Искажение временного профиля бигармонической волны конечной амплитуды с кратными частотами Текст научной статьи по специальности «Физика»

Секция акустических и медицинских приборов

УДК 534.222

А.М. Гаврилов

ИСКАЖЕНИЕ ВРЕМЕННОГО ПРОФИЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОИ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ С КРАТНЫМИ ЧАСТОТАМИ

Вопросы, связанные с нелинейным взаимодействием акустических волн конечной амплитуды (ВКА), представляют интерес для многих задач гидроакустики, физической акустики, акустических измерений и диагностики. До последнего времени изучение влияния частотных, амплитудных и фазовых соотношений в исходном спектре регулярной ВКА на процесс ее распространения в нелинейной среде отстает от потребностей практики.

В рамках общей задачи рассмотрим случай коллинеарного распространения двух волн с кратными частотами (ч=ти 0)2=ntö(n=2, 3, 4,...) в идеальной квадратично-нелинейной среде без дисперсии. При указанных допущениях распространение бигармонической ВКА описывается уравнением простых волн [1]:

dv є dv

---------2 v— = 0,

Эх cn дт

(1)

где є - параметр нелинейности среды; с0 - скорость распространения волн в невозмущенной среде; т= (ґ - х/с0) - время в сопровождающей системе координат. На входе в среду (при х=0) колебательная скорость у(т, х = 0) задается в виде бигармонического колебания, т.е. суммы двух гармонических колебаний с частотами (Оі=ю и а>2=пй% записываемого в виде

v(t, х = о) = v1 sin (0{Т + v2 sin (у2т + р0),

(2)

где <р0=(Щ - пщ) - фазовый инвариант, характеризующий фазовую взаимосвязь (соотношение фаз) двух волн с разными частотами, величина которого в линейном приближении не зависит от проходимого плоскими волнами расстояния и времени; щ и (р2 - начальные фазы соответственно первой и второй волн. Нетрудно убедиться, что для граничного условия (2) частное решение уравнения (1) имеет вид неявно заданной функции

v(t, х) = v1 sin

/

є-v (01т +-------------------2-х

c0 J

\

+ v2 Sin

со2т + -

V

c

-х + ^о

0

/

о-т + -

є-о-v

,2

V

+ v2 Sin

f \ є-по-v по-т+------^— х + (Po

V

c,

У

(3)

2

v1 Sin

х

0

С целью упрощения преобразований и обобщения получаемых результатов введем безразмерные переменные:

где хР - расстояние образования разрыва в волновом профиле первой волны (о), распространяющейся в отсутствии второй волны; А - отношение начальных амплитуд первой (о) и второй (о) волн; и(т,х) - текущее значение колебательной скорости распространяющейся бигармонической ВКА, нормированное на начальную амплитуду первой волны.

С учетом обозначений (4) решение (3) запишется в виде

Дальнейший анализ поведения волны и(2, т) проведем, задав ее в параметри:

Скорость накопления нелинейных искажений в волне и(2,т), как показано в [2], удобно оценивать величиной безразмерного расстояния 2Р, пройдя которое в профиле волны образуется разрыв, т.е. участок профиля с крутизной, равной бесконечности (бесконечный градиент колебательной скорости). Протяженность области формирования разрыва определяется из системы уравнений:

Ограничим дальнейшее рассмотрение значениями отношения частот п = 2, 3 и 4, при которых влияние фазового инварианта рр как показано ниже, проявляется наиболее сильно. Для физически наиболее интересных случаев р0 = 0; п/2 и п величина 2Р аналитически выражается из системы (7).

(п = 2) -

смотрена в [2]. Рассчитанные зависимости величины 2Р(А) при начальных значениях (2 = 0) фазового инварианта р0 = 0; 450; 900; 1350 и 1800 для п = 2, 3, 4 приведены на рис. 1, а-в. При р0 = 0 зависимости 2Р(А) с увеличением амплитуды второй волны А монотонно уменьшаются, отражая рост нелинейных искажений волнового профиля за счет интенсивной генерации высших гармоник и волн с комбинацион-.

(4)

и(г,т) = $,іп(от + г и) + А ■ 8Іп(пО ■ Т + пги + ф0). (5)

и = $,іп% + А ■ 8Іп(п^ + ф0); ОТ = %- г и = %- г[іп^ + А ■ 8Іп(п£ + р0)].

(6)

(от) = 1 - г [оо8^ + пА ■ со$>(п<^ + ф0)] = 0; (о ■ т) = г [іп ^ + п[А ■ 8Іп(п£, +ф0)] = 0.

(7)

а б

в

Рис.1. Зависимость длины области образования разрыва ВП бигармонтеской ВКА от амплитуды второй волны при различных значениях начального фазового

инварианта р0

Пространственная динамика нелинейного искажения временного профиля (ВП) бигармонической ВКА с различными соотношениями частот при (р0 = 0 и А = 0,4 показана на рис. 2. При р0 = 1800 функция zP(A) нарастает по мере увеличения амплитуды второй волны в диапазоне 0 <А < Ат и достигает максимума ъРт при A = Ат. Увеличение расстояния zP можно рассматривать как ослабление нелинейных искажений ВКА, а значит и самих нелинейных процессов. Это достигается благодаря ослаблению оттока энергии из первой волны в генерируемые вторичные волны. При A > Ат величина zP(A) монотонно уменьшается подобно тому, как это происходит при р0 = 0. Трансформация ВП бигармонической ВКА при р0 = 1800 показана на рис. 3.

Рис. 2. Трансформация ВП бигармонической ВКА с расстоянием (А = 0,4; р0 = 0) при различных соотношениях частот: а) ю11 ю2 = 1:2;

б) (о1 / т2 = 1:3; в) - (й1/ (й2 = 1:4

При р0 = 45, 90 и 1350 зависимости zP(A), рис. 1, занимают промежуточное положение по отношению к рассмотренным выше случаям, отражая конкуренцию

: ,

гармоники и комбинационные волны, и регенеративного, обусловленного частичным возвратом в первую волну энергии из второй волны и образовавшихся вто.

При А < 0,01 и A > 10 функция zP(A) утрачивает зависимость от фазы, сливаясь в одну кривую. Это указывает на ограничение влияния фазовых соотношений со стороны амплитудных соотношений двух волн. В случае А < 0,01 амплитуда второй волны настолько мала, что ее присутствие не сказывается на распространении первой волны. При A > 10 амплитуда второй волны достаточно велика по отношению к первой волне, чтобы нелинейные искажения определялись только искажением второй волны.

Анализ полученных результатов позволил выявить ряд закономерностей, в том числе: с ростом частотного отношения n при р0 = 1800 уменьшается максимальное расстояние образования разрыва (zPm2>zPm3>zPm4...), снижается амплитуда второй волны Ат, обеспечивающая максимум zP; сокращается диапазон изменения амплитуды второй волны, в котором нелинейные процессы подвержены влиянию , zP(A ); -

ном А и р0 = 1800 происходит сокращение области формирования разрыва в ВП.

Рис. 3. Трансформация временного профиля бигармонтеской ВКА с расстоянием (А = 0,4; (р0 = 1800) при различных соотношениях частот: а) со,/а>2 = 1:2; б) (01 /(2 = 1:3; в) а>1/й)2 = 1:4

б

а

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Руденко О.В., Солуян С.К Теоретические основы нелинейной акустики. - М.: Наука, 1975. - 287 с.

2. Гавр плов А.М., Савицкий О.А. К вопросу об использовани и эффекта вырожденного параметрического усиления// Акуст. ж. 1992. Т. 38. № 4. С. 671-677.

УДК 534.222

В.А. Воронин, И.Н. Лавердо

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СХОДЯЩИХСЯ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ В ВОЗДУХЕ

Получение высоких уровней звукового сигнала, достаточных для восприятия человеческим ухом, возможно при использовании параметрических излучателей ЩИ) с высокочастотными (ВЧ) фокусированными пучками накачки. Фокусировка волн накачки позволяет получить существенно большие уровни звукового давления волн разностной частоты (ВРЧ) в фокальной плоскости, т.е. в локальной об-