CC BY
34
40 (82) - 2011
Инвестиционная политика
УДК 338.24. 519.863
ИНВЕСТИЦИОННЫЙ ПОРТФЕЛЬ ПЕНСИОННЫХ НАКОПЛЕНИЙ
А. А. МИЦЕЛЬ,
доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем управления
E-mail: maa@asu. tusur. ru Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники О. И. РЕКУНДАЛЬ, аспирантка кафедры высшей математики и математической физики rek_olga@mail. ru Национальный исследовательский Томский политехнический университет
В результате пенсионной реформы 2002 г. большое значение приобретает проблема выбора портфеля, сформированного за счет средств пенсионных накоплений. В статье рассматривается задача формирования портфеля пенсионных накоплений с минимальным риском и желаемой доходностью с учетом законодательных ограничений на активы и классы активов, входящих в портфель.
Ключевые слова: портфель, пенсия, накопления, стратегия, иммунизация, облигация, риск.
Введение
Задача формирования инвестиционных портфелей (ИП) занимает ключевое место на финансовых рынках. В настоящее время существует множество финансовых институтов (негосударственные инвестиционные фонды, управляющие и инвестиционные компании и др.), аккумулирующих денежные средства для дальнейшего инвестирования в различные инструменты рынка в зависимости от поставленных целей и задач. Особый интерес для исследований представляет вопрос, касающийся
формирования ИП пенсионных накоплений, который стал актуальным в России после пенсионной реформы 2002 г.
В современной литературе описанию различных моделей ИП посвящено много работ, например [1, 7, 9]. Особенностью модели, предложенной авторами, является интеграция стратегии иммунизации [10] в модель ИП, предложенную Г. Марковицем, и учет ограничений, определяемых законодательной базой РФ [4—6]. Данная статья является продолжением работ [3, 8].
Описание модели
Рассмотрим ИП, состоящий из N + к1 активов А = {,А2...,,AN+к ], где первые к1 бумаг — безрисковые активы, которые инвестор включает в портфель (в работе предполагается, что речь идет об облигациях) с доходностями и = (и1 , и2,...ик ) , А ,1 = к1 + + к1 — рисковые активы. Все активы сгруппированы по М наименованиям (облигации,
акции и т. п.). Подпортфель облигаций Ах, = 1,к1
Инвестиционная политика
40 (82) - 2011
выбирается согласно условиям стратегии иммунизации, предложенной Ф. Реддингтоном [10], и его доходность является детерминированной величиной, доходности активов A ,i — к1 + 1,N + к1 определяются по формуле
= Si), +1 ) - Si),) + С,(, +1 )
Si(t) Fi'
где Si(t) и Si(t +1 ) — рыночная стоимость актива A е A,i — к1 + 1,N + к1 в дискретные моменты времени t и t +1;
Ci(t +1 ) — величина чистого денежного потока, связанного с активом Ai , в промежутке между t и t+1 (дивиденды, купонные выплаты и т. д.).
Доходность актива pi (t ) является случайной величиной.
Инвестор в момент времени t — 0 формирует развернутый портфель
Г N+к1 1
х е
Х — ^ Х — (х1 Хк Хк , Хк
1 1 к1 кМ-1 кМ
): IX — 1[
7х"
рованный (безрисковый) подпортфель облигаций х' = (х1,...,хи подпортфель х" = (х^+1,...,хм+^) рисковых активов с заданным значением ожидаемой доходности т и минимальным риском о2х при учете ограничений, предусмотренных законодательством [4—6] на объемы вложений средств пенсионных накоплений в каждый актив и класс активов. В разрезе такой постановки задачи критерий оптимальности может быть записан в виде
(1)
С" ^ min
х х" еХ
где / = 1,И + к1 ,км = N + к1 показывает, ка-кая доля капитала инвестора размещена в актив А е Л,1 = + к1 , при этом х' = (х1,...,х^) , х ' = (хк+1,..., xN+к) — безрисковая и рисковая части ИП соответственно. МножествоX, представляющее собой всю совокупность портфелей, которые могут быть сформированы из N + к активов, называют достижимым множеством.
Вместе с тем нужно рассчитывать величины
кр _
Ур = ^ х} , где к0 = 0, р = 1,М , которые опреде-
]=кр-1+1
ляют суммарную долю финансовых активов наименования р в портфеле х.
Согласно подходу Г. Марковица [9] любой портфель х е X характеризуется двумя показателями — математическим ожиданием тх (показывает ожидаемую доходность рисковой части портфеля х) и дисперсией а2 (характеризует уровень риска, связанного с портфелем х, или степень разброса значений доходности вокруг ожидаемого уровня). Инвестор, формируя ИП, стремится к уменьшению его дисперсии и увеличению ожидаемой доходности.
Постановка задачи
В работе рассматривается задача формирования оптимального ИП х* е X, содержащего иммунизи-
при ограничениях вида
иТх' + тТх"> т, 0 < х < Ь, У < с, БТх' = Т,
еТх' + вт2х' = 1, (2)
где Ь, с — это вектор-столбцы, определяющие максимально возможные величины вложений, размерности N + к1 и М соответственно; ОТ = (Б1, Б2 — вектор дюраций облига-
ций на начальный момент времени ? = ? о,
I (tz - t0 )-
С,
D —-
( 1 + r)'-
Р _
где С — все платежи по облигации Л!1 ^ = 1,к1 ; г — рыночная процентная ставка; Р — рыночная цена; п — количество выплат по облигации; Т — горизонт инвестирования. Выбранная модель позволяет провести расчеты для нахождения баланса между доходностью и сохранностью пенсионных накоплений, как для инвесторов, так и для застрахованных лиц.
Численное моделирование
Структуру портфеля пенсионных накоплений можно представить в виде диаграммы (рис. 1), где облигации, выпущенные от имени субъектов и муниципалитетов РФ, и облигации корпоративных заемщиков определяют подпортфель безрисковых активов с доходностями
и Т = (9,99 9,23 8,49 8,44 8,9 6,5 6,73 8,16),% и дюрациями (дней)
D = (347 522 1367 641 370 420 435 937), % а акции—подпортфель рискованных активов с доход-ностями тТ = (34 62 32), % и матрицей ковариаций
i—1
t.-t
z '0
Z—1
3
40 (82) - 2011
Инвестиционная политика
' 0,069 0,038 0,034^ V = 0,038 0,1 0,052 0,034 0,052 0,156
ч у
Сегменты диаграммы показывают доли классов финансовых инструментов, входящих в портфель. В обозначениях рассматриваемой модели эти значения (в долях) хранятся в переменной у.
Уровень ожидаемой доходности портфеля в конце рассматриваемого горизонта инвестирования,
| | Облигации корпоративных заемщиков (КБ «Ренессанс Капитал» (ООО), ООО «Лизинговая компания УРАЛСИБ», ООО «ВымпелКом-Инвест», ООО «ЮТэйр-Финанс»)
Облигации, выпущенные от имени субъектов РФ и муниципалитетов (Республика Чувашия, Нижегородская, Московская области, Минфин Самарской области)
Акции (ОАО НК «ЛУКОЙЛ», ОАО «ГМК «Норильский никель», ОАО «Ростелеком»)
Рис. 1. Структура инвестиционного портфеля, %
ОАО «ГМК «Норильский никель»
равного одному году, был зафиксирован на отметке 16 % годовых.
Для реализации стратегии иммунизации в качестве рыночной процентной ставки была взята средневзвешенная по количеству соответствующих бумаг ставка, полученная на основании значений ставок информационного агентства «Cbonds» IFX-Cbonds и Cbonds-Muni [2].
В результате численного моделирования, проведенного с помощью пакета Microsoft Excel, был построен оптимальный ИП х* (рис. 2) и рассчитана величина риска, равная 4,11 %.
Заключение
В работе представлена математическая постановка задачи оптимизации ИП пенсионных накоплений, состоящего из рисковых активов и иммунизированного на случай изменения рыночных процентных ставок подпортфеля облигаций. В качестве критерия оптимальности выбрана целевая функция (1), минимизирующая риск портфеля. Ограничения (2) включают в себя условия стратегии иммунизации Ф. Реддингтона и ограничения, накладываемые нормативными актами РФ на классы и объемы финансовых вложений.
Проведена апробация поставленной задачи с помощью пакета Microsoft Excel на реальных данных. Полученное решение удовлетворяет поставленной задаче и поэтому представленная модель может быть применена для построения реального ИП пенсионных накоплений.
Особенностью представленной модели является интеграция стратегии иммунизации в модель Марковица, что позволяет снизить риск портфеля на рассматриваемом горизонте инвестирования.
Рис. 2 Оптимальный инвестиционный портфель, %
Список литературы
1. Домбровский В. В., Домбровс-кий Д. В., Ляшенко Е. А. Динамичес-
8
Инвестиционная политика
40 (82) - 2011
кая оптимизация инвестиционного портфеля при ограничениях на объемы вложений в финансовые активы // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2008. № 1 (2).
2. Информационное агентство «Cbonds». URL: http://www. cbonds. ru.
3. Мицель А. А., Рекундаль О. И. Применение однопериодной модели Марковица для построения оптимального портфеля пенсионных накоплений // Сборник научных трудов VIII Межд. конф. студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук». Томск, 2011.
4. О негосударственных пенсионных фондах: Федеральный закон от 07.05.1998 № 75-ФЗ.
5. Об инвестировании средств для финансирования накопительной части трудовой пенсии в Российской Федерации: Федеральный закон от 24.07.2002 № 111-ФЗ.
6. Об установлении дополнительных ограничений на инвестирование средств пенсионных накоплений в отдельные классы активов и определении
максимальной доли отдельных классов активов в инвестиционном портфеле в соответствии со статьями 26 и 28 Федерального закона «Об инвестировании средств для финансирования накопительной части трудовой пенсии в Российской Федерации» и статьей 36.15 Федерального закона «О негосударственных пенсионных фондах»: постановление Правительства РФ от 30.06.2003 № 379.
7. Панков А. Р., Платонов Е. Н., Семенихин К. В. Минимаксная оптимизация инвестиционного портфеля по квантильному критерию // Автоматика и телемеханика. 2003. № 7.
8. Рекундаль О. И. Применение стратегии иммунизации при формировании портфеля пенсионных накоплений // М-лы Всерос. науч. -техн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР-2011». — Томск, 2011.
9. Markowitz H. M. Portfolio selection // Journal of Finance. 1952. V. 7.No. 1.
10. Redington F. Review of the principles of lifeoffice valuations // Journal of the Institute of Actuaries. 1952. V. 78. No.3.
