Исключительный случай характеристического сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши в весовых классах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968

ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЯДРОМ КОШИ В ВЕСОВЫХ КЛАССАХ

Т. М, Урбанович

Рассмотрим характеристическое сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши [1, с. 188]

где Г — простой гладкий замкнутый контур, делящий плоскость комплексного переменного на внутреннюю область и внешнюю Б-.

Напомним, что уравнение (1) является уравнением нормального типа, если коэффициенты с = а + Ь и й = а — в классе Н(Г),

т. е. они отличны от нуля всюду на Г. Исследование уравнения этого типа было впервые проведено Ф. Д. Гаховым и изложено в его монографии [1]. Оно основывается на сведении уравнения (1) к эквивалентной задаче линейного сопряжения и решения последней.

Пусть Г — конечное множество точек контура Г и Г = Г+ и Г-; а = (ат, т € Г) — заданное семейство вещественных чисел, ат > 0.

Исключительный случай задачи (1) возникает, когда функции а ± Ь допускают нули в конечном числе точек контура Г:

ат

мкнутом контуре интегрирования Г впервые рассмотрено Ф. Д. Гаховым [2] и Л. А. Чикиным [3]. Независимо от этих работ и другим ©2012 Урбанович Т. М.

(1)

г

(a+b)(t) = O( |t - т |ат) пр Ht ^ т G F+, (а - b)(t) = O(|t - тГт) при t ^ т G F-

(2)

методом Д. И. Шерман [4, 5] получил аналогичные результаты в предположении, что только одна из функций (а ± b)(t) имеет пули целых порядков на контуре Г.

Как отмечено выше, уравнение (1) можно свести к эквивалентной задаче линейного сопряжения [2]. В работе [6] рассмотрены частные случаи задачи линейного сопряжения, а именно

Ф+(*) = |i -пГСгт-^) +9l(t), Ф +(i) =

где т\ — точка контура, — произвольное число, Gi(t),gi(t) £ Н(Г),

Последние две задачи линейного сопряжения эквивалентны уравнению (1) в предположении, что только одна из функций (а ± b)(t) имеет один нуль произвольного порядка на контуре Г.

В работе рассматривается ситуация, когда функции (а ± b)(t) допускают на контуре Г конечное число нулей произвольных неотрицательных порядков ат.

Обозначим через Hloc(F, F) класс функций f £ С(Г \ F), принадлежащих H(K) па любом компакте K С Г \ F. Аналогичный смысл имеет класс ii;oc(_D±, F) для функций Ф(-г), аналитических в

D± и

непрерывных в D± \ F, т. е. Ф(^) £ H(K) для любого компакта К С -D± \ F. Обозначим через Н(Т, F) класс функций f G H(L) для любой дуги L С Г, не содержащей внутренних точек из множества F.

В классах Hloc введем весовые подклассы Ha, где А = (Ат,т £ F) — заданное семейство вещественных чисел. С этой целью выберем 5 > 0 столь малым, что круги |z — т| < 5 с центрами т £ F попарно не

тт

Пусть D± = D± П {|z — т | < 5} Будем считать, что ^ £ Ha (Г, F), если ^ £ Hioc и та каждой дуге Гт представима в виде ф) = \t-r\x^0(t), й(()£Я(ГТ1т).

Аналогично Ф £ H\(D=•=, f1), если Ф (Е Hioc и в каждой области _DT представима в виде

Ф(г) = (z - г)Лт Ф0(г), Ф0(г) G Н{Щ),

причем в определение класса Ф € Ид(Б-, Г) входит условие конечности функции Ф(г) на бесконечности. А именно, порядок функции Ф на бесконечности не превосходит целого п, если в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки выполняется оценка |Ф(г)| ^ С|г|п. Положим

А(г)= П (г-гГ, гет; В(г) = Ц \ * €

где щ € — фиксированная точка и степенные функции во втором равенстве выбраны с разрезом вдоль дуг [г, г0] С В+.

В этих обозначениях уточним условия (2) следующим образом:

(а + Ь)(Ь) = с(г)А(г), (а — Ь)(Ь) = ¿(Ь)Б(Ь), (3)

где коэффициенты с(Ь), ¿(Ь) обратимы в классе И (Г, Г).

Решение уравнения (1), (3) будем отыскивать в классе Ид (Г, Г), — 1 < Л < 0, где весовой порядок Л будет подчинен дополнительным

требованиям. Хорошо известно [1,7], что интеграл типа Коши

*(*) = (4)

г

принадлежит классу Б), исчезает на бесконечности и справед-

ливы формулы Сохоцкого — Племеля

П1 } т — Ь г

По отношению к аналитической функции (4) уравнение (1), (3) равносильно задаче линейного сопряжения

ф)А№+ (г) — ¿(Ь)Б(Ь)Ф- (Ь) = /(Ь), (5)

причем связь между ними осуществляет равенство = Ф+(Ь) —Ф- (Ь). Положим

Г А(г)Ф(г), г € К> \ Б(г)Ф(г), г € Б-,

(6)

Из принадлежности функции Ф(-г) классу Н\+а(0, Г) следует, что Ф(-г) £ Н\(П, Поэтому решение задачи (6) будем отыскивать в классе Нл+а> предполагая, что f £ И\+а.

Построим каноническую функцию Х(г) задачи (6) в классе И\+а. Для этого выберем произвольную непрерывную на Г\ ^ ветвь функции 1п , которая принадлежит Н(Г, и положим

Для д £ Н(Г, обозначим через д(т ± 0) однозначные предельные значения в точке т в соответствии с принятой ориентацией контура. В частности, определены значения (1п С)(т ± 0). Заметим, что значение

не зависит от выбора ветви логарифма и совпадает с суммой приращений

з

на дугах Гз-, та которые разбивается Г точками т £

Согласно [7] в секторах функцию П(г) можно представить в

виде

г

Ы(?= V 6Т, 5Т = тг—т((1пС)(т — 0) - (1пС)(т + 0)),

/пг

П(г) = Зт 1п(г — т) + Нт(г),

где hT (z) е H(D±).

Отсюда следует, что в секторах функцию Xo(z) можно представить в виде

X0(z) = (z-T)^Xt(z),

где функции X± (z) принадлежат классам H(D±) и обратимы в них. Выберем целые числа nT по условию

— 1 < aT + XT — ST + nT <0

(дополнительным условием на Л является то, что aT + AT — ST не принадлежат множеству целых чисел) и положим

X(z) = X0(z) П (z — Т-Пт.

t eF

Очевидно, что lim zкX(z) = 1, где к = IindG — (aT + AT)1.

T eF

zz Поскольку G(t) = х-ш i кРаевое условие (6) примет вид

x-(t)' Ф \ + /Ф f

(Г)

X) \ X ) cX+ '

Заметим, что G Ha+xs+n-

При к общее решение задачи (7) имеет вид

«W'ihfmMiiby+p(4 <8>

г

где степень произвольного многочлена P(z) те выше к — 1 (при к = 0 положим P(z) = 0).

При к <0 решение задачи (7) единственно и дается формулой (8) с P(z) = 0 при выполнении условий ортогональности

Г fit)

J c(t)X+(t)

г

tj = 0, j = 0,1,..., -к - 1. (9)

Таким образом, имеем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть — 1 < Л < 0, ат + Лт — 5т не принадлежат множеству целых чисел, где

^ = тл- г ли - - 0) - г111 (т + о)

2пг у у с ) У с

н

к = & — "т — Л

т ЕР

Тогда при к > 0 общее решение задачи (5) дается формулой

•м=I г £ '

1 В-(г)ВД, г £ 1 ^

где функция Ф(г) имеет вид (8).

При к <0 решение задачи (5) единственно н дается формулой (10) при выполнении условий ортогональности (9). Введем обозначение

<? (ЛЛ = 1 [ 1{т)(1т

\сХ+ ) 7тг У с(т)Х+(т)(т -¿) г

и, используя формулы Сохоцкого — Племеля, найдем решение уравнения (1), (3):

= А^Ф4" - В-1 Ф = — СХ+-1— + Х+й1 С+ -

2 у сЛ + усА + у )

В ^-Х-Л- +(Л- \+2Х~Р

2 V сХ+

После элементарных преобразований получим следующий результат.

Теорема 2. Пусть / £ На+\. Тогда при к >0 уравнение (1), (3) безусловно разрешимо в классе Н\ и его общее решение дается формулой

Ас Вй / 2 \ Ас Вй/ VcX+

<п>

к<

—к

уравнения (1), (3) дается формулой (11) при Р = 0.

Заключение

В работе исследовано характеристическое сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши в исключительном случае (с особенностями нецелого порядка) методом сведения к эквивалентной задаче линейного сопряжения. Получены условия разрешимости и явная формула решения в весовых классах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

2. Гахов Ф. Д. Краевые задачи аналитических функций и сингулярные интегральные уравнения // Изв. Казанск. физ.-мат. о-ва. 1949. Т. 14, сер. 3. С. 75-160.

3. Чикин Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений // Уч. зап. Казанск. гос. ун-та им. В. И. Ульянова-Ленина. 1953. Т. 113, кн. 10. С. 57-105.

4. Шерман Д. И. Об одном случае регуляризации сингулярных уравнений // Прикл. математика и механика. 1951. Т. 15, вып. 1. С. 75-82.

5. Шерман Д. И. О приемах решения некоторых сингулярных интегральных уравнений // Прикл. математика и механика. 1948. Т. 12, вып. 4. С. 423-452.

6. Михайлов Л. Г., Усмонов Н. Сингулярные краевые задачи сопряжения // Докл. РАН. 2002. Т. 387, № 3, С. 309-313.

7. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

г. Полоцк, Беларусь

31 мая 2012 г.