Искажение временного профиля бигармонической волны конечной амплитуды с кратными частотами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.222

А.М. Гаврилов

ИСКАЖЕНИЕ ВРЕМЕННОГО ПРОФИЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ С КРАТНЫМИ ЧАСТОТАМИ

Вопросы, связанные с нелинейным взаимодействием акустических волн конечной амплитуды (ВКА), представляют интерес для многих задач гидроакустики, физической акустики, акустических измерений и диагностики. До последнего времени изучение влияния частотных, амплитудных и фазовых соотношений в исходном спектре регулярной ВКА на процесс ее распространения в нелинейной среде отстает от потребностей практики.

В рамках общей задачи рассмотрим случай коллинеарного распространения двух волн с кратными частотами coi=a и co2=na (n=2, 3, 4,...) в идеальной квадратично-нелинейной среде без дисперсии. При указанных допущениях распространение бигармонической ВКА описывается уравнением простых волн [1]:

где є - параметр нелинейности среды; с0 - скорость распространения волн в невозмущенной среде; т = (ґ - х/с0) - время в сопровождающей системе координат. На входе в среду (при х=0) колебательная скорость V(т, х = 0) задается в виде бигармонического колебания, т.е. суммы двух гармонических колебаний с частотами соі=а и со2=па, записываемого в виде

где (р0=(щ2 - пщ) - фазовый инвариант, характеризующий фазовую взаимосвязь (соотношение фаз) двух волн с разными частотами, величина которого в линейном приближении не зависит от проходимого плоскими волнами расстояния и времени; щ и (р2 - начальные фазы соответственно первой и второй волн. Нетрудно убедиться, что для граничного условия (2) частное решение уравнения (1) имеет вид неявно заданной функции

дv є дv

----------------=- v —

дx c0 дт

(І)

(2)

v

(т, x )= v, Sin

ґ

л

є • о, • v о1Т л-----------------2-X

v

c

0

л v2 Sin

У

о2т л

є • о2 • v

v

c

2 x лР0

0

= v, Sin

єо^ v о т л---— x

л v2 Sin

ґ \ є • по • v по • т л----------— x л р0

v

c

(З)

У

С целью упрощения преобразований и обобщения получаемых результатов введем безразмерные переменные:

X

X

X

(4)

P

A = v2/vl ; u = v/v, ; - =

где xP - расстояние образования разрыва в волновом профиле первой волны (о), распространяющейся в отсутствии второй волны; A - отношение начальных амплитуд первой (о) и второй (о2) волн; и(т,х) - текущее значение колебательной скорости распространяющейся бигармонической ВКА, нормированное на начальную амплитуду первой волны.

С учетом обозначений (4) решение (3) запишется в виде:

u(z,r) = sin(o - т + z - u)+ A- sin(no -т + nz-u + щ). (5)

Дальнейший анализ поведения волны u(z, т) проведем, задав ее в параметрической форме:

u = sin/ + A • sin(n/ + щ0);

о

•т = /- z^u = /- z • [Sin/ л A • Sin(n/ л p0)]

(6)

Скорость накопления нелинейных искажений в волне и(г, т), как показано в [2], удобно оценивать величиной безразмерного расстояния гР, пройдя которое в профиле волны образуется разрыв, т.е. участок профиля с крутизной, равной бесконечности (бесконечный градиент колебательной скорости). Протяженность области формирования разрыва определяется из системы уравнений:

(7)

(0-т) = 1 - z- [s / + nA • cos(n% + щ0)] = 0;

(о - т) = z - [sin / + n2A - sin(n% + щ0)] = 0.

Ограничим дальнейшее рассмотрение значениями отношения частот n = 2, 3

и 4, при которых влияние фазового инварианта щ, как показано ниже, проявляется наиболее сильно. Для физически наиболее интересных случаев щ = 0; п/2 и п величина zP аналитически выражается из системы (7).

c

0

При вырожденном параметрическом взаимодействии (п = 2) эта задача рассмотрена в [2]. Рассчитанные зависимости величины zP(A) при начальных значениях (г = 0) фазового инварианта <р0 = 0; 450; 900; 1350 и 1800 для п = 2, 3, 4 приведены на рис. 1 (а - в). При р0 = 0 зависимости zP(A) с увеличением амплитуды второй волны А монотонно уменьшаются, отражая рост нелинейных искажений волнового профиля за счет интенсивной генерации высших гармоник и волн с комбинационными частотами.

а)

б)

Рис. 1. Зависимость длины области образования разрыва ВП би-гармонической ВКА от амплитуды второй волны при различных значениях начального фазового инварианта (р0

в)

Пространственная динамика нелинейного искажения временного профиля (ВП) бигармонической ВКА с различными соотношениями частот при р0 = 0 и А = 0,4 показана на рис. 2. При р0 = 1800 функция zP(A) нарастает по мере увеличения амплитуды второй волны в диапазоне 0 < А < Ат и достигает максимума хРт при А = Ат. Увеличение расстояния zP можно рассматривать как ослабление нелинейных искажений ВКА, а значит и самих нелинейных процессов. Это достигается благодаря ослаблению оттока энергии из первой волны в генерируемые вторичные волны. При А > Ат величина zP(A)

монотонно уменьшается подобно тому, как это происходит при р0 = 0.

Трансформация ВП бигармонической ВКА при (р0 = 180 показана на рис. 3.

а)

б)

Рис. 2. Трансформация ВП бигармонической ВКА с расстоянием (А = 0,4; р0 = 0) при различных соотношениях частот:

а). о1/ о2 = 1:2; б). о1/ о2 = 1:3; в). - о1/ о2 = 1:4

При р0 = 45 , 90 и 135 зависимости 2Р(А), рис. 1, занимают промежуточное положение по отношению к рассмотренным выше случаям, отражая конкуренцию двух процессов: генеративного, связанного с оттоком энергии из первой волны в гармоники и комбинационные волны, и регенеративного, обусловленного частичным возвратом в первую волну энергии из второй волны и образовавшихся вторичных волн.

При А < 0,01 и А > 10 функция 2Р(Л) утрачивает зависимость от фазы, сливаясь в одну кривую. Это указывает на ограничение влияния фазовых соотношений со стороны амплитудных соотношений двух волн. В случае А < 0,01 амплитуда второй волны настолько мала, что ее присутствие не сказывается на распространении первой волны. При А > 10 амплитуда второй волны достаточно велика по отношению к первой волне, чтобы нелинейные иска-

жения определялись только искажением второй волны.

Анализ полученных результатов позволил выявить ряд закономерностей, в том числе: с ростом частотного отношения п при щ0 = 1800 уменьшается максимальное расстояние образования разрыва (zPm2>zPm3>zPm4...), снижается амплитуда второй волны Ат, обеспечивающая максимум zP; сокращается диапазон изменения амплитуды второй волны, в котором нелинейные процессы подвержены влиянию фазовых соотношений, и уменьшается диапазон изменения zP(A); при фиксированном А и щ = 1800 происходит сокращение области формирования разрыва в ВП.

а)

б)

Рис. 3. Трансформация временного профиля бигармонической ВКА с расстоянием (А = 0,4; щ = 1800 ) при различных соотношениях частот: а). (о1/ о2 = 1:2; б). (о1/ о2 = 1:3; в). о1/ о2 = 1:4

в)

1. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. -М.: Наука, 1975. 287 с.

2. Гаврилов А.М., Савицкий О.А. К вопросу об использовании эффекта вырожденного параметрического усиления// Акуст. ж., 1992, т. 38. № 4. С. 671 - 677.