ґ) = -Р1г (§гТУрг (ґ))2 - Р2г { (ё!Ург & + Хг (0) , (7)

0

где р1г > 0, р2і > 0 - коэффициенты усиления.

Доказательство утверждения. Возьмем функционал Ляпунова -Красовского [14]в виде

V = хТр (ґ) НХр (ґ) +

+ X (С- (ґ) - С0, +р- ё )Т Г-1 (С, (Ґ) - С0, +р- ё ) + Пі | У, (^

г=1 V

(8)

где р > 0; п1 > 0; Г, Н - положительно-определенные симметричные матрицы Н = diag{H1, к , Нк}. Принимая во внимание то, что матрицы Н и А0 являются блочно-диагональными, получим, что для каждой подсистемы положительно-определенные симметричные матрицы Н1 должны удовлетворять матричным соотношениям:

НА + АТгНг + Н < -б,. - р^ - П^оМ Шог,

Н,Вр, = Мр&,, М0, = [ 1„, ,0п, хп, ], А0, = Ар, + Вр,С0,Мр,. (9)

В соответствии с теоремой П3.1 [10], если полином Ь,(1) удовлетворяет условиям утверждения, то существуют вектор С0, и матрица Н1, удовлетворяющие матричным соотношениям (9).

Вычислим полную производную от функционала (8) на траекториях системы (5):

К < хтр (Г)(НА0 + А0ТН)Хр, (О + 2хтр (Г)НВр (С(0 - С0 )т ур (0 +

+ 2хТр (*)НтрУ({- т) + 2хТр (^)НВ1ЛТу(у) + 2хТр (^)Нару(г) +

+ £ (2(С, (г) - С0, + рgг )т Г1 С, (О + П1 у,2 (Г) - П1 у,2 (г - т,)) . (10)

,=1

Воспользуемся оценкой

2хТр (ОНтрУ( - т) < хТр (^)Нхр ^) + ут (^ - т)|1рН|1 рУ( - т).

Принимая во внимание, что матрицы Н, т являются блочнодиагональными, получим, что для каждой подсистемы положительное число п1 должно удовлетворять условию

п >тТр,Н,тр,.

Прибавим и вычтем в формуле (10) выражение 2р(gр у р, ^))2. Тогда,

выбирая алгоритм настройки параметров согласно уравнению (6), учитывая (9), получим

У < £ (- хТрп ({)(б + Ри12п, )хр, ({) - 2Р(gTг ур, ({))2 +

, =1

+ 2хТрп (0НДЛТУ (у, ) + £ 2хТрп (0Н,арг]уг (^)) . (11)

,'=!,,' * 3

Принимая во внимание предположение А3, воспользуемся известными оценками:

2хТрп (()Н,ВиЦТУ, (у, ) < 2|хТрп (()HгB1г IР, |у ({^ ~ = £ ЪА ,

Т Т Т

(')Н,В1, |Р^у, ( )^ Р, =

1 = 1

2хТ, (0Н,а р,,у, (0 < 21 хр, (0Н,а Лу, (01 = би + б2, »

|хр, (t)Hг^B1г^

рц\\'/ 3 ' |2

хТ, (Г)&хр. (Г) > I = С1, |хр (ОН^ | ,

2

\хр и)Н,а р„, , |2

хр (^) > Т „-1 ' = %23 хТ )Н,ар,з ,

р р а р ,3Н,б 21,Н,а рз 31 р '

- 2Р(g,Tур, (0)2 < -2РgíІ■Уг2 ^) + 4|gli 11^2Мхр, ({,

1

1

ГДЄ %1і -пТи ^>-1 и и ; С2У тт /п-1

£1г- - первая компонента

КНг2иНгВ1г ¿^ШН^ру

вектора ; £2г- - часть вектора без первой составляющей. Учитывая приведенные оценки, из (11) получим

к Г 2

V < Е]-Хт (^)(ри - 4Р| ёиЦЫ )ХЦ (0 - 2Р&2У2(0-Х1г\хТрг (0НгВ1г| +

I =1 ]

+ ^ хТрг ({) НгВ1г | Рг У ({^ + Е ( 2\%Т (()Н & й\у } ((^ - %2Ц ({) Нг« ру |" 1} •

Дополняя соответствующие слагаемые правой части до полного квадрата, получим

л/%1"

- 4Р|^1 г-| к 2 і дХ

V к Ґ

-1 л/ С 2 і]

) ]=1 V.

Р2 к , Рг - I 1

Х1І ]=1,г>] С2 ]і

Р, Р1 из

2 2/

І*» (0^ а ^1 —^ к (о|

Vе 2 і]

Рі> 2

Хіі ]=1,і^] С2]і

, то получим

V < Е I - Р4г ||хрг (0| - Р£иуУ (() ) , г=1 ^ '

где р4г = р1г - 4р|ё1г|||ё2г ||, откуда следует справедливость утверждения. Пример

Рассмотрим объект управления, который описывается уравнениями

- а3 1 0" d3

*1^)= - а2 0 1 *(і)+ d 2

_- а1 0 0 d1

Уі(* -^і) +

+

" 0" Ґ Ъ( У>1^) + [1 1] N + "4"

0 " У1( У1)" 3

_к1_ V У2 (У1)_ ) 3

У2 (^),

і =1

2

Т

2

- a6 1 0 d6

¿2(0 = - a5 0 1 ¿2(t) + d5

- a4 0 0 d4

+

1 00 1 g 2 ( yi)U2(t) + [2 J>1( Уі) " N + "0" 1

1 2 1 V 2 2 y / 5

где gj(y1) = 1 + y2, g2(y2) = 1 + \y2\ . Класс неопределенности х задан неравенствами: -5 < al < 5, l = 1, ... , 6, 2 < kj < 6, j = 1,2 . Матрица ^ имеет

характеристический многочлен (1 + 2)3.

Выберем векторы dT = [10; 11; 15]; gT = [100; 200; 20; 0,1]т . Тогда полином bi (1) гурвицев для любых al и kj из заданного класса х , i = 1,2 .

02 \ .

0.1S 0.1 Д - - i ■

OJOS :

-OJOS ......4. i i j. { |...

' ! ! ! i -0.1 -0.1S

-02

На рисунке приведены результаты моделирования системы стабилизации, когда (0) = [1; 1; 0,6]; х2, (0) = [0,1; -1; - 0,6]; у1 (у1) = У,

у2(у2) = 0,2у2 + 5^\у2\ ; а2 = а3 = -4, к1 = 3, а5 = а6 = -3, к2 = 1, а1 = а4 = 0,

d1 = й 2 = й3 = 1, й4 = й5 = й6 = 2, т1 = 1 (с), X 2 = 2 (с) и использован алгоритм настройки (7) с параметрами

Щ(і) = —г,-(іX ¿, (і) = ^іг(і) + ^X, (і)ёТу (і),

У,(у,) р

і

X (і) =-Р1,(ёЬрг (і))2 -р2і I(ё,ТУрі (^))2 ^ + Хг (0) ,

в которых ки = 100, p2i = 200 .

Заключение

В работе исследована задача построения адаптивных систем стабилизации для нелинейных многосвязных объектов с запаздыванием со скалярным выходом и входом, когда измерению недоступны их производные. Такие типы объектов управления очень часто встречаются в различных технологических процессах, для которых приходится проектировать системы управления.

Предложено использовать динамический адаптивный регулятор для многосвязных систем с запаздыванием, что позволяет получить строго минимально-фазовый обобщенный настраиваемый объект управления. Моделирование синтезированных систем подтвердило теоретические результаты, что проиллюстрировано на примерах.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Monopoli R. V. Model reference adaptive control with an augmented signal // IEEE Trans. on Automatic Control. - 1974. - Vol. 19, N 5. - P. 474-484.

2. Feuer A., Morse A. S. Adaptive control of single-input, single-output linear systems // IEEE Trans. on Automatic Control. - 1978. - Vol. 23, N 4. - P. 557-569.

3. Narendra K. S., Valavani L. S. Stable adaptive controller design - direct control // IEEE Trans. on Automatic Control. - 1978. - Vol. 23, N 4. - P. 570-582.

4. Morse A. S. High-order parameter tuners for adaptive control of nonlineary systems // Isidori A., Tarn T. J. (eds) Systems, Models ant Feedback: Theory and Applications. Birkhausor, 1992. - P. 339-364.

5. Nikiforov V. O. Robust high-order tuner of simplified structure // Automatica. -1999. - Vol. 35, N 8. - P. 1409-1415.

6. Iwai Z., Mizumoto I. Robust and simple adaptive control systems // Jnt. J. оf Control. - 1992. - Vol. 55, N 6. - P. 1453-1470.

7. Mirkin B. M. Comments on «Exact Output Tracking in Decentralized Adaptive Control» // IEEE Trans. Automat. Contr. - 2003. - Vol. 48, N 2. - P. 348-350.

8. Фрадков А. Л. Адаптивная стабилизация минимально-фазовых объектов с векторным входом без измерения производных от выхода // Докл. РАН. -1994. - Т. 337. - С. 592-594.

9. Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Схемы адаптивного управления с расширенной ошибкой (обзор) // Автоматика и телемеханика. - 1994. - № 9. - С. 3-22.

10. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное адаптивное управление сложными динамическими системами. - С.-Пб.: Наука, 2000. - 548 с.

11. Паршева Е. А., Цыкунов А. М. Адаптивное децентрализованное управление многосвязными объектами // Автоматика и телемеханика. - 2001. - № 2. -С. 135-148.

12. Ключарев А. Ю., Цыкунов А. М. Синтез системы адаптивного управления объектом с запаздыванием по состоянию со скалярным входом-выходом // Вестн. АГТУ. Автоматика и прикладные вопросы математики и физики. - Астрахань: Изд-во АГТУ, 1997. - С. 47-54.

13. Цыкунов А. М. Применение адаптивного динамического регулятора для управления объектом по выходу // Идентификация систем и задачи управления, SICPR0’05: Тр. Междунар. конф., Москва, 25-28 января 2005 г. - М.: Ин-т проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2005. - С. 1349-1357.

14. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. - М.: Физматгиз, 1959. - 211 с.

Получено 19.09.05

THE USE OF THE DYNAMIC REGULATOR FOR MANAGEMENT TASK SOLUTION OF A NONLINEAR MULTIPLY-CONNECTED OBJECT WITH A LAG

E. A. Parsheva

The problem of construction of an adaptive dynamic regulator for management of a nonlinear multi-connected object with a state lag in the conditions of prior uncertainty of its parameters when derivatives of input and output variables are inaccessible to measurement is being solved in the work. At the same time only measured variables of local subsystems are used for formation of control actions and in tuning algorithms, it means that decentralized control is completely carried out. The efficiency of the offered algorithm is proved, the results of modelling are given in the work.