CC BY
5DOI 10.24412/2709-1201-2024-57-62 ЭОЖ - 373.1.02:372.8:514
ИРРАЦИОНАЛ ТЕНДЕУЛЕР МЕН ТЕЦС1ЗД1КТЕР, ОЛАРДЬЩ ЖYЙЕЛЕРIН ОЦЫТУ ЭД1СТЕМЕС1
ТАСБОЛАТОВА РЫСКУЛЬ
Физика - математика багыты бойынша БББ доценп, I.ЖансYгiров атындагы Жетiсу университетi, Талдыкорган к., ^азакстан
КУРМАНГАЛИЕВА ГУЛЬЖАН РАМАЗАНОВНА
7М01501 - Математика мамандыгыныц магистр^ I.ЖансYгiров атындагы Жетiсу университетi, Талдыкорган к., ^азакстан
Аннотация. Мацалада орта мектепте втглетгн иррационал тецдеулер мен тецЫздттер жан-жацты царастырып, оны б1р ЖYйеге келт1ру мэселест, эЫресе теориялыц материалды толыц мецгере отырып, бер1к практикалыц дагды цалыптастыру мэселелерт царастырылды. Иррационал тецдеулер мен тецЫздттер теориясы оцушылардыц ойлау цабшетт дамыта алатындай вз алдына гылыми - педагогикалыц мацызы бар орта мектептег1 нег1зг1 оцу материалы болып есептелед1. Ол оцушыларды айцын жэне д^рыс ойлауга, шамаларды салыстыра бглуге дагдыландырады.
Клт свздер: иррационал, тецдеулер, тецЫздттер
«Рационал» ce3i латынамерикалык «коэффициент» сезшен алынган. Эзгеше сандардыц катынасын бiлдiретiн сандар ежелп уакытта иррационалды сандар деп аталган. Бастапкыда Теодор Киренан рационал жэне иррационал терминдерш симметриялы жэне ассиметриялылык деген болатын^-У1 гасырларда Роман авторлары Капелла мен Кассиодор бул терминдердi латын тiлiне аударып, рационалды жэне иррационалды сездермен ауыстырды. 6-шы гасырдыц бiрiншi жартысында рим жазушысы Боэтиус тагы бiр «сметалык» (комменсурабилис) термиш енгiзiлдi.
Иррационал тецдеу - деп белгiсiздерi рационал тацбасы астында немесе белшек дэрежеге шыгарган амалдардыц тацбасы астында болып келген тецдеулердi айтады. Мундай тецдеулердщ негiзгi касиеттерш еске тYсiрейiк.
Тецдеуге енетiн барлык жуп дэрежелi тYбiрлер арифметикалык тYбiрлер, ягни тYбiр астында турган ернектер тек терю емес мэндер Yшiн аныкталган, ал тYбiрдiц eзi тек терю емес мэндер гана кабылдайды.
Тецдеуге енетiн барлык так дэрежелi тYбiрлер тYбiр тацбасы астында турган ернектщ кез -келген накты мэндерiнде аныкталган, тYбiр тацбасы астында турган ернектщ тацбасына карай Tepic тацбалы емес мэндерд1 де, Tepic тацбалы мэндерд1 де кабылдай бередк
Иррационал тецдеу - белпаз1, V
ягни айнымалы шамасы радикал тацбасыныц астында болатын тецдеу, мысалы,
. Муны шешу уиин тендеудщ ей жагын Yшiншi дэрежеге шыгарамыз, сонда иррационал тецдеулердi эдетте радикалдардан арылту тэсiлiмен шешедi. Бул Yшiн тендеудщ екi жак бeлiгiнде тендеу рационал ернек пайда болатындай тэсiлмендэрежелеу керек. Кейде бул жайтты бiрнеше рет кайталауга тура келедi. Осы тYрлендiрулер нэтижесiнде алгебралык тецдеу ^Y'rrn немесе белшек), жалпы алганда, бастапкы берiлген тецдеуге мэндес (эквиваленттi) болмай калады. Кeбiнесе берiлген тецдеудiц салдары пайда болады. Тендеудi канагаттандырмайтын шешiмдi бегде шешiм ретiнде ескермейтiн боламыз. Бiрак та тецдеудiц екi жак белш так дэрежеге дэрежеленген
болса, онда жаца тецдеу бастапкы тецдеуге мэндес (эквиваленттi) болады. Мына тендеулер
жубы мэндес болмайды:
VT = V5 жэне А = В
1. VI •Vb = С жэне VIS = С
о V* ^ /-»
z. —= = С жэне I- = С VB AJS
Иррациоиал тецдеудi шешуде колданылатын негiзгi эдiстер:
• тецдеудщ ею жагын да бiрдей белгiлi бiр дэрежеге шыFару;белгiсiздi ауыстыру;
• тецдеудщ екi жаFын да бiрдей белгш бiр функцияFа кебейту;
• тецдеуге енетш функцияныц касиетш жэне олардьщ графиктерiн пайдалану.
Керсетшген эдiстердi колданып, кейбiр тYрлендiрулер жасаFанда, мысалы, тецдеудщ
екi жаFын да бiрдей жуп дэрежеге шыFарFанда, берiлген тецдеудщ тYбiрлерiнен баска, бегде т^рлердщ пайда болатынды^ын ескертемiз. Сондыктан тецдеудi шыFарып болFан соц, бегде тYбiрлерден кутылу эдютерш карастыруымыз керек. Эдетте оны тексеру эдiсi аркылы жYргiзедi. Сондыктан да тексеру иррационал тецдеулердi шешудщ бiр кезещ болып табылады.
Тецдеудщ екi жак белiгiн n-шi дэрежеге шыFарып шешу эдiсi белгiлi f(x)=g n(x) тецдеуш аламыз;
Со^ы тецдеудi шешiп, табы!етан тYбiрлердi берiлген тецдеуге койып тексеремiз.Иррационал тецдеудiц екi
жак белiгiн бiрдей дэрежеге шыFарFан кезде шыккан тецдеу , кейбiр жаFдайда ,берiлген тецдеуге мэндес болмайды.
Сондыктан айнымалыныц табы!етан мэндерiн мiндеттi тYPде тексеру кажет.
Тецдеудi канаFаттандыратын тYбiрлердi тецдеу тYбiрлерi деп атаймыз. ^анаFаттандырмайтын тYбiрлер тендеудщ "бегде тYбiрлерi" деп аталады
1. Тецдеудщ ею жагын бiрдей дэрежеге шыгару тэсШ.
1-мысал. х + V3x + 7 = 7
Шешуг Радикалы бар ернектi тецдштщ сол жаFында калдырып, тецдеудiц калFан
мYшелерiн тецдiктiц оц жаFына шы^арамыз. Сонда V3x + 7 = 7 — х
2
Тецдеудщ ею жак белiгiн квадраттаймыз: (V3 х + 7) = (7 — х)2. Осыдан 3х + 7 = 49 — 14х + х2 немесе х2 — 17х + 42 = 0. СоцFы тецдеудщ тYбiрлерi хх = 3 жэне х2 = 14.
Табы1етан x-тiц мэндерiн бершген тецдеуге койып, тецдiктiц орындалатынын тексеремiз:
1. хх = 3 тYбiрiн x-тiц орнына койсак, 3 + V3 • 3 + 7 = 7, 3 + 4 = 7; 7 = 7, яFни тецдш орындалады.
2. х2 = 14 , яFни 14 + V3 • 14 + 7 = 7; 14 + 7 = 7; 21 * 7;
2-мысал^х — 1 + V2x + 6 = 6 тецдеуш шешешк.
Шешуь V2x + 6 = 6 — Vx—1; (2х + 6)2 = (б — Vx—1) ,2х + 6 = 36 — 12Vx —1 + х — 1; 12Vx — 1 = 29 — х.
1. Eкiншi рет квадраттаймыз: 144(х — 1) = (29 — х)2, 144х — 144 = 841 — 58х + х2, х2 — 202х + 985 = 0. хх = 5 жэне х2 = 197
Тексеру жYргiзiп; x-l = 5 берiлген тецдеудiц тYбiрi болатынын, ал бегде х2 = 197т^р екенiн аламыз. Жауабы: 5.
2. Иррационал тeцдeудi жаца айнымалы eнгiзу арцылы шешу.
л , |3x-2 [2х+3 „г . „.
Мысал: I--+ I-= 2,5 тецдеуш шешешк.
\1 2х+3 \1 3х—2
Шешуь
3x—2 n „ . „. _ 2x+3
= t > 0 жаца аинымалысын енпзешк. Сонда
2х+3 1
I 3х—2
болады.
Осыны ескерсек, t + - = 2,5 тецдеуш аламыз. Шыккан белшек-рационал тецдеудi бYтiн
1
тецдеуге келтiремiз: t2 — 2,5t + 1 = 0 будан t1 = 2; t2 = - .
ТYбiрлердi ескерсек, тецдеулердi шешемiз.
3х—2 I2X+3
0 3х—2 1 . .
= 2 жэне L +3 = 2 тецдеулерiн аламыз. Ендi шыккан
1.
2.
3x—2 ' 2x+3
|зх—2 I2X+3
=2
1
2
= 4, 3х — 2 = 8x + 12, x = —2,8.
3x—2 2x+3
3x—2 1
— = 12x — 8 = 2x + 3, x = 1,1.
2x+3 4
Тексеру: x = —2,8 Yшiн x = 1,1 ушш
/2^^ = V4+ 11 = 2+1 = 2,5
l2-(—2,8)+3 aJ 3-(—2,8)—2 \ 4 2
3-1,1—2
- |2U+3 = 113+ /52 = 1 + 2 = 2,5
2-1,1—2 3-1,1—2 -v) 5,2 -J 1,3 2
Екi тYбiр де тецдеудi канагаттындырады. Жауабы: 1,1 ; -2,8.
Иррационалды тецдеулер мен тецЫздттерд1 шешу эд1с1
Осы тецсiздiктердi шешкен кезде тецаздштердщ тецсiздiктi тец дэрежеде шыгара алатындыгын еске тYсiру керек.
2УТоо >
f /(х)>0
немесеи
/(х) > 0 #(х) < 0
№) > #2п(х)
< ^(х) тецбе-тец тецсiздiк.
/(х) > 0 #(х) > 0 J(x) < #2п(х)
Мысал-1: Тецаздшт шешiцiз:
Vx + 18 < 2 — х, Шешуi:
__Г х + 18 > 0,
Vx + 18 <2 — х, { 2 — х > 0,
(х + 18 < (2 — х)2,
1х ^
х > —18, х < 2,
5х — 14 > 0,
Аралык эдiс аркылы жYЙенiц Yшiншi тецаздшн шешемiз: 5x — 14 > 0,
(х - 7)(х + 2) > 0, х < -2, х > 7
Жауабка Yш тецсiздiктiц киылыскан жерш аламыз: Жауабы: —18 < х < —2.
Стандартты формалардыц иррационалдыц тецдеулерт шешу
2
x
Стандартты нысанныц иррационалды тецдеулерiн келес ереженi колдана отырып шешуге болады:
4f (x)=g (x) a
g(x) > 0, f (x) = g 2( x).
Стандартты формалардыц иррационалдык тецдеулерiн шешу:
а) Тецдеудi шешiцiз л/2x — 1 = x - 2, Шешiмi.
л/2 x — 1 = x - 2, 2x - 1 = x2 - 4x + 4, x2 - 6x + 5 = 0, x1 = 5,
x2 = 1 - карапайым тYбiр. Тексеру:
х = 5, л/2 x 5 — 1 = 5
х = 1, л/2 x 1 — 1 ф 1 - 2 , Жауабы: 5 \
б) Тецдеудi шешу: л/ 6 — 4 x — Шешуi:
л/ 6 — 4 x — x2 = х + 4, 6 — 4 x — x2 = x2 + 8x +16,
x 2 = х + 4,
x + 4 > 0;
2 x2 + 12x +10 = 0, x >—4;
x2 + 6 x + 5 = 0, x >—4; x > —4,
x = —1,
x2 = —5
Жауабы: -1
Аралас формалардыц иррационалдыц тецдеулерт шешу: • модуль белпа бар иррационалды тецдеулер:
Тецдеудi шешщз л/5x — 34 = |x — 3 — 4
Шешiмi.
л/5 x — 34 = x — 3 — 4,
<
<
<
Радикалдыц нелш ескере отырып, бул тецдеу ею жYЙеге тец:
x < 3, fx > 3,
л/5 x — 34 =— x + 3 — 4 x < 3,
немесе
л/5 x — 34 = x — 3 — 4;
V5x — 34 = — x — 1;
x < 3,
— x — 1 > 0,
5x — 34 = x2 + 2 x +1;
fx <—1,
lx2 — 3x + 33 = 0 — тубур
x > 3,
л/ 5 x — 34 = x — 7; x > 3, x — 7 > 0,
5x — 34 = x2 —14x + 49;
x > 7,
x2 —19 x + 83 = 0;
x > 7,
xi =■
x2 = '
19 + У29
2 , 19 — V29
жауабы:
19 + У29 2
Итерациялыц емес экспоненттгк тецдеулер: Тецдеудi шешiцiз 491+V*-2 — 344 • 7V*-2 = —7 Шешiмi.
491+VX-2 — 344 • 7VX-2 = —7 72+2VX-2 — 344 • 7VX-2 + 7 = 0
49 • 72 VX^ — 344 • 7Vx-2 + 7 = 0,
^^Z^12 = t, t > 0
49t2 — 344t + 7 = 0,
t1 = 1/49, t2 = 7.
Ендi керсiнше ауытырамыз:
74x—1 = 1/49,
ММЖ: x — 2 > 0 ^ x > 2.
немесе
7
•Jx—2
= 7
-2
7^ = 7,
V x — 2 = 1,
Vx — 2 = —2
x = 3.
жауабы: 3
• Ауыстыру аркылы шешшетш иррационалды тецдеулер:
. . ¡2x +1 I x — 1 Тецдеудi шешiцiз „I--2J-= 1,
x—1
2 x +1
шешiмi
<
<
<
■
<
2
2 x +1
x
1
2 x +1 V x -1
t - 2 = 1, t
t2 -1 - 2
= 0,
- 2,
x
1
2 x +1
= 1,
= t, онда
x -1 1
2 x +1 t
t > 0
t2 -1 - 2 = 0, ti = 2, 12 =-1
2 x +1
Kepi ауыстыруды жасаймыз: J-= 2, ею белки квадраттаймыз
x-1
2 х +1 х -1 - 2 х + 5
х -1 - 2 х + 5 = 0, х = 2,5.
= 4, = 0, х * 1
TeKcepeMi3: x = 2,5 \
2 х 2,5 +1
- 2
2,5 -1 1
V
2, 5 -1
= 1,
2 х 2,5 +1
2 - 2 х - = 1, 2
Жауабы : 2,5.
Дорыта келе:
1. Еылымдагы иррационалдыкты калыптастырудыц генезис сипатталган.
2. Иррационалды емес тевдеулер мен тецаздштердщ аныктамасы айтылган.
3. Иррационалды тевдеулердi шешу эдiсi зерттеледi.
4. Иррационалды тецаздшт шешу эдiстерi аныкталды.
ЭДЕБИЕТТЕР:
1. Рахымбек .Д., Дуйсебаева П.С., Бекмолдаева Р.Б. Тевдеулер мен тецсiздiктердi шешу.Оку куралы. -Шымкент: М.Эуезов атындагы О^МУ , 2014,-320 б.
2. Бекмолдаева Р.Б., Аширбаев Н.К., Дуйсебаева П.С. Математикалык есептердi шыгару практикумы.Оку куралы.-Шымкент: Нурлы Бейне,2013,-314б.
3. Рахымбек Д. Арифметика, алгебра жэне анализ бастамаларын окыту эдютемеа/Оку куралы/ Рахымбек Д. - Шымкент: М.Эуезов атындагы О^МУ баспа орталыгы, 2015. -424б.
4. Олехник С.Н., Попапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнение и неравенства. Нестандартные методы решения: Справочник. М.: Изд-во Факториал, 2017. - 219с
t
