CC BY
1ВЕСТНИК ТОГУ. 2013. № 2(29)
УДК 624.074.415.624.072.2 © А. А. Иодчик, В. А. Кравчук, 2013
ИНЖЕНЕРНЫЙ РАСЧЕТ СТАЛЬНОЙ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ БАЛКИ
Иодчик А. А. - старший преподаватель кафедры «Строительные конструкции», e-mail: Minos@mail.khstu.ru; Кравчук В. А. - д-р техн. наук, проф. кафедры «Строительные конструкции», тел.: 37-51-82, e-mail: Kravchuk@mail.khstu.ru (ТОГУ)
Одним из методов проектирования эффективных металлических строительных конструкций является создание в них предварительных напряжений. Представлена методика инженерного расчета стальной предварительно напряженной балки двутаврового сечения.
One of methods of designing of effective metal building designs is creation in them of preliminary pressure. The technique of engineering calculation of steel preliminary intense beam двутаврового sections is presented.
Ключевые слова: предварительное напряжение, внутренние усилия, геометрические характеристики сечения, максимальные и критические напряжения, устойчивость стенки, суммарный прогиб балки.
Предварительно напряженная, стальная, сварная балка двутаврового сечения изготавливается изгибом тавра внешней нагрузкой, приложенной к поясу тавра, до появления в крайней нижней зоне стенки напряжений, равных расчетному сопротивлению малоуглеродистой стали с последующим присоединением к предварительно изогнутому тавру второго поясного листа.
Ставится задача рассчитать и законструировать предварительно напряженную шарнирно опертую балку пролетом I под равномерно распределенную погонную нагрузку д. Материал поясов - высокопрочная сталь с расчетным сопротивлением Яуу; стенки - низкоуглеродистая сталь с расчетным сопротивлением Яу. Расчетная схема балки и эпюры внутренних усилий приведены на рис. 1.
1. Максимальный изгибающий момент и поперечная сила:
м = зИ • о =3
тах ^ ' ¿^тах ^ *
2. Требуемая площадь поперечного сечения будет равна:
ВЕСТНИК ТОГУ. 2013 № 2 (29)
Атр = 3
м2
с2в2л„'
у
где С - параметр, характеризующий несущую способность балки, значение С установлено в [1], С = 0,417 для данной балки, Л„ - гибкость стенки балки, принятая равной Л„ = 200.
Рис. 1. Расчетная схема балки и эпюры внутренних усилий а. Расчетная схема и максимальный прогиб балки; б. Эпюра изгибающих моментов;
в. Эпюра поперечных сил
3. Площадь элементов сечения
- верхнего пояса: А^ = у^р;
- стенки: А = КАтр ;
- нижнего пояса: Ап = г/пАтр ,
где АА„; А/„ - площадь сечения верхнего пояса, стенки и нижнего пояса балки; у^ ;уи - коэффициенты распределения материала по верхнему
поясу, стенке и нижнему поясу балки. В [1] найдены оптимальные параметры распределения материала по стенке и поясам данной балки: у№ = 0,497; = 0,29; уп = 0,213.
4. Высота стенки балки
по прочности:
- по жесткости:
^ Атрум>^-к ;
2,12-10-4 • I =-,
п
ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ БАЛКИ ШСШЖ ТОГУ. 2)13. № 2(29)
(
где п =! ~ относительный прогиб , /и - допускаемый прогиб в середине
пролета балки.
5. Толщина стенки
- из условия гибкости: ^ = —;
- из условия, что максимальные касательные напряжения восприни-
2,250
мает только стенка: t =- тах ;
А
- из условия обеспечения требуемой площади сечения: tw = —w .
К
Толщину стенки балки принимаем по максимальной величине 6. Геометрические размеры верхнего пояса. Соотношение размеров, обеспечивающих местную устойчивость пояса:
^ = 0,01075/^ + С ' Ъ/
где Яуу - расчетное сопротивление высокопрочной стали Яуу = 2ЯУ; а ^ -
предварительные нормальные напряжения в верхнем поясе балки,
п к(1 + 2к) у7,
Ср = -Яу^-, к = —^ — коэффициент асимметрии двутавра (рис. 2),
2(к +1) У1.1
оптимальное значение которого для данной балки равно кр = 1,168. Отсюда находим, что толщина верхнего пояса ^ = 0,0135^^ • Ъ^. Учитывая,
что Ъ^- - это половина ширины верхнего пояса, из выражения для площади пояса можно записать ^ = 6,5/ Ъу . Приравнивая оба значения для tf, получаем
величины Ъf и tf.. Площадь поперечного сечения верхнего пояса А^=Ъ^ • ^ .
7. Принимая толщину нижнего пояса равной толщине верхнего пояса, имеем ширину нижнего пояса Ъ^п = А^п / ^ .
8. Геометрические параметры и размеры сечения балки (см. рис. 2)
( и
к
2
Е,
центр тяжести: уцт = — =-----
р Уцт ЕА А»+А+А
момент инерции сечения относительно оси х - х:
Ак2 6к -гЛк +1)2
+А у+А„ ^
>
и =
(к +1)2 6
где А = А^, + А + А/„ - площадь поперечного сечения балки; - момент сопротивления крайней верхней точки балки:
ВЕСТНИК ТОГУ. 2013 № 2 (29)
ЭД' =
АН 6к - уш(к +1)2 (к +1) 6
- то же, крайней нижней точки балки:
ЭД' =
АН 6к - Уш(к + 1)2 (к +1) 6к
- статический момент половины сечения:
^ = • У1.1 +
К ■ У121 2
9. Предварительные напряжения в балке равны
к(1 + 2к)
- в верхнем поясе: (^ = - Ду
- в верхней зоне стенки: = Д
2(к +1)2 ' 2 + 3к
- в нижней зоне стенки: 5 ^ = - Д ~1-\г"
2(к +1)2
Рис. 2. Поперечное сечение балки 10. Напряжения, вызванные внешней нагрузкой находятся
ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ БАЛКИ ШСШЖ ТОГУ. 20В. № 2(29)
Мтах
- в краиних верхних фибрах сечения: — = - тах
" К М„
- краИних нижних фибрах сечения: —дп =
^хп
11. Результирующие напряжения в характерных точках сечения
- в верхнем поясе: —^ = -— -—/V;
- в нижнем поясе: — = —/п ;
- в верхней зоне стенки: _С = -—/V + —«V
- в нижней зоне стенки: —С ЖП = — - дп —. «п
12. Расстояние й от торца балки до первого промежуточного ребра жесткости будет равно: й =
10,3Е
-, где Е - модуль упругости стали.
Ку
13. Устойчивость стенки балки в зоне деИствия максимальных касательных напряжении согласно [2] определяется из выражения:
^ = 10,3
(л 0,76^
1 + "х
12,18/2 Е
М~ ) й2Яу
о s
Максимальные касательные напряжения: гтах = - тах х
ьк
Устоичивость стенки в зоне максимальных касательных напряжении будет обеспечена при выполнении условия т(Г > гтах .
14. Устойчивость стенки в зоне максимальных нормальных напряжений:
Бл2 (к й У 1
СГ
к2К, Iй к ) 1 -а/2: _Е
Г2(Г-^2)
Е/2
где О - цилиндрическая жесткость стенки Б =-- ; V = 0,3 - коэффи-
циент Пуассона; коэффициент а = -—.
—ду
15. Устойчивость стенки балки при совместном действии нормальных и касательных напряжений.
Согласно [3] следует проверить устойчивость стенки балки в зоне между центрами тяжести половинных эпюр моментов и поперечной силы (рис. 3). Принимаем параболическое очертание эпюры изгибающих моментов. Центр тяжести полупараболы находится на расстоянии 5//16 от оси опоры балки. Изгибающий момент на указанном расстоянии будет равен:
ВЕСТНИК ТОГУ. 2013 № 2 (29)
2=ТТб- 2^16) = 512 . Изгибающий момент в центре тяжести эпюры поперечных сил на расстоянии И6 от оси опоры балки:
м = (£}2=5я11
1 2 6 2 ^ 6) 72 .
~ , , ^Ал + ^Мъ „ ~г»Г» л т2
Среднее значение момента: Мср = —1-2 = 0,0884^/ .
2
М Ш + Ш
ср ТГГ ~ ГГ ™
Среднее напряжение: а = .,, , где гтх = ■
ср Ш " Х 2
С учетом предварительного напряжения результирующие максимальные напряжения в стенке будут равны аг^ = аср - ат .
Рис. 3. Границы расчетной области балки при проверке устойчивости стенки
Поперечная сила на расстоянии И6 от оси опоры балки:
_q/ q/ _q/
&1 = ~2 - ~6 = У .
Аналогично, на расстоянии 51/16 от оси опоры балки:
п _q/ 5q/ _ 3q/
&2 = з + 16 = 16 .
Средняя перерезывающая сила: & =
А + ^2 2
= 0,26q/.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ БАЛКИ ШСГНЖ ТОГУ. 2013. № 2(29)
Среднее касательное напряжение: т =
_0Л
ср и.,
Устойчивость стенки балки проверяется формулой:
I
( ^ V (т V
а
ср
+
\асг У
т
ср
т У
< ус, где ус - коэффициент условий работы балки.
16. Прогиб балки:
- обратный выгиб балки на стадии предварительного напряжения:
Ра
/0 "
/ =-ра- (з/2 - 8а2), 24Е/ V '
где Р - величина сосредоточенной силы, изгибающей тавр на стадии изготовления балки (тавр изгибается двумя сосредоточенными силами Р, так что по сечению элемента возникает зона чистого сдвига и чистого изгиба); а - расстояние от оси опоры балки до сосредоточенной силы Р.
- прогиб балки от внешней нагрузки д:
Я12
/а = 0,309-^. 4 ЕИ
- результирующий максимальный прогиб балки (рис. 1):
/тах = / - /о = ^ (0,2132 + 0,256а2)
Прогиб балки находится в пределах допустимых перемещений конструкции, если выполняется условие /тах < /и . 17. Масса балки
- масса поясов (верхнего и нижнего): т^ = А(у^ + уп)рстI,
где рст = 7850 кг/м3 - объемный вес стали.
- масса стенки балки: т^ = Аукрст I;
- масса промежуточного ребра жесткости: тг = ПГЪГ1Г рст;
г г оп 1 0П10П<0П _
- масса опорного ребра балки: тг = пг Ъг /г рси!,
где Нг - высота ребра жесткости; Ьг - ширина ребра жесткости; - толщина ребра жесткости; к°п - высота опорного ребра; Ъ°" - ширина опорного ребра; - толщина опорного ребра.
- суммарная масса балки:
Щалки = XМ> = т/ + т*> + Птг + 2т°г" + ™се , где п - количество промежуточных ребер жесткости; тсв - масса сварных швов тсе = 0,015(т/ + тК + птг + 2т0").
ВЕСТНИК ТОГУ. 2013 № 2 (29)
Пример расчета балки:
Пролетом балки I = 6 м; д = 0,6 кН/см; Яу. = 23 кН/см2; Я^ = 46 кН/см2.
0,6• 6002 „„„„„„ „ 0,6• 600 10/Л тт Мтах = -= 27000кНсм; д^ = -= 180кН.
Л = з
тр 1
270002 2
= 34,1 см2.
0,4172 • 232 • 200
А^ = 0,29- 34,1 = 9,89 см2; А/и = 0,213- 34,1 = 7,26 см2; А№ = 0,497-34,1 = 16,95 см2.
__О 1 О 1 (Л~4
\ =,!34,1- 0,497-200 = 58 см; йтп = 7 - --= 25,4 см.
Принимаем высоту стенки балки = 58 см, Аж = 58 - 0,3 = 17,4 см2.
58 2,25-180 Л„ 17
К, =-= 0,29 см; г = —-= 0,3 см; г = — = 0,293см.
* 200 * 58-23 * 58
Толщину стенки балки принимаем = 0,3 см. ^ / ^ = 0,0107^46 - 9,53 = 0,0649;
= 76,5/0,0649 »10 см; Ъу = 2^ = 20 см; ^ = 0,0649-10 » 0,7 см. А^ = 20-0,7 = 14 см2; Ъ^ = 8/0,7 «12см; А/и=12-0,7 = 8,4см2.
14(59,4-0,35)+17,4- 29+8,4- 0,35 _ _
у =—^---
цт
Г = 3^ 59>- 6 1,168 0,^9^vl,188^ 1 = 23266 см4;
14+17,4 + 8,4
39,8 -59,42 6-1,168- -0,497(1,168+1)2
(1,168+1)2 6
39,8-59,4 6-1,168- -0,497(1,168+1)2
(1,168+1) 6
39,8-59,4 6-1,168- 0,497(1,168+1)2
К» = 39,8 59,4 - " 1,168 1 = 849 см3;
К„ = "/,8 1,168 1 = 727 см3;
(1,168+1) 6-1,168
= 14-25,55 + 0,3-25,552 = 456 см3. х 2
Библиографические ссылки
1. Иодчик А.А., Кравчук В.А. Тонкостенная стальная балка, предварительно напряженная изгибом тавра // Вестник гражданских инженеров. - 2009. - 1(18)
2. Кравчук В.А. Конструкции, предварительно напряженные без затяжек. Оптимальное проектирование. Хабаровск. Издательство ТОГУ, 2010.
3. Кравчук В.А. Применение предварительно напряженных стальных балок в качестве ригелей каркаса высотного здания // Вестник Тихоокеанского государственного университета. - 2011. - № 1(20).
